TONG HOP CHUYEN DE NGUYEN HAM TICH PHAN UNG DUNG DAP AN HOAN CHINH

♦ Trắc nghiệm: Mệnh đề III sai vì không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm.. và so sánh kết quả, nếu kết quả hai lần ra như nhau thì chọn còn không bằng nhau

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1 Tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm cơ bản và gần cơ bản

Câu 1 Giả sử hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K Khẳng định nào

C. Chỉ có duy nhất hàm số y F x= ( ) là nguyên hàm của f trên K

D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G x ( ) = F x ( ) + C với mọi x thuộc K và Cbất kỳ

Hướng dẫn giải: Chọn B

♦ Trắc nghiệm:

Phương án A Sai Vì C là bất kỳ

Đáp án B vì theo định lý

Phương án C Sai Vì y F x= ( )+C cũng là nguyên hàm với C là hằng số bất kỳ

Phương án D Sai Vì hai hàm G x( ) và F x( )chỉ sai khác một hằng số tức C là duy nhất

Câu 2 Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K Các mệnh đề sau,

Câu 4 Cho hai hàm số f x g x( ), ( ) là hàm số liên tục, có F x G x( ), ( ) lần lượt là nguyên hàm của f x g x( ), ( ) Xét các mệnh đề sau:

(I) F x( )+G x( ) là một nguyên hàm của f x( )+g x( )

(II) k F x ( ) là một nguyên hàm của kf x( ) với k ∈ R

(III) F x G x( ) ( ) là một nguyên hàm của f x g x( ) ( )

Các mệnh đúng là

A. (I) B. (I) và (II) C. Cả 3 mệnh đề D. (II)

Hướng dẫn giải: Chọn B

♦ Trắc nghiệm:

Mệnh đề (III) sai vì không có tính chất: Nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm

Câu 5 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai

Phương án A: Sai Vì không có tính chất ∫ (f x( ))n dx=( ∫f x dx( ) )n

Phương án B: Sai Vì không có tính chất: ∫ (f x( ))n dx n f x dx= ∫ ( )

Phương án C: Sai Sai lầm như phương án A ∫ (f x( ))n dx=( ∫ f x dx( ) )n

Phương án D.Đúng Vì

2 2

Câu 8 Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai

A. F x( ) 2017 cos= + 2x là một nguyên hàm của hàm số f x( )= −sin 2x

B Nếu F x ( ) và G x ( ) đều là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì ∫F x( )−g x dx( ) có dạng

Phương án A: đúng Vì: (F x( ))′ =(2017 cos+ 2x)′ =2.cos ( sin )x − x = −sin 2x= f x( )

Phương án B: đúng.Vì: nếu F x G x( ), ( ) cùng là nguyên hàm của hàm số f x( ) thì F x( )−G x( )=C,

Câu 9 (Đại Học Vinh lần 3) Khẳng định nào sau đây là đúng

A ∫tanxdx= −ln cosx+C B. sin 2 cos

Câu 14 Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:

(I) ∫tan dx x= −ln cos( x)+C

(II) 3 cos 1 3 cos

sin x =2sin cosx x=sin 2x.Chọn D

Câu 16 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số ( ) ( )4

Câu 17 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Tìm nguyên hàm của hàm số

Cách 2 : Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề bài

Bước 1: Khai triển (x 1)− 2 =x2−2x 1+

Bước 2: Lần lượt đạo hàm các đáp án A, B, C, D

Cách 2: Ta đi tính đạo hàm 4 đáp án A, B, C, D để tìm xem đâu là kết quả của đề bài

Câu 19 (Sở GDĐT Hải Phòng) Tìm hàm số F x( ), biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm

Cách 2: Tìm nguyên hàm của f(x) trong các phương án A, B, C, D

Câu 21 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai Hà Nội lần 1) Cho hàm số 4m 2

f (x)= +sin x

π Giá trị của tham số để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện F(0) 1= và F

sin 4x 2sin 2x cos 2x

4 sin x cos x(cosx sinx) 4 sinxcos x 4 cos x sin x

Áp dụng công thức nhân ba sin 3a= −4 sin3a+3sina⇔ 3 1( )

sin 3sin sin 3

Cách 2:Lấy đạo hàm các phương án A, B, C, D xem đâu là kết quả đúng

3 Nguyên hàm của các hàm số phân thức mà mẩu là nhị thức hoặc tam thức bậc hai có hai nghiệm

Câu 27 (Đề thử nghiệm BGD và ĐT cho 50 trường)

Biết F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) 1

x 1

−

∫ ∫ F(2) 1= ⇔ln1 C 1+ = ⇔ =C 1 Vậy F(x) ln x 1 1= − + Suy ra F(3) ln 2 1= + Chọn B

2

3x+6 ln 1 2

x

x

Hướng dẫn giải: Chọn D

F(x) e e 2

Câu 36 (Chuyên Biên Hòa- Hà Nam lần 2) Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm

của hàm số ( ) ( )

+

=+ 2

2.1

x x không phải là nguyên hàm của f x( )

Câu 37 (Sở GD và ĐT Bình Thuận – HK2)Cho hàm số ( )= +

2

2

2 x x 2 x x không phải là nguyên hàm của f x( )

Câu 38 (THPT Thanh Oai B- lần 1) Tìm F( )=

− −

dx x

∫ MTCT báolỗi do tại

2

x=πthìtan xkhôngxácđịnh

và so sánh kết quả, nếu kết quả hai lần ra như nhau thì chọn còn không bằng nhau thì tiếp tục thử kết quả khác

Ta thấy kết quả hai lần như nhau vậy đáp án đúng là A

cos

sinsin

t x

++

♦Trắcnghiệm:SửdụngmáytínhCaisiođểthửkếtquả

Nhấn shift sauđónhậpvàohàmsố ở đápán sauđóấn Alpha

nhậptiếpbiểuthứcđềbài sau đó ấn bằng hai lần

và so sánh kết quả, nếu kết quả hai lần ra như nhau thì chọn còn không bằng nhau thì tiếp tục thử kết quả khác

và so sánh kết quả, nếu kết quả hai lần ra như nhau thì chọn còn không bằng nhau thì tiếp tục thử kết quả khác

Ta thấy kết quả hai lần như nhau vậy đáp án đúng là B

F x + e + = bằngcáchdùngmáytính Casio đểthửnghiệm

Nhậpvàomáytính

Sau đó bấm phím Calc để thử đáp án Ta thử đáp án B Nhấn Calc nhập X =3 ta được

Vậy x =3 là nghiệm của phương trình Tương tự thử với các đáp án còn lại ta thấy chỉ có đáp án B thỏa

∫ với a 0≠ ; thay a 2= và b 0= để có kết quả

♦Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính casio: cú pháp ( ) ( 1( ) )

Nếu kết quả luôn cho giá trị bằng 0 với một dãy giá trị của A thì chọn phương án đó

Chú ý: để dễ đọc kết quả ta nên chọn máy tính ở chế độ fix - 9 (shift-mod-6-9)

Nhập vào biểu thức vào máy tính

Câu 66 Hướng dẫn giải: Chọn A

♦Tự luận: Áp dụng công thức cos(ax b)dx 1sin(ax b) C

Câu 71 Hướng dẫn giải: Chọn C

♦Tự luận: Quãng đường vật di chuyển s t( ) v t dt( ) ( 5t 10 dt) 5t2 10t C

Xe dừng hẳn khi được quãng đường 10 m kể từ lúc đạp phanh ( )

♦Trắc nghiệm: Khi vật dừng lại thì v 0= ⇒ − +5t 10 0= ⇔ =t 2 s( )

Quãng đường vật đi được trong thời gian này là :

Cách 2: sửdụngcasiobấm shift ∫ nhập f x( )= 3 x−2tại x = 10

Thay x = 10 vào 4 đápánđápánrồi so sánhkếtquả, suyrađápán A

Cách 2: sửdụngcasiobấm shift ∫ nhập∫2x 5 4− x dx2 tại x = 10

Thay x = 10 vào 4 đápán so sanhrồisuyrađápánlà A

Cách 2: “Đổ cận vào nguyên hàm”

Bằng máy tính Casio tính 2 2

1 2

ln 2

e

x x

∫ kết quả gán vào biến A (Shift Sto A)

e

9cos 3x

14

x x

++

Dùng phương pháp đổi biến, đặt t= 1+x2 ta được I=∫tsin dtt

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt u t= , dv sin dt= t

Ta được I= −tcost−∫costdt= − 1+x2 cos 1+x2 −sin 1+x2 +C

( ) sin ln(cos ) ln(cos ) (cos ) cos ln(cos ) sin xdx

cos ln(cos ) cos

Hướng dẫn giải: Chọn C

2 2

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

Ta có F x( )=∫ f x dx( ) =∫xlnxdx Đặt ln 2

2

dx du

22

u x

x xd

cos 2

∫ Mặt khác, ta có ( )

x

du dx e v

Suy ra I=t3sint−3∫t costdt2

Tiếp tục tích phân từng phần 2 lần nữa ta được F t( )=t3sint+3 cos - 6 sinx2 t (t t+cost)+C

Vậy F x( )=x xsin x+3 cosx x−6( xsin x c+ os x)+1

♦ Trắc nghiệm: Sử dụng chức năng CALC kết hợp với shift+ Tích phân để tính đạo hàm để kiểm tra tại một số điểm x x0, , 1 nếu thấy kết quả trùng hợp thì lựa chọn

.3

x

x x v

x x v

Câu 123 (NB) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

A ∫udv uv= −∫vdu B ∫udv uv= −∫udv C ∫udv uv= +∫vdu D.∫udv uv= −∫vdv

Câu 129 (VDC)Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) x

f x =x e− thỏa mãn điều kiện (0) 1

F = − Tính tổng S các nghiệm của phương trình ( )F x + + =x 1 0

Vậy 2017

0

1 ( ) 12

1 1

2 2 1

Câu 179 Hướng dẫn giải Chọn A

Từ đồ thị ta thấy, với mọi x∈ − 1;0  thì f x( )≤ 0 nên f x( ) = −f x( ) và với mọi x∈ 0;1  thì f x( )≥ 0nên f x( ) = f x( ). Do đó

Câu 180 Hướng dẫn giải Chọn C

Diện tích thiết diện là: S x( ) 3 3= x x2−2 ⇒ Thể tích vật thể là: =∫3 2 − =

Câu 181 Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

d 2 4 d 4

1

2

x x

4

0 2

Tính =∫4( − ) 2

1 0

4 xd

2

x x

Câu 186 Hướng dẫn giải:Chọn C

Ô tô còn đi thêm được 2 giây

Câu 188 Hướng dẫn giải Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Gọi phương trình parabol của (C1) là:

Khi cắt (H) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ y ( 0< ≤y 6) ta được theiets

diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh x xác định bởi y=1x2−7x+

Câu 189 Hướng dẫn giải Chọn A

Thể tích lượng nước có trong thùng ở hình 1 là V = S.h

Thể tích lượng nước có trong thùng ở hình 2 là V’ = S’.h’

Câu 190 Hướng dẫn giải Chọn A

Chịn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ và cắt cái nêm bởi một mặt phẳng vuông góc với

truc Ox tại điểm có hoành độ là x ta được một thiết diện là một tam giác vuông ABC

1

360

2

Câu 191 Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có khối chóp cầu thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi

Câu 192 Hướng dẫn giải Chọn A

Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm (O; R) và bán

kính r xung quanh trục Ox

Suy ra, phương trình đường tròn

Câu 193 Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có vật thể tạo thành ki quay hình phẳng xung quanh trục XY có hình dạng như hình

bên

Khi đó thể tích vật thể được tạo thành sẽ bằng tổng thể tích của hình trụ có bán kính R =

2, chiều cao h = 4 và hai hình xuyến dạng cái phao có R = 2, r = 1 trừ đi 2 lần thể tích của

½ nửa bên trong hình xuyến dạng cái phao có R = 2, r = 1

Vậy V=π .2 4 2 22 + π2 .1 22 −V'=8π2+16π V− '

Với V’ là thể tích một nửa bên trong của hình xuyến dạng cái phao có R = 2, r = 1

Suy ra V’ là thể tích của nửa hình tròn tâm I(0; 2) r =1 quay quanh trục Ox như hình vẽ

Hình elip lớn có độ dài trục lớn là 146m, độ dài trục nhỏ là 108m

♦ Trắc nghiệm: Dùng máy tính bấm tích phân ra kết quả đáp ánB.

Câu 197 Giá trị của tích phân

1 2 0

1(2 2 1)

3 2

1

32

1

2

2

823

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A Sai từ Bước I B Sai ở Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải đúng

∫ Thực hiện phép đổi biến t =cosx , ta có thể đưa I

về dạng nào sau đây

1 2

21

e

x dx x

Bấm máy tính

3 2 0

14

Chọn đáp án D

Cách 2: Bấm máy tính

2 2 0

14

x dx x

−

5 1

(t 1)

dt t

−

4 1

2

t dt t

−

4 1

2

t dt t

2 3 1

2

3 2 1

1 1

0 1

dx I

x

=+

4 2

0

f b b

I

b x

3

4 3 4

xdx I

a x

x

−

=+

∫ = 0.2350018146 Shift sto A

Bước 2: Thử đáp án:

Với đáp án A a.b= 6 rút b = 6

a Nhập vào màn hình chính phương trình: 1ln6 A

Suy ra ( ) ( )

3

0 3

0 1

dx I

x

=+

A.

4

1

dt I

t

π

4 2

0 1

dt I

t

π

=+

x

=+

0, 7854

1

dx I

0, 6651

dt I

1 3

1 2

2 0

11

12

dt I

t

π

Hướng dẫn giải.Chọn A

hai phần có diện tích bằng nhau

A.314 1

2

−

B 314 1.2

+

2

+ D 3196 1

( )

21

x f x dx

+

∫

2= ∫ f x dx( ) = −4∫π f(cos 2 )sin cost t tdt 4

Câu 244 (Chuyên Lào Cai) Tính tích phân 2 ( )2 2017

Câu 247 Giá trị của tích phân

t t

π π

π

π π

0 0

π π

0 0

0 0

0 0

x

f x

Hướng dẫn giải: Chọn A

Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với t thỏa mãn v t( ) 0= ⇔160 10− t= ⇔ =0 t 16( )s

Quãng đường vật di chuyển được từ thời điểm t= (s)0 đến thời điểmt=16 ( )s là

Câu 265 (Sở Hà Tĩnh) Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái đạp

phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc = − +v 2t 10 (m/s) (trong đó

t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh) Hỏi trong thời gian 7 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quảng đường bằng bao nhiêu?

A.S=45( ).m B.S=100( ).m C.S=21( ).m D.S=16( ).m

Hướng dẫn giải: Chọn A

Thời gian từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là v= ⇒ − +0 2 10 0t = ⇔ =t 5( )s

Trong thời gian 7 giây cuối ô tô đi được quãng đường là = + − +∫5 =

0

10.2 ( 2 10) 45( )

Câu 266 (Sở Nam Định) Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km h thì tăng tốc chuyển động

nhanh dần đều với gia tốc ( ) 1= + ( 2)

3

t

ô tô bắt đầu tăng tốc

A.S=90 m B.S=246 m C.S=58 m D.S=100 m

Hướng dẫn giải: Chọn A

Câu 267 (Chuyên Đại học Vinh) Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở

độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật

( ) 10 ,

v t t t trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t( )được tính

theo đơn vị mét/phút (m/p) Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc của khí cầu là:

t t

0 1

b b

b b

x x

Đặt

3

1 6

4 tan ( )x F x tan ( )xf x dx

π π

( )

2

2 0 0

∫ rồi so sánh các phương án đã cho

Câu 294 Hướng dẫn giải: Chọn C

♦ Tự luận:

Tổng diện tích S và 1 S là: 2

4 2 0

643

S=∫ x dx= Theo bài ra ta có 1 2 32

3

S =S = Dựa vào đồ thị ta có hoành độ giao điểm là nghiệm dương của phương trình 2

x = ⇒ =k x k Với k ∈(0;16) thì diện tích hình phẳng 4 ( 2 ) 3 4

3

Y

CALC X ? ALPHA X =; Y ? = gán các giá trị 3 ; 8; 4 trong các phương án đã cho

Với Y = 4 cho ta kết quả bằng 0 Vậy k =4

Câu 295 Hướng dẫn giải: Chọn D

♦ Tự luận: Dựa vào đồ thị ta có:

Diện tích hình phẳng cần tìm là

4 1

Câu 296 Hướng dẫn giải: Chọn C

♦ Tự luận: Trên đoạn ;a c ta có f x ≤( ) 0 và trên đoạn ;c b ta có f x ≥( ) 0 nên

S= −∫ f x x+∫ f x dx

♦ Trắc nghiệm: Nhìn vào đồ thị có đối chiếu các phương án chọn C

Câu 297 Hướng dẫn giải: Chọn B

♦ Trắc nghiệm: Như tự luận

Câu 298 Hướng dẫn giải: Chọn C

♦ Tự luận: Dựa vào đồ thị ta có đường Parabol có phương trình 2

y=x Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình y= +x 2

Câu 299 Hướng dẫn giải: Chọn A

♦ Tự luận: Dựa vào đồ thị ta có

♦ Trắc nghiệm: Như tự luận

Câu 300 Hướng dẫn giải: Chọn A

Câu 307 Hướng dẫn giải: Chọn C

♦ Tự luận: Hoành độ giao điểm của các đồ thị là x=0;x=1;x=2

♦Tự luận: Giải phương trình x2 = −2 x Khi đó 2 x1 = −1;x2 =1 Đây là cận của tích phân cần tính

Áp dụng công thức tính diện tích: =∫−1 2+ 2− = ∫−1 2− = ∫−1( − 2)

♦Trắc nghiệm: làm như tự luận

Câu 309 Hướng dẫn giải: Chọn D

A x

x k

e x

e x

và CALC với các giá trị của A lần lượt ở 4 phương án

Giá trị nào cho kết quả bằng 2 thì chọn

Câu 310 Hướng dẫn giải: Chọn B

♦Tự luận: Giả sử elip có phương trình x22 + y22 =1

2 1

56481

5

64 25

64 8

y x

Câu 311 Hướng dẫn giải: Chọn B

♦Tự luận: Nhận thấy rằng đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm (−2; 0 ,) (−1; 4 ,) ( )0; 2 ,( )1; 0 nên ta thay lần lượt tọa độ 4 điểm này vào hàm số, ta có hệ phương trình

d

a b c d

Giải hệ phương trình ta được a=1, b=0, c= −3, d=2.

♦Trắc nghiệm: Dùng MTCT để giải hệ và tính tích phân

Câu 312 Hướng dẫn giải: Chọn C

♦Trắc nghiệm: làm như tự luận

Câu 313 Hướng dẫn giải: Chọn C

♦Tự luận: Viết phương trình tiếp tuyến của ( )P tại giao điểm của ( )P với trục tung tức là tại x= 0

ta được = −y 2x+2

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm x2−2x+ = −2 2x+ ⇔2 x2= ⇔ =0 x 0

+ Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm Khi đó

♦Trắc nghiệm: làm như tự luận

Câu 314 Hướng dẫn giải: Chọn B

♦Tự luận: Phương trình hoành độ giao điểm: 2x x− 2 = ⇔ =0 x 0 hoặc x=2

♦Trắcnghiệm:

1 3 1

Câu 324 Hướng dẫn giải: Chọn D

PT hoành độ giao điểm đồ thị hàm số 4 2

y=x −2x +1 và trục Ox là 4 2

x −2x + = ⇔ = ±1 0 x 1 Suy ra diện tích hình phẳng cần tính bằng 1( 4 2 )

Câu 327 Hướng dẫn giải: Chọn B

PT hoành độ giao điểm hai đồ thị là 2

Câu 328 Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) là 1( 2 4) 4 2

12

x y

-1 O 1

x

y H

B A

S=∫ f x x

Câu 333 Hướng dẫn giải: Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm:x2 = −2 x

Câu 335 Hướng dẫn giải: Chọn B

Câu 336 Hướng dẫn giải: Chọn A

Câu 337 Hướng dẫn giải: Chọn C

parabol ABC

Câu 338 Hướng dẫn giải: Chọn B