SKKN hướng dẫn học sinh trường THPT nông cống 3 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán trắc nghiệm chương i giải tích 12

Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm đượctrình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạohàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm đượ

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm chiếm vai trò quan trọng trongchương trình Toán THPT Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm đượctrình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạohàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm được trình bàytrong học kỳ I lớp 12 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm

và ứng dụng đạo hàm là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT,ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia Chúng ta có thể kể đến một số ứngdụng của đạo hàm: Xét tính đơn điệu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcủa hàm số; cực trị hàm số…

Phần ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên là một phần khôngquá khó với học sinh nếu không muốn nói là phần “lấy điểm” của học sinh Tuynhiên, việc giải quyết các bài toán hàm số nhanh và hiệu quả là điều mà ít họcsinh làm được nhất là trong bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia đổi từ hình thức thi

tự luận sang trắc nghiệm Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm kháchquan là điều không thể phủ nhận Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độnhận biết, thông hiểu đa số các em học sinh làm được, song các em rất hay sailầm trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắmvững lý thyết hoặc vội vàng kết luận khi chưa kiểm tra kĩ Do đó, hướng dẫn các

em học sinh có kĩ năng làm tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan và tránhnhững sai lầm đáng tiếc là một yêu cầu cần thiết Từ kinh nghiệm bản thân trongcác năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu

Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh trường

THPT Nông Cống 3 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán trắc nghiệm

chương I Giải tích 12” với mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức

cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số kỹ năng giúp các em học sinh nắm bắtđược cách nhận dạng cũng như cách giải giải bài toán trắc nghiệm nhanh hơnbằng kiến thức cơ bản đã học nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học,tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp cho

học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các

kì thi THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài sẽ nghiên cứu đối với các câu hỏi trắc nghiệm trong chương I Giải

tích 12 và được thử nghiệm đối với học sinh lớp 12B1, 12B2 năm học 2018

-1

2019 Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một số

dạng toán mà học sinh thường hay mắc sai lầm để phân tích, chỉ ra các sai lầm

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Khái niệm đạo hàm

2.1.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

2.1.1.1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x o ¿ (a;b).

Đạo hàm của hàm số tại điểm x o, ký hiệu f’(x o ) hoặc y’(x o) Ta có:

lim f ( x )−f ( x0 )

f’(xo) = x → x 0 x−x0

Đặtx = x – xo (gọi là số gia của biến số tại điểm x o) và

y = f(x) – f(x o ) = f(x o + x) – f(x o) (gọi là số gia của hàm số ứng với số

gia x tại điểm x o) lim f (x0 +Δx x )−f ( x0 ) = lim Δx

y

Ta có: f’(xo) = Δx x →0 Δx x Δx x → 0 Δx x

 Chú ý: Δx x , Δx y chỉ là những ký hiệu, không nhất thiết chỉ mang dấu

dương, không được hiểu Δx x= x

2.1.1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:

2.1.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

 Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số

góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M o (x o ; f(x o))

 Phương trình tiếp tuyến của đường cong

Cho đường cong (C) : y = f(x) (f(x) có đạo hàm tại điểm xo)

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M o (xo;f(xo)) ¿ (C) có phương trình:

3

y− y0=f ' ( x 0 )( x−x0 ) ⇔ y=f ' ( x0 )( x−x0 )+f ( x0 )

2.1.1.3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng.

Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D, D là một khoảng hay

hợp của nhiều khoảng

* Định nghĩa:

+ Hàm số f gọi là có đạo hàm trên tập D nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc D.

+ Đạo hàm của hàm số f được ký hiệu là f’(x) hoặc y’.

Chú ý: Tính đạo hàm của hàm số mà không nói rõ tính tại điểm nào, ta

hiểu tính trên toàn TXĐ

* Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số f

2.1.1.4 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số

4

sin x cosx sin u

Nêu f x 0, x a;b hàm sôf x đông biên trên khoảnga;b

Nêu đông biên trên khoảng

Nếu nghịch biên trên khoảng

Nêu thay đôi khoảng a;b bằng môt đoan hoặc nửa khoảng thì phải bổ

sung thêm giả thiêt “hàm sô f x liên tuc trên đoan hoăc nửa khoảng đó”.

2.1.2.2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ

đạo hàm y không xảy ra

0 làđiểm cực tiểucủa hàm sốfnếu tồn tại một khoảnga ; b

tiểu của hàm số f

x

0 làđiểm cực đạicủa hàm sốfnếu tồn tại một khoảng a;b

đại của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực

trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

chứa x0được gọi

chứa x0được gọi

6

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm

số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay

cực trị) của hàm số.

Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm x0;f x

0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K Hàm

số có thể không có cực trị trên một tập cho trước

2.1.3.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực

trị Định lí 1:

Giả sử hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x Khi đó, nếu y f x có đạo

0hàm tại điểm x0 thì f x0 0.

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

Nêu f x 0 trên khoảng x h; x vàf x

thì x0 là môt điêm cưc đai cua ham sô f x .

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu:

2.1.4.2.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

Bước 1: Tính f x và tìm các điểm x , x , ,x D mà tại đó f x 0

1 2 n

hoặc hàm số không có đạo hàm

Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i (a;b) của phương trình

cả các điểm i (a;b)làm cho f (x)

không xác định.

Bước 3 Tính A lim f (x) ,B lim f (x)

, f (x i)

, f( i )

có giá trị lớn

9

nghich biên trên a;b thì a;b

Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất trên khoảng đó

2.1.5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2.1.5.1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

a; , ;b hoặc ; ) Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang)

Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng)

của đồ thị hàm số y f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f (x), lim f (x), lim f ( x ), lim f ( x)

đa số các em học sinh làm được, song các em rất hay sai lầm trong việc giải dẫnđến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết hoặc vộivàng kết luận khi chưa kiểm tra kĩ Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có cácphương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, hướng dẫn các em họcsinh có kĩ năng làm tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan và tránh những sailầm đáng tiếc là một yêu cầu cần thiết

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay

1

nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đóyêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán đạohàm và ứng dụng

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

- Trong mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất

cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể:

2.3.1 Bài toán : Tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x ) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.f '( x ) 0

B.f '( x ) 0

, với x [a; b ]

C.f(x) đồng biến trên khoảng

D. f ( x ) đồng biến trên khoảng Sai lầm thường gặp:

” Sai lầm của học sinh khi chọn đáp án C là ngộ nhận

tập mà học sinh hay làm

f '( x ) 0 , với x ( a; b )

những kiến thức của bài

- Đáp án D sai vì nếu f'(x) 0 , với x ( a; b ) thì f (x) nghịch biến trên

1 1

- Đáp án A đúng vì theo định lý SGK cơ bản trang 6.

Như vậy học sinh đã đồng nhất cách viết khoảng đồng biến (nghịch biến) trên

cho học sinh khoảng đồng biến (nghịch biến) của hàm số trên khoảng, đoạn, nửađoạn, không có trên hai khoảng hợp nhau Đáp án đúng là D

Ví dụ 3: Giá trị của tham số m để hàm số

12

2.3.2 Bài toán: Cực trị của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x ) xác định, lên tục trên và có bảng biếnthiên như sau:

A Điểm cực tiểu của hàm số là - 2 B Hàm số có giá trị cực đại là -1

1 3

Lời giải đúng:

f' ( x ) 0 ( x 2)( x 1) 2 ( x 3) 0

x 2

x 1

x 3 Ta nhận thấy x 1 là nghiệm đơn bội chẵn (nghiệm kép) nên qua giá

trị này dấu của đạo hàm không đổi do đó x 1 không phải là điểm cực trị của

Vì x 1 là điểm cực tiểu của hàm số nên y ' ( 1) 0 ( 1) 2 2( 1) m m2 4 0

chỉ có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang

1

trường hợp phương trình x 24x m 0

có một nghiệm còn trường hợp phương trình

có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm là -2

Lời giải đúng:

+ Hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang y0,m (Bậc của tử nhỏ hơn bậc

mẫu)

+ Để hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi nghiệm

hoặc có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm là - 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoànthiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạynhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh

Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đãhứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học lýthuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị động, các

em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ đó nâng cao được chất lượnggiáo dục trong nhà trường Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh cũng như chínhquyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà trường

Trong năm học 2018 – 2019 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cholớp 12B1, 12B2 không áp dụng cho lớp 12B3 Sau khi kết thúc kỳ thi THPTQuốc gia năm 2019 kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12B1 có 91% học sinh giảiđược các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng, lớp 12B2 có 87% họcsinh giải được các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng trong khi lớp12B3 chỉ có 31,33%

3 Kết luận – Kiến nghị.

3.1 Kết luận

Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệutham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống lại được một sốsai lầm thường mắc phải của học sinh trong quá trình làm toán trắc nghiệmchương I Giải tích 12 Từ đó phân tích và khắc sâu cho học sinh trong quá trìnhgiảng dạy, giúp các em nhanh chóng tìm ra các đáp án đúng

Với các kết quả đối chiếu ở trên cho thấy những kinh nghiệm nêu ra cũng

đã bước đầu có hiệu quả Do đó, tôi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn gópphần nâng cao hơn nữa kết quả thi THPT hàng năm

Trong năm học này chúng tôi tiếp tục áp dụng cho một số lớp khối 12,

1 6

đồng thời tìm tòi, thu thập thêm những ví dụ, những dạng toán khác và bổ sung

để sáng kiến ngày hoàn thiện hơn

Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp mộtphần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khaithác tốt các bài toán đạo hàm và ứng dụng Đồng thời hình thành khả năng tưduy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm, từ đó tạo hứng thú cho các

em khi học toán Tuy nhiên do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ bảnthân còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoahọc các cấp và của các bạn đồng nghiệp

3.2 Kiến nghị

- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học;

Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn

- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các

buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinhnghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biếnrộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình, không sao chép nội dung củangười khác

Nguyễn Xuân Thông

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1

[1] Đoàn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm

học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam

[2] Lê Hoành Phò, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội

[3] Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm.

[4] Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 1, Nxb

ĐH Quốc Gia Hà Nội

[5] Trần Phương, Hàm số, Nxb ĐHQG Hà Nội

[6] Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán

và câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục.

1 8