Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong học tập nội dung về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY SÁNG TẠO TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11

PHÁT HUY SÁNG TẠO TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG

VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx

THANH HÓA NĂM 2020

Người thực hiện: Lê Khắc Luyện Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí do chọn đề tài Trang 01

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….…… Trang 01

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……….…… Trang 01

1.4 Phương pháp nghiên cứu ……….…… Trang 01

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02

2.1 Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm Trang 02

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh

nghiệm Trang 03

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề Trang 03 2.3.1 Vận dụng vào giải một số dạng phương trình lượng

giác Trang 03 2.3.2 Vận dụng giải một số bài toán về phương trình chứa

tham số Trang 08 2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất …… Trang 09 2.3.4 Hệ thống bài tập tổng hợp tự luyện giao thêm giúp

học sinh tiếp tục củng cố, rèn luyện kỹ năng Trang 10

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Trang 11

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 12 3.1 Kết luận ….……… Trang 12

3.2 Kiến nghị ……… Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… Trang 13 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Trang 14

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm học gần đây, chúng ta đã và đang tích cực đổi mới phương pháp dạy học Theo xu thế đổi mới này, trong quá trình học, người học là trung tâm, là chủ thể của mọi hoạt động; người học phải chủ động, tích cực tìm tòi sáng tạo để tiếp nhận kiến thức cho bản thân; người học phải học

để học được cách học Bên cạnh đó người dạy là người tổ chức, hướng dẫn hoạt động học tập cho người học để đạt được những điều như thế Trong đó, mục tiêu phát triển tư duy sáng tạo và phát huy sự tìm tòi khám phá cho người học là rất quan trọng Vì vậy trong dạy học người dạy phải luôn tìm cách để đạt được mục tiêu này

Hiểu rõ được điều đó, trong quá trình dạy học tôi luôn nghiên cứu kỹ từng nội dung kiến thức cần truyền đạt cho học sinh để tìm ra những vấn đề cần hướng dẫn học sinh khai thác, vận dụng, tìm tòi khám phá thêm Qua đó không chỉ giúp cho học sinh nắm vững kiến thức đang học mà còn phát triển

tư duy sáng tạo, khuyến khích hoạt động tìm tòi khám phá của học sinh, giúp học sinh hiểu kiến thức sâu sắc, thấu đáo hơn và biết vận dụng

Với tinh thần trên, trong quá trình giảng dạy nội dung Chương I - Đại

số và Giải tích 11 [1], tôi đã hướng dẫn học sinh vận dụng, khái thác kiến

thức về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ở để giải một số dạng toán

giúp các em phát huy sáng tạo trong học tập Tôi đã thực nghiệm giải pháp này trong quá trình giảng dạy tại lớp 11C3, năm học 2019-2020 và thu được kết quả tốt Vậy nên trong năm học này, tôi đã chọn đề tài Sáng kiến kinh

nghiệm là "Một số giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong

học tập nội dung về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx".

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra những giải pháp phù hợp với điều kiện thực tế và đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 phát huy sáng tạo trong học tập, từ đó học sinh có hứng thú và nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm và hướng đi mới trong giảng dạy về phương trình lượng giác Sáng kiến kinh nghiệm này còn nhằm trao đổi với với đồng nghiệp về phương pháp dạy học, là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT nói chung

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là các hướng vận dụng, khai thác

nội dung kiến thức về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx trong giảng

dạy Bài 3: “Phương trình lượng giác thường gặp”, Chương I, Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11, chương trình cơ bản [1]

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu của Sáng kiến kinh nghiệm này là: Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết và phương pháp điều tra khảo sát thực

tế, thu thập thông tin

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm này vận dụng, khai thác cách giải phương

trình bậc nhất đối với sinx và cosx đã được trình bày trong Sách giáo khoa

Đại số và giải tích 11 [1], [2] (bao gồm cả chương trình cơ bản và chương trình nâng cao) Trong đó những cơ sở lí thuyết trọng tâm sẽ được nhắc lại sau đây

(1) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình dạng asinx b cosx c , trong đó a, b, c là những hằng số

đã cho với a khác 0 hoặc b khác 0 được gọi là phương trình bậc nhất đối

với sinx và cosx.

Để giải phương trình asinx b cosx c a ( 2 b2  0) ta biến đổi biểu thức asinx b cosx thành dạng Csin(x) hoặc dạng Ccos(x), cụ thể như sau

(2) Phép biến đổi biểu thức asinx b cosx a 2 b2  0

Do

2a 2 2b 2 1

nên có số  sao cho cos 2a 2

a b

 

 và sin 2b 2

a b

 



Từ đó:

2 2

a x b x a b  x  x  a2b2sin(x  ) (*) Còn nếu ta chọn số  sao cho sin 2a 2

a b

 

 và cos 2b 2

a b

 

 thì

2 2

a x b x a b  x  x  a2b2cos(x  ) (**)

(3) Cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Để giải phương trình asinx b cosx c a ( 2 b2  0)ta chọn một trong hai phép biến đổi (*) và (**)

- Với phép biến đổi (*), phương trình 2 2

0)

a x b x c a  

được đưa về dạng cơ bản sin(x ) 2c 2

a b



 (1)

- Với phép biến đổi (**), phương trình asinx b cosx c a ( 2 b2  0)

được đưa về dạng cơ bản cos(x ) 2c 2

a b



 (2)

Và như thế, việc giải phương trình asinx b cosx c a ( 2 b2  0)được đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản (1) hoặc (2)

(4) Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx b cosx c có nghiệm

Ta có, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 2c 2 1

a b  hay

2 2 2

a b c

Do đó, phương trình asinx b cosx c a ( 2 b2  0) có nghiệm khi và chỉ khi a2 b2 c2

Ngoài ra, khi a2 b2  0 thì phương trình asinx b cosx c có nghiệm

khi và chỉ khi c = 0, tức là cũng phải thoả mãn điều kiện a2 b2 c2

Vậy ta có kết quả sau:

Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx b cosx c có nghiệm là

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình lượng giác là một trong những nội dung kiến thức quan trọng của chương trình toán 11 nói riêng và chương trình toán THPT nói chung Tuy nhiên đây là một nội dung khó đối với không ít học sinh Học sinh rất dễ lúng túng trước một số lượng lớn các công thức lượng giác và trước sự

đa dạng về các hướng biến đổi của một biểu thức lượng giác Có thể ví khi học sinh đứng trước một bài toán giải phương trình lượng giác là đứng trước một con đường rất nhiều ngã rẽ mà học sinh lúng túng không biết chọn ngã rẽ nào để đi đến nơi cần đến

Nội dung phương trình lượng giác trong chương trình toán 11 trình bày rất cơ bản (bao gồm các phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình thường gặp) Đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản này

và biết khai thác vận dụng chúng để giải các phương trình lượng giác khác với sự đa dạng phong phú Tuy nhiên điều này không phải đa số học sinh làm được nếu như không có sự hướng dẫn chu đáo của người dạy

Một thực tế mà tôi nhận thấy là mặc dù học sinh nắm vững cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nhưng chưa biết khai thác vận dụng chúng giải một số bài toán tương tự hoặc liên quan Vì vậy tôi có Sáng kiến kinh nghiệm này để giúp cho học sinh học phương trình lượng giác một cách tích cực, hứng thú hơn và phát huy sự tự tìm tòi sáng tạo trong học tập

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Sau khi học sinh nắm vững cách giải và đã có kỹ năng trong việc giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, chúng ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác cách giải đó theo một số hướng như sau

2.3.1 Vận dụng vào giải một số dạng phương trình lượng giác

a) Vận dụng giải phương trình dạng asin ( )u x bcos ( )u x c

Có thể nói phương trình dạng asin ( )u x bcos ( )u x c a( 2 b2  0) là

phương trình bậc nhất đối với sinu(x) và cosu(x), do đó hoàn toàn có thể vận

dụng trực tiếp cách giải trên để giải dạng phương trình này Và thực chất học sinh đã được tiếp xúc nó qua các ví dụ và bài tập trong Sách giáo khoa Đại số

2 2 2

a b c

và giải tích 11 Tuy nhiên, chúng ta cần hướng dẫn thêm để học sinh biết vận dụng cách giải một cách linh hoạt, biết sử dụng điều kiện có nghiệm trong quá trình giải phương trình, biết biến đổi phương trình về dạng quen thuộc Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1 Giải các phương trình:

a) 2 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

b) 3cos2x + 2sinxcosx - 3sin2x = 1

Giải

a) 2 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

 2sin2x + 2(1+ cos2x) = 3 + cos2x

 2sin2x + ( 2 - 1)cos2x = 3 - 2

Ta có 2 2   2 2

3 2 11 6 2

Do đó: a2 b2 c2  5 2 2 11 6 2     4 2 6   4 22  6 2  32 36  (đúng) Vậy a2 b2 c2 nên phương trình đã cho vô nghiệm

b) 3cos2x + 2sinxcosx - 3sin2x = 1

2 (1+cos2x) + sin2x - 3

2 (1- cos2x) = 1

 3cos2x + sin2x = 1 3

2 cos2x + 1

2sin2x = 1

2

3



cos2x + cos

3



sin2x = 1

3

x 



 = sin

6



3 6

 





  



 

    



4

k Z











 



  



Nhận xét

1) Việc kiểm tra điều kiện có nghiệm ở cách giải câu a) giúp chúng ta rút ngắn được phép giải và tránh được sai lầm

2) Câu b) là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx nên còn có cách giả khác là chia hai vế cho cosx và đặt ẩn phụ t = tanx Tuy nhiên trong trường hợp này cách giải đó sẽ phức tạp hơn so với cách giải đã trình bày

b) Vận dụng cách giải tương tự

Ngoài việc vận dụng trực tiếp cách giải trên để giải phương trình dạng

a u x b u x c, sau đây chúng ta xét một số dạng phương trình có thể giải được bằng cách vận dụng cách giải tương tự như cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Dạng 1 a) a.sin ( )u x b.cos ( )u x c.sin ( )v x (1a)

b) a.sin ( )u x b.cos ( )u x c.cos ( )v x (1b).

(với a2 b2 c2  0)

Cách giải:

- Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (1a) về dạng sin ( )u x    sin ( )v x

- Vận dụng phép biến đổi (**), đưa (1b) về dạng cos u x ( )    cos ( )v x

Ví dụ 2 Giải các phương trình:

a) 3cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0

(Trích đề Đại học khối D năm 2009 [3])

b) sinx + cosxsin2x + 3cos3x = 2(cos4x + sin3x)

(Trích đề Đại học khối B năm 2009 [4])

Giải:

a) 3cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0

 3cos5x - (sin5x + sinx) - sinx = 0

 3cos5x - sin5x = 2sinx  3

2 cos5x -1

2 sin5x = sinx

 sin3cos5x - cos

3

 sin5x = sinx  sin 5

3 x





 = sinx

3

3

x x k



















.

k Z











b) sinx + cosxsin2x + 3cos3x = 2(cos4x + sin3x)

 sinx(1- 2sin2x) + cosxsin2x + 3cos3x = 2cos4x

 sinxcos2x + cosxsin2x + 3cos3x = 2cos4x

 sin3x + 3cos3x = 2cos4x

2sin3x + 3

2 cos3x = cos 4x

6



sin3x + cos

6

 cos3x = cos4x  cos 3

6

x 



  = cos4x

6

6





















2

2

k Z















Dạng 2 sin ( )a u x b.cos ( )u x c.sin ( )v x d.cos ( )v x (2)

(với a2b2 c2d2 0).

Cách giải:

- Vận dụng phép biến đổi (*), đưa (2) về dạng

sin ( )u x    sin ( )v x   '

- Hoặc vận dụng phép biến đổi (**), đưa (2) về dạng

 ( )  cos ( ) '

cos u x    v x  

Nhận xét:

Dạng 1 là trường hợp riêng của dạng 2 khi c = 0 hoặc d = 0.

Ví dụ 3 Giải các phương trình:

a) cos3x - sinx = 3(cosx - sin3x)

b) (1 2sin )cos 3

(1 2sin )(1 sin )

x x





(Trích đề Đại học khối A năm 2009 [5])

Giải:

a) cos3x - sinx = 3(cosx - sin3x)

 cos3x + 3sin3x = sinx + 3cosx

2cos3x + 3

2 sin3x = 1

2sinx + 3

2 cosx

3



cos3x + sin

3

 sin3x = sin

6



sinx + cos

6

 cosx

3

x 



 = cos

6

x 





























b) Điều kiện:

1 sin

2 sin 1

x x













 (*)

(1 2sin )cos 3

(1 2sin )(1 sin )





cos sin 2 3 cos2 sin





 cosx - sin2x = 3(cos2x + sinx)

 3cos2x + sin2x = cosx - 3sinx

2 cos2x + 1

2sin2x = 1

2cosx - 3

2 sinx

6



cos2x + sin

6

 sin2x = cos

3

 cosx - sin

3

 sinx

6

x 



 = cos

3

x 



















2

2















Kiểm tra với điều kiện (*), ta được nghiệm của phương trình đã cho là

x  k  kZ

c) Vận dụng phép biến đổi biểu thức 2 2

0)

a x b x a   giải một số phương trình khác

Có một số phương trình không thể vận dụng cách giải tương tự như cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nhưng có thể giải được chúng bằng cách áp dụng phép biến đổi biểu thức asinx b cos (x a2 b2  0)

về dạng (*) hoặc (**) mà ta đã biết Ta xét Ví dụ 4 sau đây.

Ví dụ 4 Giải các phương trình:

a) 2cos2x +2 3sinxcosx + 1 = 3(sinx + 3cosx)

Giải:

a) 2cos2x +2 3sinxcosx + 1 = 3(sinx + 3cosx)

 2 + (cos2x + 3sin2x) = 3(sinx + 3cosx)

 2 + 2(1

2cos2x + 3

2 sin2x) = 6(1

2sinx + 3

2 cosx)

 2 + 2(cos

3



cos2x +sin

3



sin2x) = 6(sin

6



sinx + cos

6



cosx)

 1 + cos 2

3



  = 3cos

6



6



  = 3cos

6



0 6

3

1 ( )

cos x













5

5

4

cos 2

x

x













5









 



4

12 3















 













2.3.2 Vận dụng giải một số bài toán về phương trình chứa tham số

Thông qua cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx chúng

ta có thể hướng dẫn học sinh (như đã trình bày ở mục I.4) nắm được:

Điều kiện cần và đủ để phương trình asinx b cosx c có nghiệm là

2 2 2

a b c

Từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về phương trình lượng giác chứa tham số, đặc biệt là bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Ví dụ 5 Tìm m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm:

a) (m + 2)(cos4x - sin4x) + m(cosx - sinx)2 = m + 2 (1).



  (2).

Giải

a) (1)  (m + 2)(cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x) + m(1- 2sinxcosx) = m + 2

 (m + 2)cos2x - msin2x = 2 (1')

(1) có nghiệm  (1') có nghiệm

 (m 2) 2   ( m) 2  2 2  2m2 4m 0 0

2

m m





  

Vậy m cần tìm là m    ( ; 2] [0;   )

b) Vì cosx + sinx = 2cos 2

4

x 

  nên cosx + sinx + 2 > 0, do đó (2) xác định với mọi x

Ta có: (2)  2mcosx + m +1 = 2(cosx + sinx + 2)

 2(m - 1)cosx - 2sinx = 3 - m (2')

(2) có nghiệm  (2') có nghiệm

2 2 2

4(m 1) ( 2) (3 m)

       3m2 2m 1 0 

1 1 3

m m











Vậy m cần tìm là ( ; 1] [1; )

3

m      

Ví dụ 6 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:

2m(cosx + sinx) = m2 + 2(cosx - sinx) + 3 (*)

Giải

(*) 2(m - 1)cosx + 2(m + 1)sinx = m2 + 3 (**)

(*) có nghiệm  (**) có nghiệm 2 2 2 2

4(m 1) 4(m 1) (m 3)

Do đó:

- Nếu m = 1 thì (*) là sinx = 1 nên có nghiệm 2 ( ).

2

x k  k Z

- Nếu m = -1 thì (*) là cosx = -1 nên có nghiệm x   k2 (  k Z ).

- Nếu m 1 thì (*) vô nghiệm

2.3.3 Vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ngoài việc vận dụng điều kiện cần và đủ để phương trình sin cos

a x b x c có nghiệm như trên, chúng ta còn có thể hướng dẫn học sinh khai thác điều kiện này để giải một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và thu được hiệu quả rất tốt Sau đây là một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

sin cos 2

x y

x x





c)

2

2

1 cos

1 sin cos 2cos

x y





Giải

a) Ta có: y = 6sin7x + 8cos7x  6sin7x + 8cos7x = y (1).

(1) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi 62 + 82  y2   10  y 10

Vậy: miny = -10; maxy = 10

b) Vì cosx + sinx = 2cos 2

4

x 

  nên cosx + sinx - 2 < 0, do đó hàm số xác định với mọi x.

Ta có: 2 cos

x y





   y (sin x  cos x  2) 2 cos   x

(2) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi y2 + (y - 1)2  4(y + 1)2

 2y2 + 10y + 3  0 5 19 5 19

Vậy: min 5 19; max 5 19

1 sin cos 2cos

x y





1 cos 2 1

2 sin 2

2

x y

x

x





3 cos 2

x y



Vì 2cos2x - sin2x  3 nên 2cos2x - sin2x + 4 > 0, do đó hàm số xác định với mọi x Khi đó:

(3)  y(4 sin 2  x 2 cos 2 ) 3 cos 2x   x  (2y 1) cos 2x y sin 2x  3 4y (4)

(4) có nghiệm theo ẩn x khi và chỉ khi (2y - 1)2 + (-y)2  (3 - 4y)2

 11y2 - 20y + 8  0 10 2 3 10 2 3

Vậy: min 10 2 3; max 10 2 3

Ví dụ 8 Cho hàm số 2 cos 1

y



a) Tìm m để y > 0 với mọi x.

b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.