Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI NHANH CÁC BÀI ĐIỆN XOAY CHIỀU CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP “CHUẨN HÓA GÁN SỐ LIỆU” Người th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI NHANH CÁC BÀI ĐIỆN XOAY CHIỀU

CÓ YẾU TỐ THAY ĐỔI BẰNG PHƯƠNG PHÁP

“CHUẨN HÓA GÁN SỐ LIỆU”

Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Vật lí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH NHỮNG SAI LẦM CƠ BẢN KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI

Người thực hiện: Nguyễn Thị Thiêm Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2020

Mục lục

Trang

I.Mở đầu: 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Giải pháp 1 3

2.3.2 Giải pháp 2 6

2.3.3 Giải pháp 3 9

2.3.4 Giải pháp 4 14

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục , với bản thân , đồng nghiệp và nhà trường 16

III Kết luận, kiến nghị 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 18

Tài liệu tham khảo 19

Các thuật ngữ viết tắt trong bài:

SKKN – sáng kiến kinh nghiệm

KTM – không thỏa mãn

THPT – trung học phổ thông

THPT QG – trung học phổ thông Quốc gia

HS – học sinh

TB – trung bình

HD – hướng dẫn

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và đại số lớp 10 nói riêng thìphần phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giữ một vai trò, vị trí hết sức quantrọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán thì việc giảiphương trình còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người laođộng mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồidưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Các em học sinh đã được học giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và cụthể với nội dung sách giáo khoa cơ bản chỉ giới thiệu phương trình chứa dấu cănbậc hai dạng đơn giản Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần nàyquá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiềubài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Nhưng trongthực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏihọc sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao, phải có

kỹ năng biến đổi toán học

Một thực tế nữa là các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rấtphong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi THPT QG; không nhữngthế học sinh còn phải giải phương trình chứa căn trong các dạng toán khác nhưphương trình mũ và logarit Do đó học giải phương trình chứa căn không chỉ đểgiải một lớp các bài toán về phương trình chứa căn mà còn là công cụ để các emlàm những bài toán dạng khác, tuy nhiên khi giải các phương trình loại này rấtnhiều học sinh gặp khó khăn và thường mắc những sai lầm cơ bản

Với năng lực của học sinh, trong quá trình giảng dạy tôi cũng không hyvọng có thể dạy cho các em có những kĩ năng để giải những bài toán khó vàphức tạp mà mục đích chính là giúp học sinh giải thành thạo một số dạng toán

cơ bản và không bị mắc sai lầm trong quá trình làm bài từ đó giúp các em tiếpcận các dạng toán liên quan tốt hơn

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Giúp cho học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản về giải phương trình chứa ẩndưới dấu căn bậc hai

Giúp học sinh nhận dạng được các dạng bài kèm theo cách giải quyết

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Các bài toán về giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai:

+) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai dạng cơ bản.+) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai bằng cách đặt một ẩn phụ

+) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai bằng cách biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần

+) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai bằng cách đặt hai ẩn phụ

- Khi phân loại rõ được phương pháp giải trong từng trường hợp giúp học sinh có nhận định nhanh chóng và xác định được con đường nhanh nhất để giải quyết bài toán

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

-Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua các tiếtdạy), thông qua kiểm tra nhận thức của học sinh để kiểm tra tính khả thi của đềtài

- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

- Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa 10 cơ bản và nâng cao; Sách giáo viên;Sách bài tập; Các đề thi; Internet,

PHẦN II: NỘI DUNG

2 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN.

Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy

các nội dung trong chủ đề giải phương trình chứa căn thức mà trọng tâm là bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Khi giải bài tập , học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản , các kỹnăng phân tích đề bài, kỹ năng nhận dạng bài toán để từ đó suy luận ra quan hệgiữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bài toán sẽ làm, hìnhthành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo

Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiếnthức cơ bản nhất , và dần dần phát triển khả năng suy luận, khả năng vận dụngcác kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo vào các bài toán Từ đó họcsinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối với nội dung này

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Khi gặp phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đa số học sinh thường giải sai,giải không triệt để, kết luận thường thừa hoặc thiếu nghiệm

Với các dạng toán khác mà khi triển khai đến bước phải giải phương trìnhchứa ẩn dưới dấu căn thì học sinh thường sẽ giải sai hoặc lúng túng

Trong các đề thi THPTQG thường xuất hiện các phương trình và bấtphương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai Học sinh lớp 12 thường quên cáchgiải dẫn đến giải sai.

Trong quá trình dạy học đôi khi chính giáo viên cũng mắc sai lầm, chính vìvậy tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau đây để góp phần tránh đượcsai lầm cơ bản cho học sinh

2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

2.3.1 Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi tương đương đối với hai dạng phương trình cơ bản để khắc phục một số sai lầm khi học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ quả

Dạng 1: f x  g x 

Dạng 2: f x   g x 

Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng f x  g x 

và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặtđiều kiện f x  Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện xác định  0của phương trình chứ không phải điều kiện có nghiệm của phương trình, chonên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏnghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f x   0 là điều kiện cần và đủ củaphương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 3 x 2(1) [2]

Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau:

Điều kiện xác định của phương trình (1) là 3

2



x (*) (1) 2x 3x2 4x 4 x2 6x 7 0

Phương trình cuối có nghiệm là x 3 2 và x 3 2

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thaycác giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trịx 3 2 bịloại

Vậy nghiệm phương trình (1) là x 3 2

Một số học sinh đã mắc sai lầm là cho rằng sau khi giải được nghiệm ởphương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện 3

2

x  để lấy nghiệm và nghiệm

phương trình là x  3 2 và x  3 2

Nhưng một số học sinh cẩn thận hơn là có thử lại nghiệm Tuy nhiên vớicách giải trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình banđầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Từ sự bất tiện trên giáo viên nêu và phân tích cách giải bằng phương phápbiến đổi tương đương như sau :

x x

x

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2 2x1 3 x (2) 1 [3]

Với những học sinh nắm vững kiến thức và làm bài cẩn thận mà vẫn làmtheo phương pháp biến đổi hệ quả thì cũng gặp khó khăn trong quá trình giải đólà: Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương phápbiến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x2 2x 1 0 vàthay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm

Do đó nên cho học sinh giải theo định hướng ở ví dụ 1 như sau:

để học sinh khắc sâu phương pháp như sau :

f x = g x

Chú ý: Không cần đặt điều kiện xác định của phương trình là f x  0.

*Bài tập tự luyện : Giải các phương trình sau :

a) x  1 x 3

Nên định hướng cho học sinh giải như sau :

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là T   2;1

Việc định hướng ngay từ ban đầu là yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổitương đương giúp cho học sinh không đi lệch hướng và tránh được những sailầm đáng tiếc

Tổng quát phương pháp để học sinh khắc sâu như sau :

Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình cơ bản nêu trên nếu giải theo phương

pháp biến đổi hệ quả thì phải đặt điều kiện và phải thử lại nghiệm nên khá rườm

rà dẫn đến dễ mắc sai lầm và thiếu sót Còn giải theo phương pháp biến đổitương đương thì đơn giản và thuận tiện hơn Do đó trong khi dạy giáo viên nênlấy ví dụ cụ thể phân tích thông qua đó định hướng cách giải tối ưu nhất giúphọc sinh khắc sâu phương pháp cho dạng bài

2.3.2 Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải phương trình dạng 1 ở trên theo phương pháp biến đổi tương đương bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Khi gặp bài toán x2  3x 5 x2 3x7(1) [1]

Nếu học sinh vẫn cứ biến đổi tương đương như sau:

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là : T   1;4

Nâng lên tổng quát ta có phương pháp giải cho dạng bài này như sau :

Phương pháp: Chuyển phương trình về dạng af x    b f x     c 0 Sau đóđặt ẩn phụ: f x    t t   0  Đưa về phương trình về dạng: at2bt c 0

t (thoả mãn điều kiện của t)

+) Với t 1 ta được 4x2 12x11 1  4x2 12x10 0 (phương trình vônghiệm)

3 142

3 142

Vậy phương trình có tập nghiêm là: 1;1; 6; 6

Nhận xét: Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến một phương trình phức tạp

thì ta nên nghĩ đến việc biến đổi để trong phương trình có những biểu thức chứabiến giống nhau để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ

Trong hai ví dụ này, ta có thể khái quát thành dạng tổng quát như sau:

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x 1x2 3x 1 0(ĐH Khối D – 2006) [5]

Thử lại ta thấy phương trình có tập nghiệm là : T 1;2 2

* Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau:

c) x 2; x 7

2.3.3 Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước khi giải các phương trình chứa nhiều căn thông qua một số phương pháp giải khác nhau để tránh sai lầm khi lấy nghiệm của phương trình

Phương pháp: Đối với các phương trình chứa nhiều căn bậc hai ta nên đặt điều

kiện trước khi giải

a Phương trình chứa nhiều căn giải bằng phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần

1 0

1

x x

 (thoả mãn điều kiện (1’)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: T   1;3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2

Ta nhận ra ngay x 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho

do học sinh không tìm điều kiện của phương trình

Lời giải đúng là: Điều kiện

Với điều kiện (2’) ta có: (2)  2 x 4 x 1 2x 3 2 x 4

A C

A B

Lưu ý: Hệ điều kiện trên rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.

Với điều kiện (3’) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta được

( thỏa mãn điều kiện (3’))

Vậy nghiệm của phương trình (3) là x 1

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 x 7 2 x 1 x  (4) 1 4 [6]

Điều kiện của phương trình là x1 (4’)

Ta thấy: Biểu thức dưới dấu căn x 7 2 x có dạng hằng đẳng thức 1

(a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau:

x  thỏa mãn điều kiện (4’) Vậy nghiệm của phương trình là x 3

b Phương trình chứa nhiều căn bậc hai giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x 2 7  x  x 2 7 x  1 [6]

Trong dạng phương trình này học sinh cần nhận xét là:

x x





 

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 6 và x 3

Tuy nhiên có những bài như sau:

33

x x

x

So sánh với điều kiện (2’) ta có nghiệm của phương trình là x3

Ví dụ 3 : Giải phương trình : x 2 x 2 2 x2 4 2 x2 [1]

Hướng dẫn : đặt điều kiện x 2

Cũng với hướng giải đó ta đặt :

về dạng không chứa căn Đó là lí do để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ.

Ta chỉ cần đặt điều kiện cho căn bậc hai là x12

Nhưng ta lại thấy rằng 3 x 1 3 3 x 33 2 ( hằng số)

Do đó ta đặt

3 3

13

33

Vậy phương trình có nghiệm là x 3

Ta tổng quát dạng này như sau: F f x  ,n a f x  ,m b f x   0

2.3.4 Giải pháp 4:Tránh sai lầm cho học sinh khi khai căn của bình phương một biểu thức, đưa một biểu thức ra ngoài hay vào trong căn bậc hai

Bài toán này HS có thể mắc sai lầm như sau:

Lời giải sai:

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : T 3;7

HS có thể kết luận với x 3 và x 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình

Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x 2cũngthoả mãn

Lời giải đúng phải là: Ta có

Và kết luận nghiệm của phương trình là x 1 2

Tuy nhiên lời giải đúng thì x  1 2 lại không là nghiệm của phương trìnhLời giải đúng như sau:

x x

Nhận xét: Rõ ràng x 14 là nghiệm của phương trình Lời giải trên đã làmcho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm

AB khi A 0 B A

Vậy phương trình có nghiệm là x 14

2.4 HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐEM LẠI

Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến SKKN và

có sự tham góp của đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy đã thu đượcmột số kết quả nhất định sau:

1) Đa số học sinh có cái nhìn tổng quát, sâu rộng hơn và tránh được nhiềusai lầm đáng tiếc hơn khi giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai 2) Giúp cho học sinh lớp 10 có kiến thức chắc chắn hơn, kỹ năng thành thạo

và tự tin hơn khi học phần này và giúp cho học sinh lớp 12 có thêm kinh nghiệm

để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT quốc gia

3) Đề tài đã góp phần nâng cao cho học sinh khả năng giải các phương trìnhchứa ẩn dưới dấu căn, cũng như vận dụng để giải bất phương trình chứa ẩn dướidấu căn bậc hai Gây được sự hứng thú cho học sinh học tập hơn Năm học2019-2020 tôi đã áp dụng đề tài này cho học sinh các lớp 10C3 ; 10C7 trong cáctiết chính khóa, các tiết tự chọn và tôi sẽ sử dụng để ôn thi THPTQG cho họcsinh lớp 12 trong năm học sắp tới

THỐNG KÊ KẾT QUẢ KIỂM TRA 45 PHÚT NĂM HỌC 2019-2020

3.2 Kiến nghị

Bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai là một trong sốnhững bài toán cơ bản của chủ đề phương trình và thường gặp trong các đề thi.

Do đó trong khi dạy học giáo viên cần tìm những bài toán cơ bản nhất để phântích và giúp học sinh hiểu và nắm vững cách giải Từ đó giúp các em có tư duylinh hoạt hơn ở các bài tập tương tự và các dạng toán khác nữa ví dụ như bàitoán giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng kinh nghiệm nghiên cứu còn nhiều hạn chếvậy nên trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này chắc hẳn không tránhkhỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến củaquý thầy cô để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn Tôi xin trân trọng cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

KT Hiệu trưởng

PHT

Đỗ Duy Thành

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 06 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của ngườikhác

Nguyễn Thị Thiêm