Khai thác bài toán tìm khoảng đơn điệu và bài toán cực trị của hàm số y=f(x) khi biết đồ thị hàm số y = f (x) trong đề thi THPTQG

Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị của hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số 5 Giải

MỤC LỤC Trang

1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 4 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để

Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài

toán cho đồ thị của hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số

5

Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài

toán cho đồ thị của hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số

hợp

7

Giải pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài

toán cho đồ thị của hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số 9

Giải pháp 4: Rèn luyện cho học sinh khả năng khả năng giải

quyết bài toán cho đồ thị của hàm để giải quyết bài toán tìm cực

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong dạy học Toán việc vận dụng lý thuyết đã học vào giải một bài toán cụ thể của học sinh còn gặp một số khó khăn Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp nào hợp lý để đi đến kết quả nhanh nhất là rất cần thiết và phù hợp Đặc biệt hơn nữa bắt đầu từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi kì thi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm môn toán luôn đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận

Xét ví dụ sau: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A B C D

Đối với ví dụ trên thì học sinh dễ dàng tìm ra đáp án D Ta thử đặt vấn đề nếu

cho đồ thị của hàm số thì có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số

không? Ta xét ví dụ sau:

Cho hàm số Biết có đạo hàm là trên và hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên.

y

Kết luận nào sau đây là đúng?

B Hàm số đồng biến trên khoảng

Khi đó học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:

- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số .

- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số

Bên cạnh đó ta lại có thể gặp một dạng bài toán như ví dụ sau

Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình

vẽ Hỏi hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

Trước các vấn đề trên tôi thấy cần có một lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại toán này

Vì vậy tôi đã chọn đề tài: “ Khai thác bài toán tìm khoảng đơn điệu và bài toán cực trị của hàm số khi biết đồ thị hàm số

trong đề thi THPTQG ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số với các vấn đề tính đơn điệu và cực trị liên quan đến hàm số Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT QG

1.3 Đối tượng nghiên cứu

y f x 

Hệ thống hai dạng bài toán tính đơn điệu và cực trị của hàm số

biết đồ thị của hàm số được sử dụng trong đề thi THPTQG Từ đó giúp cho học sinh có hướng giải quyết tốt các bài toán đó

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số đồng nghiệp trong trường

- Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm

- Xây dựng trên cơ sở lý thuyết hàm số

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số và trục hoành.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

Ví dụ minh hoạ:

Hàm số có đồ thị như hình bên

Suy ra phương trình có 3 nghiệm

2.1.2 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.

Bảng 1:

O

y

x

Hàm số đạt cực đại tại điểm

Bảng 2:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

2.1.3 Các phép biến đổi đồ thị được sử dụng trong sáng kiến.

+, Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của

qua trái đơn vị

+, Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của

qua phải đơn vị

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy và ôn thi THPTQG cho học sinh, tôi thấy khi

học sinh giải các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số thông thường học sinh bế tắc và không làm được Từ thực trạng trên nên trong quá trình dạy học tôi đã dần dần hình thành phương pháp bằng cách trước tiên cho học sinh nắm vững lý thuyết về hàm số Do đó trong giảng dạy chính khoá cũng như dạy bồi dưỡng, tôi thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông và phương pháp giải toán đại số cho học sinh

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

- Bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Xây dựng các bước giải quyết bài toán

- Sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam

mê phương pháp mới cho các em

- Kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm có phương pháp phù hợp hơn

Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị của hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Khi giải toán ta có thể gặp hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ cho trước Yêu cầu chỉ ra khoảng đơn điệu của hàm số đó Học sinh dễ nhầm tưởng đồ thị cho trước là của hàm số dẫn đến đưa ra đáp án sai Để khắc phục những điều đó tôi đưa ra một vài ví dụ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán trên

Ví dụ 1.1: Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số

trên như hình vẽ bên

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A B C D

Hướng dẫn: Đối với dạng này học sinh dễ nhận nhầm đây là đồ thị của hàm số

nên dễ đưa ra đáp án sai Vì câu hỏi là hàm số đồng biến trên khoảng nào tức nên ta chỉ cần tìm xem phần đồ thị của hàm số

nằm phía trên trục Ta chọn đáp án B.

Ví dụ 1.2: Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên và

có đồ thị như hình vẽ bên

Khẳng định nào sau đây là đúng?

x

y

O

-4

1

A Hàm số đồng biến trên

B Hàm số đồng biến trên và

C Hàm số nghịch biến trên

D Hàm số đồng biến trên và

Hướng dẫn: Tương tự như ví dụ trên Ta chọn đáp án B ứng với phần đồ thị

của hàm số nằm phía trên trục hoành.

Ví dụ 1.3: Cho hàm số Biết có đạo hàm là trên và hàm

số có đồ thị như hình vẽ bên

Kết luận nào sau đây là đúng?

B Hàm số đồng biến trên khoảng

Hướng dẫn: Tương tự như hai ví dụ trên Ta chọn đáp án B ứng với phần đồ thị

của hàm số nằm phía trên trục hoành.

Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị của hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số hợp

Bên cạnh đó ta có thể gặp dạng toán cho hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ cho trước Yêu cầu chỉ

ra khoảng đơn điệu của hàm số hợp đó Để giải quyết bài toán trên tôi đưa ra một vài ví dụ hướng dẫn học sinh cách giải quyết bài toán đó

Ví dụ 2.1: Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số

trên như hình vẽ bên

y

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A B C D

Hướng dẫn: Đối với dạng này vì câu hỏi là hàm số hợp đồng biến trên khoảng nào nên ta phải xét

Ta chọn đáp án C.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị, suy ra

Ta có

Xét

Vậy nghịch biến trên các khoảng và Chọn C.

Ví dụ 2.3: Cho hàm số có đạo hàm trên Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số ( liên tục trên ) Xét hàm số

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số đồng biến trên

B Hàm số nghịch biến trên

C Hàm số nghịch biến trên

D Hàm số đồng biến trên

Hướng dẫn:

Ta có bảng xét dấu:

Từ đó ta chọn C

Giải pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị của hàm số tìm khoảng đơn điệu của các hàm số

Bên cạnh đó ta có thể gặp dạng toán cho hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ cho trước Yêu cầu chỉ

quyết bài toán trên tôi đưa ra một vài ví dụ hướng dẫn học sinh cách giải quyết bài toán đó

y

2

2 1



4

Ví dụ 3.1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số

như hình bên dưới

Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

Hướng dẫn:

Ta có

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với thì đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng nên ) hàm số đồng biến trên

Từ đó ta Chọn B.

Ví dụ 3.2: Cho hàm số có đạo hàm

liên tục trên Đồ thị hàm số như

hình bên Hỏi hàm số

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng

sau ?

A

B

C

D

Hướng dẫn: Ta có

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới)

Dựa vào đồ thị, suy ra

trên đường thẳng ) Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn

Từ đó ta Chọn B.

Ví dụ 3.3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số

như hình bên dưới

Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Hướng dẫn: Ta có

Để Đặt , bất phương trình trở thành

Kẻ đường thẳng cắt đồ thị hàm số lần lượt tại ba điểm

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình

Đối chiếu đáp án ta chọn B.

Ví dụ 3.4:Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A B

Hướng dẫn: Ta có:

Xét sự tương giao của đồ thị hàm số và

Đối chiếu đáp án ta chọn A.

Giải pháp 4: Rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết bài toán cho đồ thị của hàm số tìm cực trị của hàm số

Bên cạnh các bài toán về tính đơn đieh trên ta có thể gặp dạng toán cho hàm số

liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ cho trước Yêu cầu chỉ ra điểm cực trị hoặc số điểm cực trị của hàm số

Để giải quyết bài toán trên tôi đưa ra một vài ví dụ hướng dẫn học sinh cách giải quyết bài toán đó

Ví dụ 4.1: Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số

trên như hình vẽ bên Tìm số cực trị của hàm số trên

A B

C D

Hướng dẫn: Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị cắt trục

tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục

Ta chọn B.

Ví dụ 4.2: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số Số

điểm cực trị của hàm số là

Hướng dẫn: Ta thấy đồ thị hàm số có điểm chung với trục hoành

nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là và Bảng biến thiên

Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn A.

Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của có điểm chung với trục hoành

nhưng cắt và băng qua luôn trục hoành chỉ có điểm nên có hai cực trị

*, Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại

*, Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu

x y

1

Ví dụ 4.3: Hàm số có đạo hàm trên khoảng Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số trên khoảng Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A B C D.

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm nên chọn B

Ví dụ 4.4: Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình

vẽ Khi đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A 1 B 4 C 3 D 2.

Hướng dẫn:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm

Từ đó chọn A

Ví dụ 4.5: Cho hàm số xác định và liên tục trên

Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ

Tìm điểm cực tiểu của hàm số

trên đoạn ?

A và

B và

C

D

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy đổi dấu từ âm sang dương khi qua nên chọn đáp án C

Nhận xét: Xét một thực dương Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị

của hàm số hoặc trên , thì đáp án vẫn không thay đổi Chú ý số cực trị của các hàm số , và là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị khác nhau!

Ví dụ 4.6: Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số

trên như hình vẽ Tìm số cực trị của hàm số trên

?

A B C D.

Hướng dẫn:

Ta có có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị Khi đó đồ thị hàm số

vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm Ta chọn B.

Ví dụ 4.7: Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình

vẽ

Khi đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục

hoành 1 điểm.Ta chọn A.

Ví dụ 4.8: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ bên

y

 

f x

y

x

O

Hàm số có mấy điểm cực trị?

A B .

C D .

Hướng dẫn: Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục

hoành tại 3 điểm.Ta chọn C.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Để kiểm nghiệm kết quả cho đề tài nghiên cứu tôi đã chọn 2 lớp, học sinh đều có trình độ ngang nhau đó là các lớp 12A2, 12A3 năm học 2019-2020 của

trường THPT Thạch Thành 2 Lớp thực nghiệm là lớp 12A3 được học “ Khai thác bài toán tìm khoảng đơn điệu và bài toán cực trị của hàm số

biết đồ thị hàm số trong đề thi THPT quốc gia” như trao đổi trong

đề tài Lớp đối chứng là lớp 12A2 được học theo phương pháp thông thường chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong tiết dạy tôi đã kiểm tra kiến thức của các em ở hai lớp thông qua cùng một đề kiểm tra (đề 15 phút và giao cùng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm) và thu được kết quả như sau:

Lớp Học sinh không giải được hoặc giải và

đưa ra đáp án sai Học sinh giải đúng và đưara đáp án đúng

Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong tiết dạy tôi đã kiểm tra kiến thức của các em ở hai lớp thông qua cùng một đề kiểm tra (đề 15 phút và giao cùng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm) và thu được kết quả như sau:

Lớp Học sinh không giải được hoặc giải sai Học sinh giải đúng

Nhìn vào thống kê trên ta thấy số lượng học sinh giải đúng và có đáp án chính xác ở lớp không được tiếp cận với sáng kiến kinh nghiệm và số học sinh ở lớp được tiếp cận với sáng kiến kinh nghiệm là chênh lệch rõ ràng Tất nhiên,

chưa quên và do vậy nhiều em sẽ áp dụng được hơn Nhưng không bởi vậy mà

ta phủ nhận việc giúp học sinh, cùng học sinh xây dựng các bước làm cụ thể cho những loại bài toán khó

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Được giảng dạy các lớp 12 nên tôi đã nhận thấy đa số học sinh thường chưa có phương pháp phù hợp để giải quyết các dạng bài toán mà tôi đưa ra trong sáng kiến

Khi hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán trên tôi thường trăn trở phải làm sao cho các em thấu suốt một cách triệt để, biết phân loại các bài toán, phân tích mỗi loại và tìm phương pháp vận dụng lý thuyết vào mỗi loại bài.Trên

cơ sở đó tôi luôn tích luỹ kinh nghiệm sau mỗi tiết dạy, tìm tòi đổi mới và đưa các bài tập áp dụng vào một tiết học giải bài tập,luyện tập hoặc ôn tập chương nên phần nào các em đã hiểu đựơc Qua đó các em phần nào tự tin hơn khi giải một bài toán đó để có được kết quả đúng và cao hơn

Trong bài viết này, tôi chỉ giới thiệu một số dạng bài toán tìm khoảng đơn điệu và bài toán cực trị của hàm số khi biết đồ thị của hàm số

trong đề thi THPTQG ” cho các em nắm được một số cách giải quyết bài toán đó Mong rằng có những ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm của đồng nghiệp để bài viết hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

Tôi kiến nghị lên BGH nhà trường và tổ bộ môn xây dựng thư viện có nhiều đầu sách tham khảo hay, cung cấp đầy đủ trang thiết bị dạy và học tốt hơn nữa

Bài viết của tôi chỉ trình bày theo những kinh nghiệm của cá nhân trong quá trình giảng dạy, do đó chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu xót và chưa thật hoàn chỉnh Vì vậy tôi rất mong được các đồng nghiệp góp ý chân thành cho bản sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 01 tháng 07 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân, không sao chép nội dung của người khác

Đoàn Mạnh Hùng