Bài giảng Toán cao cấp (Phần 1): Chương 1 - Đại học Kinh tế Luật

(NB) Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số giới hạn và liên tục cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm số một biến số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục, phép tính vi phân hàm một biến, hàm nhiều biến,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

LOGO

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

Phần 1 (lưu hành nội bộ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF

Tp.HCM Năm 2017

LOGO

HÀM SỐ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

CHƯƠNG 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF

Tập X được gọi là miền xác định của hàm số f

Tập f(X) = { f(x)/xÎX)} được gọi là miền giá trịcủa f

2 – Đồ thị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) có miền xác định là X Ta gọi tập hợp:

G = {M(x; f(x))/xÎX} là đồ thị của hàm số f

Biểu diễn tất cả các điểm M(x; f(x))/xÎX lên

mặt phẳng xOy thì ta nhận được một đườngcong Ta cũng gọi đường cong đó là đồ thị củahàm số f

3 – Cách cho hàm số



Bài tập

1.2 – CÁC LOẠI HÀM SỐ

1 – Hàm đơn điệu

Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng

(a,b).Ta nói hàm số y = f(x) là một hàm tăng(giảm) trong khoảng (a, b) nếu ta có:

x x a b x x f x f x f x f x

 Hàm số tăng hay giảm trên một miền được

gọi là hàm đơn điệu trên miền đó

2 – Hàm chẵn lẻ

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một miền D

nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Ta nói rằng hàm số y = f(x) là một hàm chẵn (lẻ) trên D nếu x Ỵ D ta có f(-x) = f(x)

(f(-x) = -f(x))

Ghi chú:

Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

3 – Hàm tuần hồn

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một miền D Nếu tồn tại số thực T > 0 sao cho:

f(x+T) = f (x) ( x Ỵ D)thì f(x) được gọi là một hàm tuần hoàn trên miền D

Số thực dương T0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm số f

4 – Hàm hợp

Cho hàm số y = f(u), trong đó u là một hàm số của x nghĩa là u = u(x) Khi đó y là một hàm số của x, ta nói rằng y là hàm hợp có biến là x thông qua biến trung gian u

Ký hiệu là y = f(u(x)) hay y = fou

( ) :

Bài tập

5 – Hàm ngược

1 - Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp X

 Ta nói rằng f là một hàm 1 – 1 nếu thỏa mãn các điều kiện:

 x1 x2 Ỵ X: x1 ≠ x2 ta có f(x1) ≠ f(x2 )

 f(X)=Y.

 Nếu f là một hàm 1 – 1 ta có:

  y Ỵ Y , !x Ỵ X / y = f(x) Khi đó ta lập được một hàm số x theo biến y, ký hiệu là x = f -1 (y)

 Ta gọi hàm số x = f -1 (y) là hàm ngược của hàm số

y = f(x) và cũng ký hiệu là y = f -1 (x)

2 – Ghi chú:

Các hàm số đơn điệu trên một khoảng (a, b) là những hàm 1 – 1 nên chúng có hàm ngược

Đồ thị hàm ngược của hàm số y = f(x) đối

xứng với đồ thị của hàm số đó qua đường

phân giác thứ nhất

6 – Hàm bị chặn

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)

(1) Nếu  M Î R sao cho x Î (a, b) ta có

f(x) ≤ M thì ta nói f(x) bị chặn trên bởi M

(2) Nếu  m Î R sao cho x Î (a, b) ta có

f(x) ≥ m thì ta nói f(x) bị chặn dưới bởi m

(3) Nếu f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn

dưới trong khoảng (a, b) thì ta nói f(x) là hàm

số bị chặn trong khoảng (a, b)

Miền xác định và miền giá trị của hàm lũy

thừa tùy thuộc vào α:

Hàm số y = xn (n Î N) có MXĐ là R;

 Nếu n lẻ thì MGT của hàm số là R

 Nếu n chẵn thì MGT của hàm số là [0; +)

Nếu hàm lũy thừa có dạng

1

2 2

3 – Hàm số mũ y = a x (a>0; a≠1)

Hàm số mũ có MXĐ Là R và có MGT là R+

Nếu a > 1 thì hàm số mũ đồng biến

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số mũ nghịch biến

4 – Hàm lôgarit y = log a x (a>0; a≠1)

Hàm lôgarit là hàm ngược của hàm số mũ:

y = logax  x = ay

Hàm logarit có MXĐ Là R+ và có MGT là R

Nếu a > 1 thì hàm logarit đồng biến

Nếu 0 < a < 1 thì hàm logarit nghịch biến

Ký hiệu: lgx = log10x; lnx = logex

(3) Hàm y = tanx

Hàm y = tanx có MXĐ là R \ {π/2+kπ (kÎZ)} và MGT là R; Hàm y = tanx là một hàm lẻ và là

hàm tuần hoàn có chu kỳ π

Hàm y = tanx là hàm tăng trên từng khoảng xác định của nó

(4) Hàm y = cotanx

Hàm y = cotanx có MXĐ là R\ {kπ (kÎZ)} và

MGT là R; Hàm y = cotanx là một hàm lẻ và là hàm tuần hoàn có chu kỳ π

Hàm y = cotanx là hàm giảm trên từng khoảng xác định của nó

6 – Các hàm lượng giác ngược

Hàm y = arcsinx là một hàm lẻ và là hàm tăngtrên MXĐ

 Hàm y = arccosx là một hàm chẵn và

là hàm giảm trên MXĐ

 Hàm y = arctanx là một hàm lẻ và là

hàm tăng trên MXĐ

1.4 – Hàm số sơ cấp

Nếu thực hiện một số hữu hạn các phép toán hàm ( tổng, hiệu, tích, thương và hợp các hàm) trên một số hữu hạn các hàm số

sơ cấp cơ bản thì ta nhận được một hàm

số mới và ta gọi hàm số đó là hàm số sơ cấp

§3 – GIỚI HẠN HÀM SỐ

3.1 – Các khái niệm

1 - Giới hạn hàm số

Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi

x tiến tới x0 nếu thỏa mãn điều kiện sau:

Định lý 3

1) Nếu f(x), g(x), h(x) là những hàm số thỏa mãn điều kiện: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) với mọi x nằm trong một lân cận nào đó của điểm

x0

Khi đó: Nếu g(x) và h(x) đều có giới hạn là

L khi x tiến tới x0 thì f(x) cũng có giới hạn

là L khi x tiến tới x0

2) Nếu f(x) là hàm số tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì f(x) có giới hạn khi x → + ( x → -  )

Khái niệm về dạng vô định

Khi các điều kiện của Định lý 2 không thỏamãn ta cũng có thể tìm được giới hạn củacác hàm số, trừ các trường hợp sau đây:

(1) Khử dạng vô định /

Tìm cách chia tử và mẫu số cho lũy thừa

bậc cao nhất của đối số

(2) Khử dạng vô định 0/0

Nếu giới hạn có dạng lim [P(x)/Q(x)] thì ta tìm cách chia tử và mẫu số cho thừa số

x – x0

Nếu giới hạn có liên quan tới hàm mũ,

logarit, hàm lượng giác thì tìm cách đưa

về giới hạn cơ bản

Nếu giới hạn có chứa hiệu căn thức thì ta khử căn thức bằng cách nhân và chia cho lượng căn thức liên hợp

3 2 2

Ví dụ 2

Tìm giới hạn của các hàm số sau

3 8

3 8

2

8

9 2 5 0 (1) lim

0 2

lim

8 9 2 5

x x

x L

x x

Ví dụ 3

2 0

1 cos

lim

x

x L

Ví dụ 4: Tính các giới hạn

2 2

1 sin (1) lim

2

x

x L

3

cos 2

x

x L

2 2

(1) lim

02

x

x L

1 cos

2

22

x x

cos sin 0 (2) lim

sin

0 6

(3) lim

0

3

cos 2

x

x L

(3) Nếu k = 1 thì ta nói α(x) là VCB tương

đương với β(x) và ký hiệu Ký hiệu α(x) ~ β(x)

3 – Các tính chất của VCB tương đương

Tính chất 2

Cho α(x), β(x), α’(x) và β’(x) là những VCB khi x → x0 sao cho α(x) ~ α’(x) và β(x) ~ β’(x)

Tính chất 3

Nếu α(x) và β(x) là tổng của các VCB khi x →

x0 thì giới hạn của thương α(x) / β(x) bằng giới hạn của thương các VCB có bậc thấp nhất của

tử số và mẫu số khi x → x0

Người ta thường gọi tính chất 3 là quy tắc ngắt

bỏ các VCB cấp cao

4 - Các tương đương cơ bản khi x tiến tới 0

(1) sin(x) ~ x; tan(x) ~ x

(2) arcsin(x) ~ x; arctan(x) ~ x

(3) ex – 1 ~ x

(4) ln(1+x) ~ x

Ví dụ: Tính giới hạn của các hàm số sau

 

2

2 0

ln 1 arcsin 3 (1) lim

ln cos 4

x

x L

x





ln 1 arcsin 3 (1) lim

Ví dụ: Tính các giới hạn sau

3 0

arctan 2 tan

1 ln 1 3

x x

2 2

arcsin 2 tan (1) lim

   

3 0

Ví dụ

Tinh giới hạn của các hàm số:

  2

1 0

lim cos x x

  2  

1 0

1 2

Suy ra:

 

1

- 4

2 4

Bài Tập (trang 2)

(2) Nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x0 Î (a,b) thì

ta nói rằng f(x) liên tục trong khoảng (a,b)

2 – Sự liên tục hai phía

(1) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0+ thì ta nói rằng f(x) là hàm số liên tục phải tại điểm x0

(2) Nếu f(x) → f(x0) khi x → x0- thì ta nói rằng f(x) là hàm số liên tục trái tại điểm x0

(3) Nếu f(x) vừa liên tục phải, vừa liên tục trái

tại điểm x0 thì liên tục tại điểm x0

(4) Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a,b) và liên

tục phải tại a, liên tục trái tại b thì ta nói f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

Ghi chú:

Nếu f(x) không liên tục tại x0 thì ta nói x0 là

điểm gián đoạn của hàm số f(x)

Các hàm số sơ cấp cơ bản đều là những hàm

số liên tục trên miền xác định của nó

Định lý 3

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] Khi

đó:

(1) f(x) là hàm số bị chặn trên đoạn [a,b], nghĩa là

tồn tại một số thực M sao cho:

x Î [a,b] ta có: If(x)I ≤ M

(2) f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

đoạn [a, b] nghĩa là  x1, x2 Î [a,b] ta có:

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)

(3) CÎ[f(a), f(b)],x0Î (a,b) sao cho f(x0)=C

(4) Nếu f(a)f(b)<0 thì x0Î (a,b) sao cho f(x0)=0

x x

Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x = 1

ln 1 2 arcsin 2

0 1

1 2

Ta có

Bài Tập

LOGO

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Chương 2

Thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm

số y = f(x) tại điểm x0 và ký hiệu là y’ =

Nếu tồn tại f’(x0) thì ta nói rằng f(x) là một

hàm khả vi tại x0

Nếu f(x) khả vi tại mọi điểm x0 Î(a, b) thì ta

nói f(x) là hàm khả vi trong khoảng (a, b)

2 – Định nghĩa tương đương

Cho hàm số y = f(x) xác đinh trong khoảng

(a, b); x0 Î (a, b) Ta cho x0 một số gia đối

số là Δx sao cho x0+Δx Î(a, b) Khi đó số

gia của hàm số là: Δy = f(x0+ Δx ) – f(x0) và

3 – Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp tuyến

với đồ thị của hàm số y = f(x) tại điểm

2.2 – Các quy tắc tính đạo hàm

1 – Các quy tắc cơ bản

[u(x) + v(x)]’ = u(x)’ + v(x)’

[u(x)v(x)]’ = u(x)’ v(x) + u(x)v(x)’

[u(x)/v(x)]’ = [u(x)’ v(x) - u(x)v(x)’] / [v(x)]2

(v(x) ≠ 0 )

Cho hàm hợp y = f[u(x)] ta có công thức:

yx’ = fu’ ux’

1(arcsin ) '

5 – Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Tính đạo hàm của các hàm số sau

arctan arcsin

x y

  1 ' arctan

arcsin

x y

4 2ln( 1)

1

x x

Bài tập

2.4 – Đạo hàm cấp cao

1 – Định nghĩa

Cho f(x) là một hàm khả vi Tính đạo hàm

lần thứ nhất ta được hàm số y’ = f’(x) và gọiđây là đạo hàm cấp 1 của hàm số y = f(x)

Tính đạo hàm của hàm số này ta được

hàm số y” = [f’(x)]’ và gọi hàm số này là

đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f(x)

Một cách tổng quát đạo hàm cấp n của

hàm số y = f(x) được định nghĩa như sau:

y(n) = [f(n-1)(x)]’

Bài tập

2.4 – Đạo hàm hàm ẩn

Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình

(*)gọi là hàm ẩn xác định bởi ()

2.3 – Đạo hàm hàm ẩn

Hàm số y = f(x) xác định bởi phương trình

(*)gọi là hàm ẩn xác định bởi ()

y

y

2 Tìm y’(0) với y = y(x) xác định bởi

Bài tập

§2 – VI PHÂN (sv tham khảo)

2.1 – Khái niệm vi phân

1 – Định nghĩa

 Cho f(x) là hàm khả vi trong khoảng (a,b) Ta có:

 Nếu ta ngắt bỏ VCB α(x)Δ(x) thì ta được

công thức xấp xỉ: Δy = f ’ (x)Δ(x) và gọi công

thức này là vi phân của hàm số y = f(x) Ký

Ghi chú

Xét hàm số y = x ta có:

dy = dx =(x)’Δx =1Δx  dx = Δx Như vậy công thức vi phân có thể viết dướidạng: dy = f’(x)dx

Khi đó có ký hiệu: f’(x) = dy / dx (Ký hiệu

Lepnit của đạo hàm)

3 – Vi phân cấp cao (sv tham khảo)

a) Định nghĩa

Cho f(x) là một hàm khả vi Tính vi phân lần thứnhất ta được: dy = f’(x)dx và gọi đây là vi phâncấp 1 của hàm số y = f(x)

Tính vi phân lần thứ 2 ta được:

d2y = (f’(x)dx)’dx = f”(x)dx2

Ta gọi đây là vi phân cấp 2 của hàm số y = f(x)

Một cách tổng quát, vi phân cấp n của hàm số

y = f(x) được định nghĩa như sau:

dny = f(n)(x)dxn

d2y = - 2cos2x dx2

3.2 – Khử dạng vô định (sv tham khảo)

2 – Ví dụ (sv tham khảo)

Ví dụ 1

Dùng quy tắc Lopitan tìm các giới hạn sau

3 0

lim

sin

x

x L

ln sin

x

x L

tan

x

x L

3 0

x

x L

1 tan

1 2

x

x L

lim x x

x

x x

lim 1

x

x L

1 3 lim

x

x x

x

x x

1

x

x x

x

x x

  2

ln arctan lim

1

x

x x

Bài tập

Nếu A < 0 thì f(x) đạt cực đại tại x0

Nếu A > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại x0

y”(±1)= 8 > 0 suy ra hàm số f(x) đạt cực

tiểu tại x = ±1 và yCT = y(±1) = 2

3.4 - Ứng dụng tìm GTLN, GTNN hàm số

3.4 - Ứng dụng tìm GTLN, GTNN hàm số

3.4 - Ứng dụng tìm GTLN, GTNN hàm số

3.4 - Ứng dụng tìm GTLN, GTNN hàm số

3.4 - Ứng dụng tìm GTLN, GTNN hàm số

3.4 - Ứng dụng tìm GTLN, GTNN hàm số

3.4 - Ứng dụng tìm GTLN, GTNN hàm số

Bài tập

Hình bài 51 Hình bài 50

Bài tập

LOGO

HÀM NHIỀU BIẾN

Chương 3

CHƯƠNG 3- HÀM NHIỀU BIẾN

3.1 – Hàm nhiều biến

Định nghĩa

Nếu ứng với mỗi cặp giá trị của hai biến số x và y ta có một quy tắc cho tương ứng với mộtgiá trị duy nhất z thì ta nói z là hàm số với

hai biến số thực là x và y và ký hiệu là z = f (x, y)

Tập hợp D = {M(x,y)/ f(x,y) có nghĩa} đượcgọi là miền xác định của hàm số z

x hay ∂z/∂x

Tương tự ta cũng có khái niệm đạo hàmriêng của hàm số z = f(x, y) theo y và kýhiệu là z’

2 – Vi phân toàn phần (sv tham khảo)

Vi phân toàn phần của hàm số z = f(x, y)

là một biểu thức ký hiệu dz được xác địnhtheo công thức sau:

dz = z’

xdx + z’

y dy

Ta cũng viết: z = f(x(t), y(t))

3.3 – Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

1 - Đạo hàm riêng cấp cao

a) Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x,y) Tính đạo hàm riênglần thứ nhất ta được các hàm số zx’ và z’

y

Ta gọi các hàm số này là những đạo hàm

riêng cấp một của hàm số z = f(x,y)

Nếu tính các đạo hàm riêng của các hàm số

z’

x và z’

y thì ta nhận được những đạo hàm riêng mới và ta gọi những hàm số này là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số z = f(x,y) Ký hiệu và cách tính của chúng như sau:

d2z = z”

xxdx2 + 2z”

xy dxdy + z”

yy dy2

Lưu ý một số ký hiệu:

Bài tập

CHƯƠNG 4-CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN

4.1 – Cực trị tự do

1 – Định nghĩa

Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D;

M0(x0; y0) Ỵ D

(1) Ta nói rằng hàm số đạt cực đại tại điểm

M0(x0; y0) nếu " M(x; y) Ỵ D khá gần điểm

M0(x0; y0) Ỵ D ta có f(x,y) < f (x0; y0)

(2) Ta nói rằng hàm số đạt cực tiểu tại điểm

M0(x0; y0) nếu " M(x; y) Ỵ D khá gần điểm

M0(x0; y0) Ỵ D ta có f(x,y) > f (x0; y0)

(3) Điểm cực đại và cực tiểu của một hàm số được gọi là điểm cực trị của hàm số đó

Những điểm có tọa độ là nghiệm của hệ

phương trình này được gọi là các điểm dừngcủa hàm số đã cho

Bước 4: Kết luận

Nếu Δ > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại

M0(x0, y0) Nếu Δ < 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại tại

M0(x0, y0) Nếu Δ < 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại

M0(x0, y0)

Giải hệ:

2 2

Bài tập

4.3 – Cực trị có điều kiện

1 – Định nghĩa

Cực trị của hàm số z = f(x, y) được tính trongđiều kiện j (x,y) = 0 được gọi là cực trị cóđiều kiện và viết như sau : z = f(x, y) với

điều kiện j (x,y) = 0

2 – Phương pháp nhân tử Lagrange

Để tìm cực trị có điều kiện z = f(x, y) với j

(x,y) = 0 ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Lập hàm Lagrange L(x,y) = f(x,y) + lj(x,y)

 

0 0

x y

z z

Giải he äphương trình : ;Nghiệm của he ä

phương trình là các điểm dừng của hàm số đa õcho

Bước 4

0 0 0

Căn cư ùvào dấu của A ta đưa ra kết luận như sau :

Nếu A < 0 thì hàm số đạt cực đại tại M (x ,y ) (2) Nếu A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại M (x ,y ) (3) Nếu dấu của A không

0 0 0

xác định thì hàm số không đạt cực trị tại M (x ,y )

2 2

M  

 

  Như vậy hàm số co ùmột điểm dừng là

2 2

1 1 1 1 1 ,

3 - Phương pháp thế

a) Nội dung phương pháp

Nếu từ điều kiện j(x,y) = 0 ta rút được x theo y hay y theo x và thay vào biểu thứchàm số thì ta sẽ nhận được một hàm số z theo một biến x hoặc z theo một biến y

Khảo sát hàm một biến tìm được ta nhậnđược cực trị của hàm số đã cho

Phương pháp này được gọi là phương phápthế để tìm cực trị có điều kiện

Suy ra hàm số z = xy có một điểm dừng là M(1/2;1/2)

Bài tập