Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 khắc phục một số sai một số sai lầm khi giải bài tập tổ hợp – xác suất

Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần tổ hợp, xác suất tôi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, không có kĩ năng trình b

Trang 1

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Tổ hợp – Xác suất chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán THPT Nội dung về tổ hợp, xác suất được trình bày trong chương trình giải tích

11 Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song tổ hợp xác suất là nội dung luôn xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia

Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần tổ hợp, xác suất tôi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, không có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra lời giải Do đó, hướng dẫn hoc sinh khắc phục một số sai lầm khi giải một số bài tập chương II Đại số và Giải tích 11 là một yêu cầu cần thiết Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa

chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 3 khắc phục một số sai lầm khi giải bài tập Tổ hợp – Xác suất” với mong muốn trang

bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó đưa ra một số kỹ

năng giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn, chặt chẽ hơn bằng kiến thức cơ bản

đã học góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán, hạn chế sai lầm trong

bài làm Từ đó cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Sáng kiến được nghiên cứu đối với các bài tập về đại số tổ hợp trong chương trình đại số và giải tích lớp 11 và được áp dụng đối với học sinh lớp 11A6, 11A7 năm học 2019 - 2020 Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một

số ví dụ điển hình cho một số dạng toán mà học sinh thường hay mắc sai lầm để phân tích, chỉ ra các sai lầm

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11;

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

Trang 2

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Quy tắc cộng: Một công việc được thực hiện bởi một trong hai hành động Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách

thực hiện và không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công

việc đó có m+n cách hoàn thành.

2.2.2 Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

2.1.3 Hoán vị: Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ

tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Kí hiệu: P n n!n n 1 n 2 3.2.1 Quy ước 0!=1

2.1.4 Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử n 1 Kết quả của việc lấy ra k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

!

1 1 ;

!

n

n k



2.1.5 Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử n 1 .Mỗi tập con gồm k phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu:  

!

k

n

n C

k n k





Tính chất

2.1.6 Nhị thức Niu-tơn

Công thức khai triển:

0

k



Số hạng tổng quát: 1

k n k k

T C a b

 

2.1.7 Xác suất

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó

- Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử Kí hiệu



- Biến cố là tập con của không gian mẫu

Trang 3

- Tập \A là biến cố đối của biến cố A kí hiệu A.

- Tập  là biến cố không thể, tập  là biến cố chắc chắn

- Hợp của hai biến cố A B, giao của hai biến cốA B , hai biến cố xung khắc

A B 

- Các công thức về xác suất

+ Định nghĩa:  

 

n A

P A

n



 , n A  số phần tử của tập A, n  số phần tử của không gian mẫu

+ P A B(  )P A( )P B( ) (công thức cộng): Nếu A, B xung khắc

+ P AB( )P A P B( ) ( ) (công thức nhân) : Nếu A, B độc lập

+ P A( ) 1 - ( ) P A

+ P  0 , P  1 , 0P A  1, A

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán tổ hợp, xác suất thường hay xuất hiện, với mục đích của nhà giáo dục dành cho những học sinh

có học lực khá, giỏi Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần tổ hợp, xác suất tôi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, không có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra lời giải Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, hướng dẫn hoc sinh khắc phục một số sai lầm khi giải một số bài tập chương II Đại số và Giải tích là một yêu cầu cần thiết

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán tổ hợp, xác suất

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

- Trong mỗi bài toán tổ hợp xác suất đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể:

Trang 4

Trong quá trình làm bài tập học sinh thường nhớ cách làm các dạng bài tập Tuy nhiên, học sinh lại không hay chú ý đến điều kiện của bài toán nên thường xét thiếu hoặc thừa các trường hợp, dẫn đến những sai lầm khi giải toán

Ta xét 2 ví dụ tương tự sau:

Ví dụ 1: Cho tập hợp A 1;2;3;4 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong

đó chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác chỉ xuất hiện một lần

Cách 1:

- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta chỉ cần viết số có 4 chữ số sau đó chèn thêm

số 1 vào bất cứ vị trí nào Ta có 5 vị trí để chèn thêm số 1

- Gọi số có 4 chữ số khác nhau là abcd

- Chữ số a có 4 cách viết, chữ số b có 3 cách viết, chữ số c có 2 cách viết, chữ số

d có 1 cách viết nên có 4.3.2.1 24  số có 4 chữ số khác nhau

Vậy có 5.24 120  số thỏa mãn yêu cầu

Cách 2:

- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta coi tập hợp A có hai số 1 và mỗi chữ số chỉ xuất hiện một lần Vậy tập hợp A có 5 phần tử.

- Gọi số cần tìm là abcde

- Chữ số a có 5 cách viết, chữ số b có 4 cách viết, chữ số c có 3 cách viết, chữ số

d có 2 cách viết, chữ số e có 1 cách viết.

Ví dụ 2: Cho tập hợp A 0;1;2;3 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong

đó chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác chỉ xuất hiện một lần

Cách 1:

- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta chỉ cần viết số có 4 chữ số sau đó chèn thêm

số 1 vào bất cứ vị trí nào Ta có 5 vị trí để chèn thêm số 1

- Gọi số có 4 chữ số khác nhau là abcd a , 0

- Chữ số a ≠ 0 nên có 3 cách viết, chữ số b có 3 cách viết, chữ số c có 2 cách viết, chữ số d có 1 cách viết nên có 3.3.2.1 18  số có 4 chữ số khác nhau

Cách 2:

- Vì chữ số 1 có mặt hai lần nên ta coi tập hợp A có hai số 1 và mỗi chữ số chỉ xuất hiện một lần Vậy tập hợp A có 5 phần tử.

- Gọi số cần tìm là abcde

- Chữ số a ≠ 0 nên có 4 cách viết, chữ số b có 4 cách viết, chữ số c có 3 cách

Trang 5

viết, chữ số d có 2 cách viết, chữ số e có 1 cách viết nên có 4.4.3.2.1 96  số thỏa mãn yêu cầu

Bình luận: Hai ví dụ trên tương tự nhau, nhưng cách giải 1 lại cho hai kết quả

khác nhau Nguyên nhân là vì học sinh đã xét thiếu trường hợp a = 0 như 0123

và chèn số 1 đứng đầu thành 10123 vẫn tthỏa mãn yêu cầu bài toán Qua đó giáo viên định hướng cho học sinh lựa chọn cách giải phù hợp Và rèn cho học sinh cách khai thác giả thiết của bài bằng những câu hỏi gợi ý giúp học sinh định hướng cách giải như: Nếu như coi hai chữ số 1 là khác nhau thì tập hợp số ban

đầu sẽ thay đổi như thế nào? Khi đó a sẽ có bao nhiêu cách chọn?

Trong nhiều trường hợp học sinh chưa phân biệt rõ khái niệm quy tắc cộng và quy tắc nhân, tổ hợp và chỉnh hợp nên áp dụng sai công thức hoặc thực hiện sai cách giải Ta xét ba ví dụ sau:

Ví dụ 3: Một lớp có 15 học sinh nam, 10 học sinh nữ Có bao nhiêu cách chọn

một đội văn nghệ gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất 2 nữ

Sai lầm thường gặp:

- Chọn 2 nữ trong số 10 học sinh nữ có: C102 45 cách chọn

- Vì chọn có ít nhất 2 nữ nên chỉ cần chọn 3 học sinh bất kỳ trong số 23 học sinh còn lại có C233 1771 cách chọn

- Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C102 .C233 = 79695 cách.

Lời giải đúng:

Vì chọn đội có 5 học sinh trong đó có ít nhất 2 học sinh nữ nên ta có các khả năng sau:

- Trường hợp 1: Chọn 2 nữ, 3 nam có C C102 153 20475 cách

- Trường hợp 4: Chọn 5 nữ có C105 252 cách

- Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C C102 153 + C C103 152 + C C104 151 + C105 = 30477 cách

Bình luận: Trong bài toán này, học sinh học sinh đã thực hiện chọn liên tiếp

theo thứ tự nên có những trường hợp chọn được các học sinh trùng nhau như:

Cách chọn thứ nhất chọn 2 học sinh nữ A, B và chọn 3 học sinh còn lại là C, D,

E thì ta chọn được 5 học sinh là A, B, C, D, E thỏa mãn yêu cầu Cách chọn thứ

hai chọn được hai học sinh nữ B, C và chọn được 3 học sinh còn lại là A, D, E thì ta chọn được 5 học sinh là A, B, C, D, E thỏa mãn yêu cầu Như vậy hai cách

chọn này trùng có các học sinh như nhau Vì vậy giáo viên cần giải thích rõ cho

Trang 6

học sinh sự khác nhau giữa việc thực hiện liên tiếp và thực hiện đồng thời là khác nhau Đồng thời có những định hướng cụ thể để học sinh nắm rõ được cách giải quyết bài toán

Ví dụ 4: Lớp 11A có 15 học sinh nữ, 17 học sinh nam Nhà trường tổ chức thi

khiêu vũ giữa các lớp Giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 3 cặp tham

gia thi khiêu vũ, mỗi cặp có 1 nam, 1 nữ

Cách 1:

- Mỗi cách chọn 3 học sinh nam trong 17 học sinh nam để ghép cặp với 3 học sinh nữ là một chỉnh hợp chập 3 của 17, nên số cách chọn 3 nam là A173 4080 cách

- Mỗi cách chọn 3 học sinh nữ trong 15 học sinh nữ để ghép cặp với 3 học sinh nam là một chỉnh hợp chập 3 của 15, nên số cách chọn 3 nữ là A153 2730cách

- Theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia thi là: A173. A153 = 11138400 cách

Cách 2:

- Chọn cặp thứ nhất là chọn 1 nam trong số 17 nam và chọn 1 nữ trong số 15 nữ nên có C171 .C151 = 255 cách chọn

- Chọn cặp thứ hai có C161 .C141 = 224 cách chọn

- Chọn cặp thứ ba có C151. C131 = 195 cách chọn

- Theo quy tắc nhân có C171.C151 C161.C141 + C151.C131 = 11138400 cách

- Số cách chọn 3 học sinh nam bất kỳ trong 17 học sinh nam là: C173 680cách

- Số cách chọn 3 học sinh nữ bất kỳ trong 15 học sinh nữ là: C153 455cách

- Sáu học sinh được chọn trên xếp thành 3 cặp thỏa mãn yêu cầu có 3! cách xếp

- Theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia thi là: C173.C153 = 309400 cách

Bình luận: Trong bài toán này cả hai cách có kết quả trùng nhau nhưng chưa

phải là kết quả đúng Vì ở cách giải 1 học sinh đã hiểu sai về việc chọn học sinh sau đó ghép thành các cặp đôi là việc sắp thứ tự nên đã sử dụng chỉnh hợp Ở cách giải hai học sinh đã thực hiện liên tiếp các hành động nhưng hành động sau phụ thuộc vào hành động trước nên có những trường hợp bị trùng lặp nhau như:

cách chọn thứ nhất chọn được ba cặp theo thứ tự là (1, a), (2, b), (3, c), cách

Trang 7

chọn thứ hai lại chọn được ba cặp theo thứ tự là (3, c), (2, b), (1, a) thì hai cách

chọn này bị trùng lặp

Ví dụ 5: Cho tập hợp A 0;1; 2;3; 4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5

- Vì số cần lập có 3 chữ số và phải có mặt chữ số 5 nên chữ số 5 có 3 vị trí để xếp Hai vị trí còn lại được chọn trong 5 chữ số là 0;1;2;3; 4;5 nên có A52 20 cách

- Theo quy tắc nhân có 5.20 100  số thỏa mãn

Trong bài toán này học sinh đã mắc sai lầm khi chữ số 5 không đứng đầu

thì chữ số a có thể là chữ số 0 nên tạo được số không thỏa mãn như 054 chẳng

hạn

- Gọi số cần tìm là abc , a ≠0.

- Trường hợp 1: a  5 thì chữ số b có 5 cách chọn, chữ số c có 4 cách chọn Do

đó có 5.4 20  số thỏa mãn

- Trường hợp 2: a  5 thì chữ số a có 4 cách chọn Chữ số c có 4 cách chọn Vì chữ số 5 phải có mặt nên chữ số 5 phải được gán cho a hoặc c nên có 2! Cách

gán Vậy số các chọn khi a  5 là: 4.4.2! 32  số

- Theo quy tắc cộng có 20 32 52   số thỏa mãn yêu cầu

Bình luận: Trong các bài toán xác suất học sinh cũng có những sai lầm tương tự

nên giáo viên vẫn phải có những lưu ý cho học sinh khi làm bài Không những thế học sinh còn tính sai về không gian mẫu, không nắm vững về xác suất của biến cố đối, không xét hết các trường hợp xảy ra Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 6 (Bài 5 trang 76 ĐS&GT 11): Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ

ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất sao cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”

Cách 1:

- Ta có n   ( ) 6! 720

Trang 8

- Các bạn nam ngồi 3 vị trí ghế chẵn có 3 cách xếp

- Các bạn nữ ngồi 3 vị trí ghế lẻ có 3 cách xếp hoặc ngược lại nên có 2.3.3 = 18 cách xếp

- Xác xuất cần tìm là:

( )

Cách 2:

- Các bạn nam ngồi 3 vị trí ghế chẵn có 3! cách xếp Các bạn nữ ngồi 3 vị trí ghế

lẻ có 3! cách xếp nên có 3!.3! = 36 cách xếp Xác xuất cần tìm là:

( )

Các bạn nam ngồi 3 vị trí ghế chẵn có 3! cách xếp Các bạn nữ ngồi 3 vị trí ghế lẻ có 3! cách xếp hoặc ngược lại nên có 2.3!.3! = 72 cách xếp Xác xuất cần tìm là:

( )

720 10

Bình luận: Trong trường hợp này học sinh có sai lầm là không hoán vị chỗ ngồi

của các học sinh nam và các học sinh nữ

b) Gọi B là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

- Các bạn nam ngồi 3 ghế liền nhau nên có 3! cách xếp

- Các bạn nữ ngồi 3 ghế còn lại nên có 3! cách xếp  có 3!x3! = 36 cách xếp

( )

Cách 1:

- Mỗi cách xếp 3 bạn nam ngồi 3 ghế liền nhau có 3! cách xếp Có 4 vị trí để có thể xếp 3 nam liền nhau  Số cách xếp bạn nam là 4,3!

- Các bạn nữ ngồi 3 vị trí ghế còn lại có 3! cách xếp

Vậy có 4.3!.3! = 144 cách xếp thỏa mãn yêu cầu

( )

720 5

Cách 2:

- Mỗi cách xếp 3 bạn nam ngồi 3 ghế liền nhau có 3! cách xếp Coi mỗi cách xếp 3 nam vào 3 vị trí là một khối

Trang 9

- Ta có 3 vị trí để sắp xếp chỗ ngồi cho 3 nữ và 1 vị trí để sắp xếp chỗ ngồi cho

1 khối nam nên có 4! cách xếp

Do đó, có 3! 4! = 144 cách xếp thỏa mãn yêu cầu

( )

720 5

Bình luận: Sai lầm là học sinh chỉ xếp nam cố định ở 1 vị trí nào đó không thực

hiện hoán vị gia các vị trí đề 3 nam xếp liền nhau Vì vậy trong trường hợp này giáo viên có thể vẽ sơ đồ chỗ ngồi để học sinh dễ hình dung và xác định số cách sắp xếp dễ dàng hơn

Ví dụ 7 (Bài 6 trang 74 ĐS&GT11): Từ cỗ bài tú lơ khơ có 52 con, rút ngẫu

nhiên cúng lúc bốn con Tính xác suất sao cho:

b) Được ít nhất một con át

Sai lầm thường gặp: Học sinh hiểu sai đề bài chỉ lấy một con át hoặc không sử

dụng biến cố đối nên bài giải rất dài và dễ bỏ xót các trường hợp Dạng bài này giáo viên nên luyện tập nhiều để học sinh hình thành kỹ năng xét biến cố đối

- Ta có

4 52

( )

- Gọi A là biến cố “rút 4 con được ít nhất một con át”  A là biến cố “rút 4 con không được con át” 

4 48

( )

n A C 

4 48 4 52

C

- Xác xuất cần tìm là: P A( ) 1  n A( ) 0,28

c) Được hai con át, hai con K

Cách 1:

- Ta có

4 52

( )

n  C

- Khả năng rút được 2 con át trong 4 con át là: C24

- Khả năng rút được 2 con K trong 4 con K là: C24

 Khả năng rút được 2 con K và 2 con át là:

2 4

C + 2

4

C

- Xác suất cần tìm là:

4 52

12 270725

C C C





Cách 2:

Trang 10

- Xác suất rút được một con át trong 4 con át của bộ bài 52 con là:

4 52

- Xác suất rút được một con át trong 3 con át còn lại của bộ bài là:

3 51

- Xác suất rút được một con K trong 4 con K của bộ bài còn lại 50 con là:

4 50

- Xác suất rút được một con K trong 3 con K còn lại của bộ bài là:

3 49

- Vậy xác suất cần tìm là

4

52

3

51

4

50

3

49=

6 270725

- Ta có

4 52

( )

- Khả năng rút được 2 con át trong 4 con át là:

2 4

C

- Khả năng rút được 2 con K trong 4 con K là: C24

 Khả năng rút được 2 con K và 2 con át là:C C24 24  36

2 2

4 4 4 52

270725

C C

C 

Bình luận: Trong cách giải 1 học sinh nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc

nhân, ở cách giải 2 học sinh nhầm lẫn khi sử dụng công thức nhân xác suất

Ví dụ 8 (Bài 9 trang 77 ĐS&GT11): Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác

suất sao cho hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

- Ta có n  ( ) 36

- Kí hiệu một kết quả gieo là (a i , a j ) Vì hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

Do đó có 3.3 = 9 khả năng cả 2 con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

36 4

- Ta có n  ( ) 21

- Vì gieo đồng thời nên không có thứ tự Vì hai con súc sắc đều xuất hiện mặt

chẵn nên mỗi con có 3 khả năng xảy ra Như vậy có 6 khả năng cả 2 con súc sắc

đều xuất hiện mặt chẵn

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	202,61 KB