Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải bài toán đại số bằng phương pháp hình học

Lý do chọn đề tài Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán bậc phổthông cũng như ở đại học, là một trong các kiến thức cơ sở có liên quan mậtthiết với các môn học khác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ *

PHÒNG GD&ĐT (TRƯỜNG THPT )**

(*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock;

** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

(Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

Người thực hiện: Lê Thị Liên Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 1-2 1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………

3

2.3 Các biện pháp thực hiện……… 3

2.3.1 Cơ sở lý thuyết……… 3-4 2.3.2 Bài tập ứng dụng……… 4-15 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………

2.5 Điểm mới trong sáng kiến………

16

16

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận……… 16

3.2 Kiến nghị……… 17

I MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán bậc phổthông cũng như ở đại học, là một trong các kiến thức cơ sở có liên quan mậtthiết với các môn học khác như đại số, lượng giác, Chính vì vậy, việc tìm hiểu

và vận dụng các kiến thức của hình học giải tích là rất cần thiết và giúp việc họctập các môn học khác được hiệu quả hơn

Hình học giải tích được sáng lập ra đồng thời do hai nhà bác học ngườiPháp là Descartes (1596-1650) và Ferma (1601-1655) với đặc trưng của mônhọc này là ứng dụng phương pháp tọa độ và đại số vectơ để khảo sát các bàitoán hình học Phương pháp này không chỉ ứng dụng để giải các bài toán hìnhhọc trong mặt phẳng hay trong không gian ba chiều mà còn ứng dụng trongtrong các không gian nhiều chiều với hình dạng phức tạp và việc vẽ hình để giảitoán là điều rất khó thực hiện

Gần đây, trong nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, thi toánOlympic quốc tế hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quanđến hình học nhưng có thể vận dụng kiến thức hình học để giải Một trong cácdạng bài toán đó là bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phươngtrình đại số với nhiều phương pháp giải đặc thù, mới lạ và tương đối khó vậndụng đối với học sinh lẫn giáo viên

Với tinh thần đổi mới để nâng cao hiệu quả giảng dạy, với mong muốn giúpcác em học sinh có cách nhìn mới lạ về cách giải các bài tập đại số nên tôi lựa

chọn đề tài: "Một số giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải bài toán đại

số bằng phương pháp hình học" Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn

đồng nghiệp dạy học hiệu quả hơn, giúp các em học sinh hứng thú hơn trong họctập

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài toán về phương trình,bất phương trình và hệ phương trình đại số, bất đẳng thức, vận dụng các phươngpháp thích hợp trong hình học giải tích để giải các bài toán nêu trong chươngtrình phổ thông trung học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán ứng dụng hình học giải tích vàogiải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số, bất đẳng thức

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải toán thích

hợp trong hình học giải tích để giải quyết các bài toán phương trình, bất phươngtrình và hệ phương trình đại số, bất đẳng thức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quanđến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán,sách tham khảo về chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệphương trình, bất đẳng thức

 Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu về việc vận dụng cácphương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinhnghiệm trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ýkiến với đồng nghiệp

 Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 10A,10E trường THPT Hà Trung trong năm học 2019 -2020

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Hai là, chú trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa vàcác tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìmtòi và phát hiện kiến thức mới

Ba là, tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp họctrở thành môi trường giao tiếp giáo viên – học sinh và học sinh – học sinh nhằmvận dụng sự hiểu biết và kinh nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giảiquyết các nhiệm vụ học tập chung

Bốn là, chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trongsuốt tiến trình dạy học thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học).Chú trọng phát triển kỹ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của học sinh vớinhiều hình thức như theo lời giải đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác địnhtiêu chí để có thể phê phán, tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các saisót.

Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy về nội dungphương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức có sử dụng một

số phương pháp đổi mới đòi hỏi mang tính chất sáng tạo

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Qua quá trình quan sát, dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp, thăm dò từ phía họcsinh Tôi rút ra một số vấn đề sau:

• Về giáo viên: khi dạy về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bấtđẳng thức bằng phương pháp hình học giải tích thì tài liệu không có nhiều,không chuyên sâu

• Về phía học sinh: đang còn chưa biết hay lúng túng trong các giải quyết các bàitập về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức bằngphương pháp hình học giải tích

Vậy phương trình có nghiệm là

1 5

x=

Lưu ý: chọn tọa độ vectơ làm sao mà sau khi thực hiện phép tổng hai vectơ phải

mất biến x vì vế phải không phụ thuộc vào x và phải tồn tại x để dấu bằng xảy ra.

Tập xác định D= − +∞[ 3; )

2.3.2.2 Các bài toán về giải hệ phương trình, hệ bất phương trình.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

Hướng dẫn: nhận thấy phương trình (3) trong hệ giống công thức độ dài của

một véctơ , phương trình (1), (2) là dạng tích vô hướng của hai véctơ

Vậy nên, trong hệ trục Oxy chọn ur =(x y v; ),r= −(y 1; , wz) uur=(2z− 3;x z− )

2 1 4

2

x

2 A

-2 -2

( ) ( )

Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm

Ta phải tìm a để đường thẳng cắt đường tròn trong cung phần tư thứ nhất

Từ đó suy ra hệ đã cho có nghiệm khi

0

v

u

2 2

C D A

B

0 1 x+4a+2=0

Hướng dẫn: Thay vì coi a là tham số thì ta

coi a là biến số Xét hệ tọa độ Oxa Điểm M trong hệ tọa độ đó có dạng M x a( );

.Hệ đã cho dễ thấy tương đương với hệ sau đây:

Ta có ngay tọa độ của A là A(− 2;0)

Do B và C là giao điểm của đường thẳng

Miền nghiệm của bất phương trình (1) là miền trong và biên của đường tròn tâm

Nghiệm của bất phương trình (2) là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ O

chia bởi đường thẳng t y− − =2 0.

Ví dụ 6: Tìm các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.

1

d I ∆ = ⇒R = m+ ⇔ = −m

Vậy hệ có nghiệm khi

1 2

2 2

1

1

2 2

1 0 0

2.3.2.3 Các bài toán về giải bất đẳng thức.

Ví dụ 1: Cho hai số a b, thỏa mãn điều kiện a− + =2b 2 0

[1]

Chứng minh rằng

a + −b a− b+ + a + −b a− b+ ≥

Hướng dẫn: Ta nhận thấy rằng biểu thức dưới dấu căn là tổng của hai bình

phương , nên có thể nghĩ tới phương pháp sử dụng bất đẳng thức độ dài véctơ

Có thể thấy A B, nằm cùng một phía với đường thẳng (d).

0 1

5

-2

7

A B

B(a,b) Mo H

suy ra

a + −b a− b+ + a + −b a− b+ ≥

.Dấu bằng xảy ra khi 0

OM

cắt đường tròn đơn vị tại 0

N

Từ (2), (3) suy ra (1) đúng suy ra điều phải chứng

minh Dấu bằng xảy ra

.Các điểm P a b( ) ( ); ∈ d1 : x 2 y 9, Q ; + = ( )c d ∈ +x 2y= 4

.Bất đẳng thức (1) tương đương với PM NQ QP+ + ≥ 4 5 ( )2

.Xét hai điểm M N, thì PM +NQ QP+ chính là độ dài đường gấp khúc nối M N,

O 2

Mặt khác MN =4 5 Do đó PM +NQ QP+ nên (2) hiển nhiên đúng suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi M N P Q, , , thẳng hàng.

nên dấu bằng xảy ra khi a=5,b=2,c=4,d =0

Ví dụ 4: Cho x y, là hai số thực thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ví dụ 5: Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

, trong đó a BC b CA= , = và c AB=

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có

của tam giác ∆ABC

Theo bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực không âm

uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

Từ (1), (2), và (3), suy ra P≥ 3

Hơn nữa, bằng kiểm tra trực tiếp ta thấy P= 3 khi x=0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng

Bài 2: Cho bốn số a b c d, , , thỏa mãn điều kiện

a + =b a+ b c +d + = c+ d

Chứng minh rằng 4 2 2 − ≤ + + + ≤a b c d 2 4( + 2)

Bài 3: Cho bốn số a b c d, , , thỏa mãn điều kiện

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Với cách dạy truyền thống, sau khi học xong phương trình, bất phương trình, hệ phương trình cơ bản tôi tiếp tục dạy luyện tập bài tập với những phương pháp giải khác nhau cho học sinh và tiếp cận phương pháp mới đó là dùng phương pháp hình học để giải quyết các bài toán đại số Tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 1 tiết Kết quả như sau:

Lớp Sỉ

số

Số lượng

Tỉ lệ % Số

lượng

Tỉ lệ

%

Số lượng

Tỉ lệ

%

Số lượng

2.5 Điểm mới trong sáng kiến.

Các dạng bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trìnhđại số, bất đẳng thức giải bằng phương pháp phức tạp, hoặc sử dụng đánh giákhó khăn thì ta có thể sử dụng hình học giải tích vào giải quyết một cách đơngiản, đặc biệt đối với các bài toán chứa tham số

III KẾT LUẬN

3.1 Kết luận

Qua thực tiễn giảng dạy, bằng thực nghiệm sư phạm bản thân tôi nhận thấy đượctính khả thi của đề tài Đa số học sinh không còn thấy xa lạ với việc giải quyếtbài toán bằng phương pháp hình học Quan trọng hơn các em thấy được ý nghĩacái đẹp, cái hay, cái sáng tạo trong toán học thúc đẩy cho các em tính tích cựcsáng tạo tư duy luôn đi tìm hiểu những vấn đề mới lạ

3.2 Kiến nghị

- Mỗi giáo viên cần luôn tìm tòi những điều hay , mới lạ để có cách giải quyết

bài toán đơn giản , tạo cho các em những trải nghiệm thú vị, tạo ra niềm vui, sựhứng thú trong học tập

- Giáo viên cần tự học, bồi dưỡng nâng cao trình độ ứng dụng công nghệthông tin vào dạy học Tăng cường nghiên cứu các phương pháp, kĩ thuật dạyhọc đổi mới, lựa chọn được phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Cónhư vậy mới thực hiện được mục tiêu nâng cao chất lượng dạy và học ở trườngTHPT

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi thể hiện sự vận dụng phương pháp dạy họctích cực vào những tiết dạy cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm này không mang tính

lí luận sâu sa về lý thuyết toán mà chỉ là những gì mà bản thân tôi đã làm, đãhiện thực hóa những lý thuyết trong đổi mới dạy học bằng những tiết học cụ thể.Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếu sót.Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng,

bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 03 tháng 07năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của

người khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO

+ Bất đẳng thức và ứng dụng ( Phan Huy Khải- Trần Hữu Nam ), nhà xuất bản

giáo dục Việt Nam [1]

+ Toán nâng cao đại số tập II 10,11,12 (Phan Huy Khải), nhà xuất bản đại học

quốc gia Hà Nội [2]

+ Phân tích tìm tòi hướng giải bằng phương pháp suy luận chuyên dề đại số

(Nguyễn Thành Long chủ biên, Lê Văn Đoàn, Nguyễn Quang Sơn, Nguyễn TấnSiêng) nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội [3]

+Nguồn trên http://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/hoc360.net

[4]