Hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số, nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán tại trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

TẠI TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

Người thực hiện: Mai Giáp Tý Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

Tài liệu tham khảo

Danh mục SKKN đã được xếp loại

2223

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

TẠI TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Đối với mỗi giáo viên việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quantrọng, để có kết quả cao trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngoài việc lựachọn những học sinh có năng lực, đam mê bộ môn học, người thầy còn phải cókiến thức tốt, kinh nghiệm bồi dưỡng và đặc biệt có những giải pháp hiệu quảnhằm khắc phục những khó khăn vướng mắc của học sinh trong quá trình ônluyện giúp học sinh giải quyết các vấn đề khó bằng những phương pháp đơngiản nhưng hiệu quả

Trong những năm vừa qua tối được nhà trường tin tưởng, giao phụ trách ônluyên học sinh giỏi, bản thân cảm thấy rất tự hào coi đây là động lực để tôi cốgắng phấn đấu và tìm tòi phương pháp hay để giải bài tập khó nhằm nâng caochất lượng dạy học và kết quả bồi dường học sinh giỏi

Năm học 2017-2018 đánh dấu mốc quan trọng trong cuộc đời dạy học củacủa tôi Đây là năm đầu tiên tôi có học sinh đạt giải trong kỳ thi học sinh giỏicấp tỉnh Củng là năm đầu tiên Tỉnh Thanh Hóa tổ chức thi học sinh giỏi khối11

Phần “ Dãy số ” là một phần mới trong đề thi, nguồn tài liệu về phần này ởSGK tương đối ít

Để ôn tập cho học sinh phần này, trong lần ôn tập năm học 2017-2018 vànăm nay 2019-2020, tôi đã tìm tòi biên soạn lại, từ nhiều nguồn khác nhau, để

ôn tập cho đội tuyển của mình và thu được nhiều kết quả tốt đẹp

Để có được thành quả đó là cả một quá trình nghiên cứu, tìm tòi, đổi mớiphương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán khó bằngnhững cách làm đơn giản, nhanh gọn nhưng hiệu quả

Với thành ý muốn được chia sẻ với đồng nghiệp trong tỉnh về kinh nghiệmcủa bản thân, tôi xin mạnh dạn chia sẻ kinh nghiệm của mình bằng viết sáng

kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số,

nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán tại trường THPT Nông Cống 3" với hi vọng sẽ giúp ích được cho những đồng nghiệp có

tâm huyết, có đam mê với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Tìm số hạng tổng quát của dãy số

- Một số dạng toán dãy số và các vấn đề liên quan

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tự nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

- Phương pháp thực nghiệm và đối chứng

- Phương pháp thống kê tổng hợp

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Đưa ra cách giải về tìm số hạng tổng quát của dãy số mà trong sách giáokhoa Toán 11 không có

- Đề tài gắn liền với thực tế đề thi HSG Toán 11 Tỉnh Thanh Hóa và đề chọnđội tuyển của các trường trên địa bàn Thanh Hóa

- Đề tài trình bày và giải quyết vấn đề thông qua việc giải các bài toán cụ thể

và được chia thành các dạng khác nhau

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên n

dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

trong đó u n  = u n( )là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạngđầu của dãy số (un )

2.1.3 Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Định nghĩa: Dãy số ( )u có tính chất n u n+1=q u n ∀ ∈n ¥ gọi là cấp số nhân *

công bội q

1

n n

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong những năm vừa qua mặc dù kết quả thi học sinh giỏi môn Toán củatrường THPT Nông Cống 3 vẫn được duy trì ở tốp đầu trong toàn huyện và đượccác đồng nghiệp đánh giá cao Tuy nhiên số học sinh đạt giải cao trong kì thisinh gỏi cấp tỉnh còn ít

Từ những thực tế trên với vai trò là người phụ trách công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi của nhà trường, tôi thiết nghĩ mĩnh phải chịu trách nhiệm về những hạnchế trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường Vì vậy trong nhữngnăm vừa qua tôi cùng các đồng nghiệp đã có những trao đổi về phương phápgiảng dạy trong đó có việc giải quyết vấn đề mới về bài toán Dãy số, một vấn đềmới được đưa vào đề thi HSG tinh Thanh Hóa

Xuất phát từ cơ sở thực trạng trên, tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm của

mình sẽ là một đóng góp thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi bộ mônToán ở trường trung học phổ thông hiện nay nên tối quyết định lựa chọn đề tàinày với một thành ý muốn chia sẻ kinh nghiệm tới các đồng nghiệp trong vàngoài nhà trường với mong muốn nó có thể giúp các đồng nghiệp có thêm tưliệu và giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏitrong những năm tới

2.3 Giải pháp cụ thể:

2.3.1 Tìm số hạng tổng quát của một số dạng dãy số

Dạng 1: Dãy số ( ) :u n u1=x u0, n =au n−1+ ∀ ≥b n 2 ( ,a b≠0 là các hằng số) có CTTQ là:

1

1 1

1

( 1) khi 1

1

thức truy hồi của dãy về (*), từ đó ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy ( )v là một n

CSN Tuy nhiên việc làm trên có vè không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích 1 3 1

k l

f n là một đa thức bậc k theo n ; a là hằng số Ta làm như sau:

* Nếu a=1, ta đặt u n = +v n n g n ( ) với ( )g n là một đa thức theo n bậc k , thay

vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn ( ) :g n ng n( ) (− −n 1) (g n− =1) f n( )ta

có được dãy ( )v là CSN với công bội n q=1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy

( )v suy ra ta có CTTQ của dãy ( ) n u n

* Nếu a≠1, ta đặt u n = +v n h n( ) với ( )h n là một đa thức theo n bậc k Thay

vào công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn ( ) :h n h n( )−ah n( − =1) f n( ) ta có được dãy ( )v là CSN với công bội q a n = từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )v n

Suy ra ta có CTTQ của dãy ( )u n

n

n n

u u

3 2 ; 2,3,

u u

=

−1

5 2.3 6.7 12 ; 2,3,

u u

u = +v xα +g n , với ( )g n là đa thức theo n bậc k

Ta sẽ chọn x và ( ) g n sao cho dãy ( ) v là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được n

CTTQ của dãy ( )v từ đó ta có CTTQ dãy ( ) n u n

* Nếu a=1 thì ta tìm được u theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3 n

Ví dụ 5: Tìm CTTQ của dãy 1

1

1( ) :

u u

Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy ( ) u nói trên ta có thể trình bày như sau n

Gọi ,x y là hai số thỏa mãn: 4 ,

1

x y

x y xy

• Khi xác định được ( )g n ta đặt u n = +x n g n( ), ta có dãy ( )x được xác định n

Đặt u n = +x n g n( ) với ( )g n là một đa thức theo n Thay vào công thức truy hồi

của dãy ta được: a x n +b x n−1+c x n−2+a g n ( )+b g n ( − +1) cg n( − =2) f n( )

Vậy để chọn ( )g n ta cần chú ý như sau:

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì ( )g n là một đa thức cùng bậc với ( ) f n

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn( )

g n là đa thức lớn hơn bậc của ( ) f n một bậc.

Nếu (1) có nghiệm kép x=1 thì ta chọn ( )g n là đa thức có bậc lớn hơn bậc

Để xác định CTTQ của dãy ( )u ta làm như sau: n

• Nếu phương trình : X2 +bX c+ =0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác α thì tađặt

Từ đây sử dụng kết quả dạng 6, ta tìm được x n ⇒u n

• Nếu x=α là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt:

2

.2

a x + +bx +c x − = Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n ⇒u n

• Nếu x=α là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: 2 2

u = +x y Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT

Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: ( 2 1) 3( 1 2 2) 5.2n

0 1

1 2

1; 23( ) :

u = +x y thì khi thay vào công thức truy hồi

của dãy ta không xác định được y !

Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này

Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:

Để xác định CTTQ của dãy ta xét phương trình: ax3 +bx2 + + =cx d 0 (1)

( (1)gọi là phương trình đặt trưng của dãy)

• Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt 1, ,2 3 1n 2n 3n

n

x x x ⇒u =αx +βx +γx Dựa vào u u u ta tìm được , ,0, ,1 2 α β γ

• Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép:

• Nếu (1) có nghiệm bội 3 2

( ),( ) :



của hai dãy ( ),( )x n y ta làm như sau: n

Ta biến đổi được: x n+1−(p s x+ ) n +(ps qr x− ) n−1=0 theo kết quả 4 ta xác định được x , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được n y n

Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

Ta đưa vào các tham số phụ λ, 'λ

λ

λλ

Đặt u n = +x n t, thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:

22.3 242

Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số

Ví dụ 12.2: Xác định CTTQ của dãy số

1 2 1 1

2

22

= (*).

2 2

n

u u

=

u u

1 1

− +

Bài tập 2 :(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2018-2019)

Bài tập 1 :(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018)

Cho dãy số ( )u xác định như sau n 1 2

+ +

=

20

2 28072.

u n

→+∞ =

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Đối với bản thân

Từ năm học 2017-2018 đến nay tôi được nhà trường phân công bồi dưỡnghọc sinh giỏi Tôi đã vận dụng những kinh nghiệm mà mình tích lũy được để ôntập và hướng dẫn học sinh thi học sinh giỏi

Bảng thống kê kết quả HSG môn Toán do tôi trực tiếp giảng dạy

ôn thi học sinh giỏi, là nguồn động lực và là niềm tin để tôi tiếp tục cố gắngphấn đấu và áp dụng kinh nghiệm của mình vào thực tiễn công tác trong nhữngnăm tới

2.4.2 Hiệu quả ứng dụng vào thực tiễn các trường THPT trong tỉnh:

- SKKN có thể áp dụng cho tất cả các trường THPT

- Giới thiệu cho các đồng nghiệp và học sinh một nguồn bài tập hay để áp dụng

- Khích lệ và cổ vũ phong trào ôn thi học sinh giỏi của các trường THPTtrong tỉnh

- Giúp học sinh các trường THPT có thêm kiến thức tham gia kì thi chọnhọc sinh giỏi đạt kết quả tốt nhất; có thêm động lực và niềm tin vào khả năngcủa mình

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Sau một thời gian nghiên cứu, hoàn thành đề tài và vận dụng vào dạy học.bản thân tôi khẳng định đề tài đã mang lại hiệu quả trong công tác bồi dưỡnghọc sinh giỏi Học sinh sau khi được hướng dẫn, các em có thể vận dụng phươngpháp tìm số hạng tổng quát vào các bài toán cụ thể trong các đề thi học sinh giỏinhững năm gần đây Giúp trường THPT Nông Cống 3 duy trì được kết quả thihọc sinh giỏi cấp tỉnh

Mong muốn của tôi là được đóng góp một chút công sức cho giáo dụctỉnh nhà, cổ vũ phong trào ôn thi học sinh giỏi của các trường THPT trong tỉnh,được chia sẻ cách làm của mình với đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường Đâycũng là dịp để bản thân tôi nhìn lại những gì mình đã làm để đạt được thànhcông trong những năm qua Tôi hi vọng kinh nghiệm này sẽ giúp ích được chocác đồng nghiệp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, để các đồng nghiệp

tham khảo, góp ý và áp dụng nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi ởcác trường THPT trong toàn tỉnh.

3.2 Kiến nghị

- Tiếp tục đổi mới khâu ra đề thi theo hướng kiểm tra năng lực, đáp ứngđổi mới căn bản toàn diện giáo dục, đảm bảo khách quan, phù hợp với đặc điểmcác môn học

- Đề thi HSG nên lựa chọn các bài toán tạo điều kiện để học sinh chứng tỏ

sự sáng tạo của mình trong quá trình làm bài

HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Mai Giáp Tý

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

2 Đề thi học sinh giỏi môn Toán tỉnh Thanh Hóa

3 Đề thi học sinh giỏi môn Toán các trường THPT tỉnh Thanh Hóa

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Mai Giáp Tý

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Nông Cống 3

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1

SKKN “Từ bài hệ phương trình

trong đề thi ĐH khối A năm 2011

giúp học sinh khai thác và xây

dựng bài toán mới nhằm phát huy

tính tích cự của học sinh”

2

SKKN “Từ bài toán bất đẳng

thức trong đề thi ĐH khối A năm

2011 giúp học sinh khai thác và

xây dựng bài toán mới nhằm phát

hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi”

3

SKKN “Sử dụng máy tính

cầm tay trong ôn luyện thi

THPT Quốc gia, môn Toán”