Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị của hàm số để giải các bài toán về hàm số, nhằm nâng cao hiệu quả chất lượng ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ CHẤT LƯỢNG ÔN T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM

SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ CHẤT

LƯỢNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Văn Hùng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2020

I MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

2.2 Mục đích nghiên cứu 1

2.3 Đối tượng nghiên cứu 1

2.4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề 2

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ 2

2.3.2 Một số ví dụ cụ thể 4

Bài toán 1: Dựa vào đồ thị của hàm số yf x  Hãy: 4

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 9

Bài toán 3: Dựa vào đồ thị xét dấu các hệ số , , ,a b c d của hàm số bậc ba và bậc bốn trùng phương 11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 14

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 14

3.1 Kết luận 14

3.2 Kiến nghị 15

I MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm qua trường THPT Như Xuân rất coi trọng công tác việc bồi dưỡng, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên thông qua nhiều hình thức như: Ứng dụng công nghệ thông tin trong các tiết dạy; sinh hoạt

tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học; phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm; nghiên cứu các đề tài khoa học ứng dụng; tổ chức các hoạt động ngoại khóa; vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết các vấn đề thực tiễn; dạy học tích hợp qua các tiết dạy; …

Đối với môn Toán, trong những năm gần đây hình thức thi có sự thay đổi dẫn đến có rất nhiều đơn vị kiến thức giáo viên cần phải học tập, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt được hiệu quả khi truyền tải kiến thức cho học sinh Vì vậy mỗi giáo viên cần phải trau dồi kiến thức và phương pháp mới để cho bài giảng trực quan, sinh động hơn nhằm gây hứng thú cho học sinh để các

em dễ tiếp cận hơn với những kiến thức mới Qua đó có thể phát triển tư duy Toán học một cách toàn diện hơn

Sử dụng bảng biến thiên và đồ thị của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số đang là một xu hướng mới trong dạy học, chiếm một số lượng không nhỏ các câu hỏi trong các kỳ thi THPT Quốc Gia những năm gần đây cũng đã gây không ít khó khăn cho học sinh THPT đặc biệt là học sinh ở một Huyện miền núi cao của Tỉnh Thanh Hóa Qua thực tế giảng dạy tôi nghĩ rằng nếu mình hệ thống lại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giảng dạy phù hợp tôi tin rằng sẽ có nhiều học sinh vượt qua được rào cản này và dần tự

tin hơn khi học Toán Với lý do như vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện

kỹ năng đọc đồ thị của hàm số để giải các bài Toán về hàm số, nhằm nâng cao hiệu quả chất lượng ôn thi THPT Quốc Gia”

2.2 Mục đích nghiên cứu

- Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị hàm số của hàm số

- Giải các bài toán có sử dụng đồ thị của hàm số

2.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các dạng toán về hàm số có liên quan đến đồ thị

- Học sinh lớp 12B2, 12B6 trường THPT Như Xuân – Thanh Hóa

2.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan

- Phương pháp điều tra, thống kê, phân tích

- Quan sát tìm hiểu thực tế học tập của học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên hầu hết chúng

ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó

Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình Trong môn toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán kỹ năng đọc đồ thị của hàm số cũng là một kỹ năng không phải ngoại lệ mà còn có

xu hướng khai thác nhiều hơn trong đề thi các năm gần đây

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi cho lớp 12B2 và 12B6 trường THPT Như Xuân làm một đề kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu trong 15 phút và thu được kết quả như sau

Lớp Sĩ số Điểm 0 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10

Trước thực trạng như vậy tôi cảm thấy cấp thiết phải có phương pháp mới để nâng cao chất lượng đại trà cho học sinh ở trường THPT Như Xuân tôi đã đưa sáng kiến của mình vào nghiên cứu tại lớp 12B6

2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ

* Định lý về tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên K

a) Nếu f x    0 x K thì hàm số f x đồng biến trên K  

b) Nếu f x    0 x K thì hàm số f x nghịch biến trên K  

Chú ý: Đồ thị của hàm số đồng biến trên khoảng a b là một đường đi lên; 

trên khoảng đó, đồ thị của hàm số nghịch biến trên khoảng a b là một; 

đường đi xuống trên khoảng đó (theo chiều từ trái sang phải)

* Định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số y f x  liên tục trên khoảng K x0  h x; 0 h và có đạo

hàm trên K hoặc trên K \ x0 , với h 0.

a) Nếu f x   trên khoảng 0 x0  h x; 0 và f x   trên khoảng0

x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x  

b) Nếu f x  trên khoảng 0 x0  h x; 0 và f x   trên khoảng0

x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

Chú ý: Điểm x0 là điểm cực trị của hàm số yf x  khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu khi qua điểm x0

- Điểm x0 là điểm cực đại khi đạo hàm đổi dấu từ “+” sang “-“, là điểm cực

tiểu khi đạo hàm đổi dấu từ “-“ sang “+”

* Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Cho hai đồ thị hàm số  C y: f x  và  C :y g x   Số nghiệm của phương trình f x  g x  bằng số giao điểm của hai đồ thị  C và  C

* Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba y ax 3bx2 cx d a  0

0

Phương trình y0

có hai nghiệm phân

y

x y

O

Phương trình y0

có nghiệm kép x

y

O

x y

O

Phương trình y0

y

O

x y

O

* Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương y ax 4 bx2 c a 0

0

Phương trình y0

có ba nghiệm phân

biệt

x y

O

x y

O

Phương trình y0

có một nghiệm x

y

O

x y

O

* Các dạng đồ thị của hàm số y ax bad bc 0

cx d



 0

x

y

y

O

2.3.2 Một số ví dụ cụ thể

Bài toán 1: Dựa vào đồ thị của hàm số yf x  Hãy:

- Chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

- Chỉ ra điểm cực đại, cực tiểu của hàm số và của đồ thị hàm số

- Chỉ ra các khoảng mà hàm số nhận giá trị dương, giá trị âm

Phân tích bài toán: Bài toán này đối với học sinh có học lực khá giỏi thì quả là

khá đơn giản nhưng đối với những học sinh có học lực trung bình và yếu thì đây

là một bài toán không hề đơn giản Vì vậy để học sinh tiếp cận được dạng này giáo viên cần chỉ rõ phương pháp tư duy cho từ dạng toán

+) Đối với câu hỏi “Chỉ ra các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số” giáo viên cần nhắc lại hình dạng đồ thị hàm số đồng biến và nghịch biến của hàm số, qua đó hướng dẫn học sinh làm bài

+) Đối với câu hỏi “Chỉ ra điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, và đồ thị hàm số” giáo viên chỉ ra hình ảnh điểm cực đại, điểm cực tiểu trên hình vẽ và giải thích

rõ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số, của đồ thị hàm số

+) Đối với câu hỏi “Chỉ ra khoảng hàm số nhận giá trị âm, giá trị dương” cần chỉ

rõ đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành trên khoảng nào thì khoảng đó hàm

đô nhận giá trị dương; ngược lại hàm số nhận giá trị âm

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

y

O

-a) Hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào?

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm nào?

c) Tìm các giá trị của x để y 0

Phân tích bài toán: Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng   ; 1 và 1; đồ

thị hàm số là một đường đi lên; trên khoảng 1;1 đồ thị là một đường đi xuống

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành khi x   1;1  1; ; đồ thị hàm số

nằm phía dưới trục hoành khi x   1;1.

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 1 và 1; ,

hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

b) Hàm số đạt cực đại tại x 1

c) Ta có y  0 x  1;1  1;

Lời bình: Đây là bài toán mở đầu để học sinh làm quen với cách đọc đồ thị hàm

số Để học sinh hình thành và nắm vững hơn nên tôi đã cho thêm một ví dụ về hàm bậc bốn trùng phương như sau

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x y

O

-a) Hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

b) Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 1 và 0;1

b) Hàm số đã cho có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu nên có 3 điểm cực trị

Lời bình: Qua hai ví dụ này học sinh đã phần nào nắm được kiến thức thì ta

có thể mở rộng bài toán cho các hàm số hợp để học sinh có cái nhìn tổng quát hơn

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x

y

O

-a) Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số g x  f 2x3

b) Tìm số điểm cực trị của hàm số g x  f 2x3

Phân tích bài toán: Khi nêu bào toán này cần giải chỉ rõ cách tính đạo hàm của

hàm số hợp, xét dấu đạo hàm của hàm số hợp, từ đó hướng dẫn học sinh kết luận dựa vào định lý về tính đơn điệu của hàm số

Lời giải:

Ta có   2 2 3 ;   0 2 3 1 1

Bảng biến thiên

a) Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 1 

b) Hàm số đã cho có một cực đại và một cực tiểu nên có 2 điểm cực trị

Lời bình: Bài toán này áp dụng đối với hàm bậc bốn trung phương trhì thế nào? Ta có ví dụ tiếp theo

Ví dụ 4: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x y

O

-a) Hàm số g x  f 2 xnghịch biến trên các khoảng nào?

b) Hàm số g x  f 2 x có bao nhiêu điểm cực đại?

Phân tích bài toán: Cũng như bài tập trên ta cũng làm bài này bằng cách lấy

đạo hàm của hàm số hợp rồi xét dấu đạo hàm suy ra kết quả

Lời giải:

Ta có

  

          

    

Bảng biến thiên

a) Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng 1;2 và  3;

b) Hàm số có 2 điểm cực đại

Lời bình: Bài toán này có thể mở rộng thêm bằng cách cho hàm số hợp phức tạp hơn nữa.

Ví dụ 5: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x

y

O

-a) Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số g x  f x 2  3

b) Tìm số điểm cực trị của hàm số g x  f x 2  3

c) Tìm x để g x  f x 2  3

nhận giá trị âm

Phân tích bài toán: Bài toán này có mức độ khó hơn nhiều so với bài toán ở ví

dụ 1 và ví dụ 2 Tuy nhiên nếu dạy cho học sinh lối tư duy nâng cao dần thì học sinh sẽ phán đoán được cách giải, tạo sự tò mò của học sinh, cho học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học

Lời giải:

Ta có

2

0 0

2

3 1

x x

x x













            



   

Bảng biến thiên

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 2

và  2;0

và  2;2

b) Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

c) Ta có f x 2  3  0 x2  3 2 x2  1 0    1 x 1

Lời bình: Qua các bài toán này phần nào hình thành cho học sinh hệ thống bài toán về hàm số, nâng cao tư duy về hàm số, khái quát được một số dạng toán về hàm số Từ đó có thể tự tìm hiểu thêm các bài toán cùng dạng và ở mức độ khó hơn nữa.

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x

y

O

-a) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f x 

b) Tìm đạt cực đại, cực tiểu của hàm số f x 

c) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số

   2 3 1

g x f x  x

Bài 2 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x

y

O

-a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số f x 

b) Tìm khoàng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu của hàm số

   2 2 1

g x f x  x

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số

nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  có đồ thị như

hình vẽ sau:

a) Tìm số nghiệm của phương trình 3f x   2

b) Tìm m để phương trình 2f x   m có 30

nghiệm phân biệt

Phân tích bài toán: Đối với bài toán này cần chỉ rõ cho học sinh cách chuyển

phương trình về phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số trong đó một hàm là f x hàm còn lại là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục 

hoành

Lời giải: a) Phương trình 3   2   2 *

3

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng

2 3

y 

Do đo phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

b) Phương trình 2   0  

2

m

x y

O

-Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 2 1 2 2

m

m

      

Vậy m  2;2 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Lời bình: Đây là một bài toán ở mức độ vừa phải tuy nhiên học sinh cần phải hiểu rõ bản chất của bài toán thì mới có thể tiếp tục nâng cao hơn kỹ năng làm các bài toán nâng cao hơn Từ bài toán này có thể mở rộng cho các bài toán khác như sau

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x y

O

-a) Phương trình f2 x  f x   2 0 có bao nhiêu nghiệm?

b) Phương trình f 3 2 x 1 0 có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải:

a) Ta có

 

2 0

2

f x

f x





    





Phương trình f x  có 3 nghiệm phân biệt  1

Phương trình f x  có một nghiệm khác 3 nghiệm trên  2

Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

b) Phương trình

0

x

x x





0

2

3

2

x

x x







 

 

 rõ ràng hai nghiệm này khác nhau

Vậy phương trình có hai nghiệm

Lời bình: Bài toán này đối với đồ thị hàm bậc bốn trùng phương thì thế nào?

Ta đi vào tìm hiểu ngay ví dụ tiếp theo

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x y

O

-a) Phương trình 2f x   có bao nhiêu nghiệm?  3 0

b) Phương trình f2 x  4 0 có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải:

a) Ta có 2   3 0   3

2

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng

3 2

y 

có 3 điểm chung do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

b) Phương trình

 

4 0

2

f x

f x





   





Phương trình f x  có 2 nghiệm  2

Phương trình f x  có 2 nghiệm  2

Do đó phương trình f2 x 0 có 4 nghiệm

Lời bình: Qua một số ví dụ phần nào giúp học sinh phát triển được tư duy hàm số, đặc biệt là tư duy về đồ thị của hàm số Từ đó có thể khái quát hóa để giải quyết các bào toán khó hơn.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x

y

O

-a) Tìm số nghiệm của phương trình 3f x    5 0

b) Tìm số nghiệm của phương trình f 2 x  1 0

c) Tìm m để phương trình f 2 x  2f x  m0 có 4 nghiệm

Bài 2: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ sau:

x

y

O

-a) Số nghiệm của phương trình 2f x   3

b) Số nghiệm của phương trình f2 x  1 0

c) Tìm m để phương trình f 2 x 2f x  m 1 0 có đúng 7 nghiệm

Bài toán 3: Dựa vào đồ thị xét dấu các hệ số , , ,a b c d của hàm số bậc ba và

bậc bốn trùng phương

Phân tích bài toán: Đối với dạng toán này học trước hết giáo viên cần nhắc kỹ

lại các dạng đồ thị của hàm số đã học, yêu cầu học sinh nhớ định lý Vi-et

Ví dụ 1: Cho hàm số y ax 3bx2 cx d có đồ thị như hình vẽ sau

x y

O

Hãy xác định dấu của các hệ số , , ,a b c d

Phân tích bài toán: Đối với dạng toán này trước tiên giáo viên cần hơngs dẫn

học sinh xác định dấu của hệ số ,a d (dấu của hệ số a dựa vào dạng đồ thị của

hàm số, dấu của hệ sô d dựa vào giao điểm của đồ thị với trục tung)

Sau đó hướng dẫn học sinh vận dụng định lý Vi-et để xác định dấu của hệ số ,

b c (dựa vào hoành độ của cực trị và định lý Vi-et)

Lời giải:

Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số bậc ba có hệ số a 0

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0