Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết,trong chương trình giải tích lớp 12, chương I" ứngdụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " có một vị trí đặc biệt quantrọng, chiếm thời l

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI HỌC CHƯƠNG" ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ"

Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

THANH HOÁ NĂM 2020

2.3.3.1- Phân tích những sai lầm thường gặp và cách khắc phục

thông qua một số ví dụ minh họa

1.Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

2.Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức

3.Sai lầm khi sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp

4.Sai lầm khi giải bài toán về cực trị hàm số

5.Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất

6.Sai lầm khi giải bài toán tiếp tuyến

2.3.3.2- Bài tập tương tự

5 5 9 10

11 13 14

17 18

1- MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết,trong chương trình giải tích lớp 12, chương I" ứngdụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " có một vị trí đặc biệt quantrọng, chiếm thời lượng lớn trong phân phối chương trình, và là một công cụ rấtsắc bén để giải quyết nhiều bài toán trong các đề thi THPTQG, thi học sinh giỏicác cấp…

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khi giải các bài toán liên quanđến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, các em thườngmắc những sai lầm mà các em không phát hiện ra ,hoặc đôi khi phát hiện ra bạnlàm sai mà không biết sửa như thế nào nếu không có sự hướng dẫn của thầy cô

Nhằm giúp học sinh nắm vững các kiến thức về đạo hàm,tránh đượcnhững sai lầm và có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan

đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số "

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảosát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

2- NỘI DUNG SKKN

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Các định nghĩa, định lí và quy tắc (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)

1 Tính đơn điệu của hàm số:

(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

a Nếu f '(x) > 0 với  x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b Nếu f '(x) < 0 với  x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

c Nếu f '(x) = 0 với  x K thì hàm số f(x) không đổi trên K

2 Cực trị của hàm số

Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:

ç Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0  h x; 0 h)

và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h > 0

a Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f '(x) < 0 trên khoảng



0 0

(x x; h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x0 h x; 0) và f '(x) > 0 trên khoảng



0 0

(x x; h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

ç Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

(x h x; h), với h > 0 Khi đó:

a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu

b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

3 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:

4 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):

ç Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình:

2 Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chínhxác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của cáchàm đồng biến, nghịch biến

3 Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụngsai công thức tính đạo hàm hàm hợp

4 Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khivận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị

5 Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất củahàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương

6 Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi quamột điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số; bài toán liên quan đến số tiếptuyến của đồ thị

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1.CÁC GIẢI PHÁP CHUNG

Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí ,đưa ra các ví dụ, phản ví dụminh họa để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí

đó.Qua đó giúp học sinh:

- Nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, hiểuchính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số

- Nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0

- Nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trênmột miền D

- Nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thịvới tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho

Như vậy học sinh sẽ tránh được sai lầm khi giải các bài toán liên quan 2.3.2 NỘI DUNG THỰC HIỆN CỤ THỂ

2.3.3 1 Phân tích những sai lầm và cách khắc phục thông qua một số

ví dụ minh họa

1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

Ø Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn

Một số học sinh trình bày như sau: Tập xác định: D=R\   1 

Phân tích: Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận

của bài toán ! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi

x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy

x1 = - 2  D và x2 = 0D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2) ???

Lời giải đúng : Chỉ cần thay kết luận của lời giải trên thành:

Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng (  ;  1 ) và(  1 ;  )

Ø Khi sử dụng Định lí I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó

là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Quy tắc:

Ÿ y  0 x (a;b)  hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)

Ÿ y  0 x (a;b)  hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!)

x 0  

3 2

dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0 (!) Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xácđịnh trên khoảng (a;b), f (x)  0 x (a;b)và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạnđiểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

Sai lầm ở đây là không xét trường hợp y  0 ,dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm

Lời giải đúng là:

Tập xác định :R

1 2

Ø Nhiều khi các em không chú ý đến mở rộng của định lí về điều kiện đủ của

tính đơn điệu của hàm số, dẫn đến giải sai bài toán toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền.

Ví dụ minh họa 3:Tìm m để hàm số yxx mđồng biến trên từng khoảng xácđịnh

Một số học sinh trình bày như sau:

; (

0     



Phân tích:Với m=0 dễ dàng thấy y=1 là hàm không đổi vậy sai lầm là ở đâu?

Sai lầm ở đây là trường hợp y  0 dấu bằng xảy ra tại mọi điểm

)

; 0 ( )

; (

Ø Nhiều khi các em không chú ý đến điều kiện xác định của hàm số, dẫn đến

giải sai bài toán toán tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền.

hữu hạn điểm nên m ( 3 ; 3 )thỏa mãn bài toán

Phân tích:Sai lầm ở đây là không tìm điều kiện để hàm số xác định với mọi x

 Để hàm số đồng biến trên (- ; 2 ) thì hàm số phải xác định với mọi

x thuộc (- ; 2 ) và y  0 x (  ; 2 )( dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) suy ra

;

(

0 9

2

m

m

3 2 2

3 3

Vậy m2 ; 3 thỏa mãn bài toán

Ø Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc

xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.

Ví dụ minh họa 5:Xét tính đơn điệu của hàm số: 2

Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn

 2 ; 2 giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? Thực ra ở đây - 2 khôngphải là điểm tới hạn của hàm số

2 2 1

3

Lời giải đúng là:

Tập xác định: D = - [ 2;2] Ta có: ' 1 2

4

x y

2 Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức

Ø Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh

thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.

Ví dụ minh họa 6: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)

Chứng minh rằng: tanx > x, với )

2

; 0 ( 



2

; 0 ( 0 1 cos

1 2



x

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!) Sau

khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng )

2

; 0 ( 

Sai lầm ở đây là )

2

; 0 (

;

2

; 0 ( 0 1 cos

1 2



x

3 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm hàm hợp

Ø Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm hàm hợp:

Ví dụ minh họa 8: Tìm m để hàm số: y= x x m m





 cos

Với m=0 thì y=-1 là hàm hằng nên m=0 không thỏa mãn

Vậy m<0 thì hàm số đã cho đồng biến trên (0;

x m

x

m

) (cos

0   



 x

y ( dấu bằng xảy ra tại hữu hạn

điểm) Vì sinx>0 với mọi x thuộc ( )

; 0 ( 0 2

m m

0 0 1 0

Vậy m>0 thỏa mãn bài toán

Phân tích: Đáp số khác hẳn nhau.Vậy cách giải nào là đúng,cách nào sai và sai ở chỗ nào???

Ở cách giải của em Sơn, ta thấy học sinh đã nhầm lẫn hàm số đã cho với hàm

số sau khi đặt ẩn phụ(thực chất là hàm hợp qua hàm trung gian u=cosx),dẫn đến tính đạo hàm theo biến u nhưng lại sử dụng như đạo hàm theo biến x

Từ đó có thể sửa cách giải của em Sơn như sau

Đặt u=cosx Với ) ( 0 ; 1 )

2

; 0 (  

0   



 x

y x ( dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm)

Suy ra yx yu.ux y u (  sinx)  0 Vì sinx>0 với mọi x thuộc ( )

2

;

0  nên

) 1

; 0 (

; 0 ( 0

Vậy m>0 thỏa mãn bài toán

Bình luận:Cách giải của em Trang hoàn toàn đúng vì đã vận dụng chính xác

các định lí về tính đơn điệu của hàm số Và đối với bài toán này thì cá nhân tôithấy cách của em Trang có phần hay hơn

4 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số

Ø Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng thường

quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Quy tắc:

Ÿ 0

0 0

0 )

0 0

0 ) ( 0 ) (

x x

f

x f

Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 2 Tìm tất cả các giá trị củatham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?

Một số học sinh trình bày như sau:

0 0 3 0 4 0 ) 0 ( 0 ) 0 (

2 2 3

m m m f

f

Hệ vô nghiệm m

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 2 có y ' = 4x3

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (!)

Vậy lời giải trên sai ở đâu ???

Nhớ rằng, để áp dụng định lí II thì f  (x0)  0 Nếu x0 thỏa mãn 0

0 0

0 ) ( 0 ) (

x x

f x f

là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!)

Lời giải đúng là: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)

001

v m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 0 Û x = 0 hoặc x = - 3

4

m

Lập bảngbiến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn) Do đó hàm

số không có cực trị tại x = 0

Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0

5 Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

hàm số

Ø Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất

(GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.

Ví dụ minh họa 10:

cos

1 (cos

2 cos

1 cos 2 2

Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4   4 t

Vậy min ( )f x =- , khi t = - 1.4

Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương Giá trị nhỏ

nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t),t  R

Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để cosx 1

cosx + = - 1 (!)

t Dấu "=" xảy ra khi vàchỉ khi cosx = 1

Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (vớit  2 ):

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: min ( )

6 Sai lầm khi giải bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Ø Các em thường mắc sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

nằm trên đồ thị

Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C) Viếtphương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4)

Một số học sinh trình bày như sau:

f '(x) = - 3x2 + 6x Ta có điểm A(-1;4) thuộc đồ thị (C) ,suy ra phương trìnhtiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4

5 9

4 ) 1 (

6 3

3

2

k x k x x

x

k x x

-1

0

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y=4 và y=-9x-5

Ø Các em còn mắc sai lầm khi giải một số bài toán về số tiếp tuyến với đồ

thị ,cho rằng số tiếp điểm bằng số tiếp tuyến.

Ví dụ minh họa 12: Cho hàm số y=x4  2x2  1 Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ

thị kẻ từ A(0;-2)

Một số học sinh trình bày như sau:

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;-2) và có hệ số góc k là:

x

kx x

x

4

4

2 1

Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ A

Phân tích: ở đây học sinh giải được 2 nghiệm x nhưng khi thay vào chỉ tìm

được một giá trị k=0 nên thực chất chỉ có một tiếp tuyến Đây chính là tiếp tuyếntiếp xúc với đồ thị tại 2 điểm cực tiểu của đồ thị

x

kx x

x

4

4

2 1

Vậy có một tiếp tuyến qua A(0;-2)

Bình luận:Nếu không phân tích sai lầm này thì học sinh sẽ mắc sai lầm ở bài toán chứa tham số mà rất khó để các em biết mình sai chỗ nào

Ví dụ minh họa 13:(ĐHY/D TPHCM) Cho hàm số y=x4  2x2  1có đồ thị(C ) Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị

Một số học sinh trình bày như sau:

Giả sử điểm A(0;b) thuộc Oy

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;b) và có hệ số góc k là:

x

b kx x

x

4

4

1 2

3

2

4

Dùng phương pháp thế ta có phương trình:

0 1 2

3 )

4 4 ( 1

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá là khó phát hiện

đối với học sinh (?!) Vấn đề đặt ra là: phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệtnhưng thay vào có thể chỉ thu được 2 hoặc 1 giá trị k???hay(1) có thể có 4nghiệm phân biệt nhưng thay vào chỉ thu được 3 giá trị k thì sao?

Sai lầm của lời giải này là khẳng định số nghiệm của phương trình (1) bắng

số tiếp tuyến, trong khi điều này không khẳng định được như đã minh họa

ở VD12.

Lời giải đúng là:

Giả sử diểm A(0;b) thuộc Oy

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;b) và có hệ số góc k là:

x

b kx x

x

4

4

1 2

Thử lại : với b=-1 Giải hệ 

kx x

x

4 4

1 1

2

3 2 4

được

3 3

2 4

qua A(0;-1) kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị (C )

Vậy A(0;-1) thỏa mãn bài toán

4 sin

-Bài tập 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a sinx<x với mọi x>0

b sinx+tanx>0 )

2

; 0 ( 

2.4.HIỆU QUẢ CỦA SKKN:

Trong các năm học 2017-2018 ,tôi đã tiến hành thực nghiệm sáng kiến nàyvào các buổi sinh hoạt chuyên đề và được đồng nghiệp đánh giá tương đối tốt

Liên tục trong các năm học từ 2018-2019 đến 2019-2020 tôi thực nghiệmvới học sinh trong các tiết dạy tự chọn Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy ởmột số lớp tôi đã thu được kết quả tương đối khả quan

Lớp12A2;và 12A1 năm học 2018-2019

Lớp12A8và 12A2 năm học 2019-2020

* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra nhưsau:

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm

số đạt cực đại tại x = 0 ?

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5

*Sau khi đã áp dụng đề tài trong giảng dạy thì vẫn 2 bài tập đó kết quả

đã thay đổi rõ rệt như sau:

3 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

3.1.Kết luận

Như trên đã nói,chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

có thể giải quyết rất nhiều các bài toán liên quan Ngoài ra, đạo hàm còn là công

cụ sắc bén để giải quyết nhiều dạng toán khác như giải phương trình, hệ phươngtrình, bất phương trình và hệ bất phương trình ; chứng minh bất đẳng thức…Tuy nhiên số tiết trong phân phối chương trình có hạn nên giáo viên nên dùngcác tiết tự chọn để hướng dẫn cho học sinh

Với những nội dung đã triển khai trong đề tài, học sinh sẽ có cái nhìn sâusắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, qua nhữngsai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán, cóthể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán

3.2.Kiến nghị