SKKN hướng dẫn học sinh giải các bài toán thực tế bằng phương pháp sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Là một giáo viên dạy toán, nhằm cung cấp cho học sinh có được cơ sở đểgiải các bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Hướng dẫn học sinh giải các bài toán

MỤC LỤC

Trang

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……….2

PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của đề tài………3

2.2 Thực trạng của đề tài……… 4

2.3 Giải pháp thực hiện đề tài………5

2.3.1 Cách giải bài toán lãi đơn……….5

2.3.2 Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền một lần……… 6

2.3.3 Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền định kỳ……… 7

2.3.3.1 Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền định kỳ đầu tháng…… 7

2.3.3.2 Cách giải bài toán lãi kép dạng gửi tiền định kỳ cuối tháng…… 9

2.3.4 Cách giải bài toán dạng trả góp………10

2.3.5 Cách giải bài toán gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng………….12

2.3.6 Cách giải các bài toán thực tế liên môn………13

2.3.7 Một số dạng toán liên quan……… 15

2.4 Kết quả thực nghiệm………19

PHẦN 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận………21

3.2 Kiến nghị …….………21

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 22

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Toán học là nền tảng của mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khóa vạn năng

để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho các ngành khoa học kỹ thuật, kinh tế,quân sự và trong cuộc sống

Những năm gần đây, do yêu cầu của thực tiễn, bộ giáo dục đã đổi mới hìnhthức thi THPT quốc gia, chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm Vì vậy ngườigiáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp Trongmỗi tiết dạy cần dạy cho học sinh học được vấn đề gì, chứ không phải giáo viêndạy được gì Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, phần đầu chương II:Chương hàm số mũ- hàm số logarit chỉ nêu phần lí thuyết mà có rất ít ví dụ thực

tế Trong khi cấu trúc đề thi THPT quốc gia và các đề thi thử của các trường, các

sở giáo dục thường xuyên có câu hỏi về dạng toán thực tế, trong đó có rất nhiềudạng toán lãi xuất ngân hàng Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúngtúng và gặp khó khăn khi gặp các bài toán dạng này

Là một giáo viên dạy toán, nhằm cung cấp cho học sinh có được cơ sở đểgiải các bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến

“Hướng dẫn học sinh giải các bài toán thực tế bằng phương pháp sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về lãi suấtngân hàng nhằm phát huy năng lực của học sinh góp phần phát triển năng lực tưduy sáng tạo và kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học2019-2020 Cụ thể là lớp 12E, 12H

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử THPT

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11,12 (phần Cấp

số nhân, Hàm số mũ, hàm số lôgarit)

1.4.2 Phương pháp điều tra thực tế, thu thập thông tin

- Thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá

1.4.3 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

- Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được sau khi tiến hành nghiên cứu

1.4.4 Phương pháp chuyên gia

- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiếnlàm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài.

Dạy học là một quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng

Sự vận động và phát triển mang tính quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy củathầy và hoạt động học của trò

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông, đặc biệt là môn toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu đượctrong đời sống con người

Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời giantrong chương trình học của học sinh Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là

bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tựnhiên của con người Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rènluyện phương pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cáchtốt đẹp cho người lao động trong thời đại mới

Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hoàn thiện, có sức khỏe dẻo dai,rất hiếu động và thích thể hiện mình Các em nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng

sẽ quên ngay khi chúng không tập trung cao độ Vì vậy người giáo viên phải tạo

ra hứng thứ trong học tập và thường xuyên được tập luyện Người dạy cần phảichắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh

Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sungvào năm 2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm cáckiến thức mới, các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lạinhững chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứngthú chú ý hơn vào nội dung bài học Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tinbùng nổ với tốc độ chóng mặt, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm cầnthiết

Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúpcho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toánthực tế về lãi suất ngân hàng và một số dạng tương tự

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Những năm gần đây bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc giacủa môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương phápdạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề thi thử của bộ GD-ĐT và các đề thi thử của các trường THPT,học sinh thường gặp một câu về lãi suất ngân hàng như: Người A muốn gửi vàongân hàng một khoản tiền a, sau một thời gian với lãi suất r%/tháng thì người A

có bao nhiêu tiền Hay hàng tháng người A muốn rút ra một khoản x để tiêuhàng tháng thì sau n tháng người A còn lại bao nhiêu tiền…

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trườngTHPT Thiệu Hóa nói riêng, tư duy hệ thống, logic và khái quát của các em cònhạn chế, rất lúng túng khi gặp các bài toán thực tế Vì vậy khi dạy học, giáo viêncần phải liên hệ nhiều đến những kiến thức thực tế để tăng tính tập trung và các

em vận dụng kiến thức tốt hơn

Đặc biệt, hiện nay có rất nhiều gia đình các em học sinh vay tiền ngân hàng đểđầu tư sản suất, và muốn trả góp hàng tháng, vậy nên trả trong thời gian bao lâu để

phù hợp với sinh hoạt của gia đình Học sinh trường THPT Thiệu Hóa cókhoảng 15% là phụ huynh đi làm ăn xa, hàng tháng gửi tiền về cho con làm chủtài khoản, vậy học sinh cần phải biết nên rút tiền hàng tháng là bao nhiêu, nêngửi lại theo gói lãi suất nào để được nhiều lãi nhất.

Trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia thường có một câu về lãi suất ngânhàng, dạng này được các sở GD-ĐT, các trường THPT liên tục ra trong đề thithử Vì vậy cần phải rèn luyện thành kỹ năng dạng toán này cho các em họcsinh

2.3 Giải pháp thực hiện.

Để hiểu và vận dụng được bài toán lãi suất ngân hàng vào làm đề thi THPTquốc gia, vào thực tế, trước hết giáo viên cần xây dựng các dạng bài thường gặp

2.3.1 Bài toán lãi đơn.

Bài toán 1: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng theo phương thức lãi đơn, với lãi suất hàng tháng là r% Tính tiền Tn cả vốn lẫn lãi sau n tháng.

Vậy số tiền thu được sau n tháng là: T n a (1 nr) (1)

Từ công thức (1) ta suy ra các đại lượng khác là:

Gọi n là số chu kỳ gửi ngân hàng, áp dụng công thức lãi đơn ta có:

4 020 000 3350 000(1 n.0, 04 n 5 (chu kỳ).

Vậy thời gian là 30 tháng

Ví dụ 2: Bạn Lan gửi 1500 USD với lãi suất đơn cố định theo quý Sau 3năm, số tiền bạn ấy nhận được cả gốc lẫn lãi là 2320 USD Hỏi lãi suất tiết kiệm

là bao nhiêu một quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn)

Bài giải:

Đây là bài toán lãi đơn, chu kỳ là một quý

Áp dụng công thức (1), ta có lãi suất trên một quý là:

2320 1500(1 12 r ) r 4,56%

2.3.2 Bài toán lãi kép gửi một lần.

Bài toán 2: Gửi vào ngân hàng số tiền a đồng theo phương thức lãi kép, với lãi suất hàng tháng là r% Tính tiền Tn cả vốn lẫn lãi sau n tháng.

Vậy số tiền thu được sau n tháng là: T n a (1 r) n (2)

Từ công thức (2) ta suy ra các đại lượng khác là:

với lãi suất là 0,71%/tháng theo hình thức lãi kép không kỳ hạn Hỏi sau hainăm rưỡi chị rút hết vốn và lãi về thì số tiền nhận được là bao nhiêu?

Ví dụ 4: Bác Tâm muốn dành dụm một số tiền là 10 triệu đồng để mua một

gói bảo hiểm Hiện tại bác Tâm có 4 triệu đồng, nếu bác Tâm đem số tiền nàygửi ngân hàng theo hình thức lãi kép không kỳ hạn với lãi suất 0,75%/tháng thìsau bao lâu bác Tâm có đủ tiền như mong muốn

Vậy 123 tháng bác Tâm mới đủ số tiền như mong muốn

2.3.3 Bài toán lãi kép gửi định kỳ

2.3.3.1 Bài toán lãi kép gửi định kỳ đầu tháng

Bài toán 3: Cứ đầu mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r

% (tháng hoặc năm) Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao nhiêu?

Bài giải:

Ta xây dựng bảng sau:

Ví dụ 5: Bốn năm nữa con trai anh Quang vào đại học, anh muốn tiết kiệm

cho con một khoản tiền để đi học bằng cách, vào đầu mỗi tháng anh đem gửingân hàng 3 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng Vậy sau 4 năm anh có baonhiêu tiền?

Bài giải:

Gọi số tiền hàng tháng anh Quang gửi vào ngân hàng là mLãi suất hàng tháng của ngân hàng là r%

Cuối tháng thứ 1 anh Quang có số tiền là: T1 m m.r m (1 r)

Đầu tháng thứ 2 anh có số tiền là: m (1 r ) m m ((1 r ) 1) m

T48 m

r ((1 r ) 48 1)(1 r) 3000000

0,75% (1 0,75%) 48 1 (1 0,75%) 173856349 đồng.

Ví dụ 6: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng

với lãi suất 0,6%/tháng Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tínhlãi) thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?

2.3.3.2 Bài toán lãi kép gửi định kỳ cuối tháng

Bài toán 4: Cứ cuối mỗi tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r

% (tháng hoặc năm) Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền thu được là bao

Ta thấy trong ngoặc là tổng n số hạng của cấp số nhân có

Ví dụ 7: Môt ngươi gưi tiêt kiêm ngân hang, cuối môi thang gưi 1 triêu

đông, vơi lai suât kep 1% trên thang Gưi đươc hai năm 3 thang ngươi đo cocông viêc nên đa rut toan bô gôc va lai vê Sô tiên ngươi đo đươc rut la baonhiêu?

Ví dụ 8: Anh Tuấn muốn có 2 tỉ để mua nhà sau 6 năm bằng cách cuối môi

năm gửi vào ngân hàng số tiền bằng nhau vơi lãi suất ngân hàng là 8% môt năm

và lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sanh Tuấn phải gửi vào ngân hàng sôtiên hang năm la bao nhiêu (vơi gia thiết lai suât không thay đôi), sô tiên đươclam tron đên đơn vi nghin đông?

Bài giải:

Áp dụng công thức (4.1) ta có số tiền gửi hàng năm là:

2.3.4 Bài toán vay vốn trả góp

Bài toán 5: Vay ngân hàng A đồng Cứ mỗi tháng (năm) trả ngân hàng m

đồng, lãi suất kép r% (tháng hoặc năm) Hỏi sau n (tháng hoặc năm) số tiền còn

nợ là bao nhiêu?

Ví dụ 9: Anh Nam vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp

(chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5 0 0 / tháng Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu

từ tháng thứ nhất anh Nam trả 30 triệu đồng Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Namtrả hết nợ?

Bài giải:

Gọi A là số tiền vay, r là lãi suất, m là số tiền hàng tháng trả

Theo công thức (5) cuối tháng thứ n số tiền còn là:

Ví dụ 10: Ông Lâm cần 220 triêu đông cho con đi xuất khẩu lao động nên

đã vay ngân hàng va tra gop trong vong 1 năm vơi lai suât 1,15% môi thang Sauđung 1 thang kê tư ngay vay, ông se hoan nơ cho ngân hang vơi sô tiên hoan nơmôi thang la như nhau, hoi môi thang ông Lâm se phai tra bao nhiêu tiên chongân hang, biêt lai suât ngân hang không thay đôi trong thơi gian ông A hoan nơ

2.3.5 Bài toán gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

Bài toán 6: Gửi ngân hàng A đồng Cứ mỗi

hàng tính lãi, rút ra số tiền m đồng, lãi suất kép r%

(tháng hoặc năm) số tiền còn lại là bao nhiêu?

Để rút hết tiền sau n tháng thì số tiền còn lại sẽ bằng 0 Khi đó

A 1 r n m 1 r n 1 0 Suy ra m A 1 r n r(6.2)

1 r n 1

r

Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 11: Khi bắt đầu vào đại học bạn Chi được gia đình cho gửi tiết kiệm

200 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất kép 0,35% tháng.Nếu mỗi tháng bạn ấy rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãihàng tháng Hỏi Chi rút ra bao nhiêu tiền để sau 4 năm số tiền vừa hết

Ví dụ 12: Ngày 01 tháng 01 năm 2019, ông An đem 800 triệu đồng gửi vào

một ngân hàng với lãi suất 0,5% một tháng Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đếnngân hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình Hỏi đến ngày 01 tháng 01 năm

2020 sau khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại là bao nhiêu? Biết rằnglãi suất trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi

Bài giải:

Từ ngày 01 / 01 /2019 đến ngày 01 / 01 /2020, ông An gửi được tròn 12 tháng

Áp dụng công thức (6), số tiền còn lại của ông An là:

T n A 1 r n m 1 r n 1 800 1,005 12 6 1,00512 1 775,329 (triệu)

0,005

r

2.3.6 Bài toán thực tế liên môn.

Bài toán 7 (Lãi kép liên tục): Gửi vào ngân hàng với số vốn ban đầu là A

đồng theo thể thức lãi kép với lãi suất r% /năm Sau n năm số tiền nhận được cảvốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Bài giải:

Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /năm thì số tiền nhận được cảvốn lẫn lãi sau n năm n * là: S n A 1 r n Giả sử ta chia mỗi năm thành

m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là m r% thì số tiền thu được sau nnăm là

Ví dụ 13: Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S A.e Nr

(trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệtăng dân số hàng năm) Đầu năm 2015 dân số tỉnh B là 1.038.229 người tính đếnđầu năm 2020 dân số của tỉnh là 1.153.600 người Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàngnăm giữ nguyên thì đầu năm 2030 dân số của tỉnh là bao nhiêu người?

Ví dụ 14: Số lượng của một loài vi khuẩn trong phòng thí nghiệm được

tính theo công thức S (t ) Aert , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, S t là

số lượng vi khuẩn có sau t (phút), r là tỷ lệ tăng trưởng r0 , t (tính theo phút) là

thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 con

và sau 5 giờ có 1500 con Hỏi sao bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con?

Ví dụ 15: Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg)

tại độ cao x (đo bằng mét) so với mực nước biển được tính theo công

thức P P0e xl , trong đó mmHg là áp suất không khí ở mức nước biển, l

là hệ số suy giảm Biết rằng ở độ cao 1000 mét thì áp suất không khí là

mmHg Hỏi áp suất ở đỉnh Fanxipan cao 3143m là bao nhiêu?

Bài giải:

Ở độ cao 1000 mét áp suất không khí là 672, 71 mmHg

672,71

2.3.7 Một số dạng toán liên quan

Học sinh trường THPT Thiệu hóa nói chung gặp các bài toán thực tế các

em rất lúng túng nên khi các em nhớ được công thức rồi, tôi sẽ cho các em làm các đề thi thử trắc ngiệm để các em phân dạng được bài toán và áp dụng công thức thành thạo.

Bài 1: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2020).

15

Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.10 5 (m3 ) , biết tốc độ sinh trưởng của các

cây ở khu rừng đó là mỗi năm Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét

khối gỗ là bao nhiêu?

A 4.105.(1, 4)5 4.10 5 C 4.105.(0, 04)5 D 4.105.(1, 04)5

Bài giải:

Bài toán này được hiểu và làm như dạng bài lãi suất ngân hàng (Bài toán 2)

Áp dụng công thức (2), sau 5 năm số gỗ của khu rừng đó là:

G5 4.10 5 (1 r) 5 4.10 5 (1 4%) 5 4.10 5 (1, 04)5 (chọn D).

Bài 2: (Đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa)

Bạn Xuân trong thời gian 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm 10triệu đồng với lãi suất 3%năm.( Thử tục vay một năm một lần vào đầu năm học.Khi ra trường Xuân thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng ngay, nhưngphải chịu lãi suất 8%năm Sau một năm Xuân tìm được việc làm và trả nợ dần.Hỏi số tiền Xuân phải trả sau 4 năm đại học và một năm thất nghiệp là?

Bài 3: (Đề thi thử trường THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ)

Năm 2016, số tiền để đổ đầy một bình xăng cho một chiếc xe máy trungbình là 70.000 đồng Giả sử tỷ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm tới

B

r 4%