SKKN hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số, nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán tại trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN

TOÁN TẠI TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

Người thực hiện: Mai Giáp Tý Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

TẠI TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Đối với mỗi giáo viên việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quantrọng, để có kết quả cao trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngoài việc lựachọn những học sinh có năng lực, đam mê bộ môn học, người thầy còn phải cókiến thức tốt, kinh nghiệm bồi dưỡng và đặc biệt có những giải pháp hiệu quảnhằm khắc phục những khó khăn vướng mắc của học sinh trong quá trình ônluyện giúp học sinh giải quyết các vấn đề khó bằng những phương pháp đơngiản nhưng hiệu quả

Trong những năm vừa qua tối được nhà trường tin tưởng, giao phụ trách ônluyên học sinh giỏi, bản thân cảm thấy rất tự hào coi đây là động lực để tôi cốgắng phấn đấu và tìm tòi phương pháp hay để giải bài tập khó nhằm nâng caochất lượng dạy học và kết quả bồi dường học sinh giỏi

Năm học 2017-2018 đánh dấu mốc quan trọng trong cuộc đời dạy học củacủa tôi Đây là năm đầu tiên tôi có học sinh đạt giải trong kỳ thi học sinh giỏicấp tỉnh Củng là năm đầu tiên Tỉnh Thanh Hóa tổ chức thi học sinh giỏi khối11

Phần “ Dãy số ” là một phần mới trong đề thi, nguồn tài liệu về phần này ởSGK tương đối ít

Để ôn tập cho học sinh phần này, trong lần ôn tập năm học 2017-2018 vànăm nay 2019-2020, tôi đã tìm tòi biên soạn lại, từ nhiều nguồn khác nhau, để

ôn tập cho đội tuyển của mình và thu được nhiều kết quả tốt đẹp

Để có được thành quả đó là cả một quá trình nghiên cứu, tìm tòi, đổi mớiphương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán khó bằngnhững cách làm đơn giản, nhanh gọn nhưng hiệu quả

Với thành ý muốn được chia sẻ với đồng nghiệp trong tỉnh về kinh nghiệmcủa bản thân, tôi xin mạnh dạn chia sẻ kinh nghiệm của mình bằng viết sáng

kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số, nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán tại trường THPT Nông Cống 3" với hi vọng sẽ giúp ích được cho những đồng nghiệp có

tâm huyết, có đam mê với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Tìm số hạng tổng quát của dãy số

- Một số dạng toán dãy số và các vấn đề liên quan

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tự nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

- Phương pháp thực nghiệm và đối chứng

- Phương pháp thống kê tổng hợp

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Đưa ra cách giải về tìm số hạng tổng quát của dãy số mà trong sách giáo khoa Toán 11 không có

- Đề tài gắn liền với thực tế đề thi HSG Toán 11 Tỉnh Thanh Hóa và đề chọn đội tuyển của các trường trên địa bàn Thanh Hóa

- Đề tài trình bày và giải quyết vấn đề thông qua việc giải các bài toán cụ thể

và được chia thành các dạng khác nhau

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u n xác định trên tập số nguyên

N * R

u n : n u ( n) Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1 , u 2 ,u3 , ,u n , .,

trong đó u n u n là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu của dãy số (un )

2.1.3 Số hạng tổng quát của cấp số nhân

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong những năm vừa qua mặc dù kết quả thi học sinh giỏi môn Toán củatrường THPT Nông Cống 3 vẫn được duy trì ở tốp đầu trong toàn huyện vàđược các đồng nghiệp đánh giá cao Tuy nhiên số học sinh đạt giải cao trong kìthi sinh gỏi cấp tỉnh còn ít

Từ những thực tế trên với vai trò là người phụ trách công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi của nhà trường, tôi thiết nghĩ mĩnh phải chịu trách nhiệm về những hạnchế trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường Vì vậy trong nhữngnăm vừa qua tôi cùng các đồng nghiệp đã có những trao đổi về phương phápgiảng dạy trong đó có việc giải quyết vấn đề mới về bài toán Dãy số, một vấn đềmới được đưa vào đề thi HSG tinh Thanh Hóa

Xuất phát từ cơ sở thực trạng trên, tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm củamình sẽ là một đóng góp thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi bộ mônToán ở trường trung học phổ thông hiện nay nên tối quyết định lựa chọn đề tàinày với một thành ý muốn chia sẻ kinh nghiệm tới các đồng nghiệp trong vàngoài nhà trường với mong muốn nó có thể giúp các đồng nghiệp có thêm tưliệu và giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏitrong những năm tới

2.3 Giải pháp cụ thể:

2.3.1 Tìm số hạng tổng quát của một số dạng dãy số

Dạng 1: Dãy số (u n ) : u1 x0 , u n au n 1 b n 2 ( a ,b 0 là các hằng số) cóCTTQ là:

u (n 1)b khi a 1

khi a 1 .

u a n 1 b a n 1 1 1

CSN Tuy nhiên việc làm trên có vè không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biếtphân tích 1 32 1 2 ? Ta có thể làm như sau:

Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn k 1.

Dạng 2: CTTQ của dãy (u n ) được xác định bởi: 1 0

u n a.u n1 f (n)

f ( n ) là một đa thức bậc k theo n ; a là hằng số Ta làm như sau:

* Nếu a 1, ta đặt u n v n n g ( n) với g (n ) là một đa thức theo n bậc k , thay vàocông thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g (n) : ng(n ) (n 1)g(n 1)f(n) ta

v n suy ra ta có CTTQ của dãy (u n )

* Nếu a1, ta đặt u n v n h ( n) với h (n) là một đa thức theo n bậc k Thay vàocông thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h (n) : h ( n ) ah ( n 1) f (n) ta có

Chú ý : Trong trường hợp a ta có thể tìm CTTQ của dãy (u n ) như sau:

x n a.x n1 ( y b).a n nên ta chọn y b

x n x1 a n 1 u n (u1 ab)a n1 bn.a n ab(n 1) u1 a n1

Lời giải v a.2 n

Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (u n ) : u n a.u n 1 b n , ta đặt

u n x y n Khi đó , ta có: x n y n a.x ay n1 b n

u n (u n a.u n 1 ) a(u n 1 u n 2 ) a n2 (u2 au1 ) u1 a n 1 u n b(n 1)a n

trong đó f (n) là đa thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:

* Nếu a 1 ta đặt u n v n x n g(n) , với g ( n) là đa thức theo n bậc k Ta sẽchọn x và g(n) sao cho dãy (v n ) là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được

2Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy

Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy (u n ) nói trên ta có thể trình bày như sau

Xét phương trình đặc trưng (1)

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X1 , X 2 thì u n x.X1n y.X 2n , dựa vào u0 ,u1

ta tìm được x, y

Nếu (1) có nghiệm kép X1 X 2 thì u n (rn s) n , dựa vào u0 ,u1 ta tìm được r, s

Ví dụ 6.1: Xác định CTTQ của dãy (u n ) : u0 1,u1 3, u n1 5u n 6u n1 n 1.

u p ; u q Hãy xác định CTTQ của dãy (u n ) ?

u n1 a.u n b.u n1

Lời giải

f (n) a.u n1 b.u n c.u n1 f (n ) ; n 2

Xác định đa thức g ( n ) : a g ( n ) bg ( n 1) cg ( n 2) f (n) , trong đó g(n)

là: đa thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1; đa thức bậc

Khi xác định được g(n) ta đặt u n x n g ( n) , ta có dãy (x n ) được xác định bởi:

Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách:

Đặt u n x n an 2 bn c Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được

x n 5x n1 6x n1 2an 2 (14a 2b ) n 19a b 2c 2n 2 2n 1

a.u n1 b.u n c.u n1 f (n ) ; n 2

( trong đó f (n) là đa thức theo n và b 2 4ac 0 ).

Lời giải

Đặt u n x n g ( n) với g (n) là một đa thức theo n Thay vào công thức truy hồi

của dãy ta được: a x n b x n 1 c x n2 a g ( n ) b g ( n 1) cg ( n 2) f (n)

(x n ) , từ đó ta tìm được CTTQ của dãy (u n )

Vấn đề còn lại là giải phương trình (*)

Giả sử g ( n ) a k n k a k1n k1 a1n a0 là đa thức bậc k Khi đó hệ số của x k

* Nếu PT (1) có nghiệm kép x 1 a b c 0 và

(b 2c ) k a k (a b c ) a k 1 x k 1 nên VT(*) là một đa thức bậc k 2 Vậy

để chọn g(n ) ta cần chú ý như sau:

g ( n ) là đa thức lớn hơn bậc của f ( n ) một bậc

Nếu (1) có nghiệm kép x 1 thì ta chọn g ( n ) là đa thức có bậc lớn hơn bậc của f ( n ) hai bậc.

xác định bởi: 0 1 c.u d n ; n 2

n

a 2 b c

n

Từ đây sử dụng kết quả dạng 6, ta tìm được x n u n

Nếu xlà nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: u n x d 2 n n , ta có:

n b 2c

Đặt u n x n y.2 n Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT Ta

sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: (u n 2u n 1 ) 3(u n1 2u n2 ) 5.2n Đặt

Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này.

Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:

( (1)gọi là phương trình đặt trưng của dãy)

Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 u n x1n x2 x3

Dựa vào u0 ,u1 , u2 ta tìm được , ,

Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm

kép: x1 x2 x3 u n ( n)x1n x3n

Dựa vào u0 ,u1 , u2 ta tìm được , ,

Nếu (1) có nghiệm bội 3 x1 x2 x3 u n ( n n 2 )x1n Dựa vào u0 ,u1 , u2 ta

Phương trình có 3 nghiệm thực: x1 x2 1, x3 5 Vậy a n n 5 n Cho n 1,n2, n

của hai dãy (x n ),( y n ) ta làm như sau:

Ta biến đổi được: x n1 ( p s)x n ( ps qr)x n1 0 theo kết quả 4 ta xác định được x n ,

Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

của dãy (xn) ta làm như sau:

Đặt u n x n t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:

Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số

n

2 2

Từ dãy truy hồi (u n au n1 )2 bu n21 c u n2 2au n u n1 u n21 c 0

Thay n bởi n 1, ta có: u2 2au u n 2 u2 c 0 u n u n 2 2au n1

Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (u n 5u n1 )2 24u n21 8

u n2 10u n u n1 u n21 8 0 (1) thay n bởi n 1, ta được:

Bài tập 1 :(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018)

u n 2 5u n1 6u n , n 1 u

Bài tập 2 :(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)

lim 8072. n ( n 1)( n 2) 8072lim 1 11 2 0 lim u n 0

được xác định như sau:

2.4.1 Đối với bản thân

Từ năm học 2017-2018 đến nay tôi được nhà trường phân công bồi dưỡnghọc sinh giỏi Tôi đã vận dụng những kinh nghiệm mà mình tích lũy được để ôntập và hướng dẫn học sinh thi học sinh giỏi

Bảng thống kê kết quả HSG môn Toán do tôi trực tiếp giảng dạy

ôn thi học sinh giỏi, là nguồn động lực và là niềm tin để tôi tiếp tục cố gắngphấn đấu và áp dụng kinh nghiệm của mình vào thực tiễn công tác trong nhữngnăm tới

2.4.2 Hiệu quả ứng dụng vào thực tiễn các trường THPT trong tỉnh:

- SKKN có thể áp dụng cho tất cả các trường THPT

- Giới thiệu cho các đồng nghiệp và học sinh một nguồn bài tập hay để áp dụng.

- Khích lệ và cổ vũ phong trào ôn thi học sinh giỏi của các trường THPT trong tỉnh

- Giúp học sinh các trường THPT có thêm kiến thức tham gia kì thi chọnhọc sinh giỏi đạt kết quả tốt nhất; có thêm động lực và niềm tin vào khả năngcủa mình

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Sau một thời gian nghiên cứu, hoàn thành đề tài và vận dụng vào dạy học.bản thân tôi khẳng định đề tài đã mang lại hiệu quả trong công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi Học sinh sau khi được hướng dẫn, các em có thể vận dụngphương pháp tìm số hạng tổng quát vào các bài toán cụ thể trong các đề thi họcsinh giỏi những năm gần đây Giúp trường THPT Nông Cống 3 duy trì được kếtquả thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Mong muốn của tôi là được đóng góp một chút công sức cho giáo dụctỉnh nhà, cổ vũ phong trào ôn thi học sinh giỏi của các trường THPT trong tỉnh,được chia sẻ cách làm của mình với đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường Đâycũng là dịp để bản thân tôi nhìn lại những gì mình đã làm để đạt được thànhcông trong những năm qua Tôi hi vọng kinh nghiệm này sẽ giúp ích được chocác đồng nghiệp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, để các đồng nghiệp

tham khảo, góp ý và áp dụng nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi ở các trường THPT trong toàn tỉnh.

3.2 Kiến nghị

- Tiếp tục đổi mới khâu ra đề thi theo hướng kiểm tra năng lực, đáp ứngđổi mới căn bản toàn diện giáo dục, đảm bảo khách quan, phù hợp với đặc điểmcác môn học

- Đề thi HSG nên lựa chọn các bài toán tạo điều kiện để học sinh chứng tỏ

sự sáng tạo của mình trong quá trình làm bài

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 6 năm 2020

không sao chép nội dung của người khác

Mai Giáp Tý

TAI LIÊU THAM KHAO

1 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

2 Đề thi học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa

3 Đề thi học sinh giỏi môn Toán các trường THPT tỉnh Thanh Hóa

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ

C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Mai Giáp Tý

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Nông Cống 3

trong đề thi ĐH khối A năm 2011

dựng bài toán mới nhằm phát huy

tính tích cự của học sinh”

SKKN “Từ bài toán bất đẳng

2011 giúp học sinh khai thác và

xây dựng bài toán mới nhằm phát

hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi”

cầm tay trong ôn luyện thi

THPT Quốc gia, môn Toán”