Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết hiệu quả bài toán tính tỉ số thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TOÁN TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THANH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TOÁN TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

THANH HÓA NĂM 2020

Người thực hiện: Phạm Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU Trang 01

1.1 Lí do chọn đề tài Trang 01

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….…… Trang 01

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……….…… Trang 02

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……….…… Trang 02

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02

2.1 Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm Trang 02

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh

nghiệm Trang 04

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề Trang 042.3.1 Trường hợp 1: Hai khối chóp có đáy cùng thuộc một

mặt phẳng Trang 052.3.2 Trường hợp 2: Hai khối chóp có đáy không cùng

thuộc một mặt phẳng Trang 072.3.3 Một số ví dụ về tính thể tích thông qua xét tỉ số diện

tích đáy và tỉ số chiều cao Trang 072.3.4 Một số ví dụ về vận dụng công thức tỉ số thể tích

của khối chóp tam giác Trang 102.3.5 Một số ví dụ về tỉ số thể tích liên quan đến khối lăng

trụ Trang 142.3.6 Hướng dẫn học sinh tự học để tiếp tục củng cố và

rèn luyện kỹ năng …… ……… Trang 17

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Trang 18

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 18

PHỤ LỤC Trang 21

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Thể tích khối đa diện là một trong những kiến thức quan trọng tronghình học không gian lớp 12, bài toán về tính thể tích cũng thường xuyên xuấthiện trong các kỳ thi quốc gia, kì thi học sinh giỏi Nhưng trong quá trình dạyhọc vừa qua tôi nhận thấy học sinh chưa hứng thú, còn e ngại đối với dạngtoán này, kết quả học tập chưa cao Bởi đây là dạng toán tổng hợp nhiều loạikiến thức, tính trừu tượng cao, đòi hỏi nhiều kỹ năng Do đó để học tốt nộidung này, người học không chỉ phải nắm vững kiến thức, có tư duy trừutượng, biết vẽ hình và khai thác hình vẽ mà bên cạnh đó còn phải nắm vữngphương pháp giải toán và được rèn luyện để hình thành kỹ năng

Mặt khác, trong Sách giáo khoa Hình Học 12, chương trình cơ bản,hiện hành [1], nội dung thể tích khối đa diện được trình bày ở Bài 4, Chương

I, phân phối chương trình chỉ có 5 tiết nên giáo viên cần phải nghiên cứu đểđưa ra phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất mới có thể giúp cho học sinhnắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài toán về thể tích Trong đó, giáo

viên phải chú trọng giúp học sinh nắm vững các dạng toán cơ bản và phương

pháp giải chúng, từ đó gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tinhơn, không còn e ngại và từng bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyệnhình thành kỹ năng, phát triển tư duy Bên cạnh đó, tôi nhận thấy hiện nay cónhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết về vấn đề này nhưng chưa sát với điềukiện thực tế và đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, trong khi nhiềuhọc sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học Đặc biệt, trong những năm gầnđây Bộ Giáo dục & Đào tạo đã sử dụng đề môn toán bằng hình thức trắcnghiệm khách quan trong các kỳ thi THPT quốc gia, thi tốt nghiệp THPT thìdạng toán này sẽ xuất hiện nhiều và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạthơn, có kỹ năng để tính nhanh và chính xác kết quả; hơn nữa, khi tính thể tíchkhối chóp, khối lăng trụ nếu học sinh chỉ tính bằng cách sử dụng trực tiếp cáccông thức cơ bản 1

3

V  Bh, V Bh thì không phải lúc nào cũng xác định được

dữ liệu hoặc xác định được thì mất quá nhiều thời gian, không đáp ứng đượcvới hình thức thi trắc nghiệm, điều đó khiến các em càng thấy khó khăn, thậmchí nhiều em còn có ý định bỏ qua dạng toán này

Vì vậy, trong quá trình dạy học về thể tích khối đa diện, tôi luôn trăntrở, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm để đưa ra hệ thống các dạng bài tập vàphương pháp giải tốt nhất, giúp các em có thêm phương pháp giải toán hiệuquả và trong thời gian ngắn nhất Từ đó, trong năm học 2019-2020, tôi đã

chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm là "Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết hiệu quả bài toán tính tỉ số thể tích khối đa diện" 1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra những phương pháp giảng dạyphù hợp với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinhlớp 12 giải quyết tốt bài toán về thể tích khối đa diện trong môn hình học, từ

đó học sinh tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn khi học, không e ngại mônhọc này, có hứng thú khi học và nâng cao chất lượng học tập môn học; giúpngười dạy có thêm kinh nghiệm khi giảng dạy bộ môn này, từ đó nâng caochất lượng giảng dạy môn hình học không gian nói chung và bài toán về thểtích khối đa diện nói riêng Đồng thời, bản thân mong muốn Sáng kiến kinhnghiệm này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho người học và người dạy,góp phần vào phong trào đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiệnnay.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là phương pháp sử dụng tỉ số thểtích để giải một số dạng toán về thể tích khối đa diện trong giảng dạy nộidung Bài 4: “Thể tích khối đa diện”, Chương I, Sách giáo khoa Hình Học 12,chương trình cơ bản [1]

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của Sáng kiến kinh nghiệm này là:Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết và phương pháp điều tra khảo sát thực

tế, thu thập thông tin

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm

Trong khuôn khổ của Sáng kiến này, tôi đề cập đến hai dạng toánthường gặp:

Xét hai khối chóp ( )H và ( ')H

- Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp

- Đã biết (hoặc tính được) thể tích của khối chóp này, từ đó tính thể tíchcủa khối chóp kia thông qua xét tỉ số thể tích giữa chúng

Sau đó, tôi mở rộng hai dạng toán trên đối với hai khối đa diện nóichung

Có thể thấy để giải quyết hai dạng toán nêu trên, mục tiêu là cần tính tỉ

số thể tích của hai khối chóp

Ta gọi khối chóp ( )H và ( ')H có đỉnh, chiều cao, diện tích đáy, thể tíchtương ứng là S S, '; h h, '; B B, '; V V, '

Ta dễ thấy V' B h'. '

V B h Như vậy, để tính tỉ số V'

3

GAB GBC GAC ABC

S S S  S

(3) Cho ABC có M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB BC CA, ,

ABD CBD BAC DAC ABCD

4

OAB OBC OCD ODA ABCD

S S S S  S (5) Hai đa giác đồng dạng theo tỉ số k thì tỉ số diện tích tương ứng củachúng bằng 2

k (6) Ngoài ra, ta còn có tính chất quan trọng sau và việc hướng dẫn họcsinh chứng minh không mấy khó khăn:

NếuB C', ' lần lượt là các điểm trên các đường thẳng AB AC, và khôngtrùng với A thì ' ' ' '

.

AB C ABC

Vì góc BAC bằng hoặc bù với góc giữa hai

đường thẳng AB và AC nên sin BAC =sin ( AB AC, ),

H H’

P

I

C' A

B’

C B

- Nếu B B ' thì V' h'

V h (tức là hai khối chóp có cùng diện tích đáy thì

tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số chiều cao của chúng).

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy mônHình Học 12, tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại, không hứng thú khi giảibài toán tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là những bài toán liên quan đến tỉ

số thể tích Khi giải toán học sinh chưa định hướng được phương pháp giải rõràng, còn mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt ra các câu hỏi định hướng như: Bàitoán này thuộc dạng nào? Phương pháp giải dạng này như thế nào? Thực hiệntheo các bước như thế nào, bước nào trước, bước nào sau? Khai thác giả thiết

ra sao? Cần vận dụng những kiến thức liên quan nào? Vẽ hình thế nào, có cần

vẽ thêm hình phụ không? Trình bày lời giải thế nào? Lời giải trình bày nhưthế có sai sót gì không?… Chính điều đó làm cho học sinh lúng túng khi giảitoán và không hứng thú học dẫn đến kết quả học tập chưa cao, đa số học sinhthường không giải được bài toán hoặc còn gặp sai lầm, lời giải sai sót dù bàitoán không khó Từ đó kéo theo việc học sinh học yếu môn Hình Học khônggian nói chung và việc giải quyết bài toán tính thể tích khối đa diện nói riêng.Bên cạnh đó, khi giảng dạy bài toán về thể tích khối đa diện nếu người dạykhông có sự nghiên cứu kỹ lưỡng sẽ khiến học sinh khó tiếp thu, kết quảgiảng dạy không cao

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để giải quyết thực trạng trên, khi giảng dạy học sinh giải bài toán vềthể tích khối đa diện trong nội dung Chương I, Hình Học 12, tôi đã nghiêncứu đưa ra các dạng toán và phương pháp giải, sắp xếp một cách hợp lý, sau

đó hướng dẫn học sinh một cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm được.Đồng thời hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua hệ thống bàitập luyện tập và bài tập tự luyện được lựa chọn cẩn thận Sau đây là các dạngtoán cơ bản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập mà tôi đã áp dụng đểgiúp học sinh giải quyết tốt bài toán về thể tích khối đa diện thông qua tỉ sốthể tích

Trước hết, như đã trình bày, trong khuôn khổ của Sáng kiến này, tôi xét

- Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp V'

V

V Như vậy, chung quy lại nội dung trọng tâm tôi muốn đề cập trong Sángkiến này là tính tỉ số thể tích V'

V Thông qua nghiên cứu các dạng thường gặp về bài toán trên và để phùtheo đối tượng học sinh của mình giảng dạy, tôi xét bài toán trong hai trườnghợp và xếp theo thứ tự:

- Trường hợp 1: ( )H và ( ')H có đáy cùng thuộc một mặt phẳng.

- Trường hợp 2: ( )H và ( ')H có đáy không cùng thuộc một mặt phẳng.

Sau đó, tôi hướng dẫn học sinh lần lượt nắm vững phương pháp, cácbước giải và hình thành, rèn luyện kỹ năng giải bài toán trong mỗi trườnghợp Tiếp theo, tôi mở rộng bài toán đối với hai khối đa diện nói chung

Để đưa ra các dạng toán, phương pháp và các bước giải, tôi đã tựnghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp với tham khảo trong [1], [2], [3],[4] Cụ thể, sau đây là nội dung tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán nêu trên

2.3.1 Trường hợp 1: ( )H và ( ')H có đáy cùng thuộc mặt phẳng ( )P

Thực hiện theo các bước cơ bản sau:

- Bước 1: Tính V (vì giả thiết chưa cho V hoặc nếu cần).

- Bước 2: Suy ra: V' B h'. '

V B h Người dạy cần nhấn mạnh với học sinh h d S, P ( ( )), h' d S', P( ( ))

4, trang 25, Sách giáo khoa Hình Học 12, chương trình cơ bản [1] Lưu ý, vớiđối tượng học sinh yếu, có thể chỉ cần hướng dẫn học sinh ghi nhớ công thức

và cách áp dụng trong những trường hợp đơn giản Cụ thể là:

Công thức về tỉ số thể tích của khối chóp tam giác: Cho khối chóp tam giác S ABC. Trên các đường thẳng SA SB SC, , lần lượt lấy các điểm tùy ý

', ', '

' ' '

' ' '

S A B C

S ABC

Người dạy nhấn mạnh với học sinh: Công thức trên chỉ đúng đối với

khối chóp tam giác.

Hướng dẫn chứng minh: Xem hai khối chóp S ABC. và S A B C ' ' ' làcác khối chóp theo đỉnh khác (hay cũng tức là theo mặt đáy khác) để hai đáy

của chúng cùng thuộc một mặt phẳng Sau đó áp dụng các bước theo Trường

Từ đó ta suy ra công thức cần chứng minh

Nhận xét: Có thể thấy chìa khóa của phép chứng minh trên là xem hai

khối chóp S ABC. và S A B C ' ' ' là các khối chóp theo đỉnh khác (hay đáy khác):

A SBC và A SB C' ' ', từ đó hai khối chóp này có hai đáy cùng thuộc một mặtphẳng Đây là một kỹ thuật rất quan trọng để học sinh giải tốt dạng toán về tỉ

số thể tích khối đa diện Do đó, người dạy cần chú ý rèn luyện cho học sinh

có kỹ năng sử dụng kỹ thuật này (mà tôi gọi là kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ

thuật chuyển đáy).

2.3.2 Trường hợp 2: ( )H và ( ')H có đáy không cùng thuộc một mặt phẳng.

Tôi hướng dẫn học sinh sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật

chuyển đáy như đã nói ở nhận xét trên để đưa bài toán về Trường hợp 1 hoặc

Ví dụ 1 [5] (Câu 37, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017, lần 2 của Bộ Giáo

dục & Đào tạo) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 Gọi Glà trọngtâm tam giácBCD.Tính thể tích của khối tứ diện AGBC.

A 6 B 3 C 4 D 2.

Hướng dẫn: Xem hai tứ diện ABCD và AGBClà hai khối chóp D ABC. và.

G ABC, khi đó chúng cùng đáy là ABC, suy ra tỉ số thể tích của chúng bằng

tỉ số chiều cao Mặt khác, đường thẳng đi qua hai đỉnh D G, cắt mặt phẳng(ABC)tại M nên áp dụng các bước ở Trường hợp 1

Giải:

GọiM là trung điểm của cạnhBC.

Gọi h và hlần lượt là chiều cao của khối chóp

Ví dụ 2 [5] (Câu 37, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017, lần 1 của Bộ Giáo

dục & Đào tạo) Cho khối chóp O ABC. có OA OB OC, , đôi một vuông góc vớinhau và OA 2,OB 4,OC 6 Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh, ,

Hướng dẫn: Bài toán thuộc Trường hợp 1 Hai khối chóp O ABC. và O MNP.cùng đỉnh và hai đáy thuộc mặt phẳng (ABC) nên có chiều cao bằng nhau, suy

ra tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số diện tích đáy

Hướng dẫn: Bài toán thuộc Trường hợp 1 Hai khối chóp có đáy cùng thuộc

mặt phẳng (ABCD)và đường thẳng đi qua hai đỉnh S I, cắt mặt phẳng (ABCD)tại D Từ đó tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp I OCD. , S ABCD. thông quatính tỉ lệ chiều cao và tỉ lệ diện tích đáy

Giải:

Gọi h và h lần lượt là chiều cao của khối

chóp I OCD. và S ABCD .

Hai khối chóp I OCD. và S ABCD. có đáy cùng

thuộc mặt phẳng (ABCD)và SI (ABCD) D

Ví dụ 4 [6] (Câu 44, mã đề 101, Đề thi chính thức THPT Quốc gia 2017 của

Bộ Giáo dục & Đào tạo) Cho tứ diện đều ABCDcạnh a Gọi M N, lần lượt làtrung điểm của cạnh AB BC, và E là điểm đối xứng với Bqua D Mặt phẳng

(MNE) chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa A

Hướng dẫn: Gọi PADEM, Q CD EN, khi đó V V M APQC V M NCP. Sau

đó tính V M APQC ,V M NCP. thông qua tính các tỉ số thể tích .

bước ở Trường hợp 1 Để làm được điều này, người dạy gợi ý để học sinh

phát hiện P Q, lần lượt là trọng tâm của tam giác ABE và BCE; ngoài ralưu ývới học sinh cách tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a và ghi nhớ kết quả

Khi đó P Q, lần lượt là trọng tâm

của tam giác ABE và BCE.

Tứ diện ABCD đều cạnh a nên dễ

tương ứng của chúng Hai khối

chóp này có đáy cùng thuộc mặt

Ví dụ 5 [7] (Câu 45, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2018 của Bộ Giáo dục

& Đào tạo) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần lượt nằm

P

Q

trên hai mặt vuông góc với nhau Gọi S là điểm đối xứng với Bqua đườngthẳngDE Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng

Gọi ( )H là khối đa diệnABCDSEF, ta có V = V (H) ADF.BCE +V S.CDFE

Từ giả thiết suy ra ADF.BCE là lăng trụ đứng có đáyBCElà tam giác vuôngcân tại B nên ta có .

Gọi O SB DE, vì S là điểm đối xứng với B qua DE nên OS OB

Hai khối chópS.CDE, B.CDE có đáy chung là

Hai khối chópS.CDFE, S.CDE có chiều cao

bằng nhau, tứ giác CDFE là hình chữ nhật và

B A

O S

Hướng dẫn: Sử dụng công thức về tỉ số thể tích của

khối chóp tam giác (trình bày ở trang 6) để tính tỉ

Ví dụ 9 [5] (Câu 50, Đề tham khảo THPT Quốc gia 2017, lần 3 của Bộ Giáo

dục & Đào tạo) Gọi V là thể tích của một khối tứ diện, V  là thể tích củakhối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của tứ diện Tính tỉ số V

V



A V V 12 B V V14 C 2

3

V V



 D V V58

Hướng dẫn: Gọi tứ diện là ABCD và M N P, , , Q E F, , lần lượt là trung điểmcác cạnh DA DB DC, , , AC AB BC, , Xét tỉ số thể tích, suy ra thể tích của mỗi tứdiện tạo từ một đỉnh của tứ diện ABCD và ba trung điểm các cạnh đi qua đỉnh

đó bằng 1

8V, chẳng hạn .

1 8