Hướng dẫn học sinh trường THPT nông cống 3 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán trắc nghiệm chương i giải tích 12

Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được trình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạo hàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm đ

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán THPT Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được trình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạo hàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm được trình bày trong học kỳ I lớp 12 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm

và ứng dụng đạo hàm là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia Chúng ta có thể kể đến một số ứng dụng của đạo hàm: Xét tính đơn điệu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của hàm số; cực trị hàm số…

Phần ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên là một phần không quá khó với học sinh nếu không muốn nói là phần “lấy điểm” của học sinh Tuy nhiên, việc giải quyết các bài toán hàm số nhanh và hiệu quả là điều mà ít học sinh làm được nhất là trong bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia đổi từ hình thức thi

tự luận sang trắc nghiệm Tính ưu việt của hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan là điều không thể phủ nhận Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độ nhận biết, thông hiểu đa số các em học sinh làm được, song các em rất hay sai lầm trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thyết hoặc vội vàng kết luận khi chưa kiểm tra kĩ Do đó, hướng dẫn các

em học sinh có kĩ năng làm tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan và tránh những sai lầm đáng tiếc là một yêu cầu cần thiết Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài

liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh trường

THPT Nông Cống 3 khắc phục một số sai lầm khi giải bài toán trắc nghiệm

chương I Giải tích 12” với mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức

cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số kỹ năng giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giải giải bài toán trắc nghiệm nhanh hơn bằng kiến thức cơ bản đã học nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp cho

học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các

kì thi THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài sẽ nghiên cứu đối với các câu hỏi trắc nghiệm trong chương I Giải tích 12 và được thử nghiệm đối với học sinh lớp 12B1, 12B2 năm học 2018

-2019 Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một số

dạng toán mà học sinh thường hay mắc sai lầm để phân tích, chỉ ra các sai lầm

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Khái niệm đạo hàm

2.1.1.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

2.1.1.1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x o ¿ (a;b).

 Đạo hàm của hàm số tại điểm x o, ký hiệu f’(x o ) hoặc y’(x o) Ta có:

f’(xo) = x→ xlim0

f ( x )−f ( x0)

x−x0

 Đặt Δ x = x – xo (gọi là số gia của biến số tại điểm x o) và

Δ y = f(x) – f(xo ) = f(x o + Δ x) – f(xo) (gọi là số gia của hàm số ứng với số gia Δ x tại điểm xo)

Ta có: f’(xo) = Δx→0lim

f (x0+Δx )−f ( x0)

Δx =Δx→ 0lim

Δy Δx

 Chú ý: Δx , Δy chỉ là những ký hiệu, không nhất thiết chỉ mang dấu

dương, không được hiểu Δx=Δ x

2.1.1.1.2 Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:

Cách 1: Tính trực tiếp f’(xo) = x → xlim0

f (x )−f ( x0)

x−x0

Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, ta thực hiện 2 bước:

Bước 1: Tính Δy=f (x0+Δx )−f ( x0) , ( Δx là số gia của biến tại xo)

Bước 2: Tìm Δx→0lim

Δy

Δx và kết luận

Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x o thì f(x) liên tục tại x o

2.1.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

 Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số

góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M o (x o; f(xo))

 Phương trình tiếp tuyến của đường cong

Cho đường cong (C) : y = f(x) (f(x) có đạo hàm tại điểm xo)

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M o (xo;f(xo)) ¿ (C) có phương

trình:

y− y0=f '( x0)(x−x0)⇔y=f ' ( x0)(x−x0)+f ( x0)

2.1.1.3 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng.

Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D, D là một khoảng hay

hợp của nhiều khoảng

* Định nghĩa:

+ Hàm số f gọi là có đạo hàm trên tập D nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc D.

+ Đạo hàm của hàm số f được ký hiệu là f’(x) hoặc y’.

Chú ý: Tính đạo hàm của hàm số mà không nói rõ tính tại điểm nào, ta

hiểu tính trên toàn TXĐ

* Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số f.

Ta thực hiện:

Bước 1: Tính Δy=f (x +Δx )−f ( x ).

Bước 2: Tìm Δx→0lim

Δy

Δx và kết luận: y’ = …

2.1.1.4 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho u u x v v x C  ;   ; :

là hằng số

 Tổng, hiệu: u v u v.

 Tích:  uv.  u v v u    C u.  C u 

 Thương:             

v

 Đạo hàm hàm hợp: Nếu yf u u u x ,     y x y u u  x

2.1.1.5 Bảng công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp

 C  0

(C là hằng số).   





 







 

 

 

x

 x   x 

x

1

0 2

u   u u



 

 

   u   

2

sinx cosx sinu u cosu

cosx  sinx cosuu sinu

x

2

1 tan

u

u

2

tan

cos

x

2

1 cot

u

2

cot

sin

 e x  e x  e u u e u

 a x a x.lna  a u  u a lnu a

 x 

x

1

u u

ln

ln

a x



log

.ln

2.1.2 Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

2.1.2.1 Định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số yf x 

xác định trên K ta có:

 Hàm số yf x 

được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

x x1, 2K x, 1x2  f x1 f x2

 Hàm số yf x 

được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

* Nhận xét:

 Hàm số f x 

đồng biến trên K



Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải

 Hàm số f x 

nghịch biến trên K



Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

x x1, 2K x, 1x2 f x1  f x2

 Nếu f x   0, x  a b; 

hàm số f x 

đồng biến trên khoảng  a b;

 Nếu f x   0,  x a b;   hàm số f x 

nghịch biến trên khoảng  a b;



Nếu f x   0, x  a b;

 hàm số f x 

không đổi trên khoảng  a b;

 Nếu f x 

đồng biến trên khoảng  a b;  f x   0, x  a b;

 Nếu f x 

nghịch biến trên khoảng  a b;  f x     0, x  a b;

 Nếu thay đổi khoảng  a b;

bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm sốf x 

liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng

đó”

2.1.2.2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu f x'   0

với mọi x K và f x'   0

chỉ tại một số hữu hạn điểm

x K thì hàm số f đồng biến trên K .

 Nếu f x'   0

với mọi x K và f x'   0

chỉ tại một số hữu hạn điểm

x K thì hàm số f nghịch biến trên K .

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ



   thì dấu " "  khi xét dấu đạo hàm y không xảy ra

2.1.3 Cực trị hàm số

2.1.3.1 Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0K Ta nói:

 x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a b;  chứa x0

sao cho a b;  Kvà f x   f x 0 ,  x    a b; \ x0

Khi đó f x 0 được gọi

là giá trị cực tiểu của hàm sốf

 x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b;

chứa x0

sao cho a b;  K

và f x   f x 0 ,  x    a b; \ x0

Khi đó f x 0

được gọi

là giá trị cực đại của hàm sốf

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm

số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

 Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm x f x0;  0 

được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

* Nhận xét:

 Giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0

nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; f x 0

chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng  a b;

nào đó chứa x0hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho f x 0

là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng  a b;

 Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tậpK Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước

2.1.3.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số yf x 

đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu yf x 

có đạo hàm tại điểm x0 thì f x 0  0.

Chú ý:

 Đạo hàm f x 

có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo

hàm

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

2.1.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2:

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f x' 0  0

 Nếu f x   0

trên khoảng x0 h x; 0

vàf x   0

trên khoảng x x0; 0h

thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x  

 Nếu f x   0

trên khoảng x0 h x; 0

và f x   0

trên khoảng x x0; 0 h

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

2.1.3.4 Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f x  

 Bước 2 : Tìm các điểm x i i  1;2; 

mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng

0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f x 

Nếu f x 

đổi dấu

khi đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Định lí 3:

Giả sử yf x 

có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0 h x; 0h

với h 0. Khi đó:

 Nếu f x 0  0, f x 0  0

thì hàm số f đạt cực đại tại x0

 Nếu f x 0  0, f x 0  0

thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f x  

 Bước 2 : Tìm các nghiệm x i i  1;2; 

của phương trình f x   0.

 Bước 3: Tính f x 

và tính f x  i

 Nếu f x i  0

thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x i

 Nếu f x i  0

thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x i.

2.1.4 Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

2.1.4.1 Định nghĩa.

Cho hàm số yf x 

xác định trên tập D.

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số yf x 

trên D nếu:

x0 D f x0 M

, ( )





 Kí hiệu: M max ( )x D f x





 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x 

trên D nếu:

x0 D f x0 m

, ( )





 Kí hiệu: m min ( )x D f x





2.1.4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN

2.1.4.2.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1 : Tính f x 

và tìm các điểm x x1, , ,2 x n D mà tại đó f x   0 hoặc hàm số không có đạo hàm

 Bước 2 : Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số

2.1.4.2.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Bước 1 :

 Hàm số đã cho yf x 

xác định và liên tục trên đoạn a b; 

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng  a b;

, tại đó f x   0

hoặc f x 

không xác định

 Bước 2 : Tính f a f x     , 1 ,f x2 , ,f x   n ,f b .

 Bước 3 : Khi đó:

 max f x a b   max f x    1 f x2 f x     n f a f b

 

 



 

a b

2.1.4.2.3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Bước 1: Tính đạo hàm f x( )

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i  ( ; )a b của phương trình f x( ) 0 và tất

cả các điểm i  ( ; )a b làm cho f x( ) không xác định

 Bước 3 Tính A x alim ( )f x







, B x blim ( )f x







, f x( )i , f( )i

 Bước 4 So sánh các giá trị tính được và kết luận M a b f x

( ; )

max ( )



,

a b

( ; )

min ( )



Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn

nhất (nhỏ nhất)

Chú ý:

 Nếu yf x 

đồng biến trên a b;  thì

a b

a b

;

;

min max

 

 

 

 









 Nếu yf x 

nghịch biến trên a b;  thì

 

 

 

 

 

 











a b

a b

;

;

min ( )

max ( )

 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất trên khoảng đó

2.1.5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2.1.5.1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số yf x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

a;  ,   ;b

hoặc    ; 

) Đường thẳng y y 0 là đường tiệm cận ngang

(hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số yf x( ) nếu ít nhất một trong các điều

kiện sau được thỏa mãn: xlim ( )f x y0, lim ( )x f x y0

2.1.5.2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng)

của đồ thị hàm số yf x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa

mãn:

x x f x x x f x

lim ( ) , lim ( )

x x f x x x f x

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng





ax b

tiệm cận ngang là 

a y

c và tiệm cận đứng 

d x

c.

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia

chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán đạo hàm và ứng dụng

luôn xuất hiện Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độ nhận biết, thông hiểu

đa số các em học sinh làm được, song các em rất hay sai lầm trong việc giải dẫn

đến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết hoặc vội

vàng kết luận khi chưa kiểm tra kĩ Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các

phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, hướng dẫn các em học

sinh có kĩ năng làm tốt bài kiểm tra trắc nghiệm khách quan và tránh những sai

lầm đáng tiếc là một yêu cầu cần thiết

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay

nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó

yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán đạo

hàm và ứng dụng

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức

của học sinh

- Trong mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất

cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể:

2.3.1 Bài toán : Tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x( ) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A '( ) 0f x  , với  x( ; )a b  f x đồng biến trên khoảng ( ; )( ) a b

B '( ) 0f x  , với  x[ ; ]a b  f x đồng biến trên đoạn [ ; ]( ) a b

C ( )f x đồng biến trên khoảng ( ; ) a b  f x  , với  ( ; )'( ) 0 x a b

D ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ; ) a b  f x  , với  ( ; )'( ) 0 x a b

Sai lầm thường gặp:

Ở câu này, học sinh sẽ băn khoăn giữa hai lựa chọn đáp án A hay C Nếu

không nắm chắc kiến thức học sinh khó có thể lựa chọn được đáp án đúng Học

sinh quen đã làm quen với hàm bậc ba, hàm trùng phương hay bậc hai trên bậc

nhất thì học sinh sẽ chọn ngay đáp án C Bởi vì với lý luận mà học sinh hay làm

bài tập là: “Hàm số đồng biến trên ( ; )a b khi và chỉ khi '( ) 0 f x  , với  ( ; ) x a b

” Sai lầm của học sinh khi chọn đáp án C là ngộ nhận những kiến thức của bài

tập mà học sinh hay làm

- Đáp án D sai vì nếu '( ) 0f x  , với  x( ; )a b thì f (x) nghịch biến trên

khoảng ( ; )a b

- Đáp án B sai bởi vì hàm số '( )f x có thể không xác định tại a b, nhưng

vẫn đồng biến trên a b;  Ví dụ hàm số y x đồng biến trên 0; 1 nhưng

'( )

f x không xác định tại x = 0.

- Đáp án C sai vì thiếu f x '( ) 0 tồn tai hữu hạn điểm Mặt khác nếu xét

hàm số

ax b

y

cx d





 có y' 0 ad bc 0 và suy ra hàm phân thức đó là hàm hằng

Dẫn đến không thỏa mãn với yêu cầu