SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY SÁNG TẠO TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11
PHÁT HUY SÁNG TẠO TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx
Người thực hiện: Lê Khắc Luyện Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2020
Trang 2MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU Trang 01
1.1 Lí do chọn đề tài Trang 01
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02
2.1 Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm Trang 02
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh
nghiệm Trang 03
2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề Trang 03 2.3.1 Vận dụng vào giải một số dạng phương trình lượng
giác Trang 03 2.3.2 Vận dụng giải một số bài toán về phương trình chứa
tham số Trang 08 2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất …… Trang 09 2.3.4 Hệ thống bài tập tổng hợp tự luyện giao thêm giúp
học sinh tiếp tục củng cố, rèn luyện kỹ năng Trang 10
2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Trang 11
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 12
3.2 Kiến nghị ……… Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… Trang 13 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Trang 14
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Trong những năm học gần đây, chúng ta đã và đang tích cực đổi mới phương pháp dạy học Theo xu thế đổi mới này, trong quá trình học, người học là trung tâm, là chủ thể của mọi hoạt động; người học phải chủ động, tích cực tìm tòi sáng tạo để tiếp nhận kiến thức cho bản thân; người học phải học
để học được cách học Bên cạnh đó người dạy là người tổ chức, hướng dẫn hoạt động học tập cho người học để đạt được những điều như thế Trong đó, mục tiêu phát triển tư duy sáng tạo và phát huy sự tìm tòi khám phá cho người học là rất quan trọng Vì vậy trong dạy học người dạy phải luôn tìm cách để đạt được mục tiêu này
Hiểu rõ được điều đó, trong quá trình dạy học tôi luôn nghiên cứu kỹ từng nội dung kiến thức cần truyền đạt cho học sinh để tìm ra những vấn đề cần hướng dẫn học sinh khai thác, vận dụng, tìm tòi khám phá thêm Qua đó không chỉ giúp cho học sinh nắm vững kiến thức đang học mà còn phát triển
tư duy sáng tạo, khuyến khích hoạt động tìm tòi khám phá của học sinh, giúp học sinh hiểu kiến thức sâu sắc, thấu đáo hơn và biết vận dụng
Với tinh thần trên, trong quá trình giảng dạy nội dung Chương I - Đại
số và Giải tích 11 [1], tôi đã hướng dẫn học sinh vận dụng, khái thác kiến
thức về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ở để giải một số dạng toán
giúp các em phát huy sáng tạo trong học tập Tôi đã thực nghiệm giải pháp này trong quá trình giảng dạy tại lớp 11C3, năm học 2019-2020 và thu được kết quả tốt Vậy nên trong năm học này, tôi đã chọn đề tài Sáng kiến kinh
nghiệm là "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong
học tập nội dung về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx".
1.2 Mục đích nghiên cứu
Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra những giải pháp phù hợp với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong học tập, từ đó học sinh có hứng thú và nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm và hướng đi mới trong giảng dạy về phương trình lượng giác Sáng kiến kinh nghiệm này còn nhằm trao đổi với với đồng nghiệp về phương pháp dạy học, là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT nói chung
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là các hướng vận dụng, khai thác
nội dung kiến thức về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx trong giảng
dạy Bài 3: “Phương trình lượng giác thường gặp”, Chương I, Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, chương trình cơ bản [1]
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của Sáng kiến kinh nghiệm này là: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết và phương pháp điều tra khảo sát thực
tế, thu thập thông tin
1
Trang 42 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm này vận dụng, khai thác cách giải phương
trình bậc nhất đối với sin x và cosx đã được trình bày trong Sách giáo khoa
Đại số và giải tích 11 [1], [2] (bao gồm cả chương trình cơ bản và chương trình nâng cao) Trong đó những cơ sở lí thuyết trọng tâm sẽ được nhắc lại sau đây
(1) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình dạng a sin x b cos x c , trong đó a, b, c là những hằng số
đã cho với a khác 0 hoặc b khác 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối
với sinx và cosx.
Để giải phương trình a sin x b cos x c (a2 b2 0) ta biến đổi biểu thức asinx b cosx thành dạng C sin( x ) hoặc dạng C cos(x ) , cụ thể như sau
(2) Phép biến đổi biểu thức asinx b cosx a2 b2 0
Ta có: a sin x b cos x a 2b 2 a sin x b cos
x
a2 b2 a2 b2
a2 b2 a 2 b2
Từ đó:
a sin x b cos x a 2 b 2 cos sin x sin cos x a2 b2 sin(x ) (*).
a2 b2 a 2 b2
a sin x b cos x a 2 b 2 sin sin x cos cos x a2 b2 cos(x ) (**).
(3) Cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Để giải phương trình a sin x b cos x c (a2 b2 0) ta chọn một trong hai phép biến đổi (*) và (**) a sin x b cos x c (a2 b2
được đưa về dạng cơ bản sin(x ) c (1).
a 2 b2
a sin x b cos x c (a2 b2
được đưa về dạng cơ bản cos( x ) c (2).
a 2 b2
Và như thế, việc giải phương trình a sin x b cos x c (a2 b2 0) được đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản (1) hoặc (2)
Trang 5(4) Điều kiện cần và đủ để phương trình a sin x b cos x c có
Ta có, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 1 hay
a 2
b2
a 2 b 2 c2
Do đó, phương trình asinx b cosx c (a2 b2 0) có nghiệm khi và chỉ khi a2 b 2 c2
Ngoài ra, khi a2b2 0 thì phương trình a sin x b cos x c có nghiệm khi và
chỉ khi c = 0, tức là cũng phải thoả mãn điều kiện a2b2c2
Vậy ta có kết quả sau:
Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx b cos x c có nghiệm là
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm
Phương trình lượng giác là một trong những nội dung kiến thức quan trọng của chương trình toán 11 nói riêng và chương trình toán THPT nói chung Tuy nhiên đây là một nội dung khó đối với không ít học sinh Học sinh rất dễ lúng túng trước một số lượng lớn các công thức lượng giác và trước sự đa dạng về các hướng biến đổi của một biểu thức lượng giác Có thể
ví khi học sinh đứng trước một bài toán giải phương trình lượng giác là đứng trước một con đường rất nhiều ngã rẽ mà học sinh lúng túng không biết chọn ngã rẽ nào để đi đến nơi cần đến
Nội dung phương trình lượng giác trong chương trình toán 11 trình bày rất cơ bản (bao gồm các phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình thường gặp) Đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản này
và biết khai thác vận dụng chúng để giải các phương trình lượng giác khác với sự đa dạng phong phú Tuy nhiên điều này không phải đa số học sinh làm được nếu như không có sự hướng dẫn chu đáo của người dạy
Một thực tế mà tôi nhận thấy là mặc dù học sinh nắm vững cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nhưng chưa biết khai thác vận dụng chúng giải một số bài toán tương tự hoặc liên quan Vì vậy tôi có Sáng kiến kinh nghiệm này để giúp cho học sinh học phương trình lượng giác một cách tích cực, hứng thú hơn và phát huy sự tự tìm tòi sáng tạo trong học tập
2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Sau khi học sinh nắm vững cách giải và đã có kỹ năng trong việc giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, chúng ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác cách giải đó theo một số hướng như sau
2.3.1 Vận dụng vào giải một số dạng phương trình lượng
giác a) Vận dụng giải phương trình dạng asinu(x)bcosu(x)c
Có thể nói phương trình dạng a sin u ( x ) b cos u ( x ) c ( a 2 b2 0) là
phương trình bậc nhất đối với sinu(x) và cosu(x), do đó hoàn toàn có thể vận
dụng trực tiếp cách giải trên để giải dạng phương trình này Và thực chất học
3
Trang 6sinh đã được tiếp xúc nó qua các ví dụ và bài tập trong Sách giáo khoa Đại số
và giải tích 11 Tuy nhiên, chúng ta cần hướng dẫn thêm để học sinh biết vận dụng cách giải một cách linh hoạt, biết sử dụng điều kiện có nghiệm trong quá trình giải phương trình, biết biến đổi phương trình về dạng quen thuộc
Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1 Giải các phương trình:
a) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x
b) 3 cos2x + 2sinxcosx - 3 sin2x = 1
Giải
a) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 2
sin2x + 2 (1+ cos2x) = 3 + cos2x
2 sin2x + ( 2 - 1)cos2x = 3 - 2
Ta có a2 b2 2 2 2 1 2 5 2 2 , c2 3 2 2 11 6 2
Do đó: a2 b2 c2 5 2 2 11 6 2 4 2 64 2 2 6 2 32 36 (đúng)
Vậy a 2 b 2 c2 nên phương trình đã cho vô nghiệm
b) 3 cos2x + 2sinxcosx - 3 sin2x = 1
3
(1+cos2x) + sin2x - 3 (1- cos2x) = 1
3 cos2x + sin2x = 1 3 cos2x + 1sin2x = 1
2 1
Nhận xét
1) Việc kiểm tra điều kiện có nghiệm ở cách giải câu a) giúp chúng ta rút ngắn được phép giải và tránh được sai lầm
2) Câu b) là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx nên còn có cách giả khác là chia hai vế cho cosx và đặt ẩn phụ t = tanx Tuy nhiên trong trường hợp này cách giải đó sẽ phức tạp hơn so với cách giải đã trình bày
b) Vận dụng cách giải tương tự
Ngoài việc vận dụng trực tiếp cách giải trên để giải phương trình dạng
a sin u ( x ) b cos u ( x ) c , sau đây chúng ta xét một số dạng phương trình có thể giải được bằng cách vận dụng cách giải tương tự như cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Trang 7Dạng 1 a) a sin u (x ) b cos u (x ) c sin v (x) (1a).
b) a sin u ( x ) b cos u (x ) c cos v (x) (1b)
(với a2 b 2 c2 0 ).
Cách giải:
- Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (1a) về dạng sinu(x ) sin v ( x) .
- Vận dụng phép biến đổi (**), đưa (1b) về dạng cos u (x ) cos v ( x) .
Ví dụ 2 Giải các phương trình:
a) 3 cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0
(Trích đề Đại học khối D năm 2009 [3])
b)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x)
(Trích đề Đại học khối B năm 2009 [4])
Giải:
a) 3 cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 03
cos5x - (sin5x + sinx) - sinx = 0
3 cos5x - sin5x = 2sinx 3cos5x -1 sin5x = sinx
sin cos5x - cos sin5x = sinx sin 5x= sinx
3
5 x x k 2 3
5 x x k 2 3
( k Z ).
Trang 8b) sinx + cosxsin2x +3 cos3x = 2(cos4x + sin3x)
sinx(1- 2sin2x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
sin3x + 3 cos3x = 2cos4x 1
2
sin3x + 2 3 cos3x = cos 4x
sin sin3x + cos cos3x = cos4x cos 3x = cos4x
6
(k Z ).
6
Dạng 2. a sin u (x ) b cosu (x ) c sin v ( x ) d cos v ( x) (2)
(với a 2
b 2
c 2
d 2
0 ).
Cách giải:
- Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (2) về dạng sin
u ( x ) sin v ( x) '
- Hoặc vận dụng phép biến đổi (**), đưa (2) về dạng
5
Trang 9cos u ( x ) cos v ( x) ' .
Nhận xét:
Dạng 1 là trường hợp riêng của dạng 2 khi c = 0 hoặc d = 0.
Ví dụ 3 Giải các phương trình:
a) cos3x - sinx = 3 (cosx - sin3x)
b) (1 2 sin x ) cos x 3
(1 2 sin x )(1 sin x)
(Trích đề Đại học khối A năm 2009 [5])
Giải:
a) cos3x - sinx = 3 (cosx - sin3x)
cos3x + 3 sin3x = sinx + 3 cosx
1cos3x + 3
sin3x = 1 sinx + 3
cosx
cos 3 cos3x + sin3 sin3x = sin 6 sinx + cos
3x
6 3
6 cosx
(k Z ).
sin x 1 (1 2sin x )cos x 3 cos x sin 2x 3
(1 2sin x )(1 sin x)
cos 2 x sin x
cosx - sin2x = 3 (cos2x + sinx)
3 cos2x + sin2x = cosx - 3 sinx
3 cos2x + 1
sin2x = 1
cos 6 cos2x + sin6 sin2x = cos 3 cosx - sin 3 sinx
2x
2 x x k 2
x k 2
2
Kiểm tra với điều kiện (*), ta được nghiệm của phương trình đã cho là
Trang 106
Trang 11x 18 k 2
3 (k Z ).
c) Vận dụng phép biến đổi biểu thức asinx bcosx (a2b2 0) giải
một số phương trình khác
Có một số phương trình không thể vận dụng cách giải tương tự như cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nhưng có thể giải được chúng bằng cách áp dụng phép biến đổi biểu thức a sin x b cos x (a2 b2 0) về
dạng (*) hoặc (**) mà ta đã biết Ta xét Ví dụ 4 sau đây.
Ví dụ 4 Giải các phương trình:
a) 2cos2x +2 3 sinxcosx + 1 = 3(sinx + 3 cosx)
b) 2 cos x 126 sin x 12 2sin x 2
3 2sin 3x 6
Giải:
a) 2cos2x +2 3 sinxcosx + 1 = 3(sinx + 3 cosx)
2 + (cos2x + 3 sin2x) = 3(sinx + 3 cosx)
2 + 2(1cos2x + 3sin2x) = 6( 1sinx + 3cosx)
2 + 2(cos 3 cos2x +sin 3 sin2x) = 6(sin 6 sinx + cos 6 cosx)
2x
0
cos x
cos x 1 ( vn)
2
5
cos x 2 cos 2 x 5 cos x
4124
7
Trang 12x 4 k
k
2.3.2 Vận dụng giải một số bài toán về phương trình chứa tham số
Thông qua cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx chúng
ta có thể hướng dẫn học sinh (như đã trình bày ở mục I.4) nắm được:
Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx b cos x c có nghiệm là
a 2 b 2 c2.
Từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về phương trình lượng giác chứa tham số, đặc biệt là bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
Ví dụ 5 Tìm m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm:
a) (m + 2)(cos4x - sin4x) + m(cosx - sinx)2 = m + 2 (1).
b) 2 m cos x m 1 2 (2)
cos x sin x 2
Giải
a) (1) (m + 2)(cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x) + m(1- 2sinxcosx) = m + 2
(m + 2)cos2x - msin2x = 2 (1')
(1) có nghiệm (1') có nghiệm
Vậy m cần tìm là m ( ; 2] [0; )
b) Vì cosx + sinx = 2 cos x
4
xác định với mọi x
Ta có: (2) 2mcosx + m +1 = 2(cosx
2(m 1)cosx 2sinx = 3
-(2) có nghiệm (2') có nghiệm
2 nên cosx + sinx + 2 > 0, do đó (2)
+ sinx + 2)
m (2')
3
Vậy m cần tìm là m ( ; 1
3 ] [1; )
Ví dụ 6 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
2m(cosx + sinx) = m2 + 2(cosx - sinx) + 3 (*)
Giải
( 2(m - 1)cosx + 2(m + 1)sinx = m2 + 3 (**)
( có nghiệm (**) có nghiệm 4(m 1)2 4(m 1)2 (m2 3)2
Trang 13m 2 1 2 0 m 2 1 0 m 1.
Do đó:
- Nếu m = 1 thì (*) là sinx = 1 nên có nghiệm x k 2 (k Z ).
2
- Nếu m = -1 thì (*) là cosx = -1 nên có nghiệm x k 2 (k Z ).
2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Ngoài việc vận dụng điều kiện cần và đủ để phương trình a sin x b cos x
c có nghiệm như trên, chúng ta còn có thể hướng dẫn học sinh khai thác điều kiện này để giải một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và thu được hiệu quả rất tốt Sau đây là một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
b) y 2 cos x
c) y 1 cos2 x
1 sin x cos x 2 cos2 x
Giải
a) Ta có: y = 6sin7x + 8cos7x 6sin7x + 8cos7x = y (1).
(1) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi 62 + 82 y2 10 y 10 Vậy:
miny = -10; maxy = 10
b) Vì cosx + sinx = 2 cos x 2 nên cosx + sinx- 2 < 0, do đó hàm số
4
xác định với mọi x.
2 cos x y (sin x cos x 2) 2 cos x
Ta có:y
sin x cos x 2
y sin x ( y 1) cos x 2( y 1) (2)
(2) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi y2 + (y - 1)2 4(y + 1)2
Vậy: miny 5 19 ; max y 5 19
1 sin x cos x 2 cos2 x sin
Vì 2cos2x - sin2x 3 nên 2cos2x - sin2x + 4 > 0, do đó hàm số xác định với mọi x Khi đó:
(3) y (4 sin 2x 2cos 2x ) 3 cos 2x(2 y 1)cos 2x y sin 2x 3 4 y (4)
(4) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi (2y - 1)2 + (-y)2 (3 - 4y)2
11y2 - 20y + 8 0 10 2 3 y 1023
9
Trang 14Vậy: miny 1023; max y 1023
Ví dụ 8 Cho hàm số y 2 m cos x m 1
cos x sin x 2 a) Tìm m để y > 0 với mọi x.
b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
Vì cosx + sinx = 2 cos x 2 nên cosx + sinx+ 2 > 0, do đó hàm số
4
xác định với mọi x.
Ta có: y 2 m cos x m 1 y(cosx + sinx + 2) = 2mcosx + m +1
cos x sin x 2 (y - 2m)cosx + ysinx = m - 2y + 1 (*).
( có nghiệm theo ẩn x (y 2m)2 y 2 (m 2 y 1)2
2 y 24 y (3m 22 m 1) 0 2 6 m 2 4 m 2 y 2 6 m 2 4 m 2
Suy ra: min y 2 6 m 2 4 m 2 ; max y 2
a) Ta có: y > 0 với mọi x min y 2
2 6 m 2 4 m 2 .
2
6
m 2 4 m 2 0 6 m 2 4m 2 2
2
3m 2 2m 1 013 m 1.
2
Suy ra maxy đạt giá trị nhỏ nhất khi m = 13.
2.3.4 Hệ thống bài tập tổng hợp tự luyện giao thêm giúp học sinh tiếp tục củng cố, rèn luyện kỹ năng
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a) cos 2 x 3 sin 2 x 1 sin2 x b) sin 3 x 3 cos x sin x 3 cos 3x .
c) cos 7 x cos 5 x 3 sin 2 x 1 sin 7 x sin 5x d) tan x 3cotx 4(sin x 3 cos x)
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) 2 sin 5 x cos x 3 cos 4 x (2 cos 4 x ) sin 2x b) sin x sin 2x 3
1 cos x 2 cos2 x
c) 2 2(sin x cos x ) cos x 3 cos 2x