SKKN khai thác các bài toán bằng nhiều hình thức nhằm phát triển tư duy học sinh trong việc ôn tập học sinh giỏi phần hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU HÌNH THỨC NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC ÔN TẬP CHO HỌC SINH G

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU HÌNH THỨC NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC ÔN TẬP CHO HỌC SINH GIỎI PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Trần Thị Chinh Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2020

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 22.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 3

2.3.1 Bài toán có nhiều cách giải và khai thác bài toán đó 42.3.2 Xây dựng và khai thác bài toán trên mô hình 102.3.3.Xậy dựng và khai thác bài toán bằng quy tắc, phương pháp 122.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

KHAI THÁC BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU HÌNH THỨC NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CỦA HỌC SINH TRONG VIỆC ÔN TẬP CHO HỌC

SINH GIỎI PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình dạy học ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và pháttriển tư duy cho học sinh là hai nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên.Vì lí dothời lượng chương trình và đáp ứng một cách đại trà về kiến thức cho học sinhnên chương trình sách giáo khoa phổ thông chỉ mới đáp ứng được một phần kiếnthức Chính điều này đã làm hạn chế sự phát triển tư duy của những em học sinhkhá và giỏi Vì vậy trong quá trình giảng dạy chúng tôi luôn quan tâm đến haivấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi

Đối với các em học sinh trung bình thì cần thiết có hệ thống bài tập phùhợp với khả năng tương ứng của các em, làm sao cho các em có thể vận dụng vàogiải quyết các bài toán cơ bản tạo niềm tin hứng thú cho các em Còn đối với các

em học sinh khá giỏi, thông thường các em học sinh chỉ mới có khả năng giảiquyết trực tiếp các bài toán mà không có khả năng nhìn nhận bài toán đó từnhững góc độ khác nhau, từ đó dẫn đến một hiện tượng thường thấy trong nghiêncứu khoa học là: “chỉ thấy cây, không thấy rừng” Học sinh chỉ có khả năng giảiquyết các vấn đề một cách rời rạc mà không có khả năng xâu chuỗi chúng lại vớinhau thành một mảng kiến thức lớn Chính vì thế việc rèn luyện và phát triển các

tư duy tương tự hoá và tổng quát hoá là hết sức cần thiết đối với học sinh phổthông Việc làm này giúp các em tích luỹ được nhiều kiến thức phong phú, khảnăng nhìn nhận và phát hiện vấn đề nhanh, giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệthống cao

Có nhiều hướng khác nhau để rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh Trong đề tài này chúng tôi tập trung phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc áp dụng trong hình học không gian chủ yếu của lớp 11, là một trong nội dung khá khó đối với đại đa số học sinh

Vì những lí do trên tôi chọn đề tài: “Khai thác các bài toán bằng nhiều hình thức nhằm phát triển tư duy học sinh trong việc ôn tập học sinh giỏi phần hình học không gian”.

1

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Đề tài khác thác một số bài toán bằng các hình thức khác nhau, nhằm phát triên tư duy của học sinh, trong việc học phần hình học không gian

- Giúp học sinh tiếp cận hình học không gian một cách có hiệu quả hơn

- Đề tài giúp học sinh phát huy tối đa năng lực, tạo điều kiện để những họcsinh có năng lực đạt kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi, kỳ thi THPTQuốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Một số bài toán hay và khó ở phần hình học không gian

- Một số cách khai thác bài toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tự nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

- Phương pháp thực nghiệm và đối chứng

- Phương pháp thống kê tổng hợp

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Đưa ra một số cách khai thác bài toán

- Đề tài trình bày và giải quyết vấn đề thông qua việc giải các bài toán cụ thể

và được chia thành các dạng khai thác bài toán khác nhau

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiệnnay , học sinh trong việc chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri thức, việc kích thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong từng tiết dạy lý thuyết và đặc biệt là tiết luyện tập , ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn luôn sáng tạo trong từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức " , ''chữa bài tập'' qua đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm tòi cái mới từ cái đã có

Để làm được điều này người giáo viên phải tạo ra được cái mới từ những cái đã có bằng việc đào sâu mở rộng khai thác một cách triệt để từ những cái ban đầu, có thể khó thì ta làm dễ đi để đơn giản hoặc từ dễ ta tổng hợp lên để nó

thích ứng được với từng đối tượng hoặc tạo ra những bài toán có nhiều

tình huống gắn được với thực tế

Có nhiều cách để thiết kế, xây dựng bài toán mới chẳng hạn: Dùng phéptương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, lật ngược vấn đề

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Qua quá trình dạy hình học không gian 11và ôn thi học sinh giỏi luyện

thi THPT Quốc gia Tôi nhận thấy rằng, đa số các em học sinh còn gặp khó

trong việc tiếp cận hình học không gian và giải quyết các bài toán khó trongphần hình học không gian Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa phát huyđược hết năng lực của bản thân trong các bài toán này, “ còn ngại khó”

Từ thực tế trên với nhiệm vụ hổ trợ đồng nghiệp trong việc ôn tập cho họcsinh giỏi về phần hình học không gian Tôi nhận thấy cần phải đư ra các biệnphát làm sao: phát triển tư duy cảu học sinh khi học phần “khó” này

Xuất phát từ cơ sở thực trạng trên, tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm củamình sẽ là một đóng góp thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi bộ mônToán ở trường trung học phổ thông hiện nay nên tối quyết định lựa chọn đề tàinày với một thành ý muốn chia sẻ kinh nghiệm tới các đồng nghiệp trong vàngoài nhà trường với mong muốn nó có thể giúp các đồng nghiệp có thêm tưliệu và giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏitrong những năm tới

3

2.3 Giải pháp cụ thể:

2.3 1 Bài toán có nhiều cách giải và khai thác bài toán đó

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳng AB, CD, BC, DA Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MN , PQ đồngquy tại trung điểm mỗi đoạn

Lời Giải Cách 1:

Ta có MP là đường trung bình của tam giác BC,

NQ là đường trung bình của tam giác ADC nên

MP//AC, NQ//AC và MP NQ 1

2 AC Do đó tứ

giác MPNQ là hình bình hành, suy ra MN, PQ

cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

Vậy MN, PQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

A M

Q

C Cách 2: Gọi E, F lầ lượt là các điểm đối xứng của M

qua P, Q

A

Ta có tứ giác BMCE, AMDF là các hình bình

hành Suy ra EC//DF(vì cùng song song với AB)

Vì vậy N là trung điểm của EF

Tam giác MEF có PQ là đường trung bình, N là

trung điểm EF suy ra MN, PQ cắt nhau tại trung

điểm mỗi đường

E

Vậy MN, PQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

Chiếu tự diện ABCD theo phương MN xuống

mặt phẳng BCD

Khi đó N là ảnh của M và gọi A’, Q’ là ảnh của A, Q

Theo tính chất phép chiếu song song ta có N là trung B

điểm của BA’, Q’ là trung điểm của DA’

Suy ra BDA’C là hình bình hành, do đó N là

trung điểm của PQ’

Vì vậy MN cắt PQ tại trung điểm của PQ

Suy ra điều phải chứng minh

* Khai thác bài toán trên:

a) Tổng quát lên ta có bài toán

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

AB, CD P, Q lần lượt là các điểm nằm trên đoạn BC, AD sao cho QD PC Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MN, PQ đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn

b) Tương tự ta có bài toán

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N,P,Q, R, S lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD Chứng minh rằng ba đoạn thẳng

MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn

c) Bài toán về tập hợp điểm

Bài 3: Cho tứ diện ABCD P, Q lần lượt là các điểm thay đổi nằm trên đoạn

BC, AD sao cho AQ BP Tìm tập hợp trung điểm của PQ.

Ví dụ 2 : Cho tứ diện ABCD Gọi ha, hb , hc, hd lần lượt là độ

dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C, D Gọi x, y, z, t là

khoảng cách từ điểm M nằm trong tứ diện ABCD đến mặt

phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Chứng minh rằng:

V ABCD 13S BCD h a 1 3S CDA h b 1 3S DAB h c 1 3S ABD h d

3V ABCD S BCD h a S CDA h b S DAB h c S ABD h d

1 S BCD x S CDA y S DAB z S ABD t

1 S BCD x S CDA y S DAB z S ABD .t

x y z t

1 (đpcm) h a h b h c h d

* Khai thác bài toán trên:

a) Đặc biệt hóa ta có bài toán

* Nếu M trùng với tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD thì x y z t r

Ta có

Bài 1: Cho tứ diện ABCD I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh rằng

(sách bài tập hình học 12 nâng cao)

* Xét tứ diện OABC có OA, OB,OC đôi một vuông góc với nhau, M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABC Từ đó ta có bài toán

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB,OC đôi một vuông góc với nhau,Gọi

A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

MA

OA ' MB OB ' MC OC ' 1 b) Thay đổi hình thức bài toán

6

Bài 3: Cho tứ diện ABCD M là điểm nằm trong tứ diện Gọi

Chứng minh rằng MA ' MB ' MC ' MD ' 1.

* M là điểm nằm trong tứ diện và G là trọng tâm tứ diện ABCD Đường thẳng

GM cắt các mặt phẳng BCD , CDA , ABC , DAB lần lượt tại các điểm

A', B', D', C'.

( H,K lần lượt là hình chiếu của G , M

A ' M

Dẫn đến bài toán sau:

Bài 4: Cho tứ diện ABCD M là điểm nằm trong

tứ diện và G là trọng tâm tứ diện ABCD Đường

K H

C

1

Dẫn đến bài toán sau:

7

Bài 5: Cho tứ diện ABCD Gọi ha, hb, hc, hd lần lượt là độ dài các đường cao hạ

từ các đỉnh A, B, C, D Chứng minh rằng:

* Gọi Sa, Sb, Sc, Sd lần lượt là diện tích các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Va,

Vb, Vc, Vd lần lượt là thể tích của các tứ diện MBCD, MCDA, MDAB, MABC

Dẫn đến bài toán sau:

Bài 6 Cho tứ diện ABCD Gọi x, y, z, t là khoảng cách từ điểm M nằm trong tứ diện

ABCD đến mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Chứng minh rằng:

MA MB MC MD 2 xy xz xt yz yt zt Đối với bài toán này ta lại

có các trường hợp đặc biệt sau:

a) Nếu điểm M tâm mặt cầu nội tiếp tứ diên ABCD thì

ABCD)

b) Nếu ABCD là tứ diện gần đều có diện một mặt là S thì

chiều cao của tứ diện gần đều)

c) Nếu ABCD là tứ diện đều cạnh a thì MA MB MC MD a 6

8

* Từ V ABCD V MBCD V MCDA V MDAB V MABC 1

9

(SAB), (SBC), (SCA) lần lượt tại các điểm C’, A’ và B’ Chứng minh

MA ' MB ' MC ' không phụ thuộc vào điểm M

HD: Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) khi đó H là trọng tâm tam giác ABC.

2.3 2 Xây dựng và khai thác bài toán trên mô hình.

Xét mô hình : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD

có đáy là hình thoi cạnh 2a , góc A 600 ; mặt

bên SAB là tam giác cân tại S , góc

ASB 2 ,(0 2 ) và SH là đường cao của hình

chóp với H là trung điểm AB

Nhận xét:

1) Với N là điểm thỏa mãn AN 4ND thì

BN SC , suy ra SC BN

2) ABC, ACD là các tam giác đều nên D là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tứ

giác BCDG nội tiếp được đường tròn

S

G A

3) Mặt bên SCD , SAB vuông góc với SHD , SCD, HDC là tam giác vuông.

4) Hình chóp đã được xác định khi biết độ dài cạnh đáy và góc Nên ta có thể thay đổi giả thiết này bởi các giả thiết khác để hình chóp này xác định

Chẳng hạn chỉ cần cho tam giác SAB đều cạnh a và SABABCD …

Bài 1: Với các giả thiết nêu trên : Tính

a)khoảng cách AB, SC và côsin góc hai đường thẳng AB, SC

b) khoảng cách từ C đến SAD và tính sin góc giữa SC và SAD

c) góc của SAB và SCD , SBC và SAD

Gợi ý:

a) * d AB, SC d AB, SCDd H , SCD HK a 3

3tan 2 1(Với K là hình chiếu của H lên SD )

* AB,SC CD,SC 1

b) * Gọi E AD HC suy ra H là trung điểm EC do đó

Gọi góc của SBC và SAD là :

2.3.3 Xây dựng và khai thác bài toán bằng quy tắc, phương pháp.

Ví dụ 1: Khai thác bài toán về phương pháp chứng minh đường thẳng

vuông góc với đường thẳng bằng cách dựng mặt phẳng Xét mô hình hình

chóp tứ giác đều S.ABCD

Dễ thấy

(1) SUV / / TSRQ , SAC / / XYV

(2) BD SAC , XYV

(3) OW , AD, BC SUV , TSRQ

Từ đó ta có các bài toán sau

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi

K là trung điểm của SD , Q là điểm thuộc đoạn

BC sao cho BQ 3QC Chứng minh rằng

a) AD QK.

b) OW QK với O là tâm hình vuông, W là

trung điểm của AB

c) GG ' QK Với G, G ' lần lượt là trọng tâm

tam giác SAB, SCD

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi Z

là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, H

là trung điểm của AZ,V là trung điểm của BC.

(Đề đại học khối B năm 2007).

c) HV GG ' với G, G ' lần lượt là trọng tâm

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D '

Tính số đo góc của hai mặt phẳng A ' BD và C ' BD

HD:

tan AOA ' tan COC ' 2 1 AOA ' COC ' 450 , vậy A '

OC ' 90 và A ' OC ' ; suy ra

tan tan( AOA ' COC ') 2 2

Xét hai điểm M,N tương ứng nằm trên đoạn

AA', CC ' ta có bài toán:

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D '

Hai điểm M , N tương ứng nằm trên đoạn AA ', CC '

sao cho AM x ; CN y Tính số đo góc của hai mặt

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A'B 'C 'D' Hai điểm M,N tương

ứng nằm trên đoạn AA',CC' sao cho AM x ; CN y thỏa mãn x y a

42 Tìm

x,y để hai mặt phẳng MBD và NBD có góc là nhỏ nhất.

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD A' B' C'D' Hai B' C'

điểm M,N di động tương ứng nằm trên đoạn

* Gọi P là hình chiếu của O trên MN, ta có (BDP) vuông góc MN và tam

giác BDP cân tại P

Tổng quát lên ta có bài toán có AB a, BC b, AA' c

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A' B'C' D'

Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng A'BD và C ' BD

HD: * Trong (ABCD) dựng AH, CK vuông góc với BD ( H,K thuộc BD) ;

ta có ' KC là góc tạo bởi mp(ABCD) và hai mặt phẳng (A’BD)

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B 'C 'D' có AA' c cố định và

Xét mô hình hình lập phương và mặt nền là mặt BDD ' B ' ta có bài toán

Bài 6: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Hai B' C'

điểm E , F tương ứng nằm trên đoạn BB ', DD ' và O'

của hai mặt phẳng AEF và A'EF A' B D'

Xét mô hình hình hộp đứng đáy là hình thoi, BAD 60 , AA' AB

và mặt nền là mặt ADD' A' ta có bài toán

Bài 7 : Cho hình hộp ABCD A'B'C' D'đáy hình thoi B' C'

tâm O, 0 AB Điểm M là trung

BAD 60 , AA'

điểm AA' và I là tâm của mặt CDD 'C' Tính góc A' N D'

tạo bởi hai mặt phẳng MBC ' và IMO H B I

Xét mô hình hình lập phương và mặt nền là mặt / / ABCD

ta có bài toán

Bài 8 : Cho hình lập phương ABCD A 'B'C 'D' cạnh

a Hai điểm M ,N lần lượt di động trên hai cạnh

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Đối với bản thân

Trong năm học 2017-2018 và năm học 2018-2020 đến nay tôi được nhàtrường phân công hỗ trợ bồi dưỡng học sinh giỏi phần hình học không gian Tôi

đã vận dụng những kinh nghiệm mà mình tích lũy được để ôn tập và hướng dẫnhọc sinh thi học sinh giỏi Những năm qua đội tuyển Toán trường THPT NôngCống 3 đã đạt được những kết quả nhất định:

Mai Thanh Tân 11C1 KK

- Giới thiệu cho các đồng nghiệp và học sinh một nguồn bài tập hay để áp dụng.

- Khích lệ và cổ vũ phong trào ôn thi học sinh giỏi của các trường THPT trong tỉnh

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là khai thác các bài toán bằngnhiều hình thức, hướng dẫn học sinh giải theo quy trình Từ đó rèn được tư duy,

kĩ năng kĩ xảo trong giải toán, tăng niềm tin hứng thú học tập cho học sinh

Trong quá trình dạy học thói quen tổng quát hóa, đặc biệt hóa để đào sâunghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên là một điều rất cần thiếtcho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá của các em họcsinh(đối với học sinh khá giỏi) Còn rất nhiều vấn đề mà trong phạm vi đề tàinày chưa thể bao quát hết được, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tiếp và rất mong đượcđón nhận những góp ý bổ ích của bạn bè đồng nghiệp để đề tài càng phong phú

và hữu ích hơn

3.2 Kiến nghị

- Tiếp tục đổi mới khâu ra đề thi theo hướng kiểm tra năng lực, đáp ứngđổi mới căn bản toàn diện giáo dục, đảm bảo khách quan, phù hợp với đặc điểmcác môn học

- Đề thi HSG nên lựa chọn các bài toán tạo điều kiện để học sinh phát tiển

tư duy, chứng tỏ sự sáng tạo của mình trong quá trình làm bài

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 6 năm 2020

HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,

không sao chép nội dung của người khác

Trần Thị Chinh

19