Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng tư duy cho học sinh thông qua dạy một số bài toán về hình vuông trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG TRONG MẶT P

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG

TRONG MẶT PHẲNG OXY

Người thực hiện: Trịnh Cao Cường Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2020

Mục lục

Trang

I MỞ ĐẦU .

… 1

1.1 Lí do chọn đề tài……… … 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu ………

……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu ………

…… …….2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… … ….

…………3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… …….3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… ….5

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề…… …6

a Lí thuyết về tọa độ trong mặt phẳng Oxy 6

b Một số bài toán và tính chất cơ bản thường sử dụng của hình vuông 7

c Một số bài toán cơ bản về hình vuông trong mặt phẳng tọa độ Oxy theo định hướng sử dụng các thao tác tư duy 8

d Một số bài tập tham khảo về hình vuông trong mặt phẳng tọa độ Oxy theo định hướng sử dụng các thao tác tư

duy ……… 13

e Hệ thống bài tập vận dụng .…… ……

…… 19

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ……….21

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ……….…

…… 22

Tài liệu tham khảo………23

Các thuật ngữ viết tắt trong bài

SGK : Sách giáo khoa

NXB : Nhà xuất bản

THPTQG : Trung học phổ thông quốc gia

VTPT : Véctơ pháp tuyến

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong nhà trường THPT, môn Toán giữ một vị thế hết sứcquan trọng, có khả năng to lớn trong việc phát triển năng lực trítuệ cho học sinh Để thực hiện được nhiệm vụ này, môn Toáncần được khai thác nhằm góp phần phát triển những năng lựctrí tuệ chung Môn Toán là một môn học đòi hỏi học sinh phảithường xuyên thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổnghợp, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, …[8] đó cũng

là các kỹ năng quan trọng trong quá trình giải toán Vì vậy, việc

rèn luyện các kỹ năng giải toán nằm trong nhiệm vụ phát triểnnăng lực trí tuệ chung cho học sinh THPT trong dạy học mônToán và một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việcgiảng dạy môn Toán là dạy cách cách nghĩ, dạy cách tư duy,dạy cho học sinh biết các loại thao tác tư duy và sử dụng linhhoạt khi gặp các tình huống cụ thể Rèn luyện thao tác tư duyđược quan niệm thế nào là đầy đủ và đúng đắn, hoạt động đóphụ thuộc những yếu tố nào, về mặt sư phạm nên tổ chức rasao… là những vấn đề cần được nghiên cứu.

Trong thực tế giảng dạy môn Toán nói chung và phần hìnhhọc lớp 10 nói riêng, các giáo viên cũng đang hết sức chú trọngvào việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua rènluyện các thao tác tư duy

Xuất phát từ những lí do trên và với mong muốn đượcnghiên cứu, đóng góp những vấn đề lí luận và kinh nghiệm

trong thực tiễn tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp rèn luyện

kỹ năng tư duy cho học sinh thông qua dạy một số bài toán về hình vuông trong mặt phẳng Oxy ”

Khi tham khảo các nguồn tài liệu hoặc đọc một lời giải có

sẵn về các bài toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy nói chung và

các bài toán về hình vuông nói riêng, một số em thường đặt racâu hỏi [4]

+) Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế nàyhoặc thế kia?

+) Tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng

mà tưởng chừng như không liên quan đến đối tượng cần phảitìm?

+) Tại sao phải tìm nhiều lời giải của một bài toán ?

+) Với bài toán này khi thay đổi một số dữ kiện liệu cáchgiải cũ còn áp dụng được không?

Các em chưa lựa chọn được hướng giải quyết khi đứngtrước rất nhiều chi tiết được cho trong giả thiết nên hiệu quảhọc tập nội dung này chưa cao Nên tôi đưa ra đề tài này nhằmgiúp học sinh hình thành các thao tác tư duy khi gặp một bàitoán trong hình học phẳng Oxy nói chung và trong bài toán hìnhvuông trong mặt phẳng Oxy và tìm ra lời giải tối ưu nhất của bàitoán, cũng như khái quát và phát triển thành các bài toán tươngtự

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu trên đối tượng học sinh lớp 10A, 10Etrường THPT Hà trung năm học 2019 – 2020 Dùng làm tài liệucho học sinh lớp 10, dùng ôn thi học sinh giỏi và học sinh ôn thiTHPTQG

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê xử lí số liệu

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần,đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạtđộng vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tíchcực với nó [3]

Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễnbiến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản [3]

1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác

là tìm được câu hỏi cần giải đáp

2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết vềcách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

3) Xác minh giả thiết trong thức tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

4) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

Cũng như những lĩnh vực khác nhau của đời sống xã hội, toán học với tưcách là một khoa học có nguồn gốc thực tiễn và có ứng dụng vô cùng phongphú, đa dạng trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng, phương phápnghiên cứu Do đó, tư duy toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và

tư duy logic [4]

Tư duy toán học được hiểu là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộctính bản chất, phát hiện ra những mối quan hệ bên trong có tính quy luật của cácđối tượng toán học mà trước đó ta chưa biết [4]

Theo tác giả Nguyễn Duy Thuận thì việc rèn luyện và phát triển tư duy chohọc sinh là một nhiệm vụ quan trọng trong sự nghiệp giáo dục, đặc biệt là trongquá trình dạy học toán.[4]

Để phát triển tư duy toán học trong quá trình dạy học toán,chúng ta cần chú ý rèn luyện cho người học một số ý thức và kỹnăng như: ý thức tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề; kỹnăng sử dụng các phương pháp suy luận phân tích, tổng hợp; kỹnăng vận dụng các thao tác tư duy khái quát hoá, đặc biệt hoá,tương tự và quy nạp,… trong quá trình giải quyết vấn đề Có cácthao tác sau đây [9]

+) Phân tích- tổng hợp: Phân tích là sự phân chia bằng trí óc đối tượng

nhận thức thành các bộ phận, các thành phần, thuộc tính , quan hệ khác nhau đểnhận thức nó sâu sắc hơn Tổng hợp là sự hợp nhất bằng trí óc các bộ phận,thành phần, thuộc tính , quan hệ của đối tượng nhận thức thành một chỉnh thể.Phân tích và tổng hợp thống nhất với nhau

+) So sánh: là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất

hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiệntượng

+) Trừu tượng hoá – khái quát hoá:

Trừu tượng hoá là sự gạt bỏ bằng trí óc những mặt, những thuộc tínhnhững liên hệ và quan hệ thứ yếu, không cần mà chỉ giữ lại những yếu tố nàocần thiết để tư duy mà thôi

Khái quát hoá: là sự hợp nhất bằng trí óc nhiều đối tượng khác nhaunhưng có chung những thuộc tính, liên hệ quan hệ … nhất định thành một nhóm,một loại

Trong giải toán, học sinh thường phải thực hiện các thao tác phân tích,

tổng hợp xen kẽ với nhau Bẳng gợi ý của G Pôlya viết trong tác phẩm “Giải bài toán như thế nào”[5] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán Trong mỗibước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp

liên tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán Có thểthấy trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăngkhít với nhau Một điều hiển nhiên là: Một bài tập mà học sinh cần phải giải biếtchỉ có hữu hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhiên phải sửdụng các kiến thức đã có (kiến thức đã được học, kiến thức tự tích luỹ ) củahọc sinh vì thế bản chất của thao tác giải một bài tập toán của học sinh thường là[2]

2.2 Thực trạng vấn đề khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT Hà Trung tôi thấy học sinh lớp

10 là lớp đầu tiên khi tiếp cận một môi trường và phong cáchhọc của cấp học THPT nên các em còn bỡ ngỡ khi lựa chọn một

phương thức học tập phù hợp để đạt được kết quả cao Trong kì

Định hướng tìm tòi lời giải bài tập

Nhận thức đềPhân tích k chọn lựa hoặc

bác bỏ

Hướng thứ k

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa

ra lời giải của bài tập

thi học sinh giỏi tỉnh thì có câu hình học phẳng sử dụng tínhchất của các hình và áp dụng tọa độ trong mặt phẳng Oxy ởmức vận dụng cao Trong kì thi THPTQG có những câu hình họcphẳng ở mức dộ vận dụng cao đa phần học sinh cẩm thấy lúngtúng, tư duy để tìm ra lời giải chưa chính xác.

Chính vì vậy đề tài này giúp học sinh nắm được các thao tác tư duy nóichung và thao tác tư duy toán học nói riêng để có thể áp dụng vào suy luận cácbài toán trong hình học phẳng Oxy nói chung và trong bài toán về hình vuôngtrong mặt phẳng Oxy nói riêng

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải quyết vấn đề

a Lý thuyết về toạ độ trong mặt phẳng Oxy [6]

a.1 Toạ độ của điểm, toạ độ của véctơ.

 a b   0  a b ;   90 0

 a b  a b    0 a b1 1 a b2 2  0

a.2 Phương trình đường thẳng [6]

*) Véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của đường thẳng:

+) VTCP của đường thẳng là véctơ có phương trùng hoặc songsong với đường thẳng Thường kí hiệu :u

+) VTPT của đường thẳng là véctơ có phương vuông góc vớiđường thẳng Thường kí hiệu là : n

 Nếu u=(a a1 ; 2) là VTCP của d  n  ( a a2 ; ) 1 hoặc n ( ;a2 a1 )làVTPT của d

 Nếu n( ; )A B là VTPT của d  u ( B A; ) hoặc u( ;B A )là VTCPcủa d

*) Phương trình của đường thẳng :

+) Cho a ( ; )a a1 2 là VTCP của d n( ; )A B là VTPT của d Điểm M(

a.4 Phương trình hai đường phân giác của các góc

+ Mỗi đường chéo đều tạo với cạnh bên một góc 450 …

b.2 Một số bài toán hình học cơ bản của hình vuông

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC, N là điểm thuộc AC sao cho

Bài 3: Cho hình vuông ABCD Gọi M,N là trung điểm của AB, BC, I là giao

điểm của CM, DN Chứng minh rằng: AI=AD.

Bài 4 : Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm AB, N là điểm thuộc cạnh AC

sao cho AN=3NC K là tâm hình vuông Tính độ dài KN, biết MN  10

Bài 5: Cho hình vuông ABCD, M là điểm tùy ý thuộc BD H, K là hình chiếu

vuông góc của M trên AB, AD Chứng minh rằng:CM = HK.

c Một số các dạng bài tập về hình vuông trong mặt

phẳng toạ độ Oxy theo định hướng sử dụng các thao tác

tư duy

Bài toán cơ bản 1: Sử dụng mối quan hệ đặc trưng của

Bài toán: Cho hình vuông ABCD, biết toạ độ hai điểm A, C Tìm

toạ độ hai điểm B, D

Thao tác tư

duy

Yêu cầu tư duy Nội dung lời giải

Phân tích Mối quan hệ của A, C và

B, D

+) Quan hệ về véc tơ+) Quan hệ về độ dài+) Quan hệ về tính chấtđối xứng

Tổng hợp Từ tính chất hình học và

tính chất toạ độ tươngứng hãy đề xuất thuậttoán giải quyết bài toán

+) Tham số hoá toạ

độ điểm B, suy ra toạ

độ điểm D.

+) Từ tính chất

+) Vai trò các điểm A, C và B, D là như nhau nên

có thể chuyển đổi giả thiết để có bài toán mới

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, biết toạ độ hai

điểm A, phương trình đường thẳng BD Tìm toạ độ các điểm B, C, D

Bài 2: Cho hình vuông ABCD, biết hai điểm Ad1

, Cd2 và phương trình đường thẳng BD Tìm toạ

Thao tác tư

duy

Yêu cầu tư duy Nội dung lời giải

Phân tích Hướng 1: Tính khoảng So sánh kết quả tìm

cách từ điểm I đến đường thẳng AB.

Hướng 2: Sử dụng góc tạo

bởi các đường chéo và

cạnh bên AB.

được với một số tínhchất cơ bản của hìnhvuông để đề xuất cácphương án xử lý

+) Nếu chọn kết quả

là khoảng cách từ I đến đường thẳng AB

Bài 1: Cho hình vuông ABCD, biết và phương trình

của hai cạnh kề nhau ( ví dụ cạnh AB, BC) và biết đường chéo (ví dụ AC) đi qua điểm M x y 0 ; 0 Tìmtoạ độ các đỉnh của hình vuông

Bài 2: Cho hình vuông ABCD, biết toạ độ tâm I và

phương trình một cạnh ( ví dụ cạnh AB) Tìm toạ

độ các đỉnh của hình vuông

Bài toán: (Trích đề tuyển sinh ĐH khối A- năm 2012).

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Cho toạ độ điểm M là trung điểm của cạnh BC, cho điểm N là

điểm nằm trên cạnh CD sao cho CN  2ND , biết phương trình

của đường thẳng AN Tìm toạ độ điểm A.

N

M

D A

+ Phân tích, tổng hợp theo hướng tìm mối quan hệ giữa

+ Đặc biệt hoá: bài toán trên có thể chọn vị trí điểm M, N sao

cho cos MAN =0 hay AM AN Khi đó học sinh có thể lựa chọnnhiều phương pháp hơn để thực hiện công việc chứng minh

AM AN (dùng hình học phẳng, dùng lượng giác hoá, dùng véctơ)

+ Khái quát hoá: Ta dùng công cụ véc tơ xây dựng bài toán

tổng quát sau: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt nằm trên BC, CD sao cho BM k BC CN mCD, 

Tính cos MAN theo k m,

+ Hướng dẫn giải chi tiết

D A

+) Với 3a b ta có phương trình đường thẳng AM: x 3y 4 0 ,

suy ra toạ độ điểm a là nghiệm của hệ phương trình

+) Với a 3b ta có phương trình đường thẳng AM:3x y 17 0 ,

suy ra toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

K E

P 2x-y-3=0

Gọi giao của AN với BD là P Kẻ qua P đường thẳng song song với AB cắt AD tại E và cắt BC tại K Đặt EP=x ta thấy tam

giác EPD là tam giác vuông cân tại E Vì

DEP 90 ; 0 EDP 45 0  ED EP x  suy ra AE=PK=3x Mặt khác ta

lại có KC=x cho nên MQ=x , AEP PKM suy ra AP PM (1).và

PM d M d

 

d Một số bài tập tham khảo về hình vuông trong mặt

phẳng toạ độ Oxy theo định hướng sử dụng các thao tác

tư duy

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có

5;1

D Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc đường chéo

AC sao cho AC 4AN Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN là 3x y  4 0 và M có tung độ dương [11]

M N

2 1

3 3;5

M m

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông

ABCD có đỉnh D  1;2 Gọi M là trung điểm của BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AC4AN Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết

Phân tích- Tổng hợp Chứng minh tam giác DNM vuông cân

tại N Dùng vectơ  ND NM . 0 Suy ra N là hình chiếu của D trên

 là điểm thuộc đường chéo AC sao

cho AC4AN Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết D

thuộc đường

thẳng x y  3 0

Bài 3 Trong mặt phẳng ví hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD

có đỉnh B(-1;5) Gọi M là điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn BM=5AM và N là điểm thuộc đoạn CD thỏa mãn DN=2CN Biết đường thẳng MN có phương trình x- 2y+1=0 và đỉnh D thuộc

đường thẳng x2y 3 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D [11]

M

N K

H

I

D

C B

A

Phân tích- Tổng hợp

+) Viết phương trình AC.

+) A, C là giao điểm của đường tròn đường kính BD với đường thẳng AC.

+) Thử điều kiện A, B nằm khác phía với đường thẳng MN.

Gọi I là giao điểm của BD và MN; H,K là hình chiếu vuông góccủa B và D trên

MN Ta có

DK DI BIH DIK

BH BI

    

Mà DN / /MB

4 5

là vectơ pháp tuyến của đường chéo AC, do AC

đi qua Jnên phương trình AC: x y 0 Tọa độ A có dạng A t t ; 

t t





 

