tai lieu on thi cao hoc chuyen nganh sinh hoc mon toan cao cap thong ke(thi vao DH sp Ha noi)

Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của một định thức ta đợc một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.. Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng hay một cột của một định t

Tµi liÖu «n thi cao häc chuyªn ngµnh Sinh häc – Biªn so¹n: NguyÔn V¨n C«ng

NỘI DUNG ÔN TẬP MÔN THI: TOÁN CAO CẤP THỐNG KÊ

(DÀNH CHO THI TUYỂN SINH CAO HỌC NGÀNH: SINH HỌC)

2.1 Nghiệm riêng và nghiệm tổng quát

2.2 Giải phương trình vi phân dạng biến số phân ly, đẳng cấp, tuyến tính cấp 1, Becnui, viphân toàn phần

2.3 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số với vế phải dạng eαxx Pn (x)(cosZx – sinZx) (phương pháp tìm dạng nghiệm riêng) và với vế phải tuỳ ý (phương pháp biếnthiên hằng số)

2.4 Hệ 2 phương trình vi phân tuyến tính với hệ hằng số (trường hợp có vế phải)

PHẦN II: CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT

1 Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, nhị thức Newton

2 Xác suất

2.1 Biến cố Quan hệ giữa các biến cố

2.2 Định nghĩa xác suất cổ diển và định nghĩa thống kê

2.3 Tính chất của xác suất

2.4 Công thức cộng xác suất

2.5 Xác suất có điều kiện Khái niệm độc lập của các biến cố Công thức nhân xác suất.2.6 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

2.7 Dãy phép thử Bemoulli Định nghĩa – Pn (m.p) - Số có khả năng nhất

3 Biến ngẫu nhiên - hàm phân phối

3.1 Đại lượng ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục, bảng phân phối xác xuất, hàm mật độ

3.2 Hàm phân phối: định nghĩa – tính chất

3.3 Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên: kỳ vọng, phương sai, Mod, Median, phânvị

3.4 Các phân phối thường gặp: Nhị thức, Poisson, chuẩn, đều, mũ, χ2, student…

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

2.1 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xỏc suất

2.2 Ước lượng khoảng cho kỳ vọng, phương sai và xỏc suất Độ chớnh xỏc ước lượng và cơmẫu

3 Kiểm định giả thiết

3.1 Kiểm định giả thiết:

à = ào với à ≠ ào , à<ào , à > ào

p = po với p ≠ po , p < po , p > poà1 = à2 với à1 ≠ à2 , à1 < à2 , à1 > à2p1 = p2 với p1 ≠ p2 , p1 < p2 , p1 > p23.2 Kiểm tra sự phự hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm

3.3 Kiểm tra tớnh độc lập

3.4 So sỏnh nhiều tỷ lệ

3.5 Tiờu chuẩn phi tham số: Tiờu chuẩn dấu của Wilcoxon, tiờu chuẩn Mann-Whiney

4 Hồi quy và tương quan

4.1 Hệ số tương quan í nghĩa, cỏch tớnh hệ số tương quan mẫu

4.2 Đường hồi quy tuyến tớnh thực nghiệm, sai số

4.3 Hồi quy phi tuyến tớnh (trường hợp cú thể tuyến tớnh hoỏ được)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 P.E Đankụ, A.G Pụpụp…, Bài tập toỏn cao cấp phần I và II, Nxb “Mir” 1983 (Tiếng

Việt)

2 Nguyễn Đỡnh Trớ…, Toỏn cao cấp (tập 1, 2, 3), Nxb Giỏo dục, 1996.

3 Đào Hữu Hồ, Xỏc suất thống kờ, Nxb Đại học Quốc gia 1996, 1997.

4 Nguyễn Đỡnh Cử, Trương Giờu, Bài tập xỏc suất và thống kờ toỏn, Đại học Kinh tế Quốc

dõn, 1992

Tài liệu 1 và 3 là tài liệu tham khảo chớnh

Phần I – Toán cao cấp Toán cao cấp Chơng i – Toán cao cấp Ma trận, định thức, hệ ph ơng trình tuyến tính

A tóm tắt lí thuyết

I Ma trận.

1 Khái niệm về ma trận.

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

- Cho hai số dơng m, n; ma trận cỡ m x n là một bảng gồm m x n số và đợc xếp thành m hàng, ncột và có dạng nh sau:

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

9 6 11

7 3 2

4 6 2

1 17 0

8 5 11

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

=  a ij nxn(i=1 ,n;j =1 ,n )

- Trong ma trận vuông, các phần tử aii (i = 1 ,n) gồm a11, a22, ,ann đợc gọi là các phần tửchéo, đờng thẳng xuyên qua các phần tử chéo đợc gọi là đờng chéo chính; đờng chéo gồm cácphần tử ai,n+1-i(i = 1 ,n) đợc gọi là đờng chéo phụ của ma trận

9 6 11

7 3 2

 A là ma trận vuông cấp 3, các phần tử 2; -6; 16 đợc gọi là cácphần tử chéo, đờng thẳng nối các phần tử 2; -6 và 16 đợc gọi là đờng chéo chính

2 13

 B là ma trận vuông cấp 2, các phần tử 13;7 đợc gọi là các phần tửchéo

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

a

a a

a a

a

0 0

1 12

a

a a

a a

a

2 22

1 12

a

a a a

0

0

2 1

22 21 11

a

a a a

2 1

22 21 11

0 0

0

0

0

22 11

22 11

- Ma trận chéo có các phần tử aii = 1 (i =1 ,n) đợc gọi là ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu là In và

0 0

1 0

0

0 1

1 1

9 6 11

7 3 2

13 6 3

10 11 2

9 6 11

7 3 2

9 6

11

7 3

2

2.7 Ma trận bằng nhau.

- Hai ma trận A và B đợc gọi là bằng nhau nếu nó có cùng cỡ và các phần tử ở cùng vị tríbằng nhau, tức là:

Tµi liÖu «n thi cao häc chuyªn ngµnh Sinh häc – Biªn so¹n: NguyÔn V¨n C«ng

+ A =  a ij mxn (i =1 ,m;j =1 ,n ); B =  b ij mxn (i =1 ,m;j =1 ,n )+ aij = bij

3 8

7 6

5 1

f e

d c

b a

2 1 7 0

4 0 3 1

7 5

7 3 5 2

10 7

7 5

7 3 5 2

4 3

5

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

3 8

7 6

5 1

3 ( ) 2 ).(

3 (

3 ).

3 ( 8

).

3 (

7 ).

3 ( 6

).

3 (

) 5 ).(

3 ( 1 ).

3 (

9 24

27 18

15 3

1

( ta có thể nói tắt cij bằng hàng i của Anhân với cột j của B)

- Ví dụ:

(1):  

2 2 2

2 2

1 1

12 3 4

2 1 2

4 3 1 3 4

1 2

3

x x

x x

2

3 4

2 2

3 3

18 10 4

2 2 1 2 4 1 2 3 1 1 4

4 3 2 2 2 1 1 3 3 2 1 1 4

1

2 3

2 1 2 1 4

3 2 1

x x

x x

3 3

2 2

13 8 11

7 4 9 2

4 3 1 1 4 2 1 4 4 1 1

2 2 3 3 1 2 2 3 4 2 1 3

2 2 3 1 1 2 2 1 4 2 1 1 2

1 4

3 2 1 4 1

2 3

2 1

x x

+ Khi nhân AB và BA đợc thì cha chắc AB = BA và có những ma trận A 0 và B 0

nh-ng AB = 0

b Chuyển vị của tích hái ma trận.

- Giả sử có ma trận A = a aijmxp và ma trận B =  b ij pxnthì ta nhân AB đợc và AB có cỡ làmxn

- Qua phép chuyển vị ta có At = aạipxmvà Bt =b jinxp, ta thấy rằng số cột của Bt bằng sốhàng của At Vậy nhân BtAt đợc và BtAt có cỡ mxn Vậy ta có thể kết luận:

(AB) t = B t A t

- Ví dụ: A =

2 2

4 1

2 1

1 3

1 2

3 3

14 4

4 2

1 1

1 1

3 2

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

 BtAt =

2 2

1 1

3 2

14 4 4

1 1 ).

1 ( 2 1 ) 1 ).(

1 (

4 3 1 2 2 3 ) 1 (

2

x x

3 3

14 4

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

(i=1 ,n;j =1 ,n ), nếu ứng với mỗi

phần tử aij của A ta bỏ đi hàng i và cột j chứa aij thì ta thu đợc một ma trận con chỉ còn n-1 hàng vàn–1 cột, ma trận này đợc gọi là ma trận con ứng với phần tử aij của A và kí hiệu là Mij

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

thì ta có tập các ma trận con cấp 2 của A là:

23 22

a a

a a

(ứng với a11 của A); M12 = 

23 21

a a

a a

22 21

a a

a a

13 12

a a

a a

13 11

a a

a a

12 11

a a

a a

13 12

a a

a a

13 11

a a

a a

12 11

a a

a a

12 11

a a

a a

thì:

det(A) = a 11 det(M 11 ) – a 12 det(M 12 ) = a 11 a 22– a 12 a 21

( a11 và a12 là các phần tử của hàng 1 của ma trận A)+ Nếu A là ma trận vuông cấp n thì:

7

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

det(A) = a 11 det(M 11 ) – a 12 det(M 12 ) + +(-1) 1+n a 1n det(M 1n )

( a11; a12 a1n là các phần tử của hàng 1 trong ma trận A )

- Chú ý:

(1): Để kí hiệu định thức của ma trận A ngoài det(A) ngời ta còn dùng hai gạch đứng

đặt ở bên trái và bên phải các phần tử của ma trận A Ví dụ:

12 11

a a

a a

 det(A) =

22 21

12 11

a a

a a

= a11a22 – a12a21

(2): Định thức của ma trận cấp n đợc gọi là định thức cấp n; một định thức cấp n cónhiều định thức con cấp n – i ( i = 1 ,n ) khác nhau

2.2 Các tính chất của định thức.

2.2.1 Tính chất 1: det(At) = det(A)

2.2.2 Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của một định thức ta đợc một định thức

mới bằng định thức cũ đổi dấu

Ví dụ: 31 42   13 24

2.2.3 Tính chất 3: Một định thức có hai hàng hay hai cột nh nhau thì bằng 0.

2.2.4 Tính chất 4: Ta có thể khai triển định thức theo bất cứ hàng hay cột nào

- Khai triển định thức theo các phần tử nằm ở hàng i:

a

) i2 det(M i2

a ) i1 det(M i1

a 1 i 1) ( det

- Khai triển định thức theo các phần tử nằm ở cột j:

) 2j det(M 2j

a ) 1j det(M 1j

a j 1 1) ( det

6 5 4

3 2 1

2 1 6 9 7

3 1 5 9 8

3 2 4 )

2 1 9 8 7

2 1 6 8 7

5 4 3 ) 1 ( 1 3

= 240

2.2.5 Tính chất 5: Một định thức có một hàng hay một cột toàn là số 0 thì bằng 0.

2.2.6 Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng hay một cột của một định thức với

một số k thì đợc một định thức mới bằng định thức đó nhân với k

 Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng hay một cột có một thừa số chung ta có thể

đa thừa số chung đó ra ngoài dấu của định thức

2.2.7: Tính chất 7: Một định thức có hai hàng hay hai cột tỉ lệ với nhau thì bằng 0.

2.2.8: Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của một hàng hay một cột có dạng tổng của hai

số hạng thì định thức đó có thể phân tích thành tổng của hai định thức

2.2.9: Tính chất 9: Nếu một định thức có một hàng hay một cột là tổ hợp tuyến tính của

các hàng hay các cột khác thì định thức ấy bằng 0

2.2.10: Tính chất 10: Định thức không thay đổi nếu ta đồng thời cộng k lần (k 0) các

phần tử của một hàng vào một hàng khác hay cộng k lần các phần tử của một cột vào một cột khác

7 5 4

3 1 2

6

3 ) 2 ( 7 1 ) 2 ( 5 2 ) 2 ( 4

3 1

1 3 0

3 1 2

7 5 4

3 1 2

4 ) 1 ( 7 5 4

2 ) 1 ( 3 1 2

3 5 4

1 1 2

2.2.11 Tính chất 11: Các định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử chéo.

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

a

a a

a a

a

0 0

1 12

a

a a a

0

0

2 1

22 21 11

= a11a22 ann

2.3 Các phơng pháp tính định thức.

2.3.1 Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa và các tính chất.

2.3.2 Phơng pháp 2: áp dụng các phép biến đổi sơ cấp

a Các bớc tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp về hàng và cột.

- Bớc 1: áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng và cột để đa định thức về dạng tam

giác, cụ thể ta có thể áp dụng các phép biến đổi sơ cấp sau:

 Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của định thức: Tính chất 2

 Nhân các phần tử của một hàng hay một cột với một số k 0:Tính chất 6

 Cộng k lần các phần tử của hàng r (hoặc cột r) vào các phần tử tơng ứng ở hàng s( hoặc cột s): Tính chất 10

- Bớc 2: Tính giá trị của định thức dạng tam giác thu đợc: Tính chất 11

9 6 3

5 1 0

- áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng:

9 6 3

5 1 0

5 1 0

9 6 3

5 1

0

9 6 3

5 1 0

9 6 3

0

5 1 0

9 6 3

9 6 3

5 1 0

3 6 9

0 1 5

3 5 / 39 9

0 0 5

0 5 / 39 9

0 0

1 3

3 1

1 ) det(

14 3

17 2

B A

) det(

23 ) det(

B A

2 1 2 1

4 1 1 2

2 4 3 1

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

+ Các định thức con cấp 1 của A là: 1 ;  3 ; 4

+ Các định thức con cấp 2 của A là: 21 13 ; 12 14

+ Các định thức con cấp ba của A là:

1 2 1

1 1 2

4 3 1

4 1 2

2 3 1

4 1 2

2 4 1





;

2 1 2

4 1 1

2 4 3

- Ma trận A =  a ij nxn đợc gọi là ma trận khả đảo (hay khả nghịch) nếu tồn tại ma trận

B = b ij nxn sao cho A.B = B.A = In và lúc này ta gọi ma trận B là ma trận nghịch đảo của ma trận A

- Ma trận nghịch đảo của ma trận A thờng đợc kí hiệu là A-1

1.2 Các định lí.

1.2.1 Định lí 1: Khi A có nghịch đảo thì ta nói A không suy biến và ma trận nghịch đảo

A-1 của A là duy nhất

1.2.2 Định lí 2: Ma trận A khả đảo hay có nghịch đảo khi và chỉ khi det(A) 0

1.2.3 Định lí 3: Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho B.A = I hoặc A.B = I thì

ta nói A khả đảo và B là nghịch đảo của A (B = A-1)

1.3 Cách tìm ma trận nghịch đảo.

1.3.1 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phần bù đại số.

a Khái niệm về phần bù đại số.

- Phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A là một số cij = (-1)i+j.Dij , trong đó Dij là

định thức con của ma trận con Mij ứng với phần tử aij của ma trận A

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

23 22

a a

a a

 phần bù đại sốcủa a11 là c11= (- 1)1+1det(M11) = a22a33 – a23a32 , (với D11 = det(M11))

+ Ma trận con ứng với phần tử a21 của A là: M21 = 

13 12

a a

a a

 phần bù đại sốcủa a21 là c21= (- 1)2+1det(M21) = - (a12a33 – a13a32) = a13a32 - a12a33 , (với D21 = det(M21))

+ Ma trận con ứng với phần tử a33 của A là

n

n n

c c

c

c c

c

c c

1

2 1

2 22

12

1 1

2 11

, trong đó Ct là ma trận chuyển vị của

3 5 2

3 2 1

, tìm A-1=?

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

3 5

3 2

2 1

3 2

3 1

2 1

3 2

3 1

2 1

2 5 16

5 13 40

3 5 13

9 16 40

Vậy A-1 = C t

A).det(

3 5 13

9 16 40

3 5 13

9 16 40

1.3.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phơng pháp Gaus – Jordan.

- Muốn tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  a ij nxn ; áp dụng định lí 3 ta chỉ cần tìm

ma trận B =  b ij nxn sao cho A.B =I, khi đó B = A-1

- Cách tìm B bằng phơng pháp Gaus – Jordan với các phép biến đổi sơ cấp nh sau:

+ Viết ma trận đơn vị I bên phía phải ma trận A

+ áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đa dần ma trận A về ma trận đơn vị I ,tác động đồng thời phép biến đổi sơ cấp đó vào ma trận I

+ Khi A đã biến đổi thành I và I đợc biến đổi thành ma trận khác thì ma trận nàychính là nghịch đảo của A

3 5 2

3 2 1

0 1 0

0 0 1

8 0 1

3 5 2

3 2 1

0 1 2

0 0 1

5 2 0

3 1 0

3 2 1

0 1 2

0 1 1

1 0 0

3 1 0

0 3 1

0 1 1

1 0 0

0 1 0

0 3 1

3 5 13

9 16 40

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3 5 13

9 16 40

1.4 Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận.

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

4 1 1 2

2 4 3 1

có  (A) = 2 vì các định thức con cấp 3 của A đều

bằng 0 nhng các định thức con cấp 2 khác 0

- Chú ý: Từ định nghĩa ta suy ra:

+ Mọi định thức con cấp k của A đều bằng 0 thì mọi định thức con cấp cao hơn k của Acũng đều bằng 0

+ Nếu  (A) = r  tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của A khác 0 và mọi định thứccon cấp r+1 của A đều bằng 0

+ Nếu A có cỡ mxn và A 0 thì 0< (A)  min(m,n)

+ Nếu A có cỡ nxn và  (A) = n det(A) 0

+ Nếu A có cỡ nxn và  (A) < n  det(A) = 0

2.2 Tính chất.

- Hạng của ma trận Omxn là 0; hạng của ma trận A =a11 với a11 0 là 1

- Với mọi ma trận vuông A ta có:  (A) =  (At)

- Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng có các phần tử khác 0

- Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp dới đây:

+ Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận cho nhau

+ Nhân các phần tử của một hàng hay một cột của ma trận với 1 số khác 0

+ Cộng k lần các phần tử tơng ứng của 1 hàng hay 1 cột với 1 hàng hay 1 cột khác

2.3 Cách tính hạng của ma trận.

a Tính hạng của ma trận theo định nghĩa.

- Cách làm: Tính các định thức con của ma trận từ cấp 2 trở lên:

+ Giả sử ma trận có một định thức con cấp p khác 0, ta tính tiếp các định thức con cấpp+1, nếu tất cả các định thức con cấp p+1 đều bằng 0 thì kết luận hạng của ma trận là p

+ Nếu trong số các định thức con cấp p+1 khác 0 thì ta tính tiếp các định thức con cấpp+2, nếu tất cả các định thức con cấp p+2 đều bằng 0 thì hạng của ma trận là p+1

- Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A =

4 3

4 1 0 1

9 4 2 3

5 3 2 1

Vì A có cỡ là 3x4  A có các định thức con thuộc các cấp 1; 2 và 3

Ta có 1 định thức con cấp 2 của A là 

2 1

= - 4 0 và các định thức con cấp 3 của A

9 4 3

5 3 1

9 2 3

5 2 1

9 4 2

5 3 2

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

A =

























mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1 2 22 21 1 12 11  B =  b ij mxn =                     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0

2 2 22 1 1 12 11 pn pp n p n p b b b b b b b b b với bij = 0 và i > j hay i > p và bii  0; i = 1 , p + Vì  (A) =  (B) mà  (B) = số hàng có các phần tử khác 0 của nó (p hàng) nên ta kết luận: ρ (A) = ρ (B) = p - Ví dụ: Tìm hạng của A = 5 4 20 4 8 4 1 5 4 2 5 2 12 7 9 6 2 5 0 2 3 1 x               Giải: Ta có A  H2 2H1  ;H3 2H 1 ;H 4H1  5 4 15 4 6 1 0 15 4 6 1 0 2 7 5 0 0 5 0 2 3 1 x                  H4H3 ;H2H3 5 4 0 0 0 0 0 2 7 5 0 0 15 4 6 1 0 5 0 2 3 1 x             = B ρ (B) = 3 ( vì có 3 hàng có các phần tử khác 0)  ρ (A) = 3 IV Hệ phơng trình tuyến tính 1 Định nghĩa. - Ta gọi hệ phơng trình tuyến tính là 1 hệ gồm m phơng trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số + Dạng tổng quát của 1 hệ phơng trình tuyến tính:               m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

.

.

2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 12 1 1 1 (1), trong đó: xj (j =1 ,n) là các ẩn số aij ( i = 1 ,m; j=1 ,n) là hệ số ở phơng trình thứ i của ẩn xj bi (i = 1 ,m) là vế phải của phơng trình thứ i + Dạng ma trận của một hệ phơng trình tuyến tính: Hệ (1) có thể đợc viết dới dạng ma trận: AX = B, trong đó: A =  a ij mxn =             mn m m n n a a a a a a a a a

2 1 2 22 21 1 12 11 , B = b1i1xm =             m b b b

2 1 =  T m b b b1 2

X = x1j1xn =             n x x x

2 1 =  T n x x x1 2

- Chú ý:

+ Khi m = n ta có một hệ vuông với n phơng trìnhvà n ẩn

+ Khi bi = 0 i ta có một hệ thuần nhất

+  (A) của A đợc gọi là hạng của hệ phơng trình (1)

2 Các dạng hệ phơng trình tuyến tính đặc biệt.

2.1 Hệ Cramer.

2.1.1 Định nghĩa.

13

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

Một hệ phơng trình tuyến dạng AX = B tính đợc gọi là hệ cramer nếu nó có n phơng trình, n ẩn và det(A) 0, trong đó:

A =  a ij nxn =

























nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1 2 22 21 1 12 11 , B = b1n1xn =             n b b b

2 1 2.1.2 Nghiệm của hệ Cramer - Định lí Cramer: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất và đợc xác định bằng công thức: X = A-1B hay xi = ) det( ) det( A A i i=1 ,n, trong đó det(A) 0; còn det(Ai) là các định thức thu đợc từ A bằng cách thay cột thứ i của A bằng cột các phần tử của B - Ví dụ Giải hệ:             8 3 2 30 6 4 3 6 2 3 2 1 3 2 1 2 1 x x x x x x x x Giải: Ta có A =              3 2 1 6 4 3 0 2 1 , B =           8 30 6 , A1 =            2 3 8 6 4 30 0 2 6 ; A2 =             3 8 1 6 30 3 0 6 1 ; A3 =              8 2 1 30 4 3 6 2 1  det(A) = 44 0, det(A1) = - 40; det(A2) = 72; det(A3) = 152 Vậy các nghiệm của hệ đã cho là: x1 = ) det( ) det( 1 A A = - 44 40 = - 11 10 ; x2 = ) det( ) det( 2 A A = 44 72 = 11 18 ; x3 = ) det( ) det( 3 A A = 44 152 = 11 38 2.2 Hệ tam giác. 2.2.1 Hệ tam giác trên Là hệ có dạng:           n n n n n n n n b x a b x a x a b x a x a x a

.

.

2 2 2 2 2 1 1 2 12 1 1 1 với ma trận hệ số A =             nn n n a a a a a a 2 22 1 12 11

2.2.2 Hệ tam giác dới Là hệ có dạng:          n n n n n n x a x a x b a b x a x a b x a

.

.

.

2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 với ma trận hệ số A =             nn n n a a a a a a

2 1 22 21 11 2.2.3 Phơng pháp giải Việc giải các hệ tam giác rất đơn giản ta chỉ việc giải lần lợt từ dới lên trân hoặc từ trên xuống dới để tìm các ẩn số 2.3 Hệ thuần nhất. 2.3.1 Định nghĩa Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (gọi tắt là hệ thuần nhất) là hệ có dạng:               0 .

0 .

0

2 2

1 1

2 2

2 2 1

2 1

1 2

12 1

1 1

n

n n n

n

n n

n n

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

hoặc

AX = 0 trong đó A =  a ij nxn , X = x1j1xn , B = On1= 0

2.3.2 Nghiệm của hệ thuần nhất.

a Nghiệm tầm thờng.

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

- Định nghĩa: Các nghiệm x1 = x2 = = xn = 0 đợc gọi là nghiệm tầm thờng của hệ thuần nhất vì khi thay xi = 0 i=1 ,n vào các phơng trình ở vế trái của hệ thì các phơng trình đó thoả mãn

- Định lí: Hệ thuần nhất có nghiệm duy nhất tầm thờng khi và chỉ khi det(A) 0.

b Nghiệm không tầm thờng.

- Định nghĩa: Nghiệm không tầm thờng của hệ thuần nhất là những nghiệm khác 0.

- Định lí: Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thờng khi và chỉ khi det(A) = 0.

c Nghiệm cơ bản của hệ: Mỗi bộ số  x i với xi0 đợc gọi là một nghiệm cơ bản của

hệ thuần nhất

3 Các phơng pháp giải hệ phơng trình tuyến tính.

3.1 Phơng pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đợc hệ tơng đơng.

- Đổi chỗ hai phơng trình cho nhau

- Nhân hai vế của một phơng trình nào đó với 1 số 0

- Cộng từng vế của 1 phơng trình với 1 phơng trình khác

3.2 Phơng pháp 2: áp dụng định lí Cramer.

- Nếu hệ mà bài cho là hệ Cramer, ta có thể áp dụng định lí Cramer để tìm nghiệm của hệ

- Ví dụ: Giải hệ phơng trình: 





















16 4

3

14 3

2

9 2

3 2

z y

x

z y

x

z y

x

(*)

Giải: Ta có

A =





















 1 4 3

3 2 1

2 3 2

, B =





















16 14 9

Det(A) = - 6 0  * là hệ Cramer

Ta lại có:

A11 = 









1 4

3 2

, A12 = 









1 3

3 1

, A13 = 









 4 3

2 1

, A21 = 









 1 4

2 3

, A22 = 









 1 3

2 2

;

A23 = 









 4 3

3 2

, A31 = 











 3 2

2 3

, A32 = 











 3 1

2 2

, A33 = 









 2 1

3 2

 c11 = (-1)2det(A11) = 14, c12 = (-1)3det(A12) = - 10, c13 = (-1)4det(A13) = -2

c21 = (-1)3det(A21) = 5, c22 = (-1)4det(A22) = - 4, c23 = (-1)5det(A23) = 1

c31 = (-1)4det(A31) = - 13, c32 = (-1)5det(A32) = 8,c33 = (-1)6det(A33) = 1

 C =





























1 8 13

1 4 5

2 10 14

 CT =





























1 1 2

8 4 10

13 5

14

A-1 =

) det(

1

A CT = -

6

1





























1 1 2

8 4 10

13 5

14

 X = A-1.B = -

6

1





























1 1 2

8 4 10

13 5

14





















16 14 9

X=

-6

1





































16 14 9 2

16 8 14 4 9 10

16 13 14 5 9 14

= -

6

1

























12 18

12

=





















 2 3

2









2 3

z y

3.3 Phơng pháp 3: Phơng pháp Gaus – Jordan.





























n n

n n n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 2 1 1 1 2 12 1 1 1 Để giải hệ trên ta làm nh sau: Có A =  a ij nxn =             nn n n n n a a a a a a a a a

2 1 2 22 21 1 12 11 , B = b1n1xn =             n b b b

2 1

15

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

A B =





























n nn n

b b

a a

a

a a

a

a a

a

2 1 2 1 23 22 21 13 12 11 , qua các phép biến đổi sơ cấp ta biến đổi A B về dạng: A' B' =               n nn b b b a a a a a a ' 2 ' 1 ' ' 23 ' 22 ' 13 ' 12 ' 11 '

0 0

0

, qua các phép biến đổi sơ cấp ta đa A' B' về dạng: I B'' =               n nn b b b a a a '' 2 '' 1 '' '' 22 '' 11 ''

0 0

0

0 0

0 , từ I B'' ta suy ra hệ đã cho có nghiệm là:     ' ' 2 2 ' 1 1

n n b x b x b x 4 Hạng của ma trận và số nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính. - Xét hệ phơng trình tuyến tính dạng tổng quát:               m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

.

.

2 2 1 1 2 2 2 22 1 2 1 1 1 2 1 2 1 11 hoặc AX = B, ta có: A =             mn m m n n a a a a a a a a a

2 1 2 22 21 1 12 11 , B =             m b b b

2 1 - Xét ma trận mở rộng A = A, B =             m mn m m n n b a a a b a a a b a a a

2 1

2 2 22

21

1 1 12

11

- Định lí Kronecker – Capelli: Hệ AX = B có nghiệm khi và chỉ khi: ρ ( A )ρ (A)

- Từ định lí trên ta suy ra:

+ Nếu ρ(A) ( A )  ρ(A) (A) thì hệ vô nghiệm

+ Nếu ρ ( A )  ρ (A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu ρ ( A )  ρ (A)< n thì hệ có vô số nghiệm

- Ví dụ: Xem GT

B Bài tập.

Chơng 2 – Toán cao cấp Giải tích hàm một biến

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

Chơng 3 – Toán cao cấp ph ơng trình và hệ phơng trình vi phân

y (n) + a 1 (x)y (n-1) + + a n-1 (x)y’ + a n (x)y = b(x)

trong đó a1(x), ,an(x), b(x) là những hàm số cho trớc

Nghiệm của phơng trình vi phân là mọi hàm số sao cho khi thay biểu thức của nó vào ph

-ơng trình ta đợc một đồng nhất thức Về mặt hình học, mỗi nghiệm của ph-ơng trình vi phân xác

định một đờng gọi là đờng tích phân của phơng trình, các đờng này đợc xác định hoặc bởi phơngtrình y = f(x), hoặc bởi phơng trình  (x,y)  0, hoặc bởi phơng trình tham số x = x(t), y = y(t)

- Giải một phơng trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm hay tất cả các đờng tích phân của nó

II Phơng trình vi phân cấp 1.

1 Đại cơng về phơng trình vi phân cấp 1.

a Khái niệm về phơng trình vi phân cấp 1

- Phơng trình vi phân cấp 1 là phơng trình có dạng: F(x, y, y’) = 0 hoặc y’ = f(x, y)

- Ví dụ: y’ + xy = xsinx, yy’ + x2 + y2 = 0 là những phơng trình vi phân cấp 1

b Nghiệm của phơng trình vi phân cấp 1

17

Tài liệu ôn thi cao học chuyên ngành Sinh học – Biên soạn: Nguyễn Văn Công

- Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân cấp 1 là hàm số y = (x, C) (C là một hằng sốtuỳ ý) thoả mãn các điều kiện sau:

+ Thoả mãn phơng trình vi phân với mọi giá trị của C

+ Với mọi (x0, y0) nằm trong miền xác định D của f(x, y) có thể xác định đợc một giá trị C

= C0 sao cho hàm số y =  (x,C0 ) thoả mãn điều kiện ban đầu: y x0 y0

- Nghiệm riêng của phơng trình vi phân cấp 1 là mọi hàm số y =  (x,C0), với C0 tìm đợcbằng cách cho nghiệm tổng quát thoả mãn điều kiện ban đầu y x0 y0

- Nghiệm kì dị của phơng trình vi phân cấp 1 là những hàm số không nằm trong họ nghiệmtổng quát Tại các điểm trên đờng tích phân tơng ứng của những hàm số này, điều kiện duy nhấtnghiệm bị vi phạm

= sinx  dy = sinxdx  y = - cosx + C

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình là y = - cosx + C

2

- Dạng tham số: x = f(t), y’ = g(t).

+ Phơng pháp giải: ta có dy = y’dx mà x = f(t)  dx = f’(t)dt  dy = g(t)f’(t)dt

 dy = g(t)f'(t)dt  y = H(t) + C, trong đó H(t) là một nguyên hàm của hàm

g(t)f’(t)  Nghiệm của phơng trình dới dạng tham số