Dao động thứ hai có phương trình li độ là A.. Phân tích và hướng dẫn giải Nhận xét: ta thấy biên độ và pha đều cho rõ ràng nên cách giải nhanh nhất là dùng máy tính.. Phương trình dao độ
Trang 1Dạng 2 BÀI TOÁN NGHỊCH PHƯƠNG PHÁP:
Nếu biết một dao động thành phần x1A cos1 t 1và dao động tổng hợp
x A cos t thì dao động thành phần là x2A cos2 t 2 được xác định bởi biểu thức:
2
A sin A sin tan
A cos A cos
(với
)
VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1: (ĐH 2010) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3 cos (πt – 5π/6) (cm) Biếtt – 5π/6) (cm) Biếtπt – 5π/6) (cm) Biết/6) (cm) Biết) (cm) Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ x1 = 5π/6) (cm) Biết cos (πt – 5π/6) (cm) Biếtt + πt – 5π/6) (cm) Biết/6) (cm) Biết) (cm) Dao động thứ hai có phương trình li độ là
A x2 = 8 cos (πt – 5π/6) (cm) Biếtt + πt – 5π/6) (cm) Biết/6) (cm) Biết) cm B x2 = 2 cos (πt – 5π/6) (cm) Biếtt + πt – 5π/6) (cm) Biết/6) (cm) Biết) cm
C x2 = 2cos (πt – 5π/6) (cm) Biếtt – 5π/6) (cm) Biếtπt – 5π/6) (cm) Biết/6) (cm) Biết) cm D x2 = 8 cos (πt – 5π/6) (cm) Biếtt – 5π/6) (cm) Biếtπt – 5π/6) (cm) Biết/6) (cm) Biết) cm
Phân tích và hướng dẫn giải
Nhận xét: ta thấy biên độ và pha đều cho rõ ràng nên cách giải nhanh nhất là dùng máy tính.
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4
5π/6) (cm) Biết
x x x x x x 3 5π/6) (cm) Biết
6) (cm) Biết 6) (cm) Biết
Nhập: 3 SHIFT() (-5π/6) (cm) Biết/6) (cm) Biết) 5π/6) (cm) Biết SHIFT() (/6) (cm) Biết = 8
6) (cm) Biết. Vậy:
2
6) (cm) Biết Chọn A
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 năm 2013)
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình :
2
; x25π/6) (cm) Biếtcos( t )cm Phương trình dao động tổng hợp là x 5π/6) (cm) Biết 3 cos t cm
3
Giá trị của A bằng1
A 5π/6) (cm) Biết,0cm hoặc 2,5π/6) (cm) Biếtcm B 2,5π/6) (cm) Biết 3cm hoặc 2,5π/6) (cm) Biếtcm
C 5π/6) (cm) Biết,0cm hoặc 10cm D 2,5π/6) (cm) Biết 3cm hoặc 10cm
273
Trang 2Phân tích và hướng dẫn giải
Nhận xét: ta thấy thành phần tổng hợp đề cho biên độ và pha ban đầu rõ ràng
nhưng thành phần hai chỉ mới cho biên độ, pha ban đầu thành phần hai chưa cho nên ta không thể sử dụng máy tính để tìm thành phần thứ nhất được.
Đề bài cho
1 nên ta có giản đồ vecto mô phỏng như hình vẽ Ở đây không cần vẽ chính xác theo dữ liệu đề cho vì đề chỉ yêu cầu tìm biên độ của dao động thành phần.
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác OA1A
2
1
5π/6) (cm) Biết 5π/6) (cm) Biết 3 A 2.5π/6) (cm) Biết 3A cos
A 15π/6) (cm) BiếtA 5π/6) (cm) Biết0 0
A 5π/6) (cm) Biết
Vậy chọn đáp án C
Ngoài ra, để khỏi mất công vẽ hình
Ta sử dụng kiến thức hình học
về vecto như sau:
+ Nếu A A 1A2 A2 A21A22 2A A cos(1 2 1 2)
+ Nếu A2 A A 1 A22 A2A12 2AA cos(1 1)
+ Nếu A1A A 2 A21 A2A22 2AA cos(2 2)
Giải lại bài trên
Ta có: A A1 A2 A2 A A 1
2
1
5π/6) (cm) Biết 5π/6) (cm) Biết 3 A 2.5π/6) (cm) Biết 3A cos( )
A 15π/6) (cm) BiếtA 5π/6) (cm) Biết0 0
A 5π/6) (cm) Biết
Cách giải này cho đáp số nhanh hơn vì chỉ cần áp dụng công thức là có ngay đáp án
Ví dụ 3: (Chuyên Hà Tĩnh lần 1 năm 2013)
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình :
2
;
2
x 5π/6) (cm) Biếtcos( t )cmcm Phương trình dao động
tổng hợp là x 5π/6) (cm) Biết 3 cos t cm
3
cm Giá trị của A bằng1
A 5π/6) (cm) Biết,0cm hoặc 2,5π/6) (cm) Biếtcm B 2, 5π/6) (cm) Biết 3cm hoặc 2,5π/6) (cm) Biếtcm
274
O
A
Trang 3C 5π/6) (cm) Biết,0cm hoặc 10cm D 2,5π/6) (cm) Biết 3cm hoặc 10cm.
Phân tích và hướng dẫn giải
Ta có: A Aur ur 1Auuu2r Aur2A Aur uur 1
2
1 2
1
5π/6) (cm) Biết 5π/6) (cm) Biết 3 A 2.5π/6) (cm) Biết 3A cos
A 15π/6) (cm) BiếtA 5π/6) (cm) Biết0 0
A 5π/6) (cm) Biết
Ví dụ 4: Cho hai dao động điều hoà cùng phương : x1 = 2 cos (4t + )cm1
và x2 = 2 cos( 4t +2)cm Với 0 Biết phương trình dao động2 1 tổng hợp x = 2 cos ( 4t + / 6) (cm) Biết )cm Pha ban đầu là :1
A / 2 B / 3 C / 6) (cm) Biết D / 6) (cm) Biết
Phân tích và hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có: 0 2 1 2 1 2 ( 1 2)
A A A 2A A cos( )4 4 4 8cos( )
(vì loại nghiệm âm2 1 0 2 1 2
3
)
Ta lại có: A Aur ur 1Auuu2r Aur1A Aur uuu 2r
1
2
rad 6) (cm) Biết 3 3 6) (cm) Biết
(vì loại nghiệm dương 2 0 2
3
)
Chọn đáp án D
Ví dụ 5: Cho hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần
số có phương trình x1 A cos 4 t1 cm
6) (cm) Biết
và x2 A cos 4 t2 cm Phương trình dao động tổng hợp x 9 cos 4 t cm
Biết biên độ A2 có giá trị cực đại Giá trị của A1; A2 và là:
A A1 9 3cm; A2 18cm; 2 rad
3
275π/6) (cm) Biết
Trang 4O
A2
K
A1
A
B A1 9cm; A2 9 3cm; rad
3
C 1 2 2
3
D A19cm; A218cm; rad
3
Phân tích và hướng dẫn giải Cách 1: Giải theo giản đồ vec tơ
Theo bài ra, ta có giản đồ vec tơ như hình vẽ:
Áp đụng định lý hàm số sin ta có:
2
2
A
6) (cm) Biết 6) (cm) Biết
Từ (1) A2maxkhi α = 900
:
2
A
1
2
Tam giác OAA2 vuông tại A nên ta có:
A 9 A A A 9 9 3cm
Xác định pha ban đầu tổng hợp
Dựa vào giản đồ vectơ ta thấy vectơ dao động tổng hợp ở dưới trục hoành nên 0 2
rad
2 6) (cm) Biết 3
Chọn đáp án A
Cách 2: Áp dụng điều kiện A1 để A2 axm
2max
sin
6) (cm) Biết
1
tan
6) (cm) Biết
Có A ; A1 2 ta tính pha ban đầu của dao động tổng hợp theo công thức quen thuộc:
9 3 sin 18 sin
A sin A sin 6) (cm) Biết
6) (cm) Biết
276) (cm) Biết
Trang 5Mà 2 1 2
rad(k 1) 3
Nhận xét: Chúng ta thấy sự phức tạp của cách lấy nghiệm thế này Vậy có cách
nào tìm được luôn đúng không? Có các bạn à! Sử dụng máy tính FX 570ES trở
lên là nhanh và chính xác nhất nhớ là khi bài toán cho biên độ và pha ban đầu của
các dao động thành phần thì mới sử dụng được nhé!
Dùng máy tính FX570ES:
Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn chế độ máy tính theo radian(R): SHIFT MODE 4
Tìm dao động tổng hợp:
Nhập máy: 9 3 SHIFT ().
6) (cm) Biết
+ 18 SHIFT () ( = ) Hiển thị: 9 2
3
Như thế ta thấy: A = 9cm và 2 rad
3
Đây là kết quả ta mong đợi
Ví dụ 6: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 3 năm 2012)
Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà có phương trình lần lượt là x110 cos(2 t )cm;
x A cos(2 t / 2)cm; xA cos(2 t / 3)cm Khi biên độ dao động của vật bằng nửa giá trị cực đại thì biên độ dao động A2 có giá trị là
A 10 3 cm B 19,5π/6) (cm) Biết cm C 20 3 cm D.30 cm
Phân tích và hướng dẫn giải
Biên độ dao động cực đại của vật:AmaxA1A210 A 2
Ta có: A Aur ur 1Auuu2r Aur1A Aur uuu 2r
(*) Theo bài ra: Amax 10 A2
A
2
2 2 2
2 2
2
100 25π/6) (cm) Biết 5π/6) (cm) BiếtA A (10 A )A
A 19,5π/6) (cm) Biết 5π/6) (cm) Biết 2 3
A (5π/6) (cm) Biết 5π/6) (cm) Biết 3)A 75π/6) (cm) Biết 0 A 19,5π/6) (cm) Biết
4
Vậy chọn đáp án B
Tuy nhiên đây không phải là đáp án đúng Vậy chúng ta đã sai lầm từ đâu? Các bạn à! Biên độ dao động cực đại của vật:Amax A1A2 ; 1; 2
277
Trang 6A
1
A
A
6
Cùng pha với nhau Nhìn vào phương trình thành phần thứ 2 và phương trình tổng hợp ta thấy hai pha là không bằng nhau Vì thế chúng ta đã sai ngay từ bước này dẫn tới kết quả có trong đáp án nhưng lại sai Đây là cái bẫy rất nhiều bạn gặp phải khi làm trắc nghiệm.
Sau đây là lời giải chính xác của bài toán:
Theo bài ra, ta có giản đồ vec tơ như sau:
Độ lệch pha giữa thành phần tổng hợp với
Thành phần thứ hai: 2
3 2 6) (cm) Biết
Theo định lý hàm sin:
1
sin
6) (cm) Biết 6) (cm) Biết
2
Ta lại có: A21 A2 A22 2AA cos(2 2) A22 2A A cos( ) 01 2
6) (cm) Biết
Vậy đáp án chính xác là A
Ví dụ 7:(ĐH 2014) Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các
phương trình lần lượt là x1A c1 os(t0,35) ( )cm và
2 2 os( 1,57) ( )
x A c t cm Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình là x20 os(c t) ( )cm Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần
giá trị nào nhất sau đây?
A 25π/6) (cm) Biết cm B 20 cm C 40 cm D 35π/6) (cm) Biết cm
Phân tích và hướng dẫn giải
Theo bài ra:
0 1
0 2
9
2
rad rad
Áp dụng định lí hàm số sin:
sin sin sin70o sin sin
sin 70o
A
278
O
M
B
1
A
A
2
A
70o
20o
Trang 7A
1
2
x
sin70
2 sin55 os( )
2 sin 70
o
o
o
A1A2max khi cos 1
2
( 1 2) ax 2 sin55 34,87 .
sin70
o
A A A cm Chọn D
Ví dụ 8: (Trích đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 2 năm 2013): Dao động
tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ bằng trung bình cộng của hai biên độ thành phần và lệch pha so với dao động thành phần thứ nhất là 90o
Độ lệch pha của hai dao động thành phần đó là:
A 120o
B 126) (cm) Biết,9o
C 105π/6) (cm) Biếto
Phân tích và hướng dẫn giải
Đề bài:
0
1
A
2
90
Theo đề bài ta có
giản đồ vectơ như
hình vẽ:
Áp dụng định lý hàm sin: A1 A2 0 A1 A sin2
sinsin 90
Ta lại có: A A1 A2 A sin2 A2 A (sin2 1)
2
2
0
A (sin 1)
2
4 1 2 sin sin 4 sin
sin 1(l) 5π/6) (cm) Biếtsin 2 sin 3 0 3
sin 36) (cm) Biết,9 5π/6) (cm) Biết
279
Trang 8Từ hình vẽ ta thấy: 2 1 9036) (cm) Biết,8 90 126) (cm) Biết,9 0
Chọn đáp án B
Ví dụ 9: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương
cùng tần số có phương trình là x1, x2, x3 Biết x12 6) (cm) Biết cos( t )cm
6) (cm) Biết
;
23
x 6) (cm) Biết cos( t )cm
3
; x13 6) (cm) Biết 2 cos( t )cm
12
Tính x biết x2x21x23
A 6) (cm) Biết 2 cm B 12cm C 24cm D 6) (cm) Biết 3 cm
Phân tích và hướng dẫn giải
Sử dụng máy tính fx 5π/6) (cm) Biết70Es (plus) ta được:
1
1
1
A 6) (cm) Biếtcm 6) (cm) Biết 6) (cm) Biết 2 6) (cm) Biết
6) (cm) Biết
1
x 6) (cm) Biếtcos t (cm)
6) (cm) Biết
3
3
3
A 6) (cm) Biếtcm 6) (cm) Biết 2 6) (cm) Biết 6) (cm) Biết
3
3
2
x 6) (cm) Biếtcos t 6) (cm) Biếtcos t 6) (cm) Biết sin t (cm)
3 6) (cm) Biết 2 6) (cm) Biết
x x x 6) (cm) Biết cos t 6) (cm) Biết sin t 6) (cm) Biết x 6) (cm) Biết 2cm
6) (cm) Biết 6) (cm) Biết Chọn A
Ví dụ 10: Cho ba vật dao động điều hòa cùng tần số, cùng khối lượng, dao
động trên những trục song song kề nhau và song song với trục Ox với phương trình lần lượt x1 A cos(ωtφ)tφ) φ ) 1 cm, x2 A cos(ωtφ)tφ) φ ) 2 cm và
x A cos(ωtφ)tφ) φ ) cm Biết tại mọi thời điểm thì động năng của chất điểm
thứ nhất luôn bằng thế năng của chất điểm thứ hai và li độ của ba chất điểm thỏa mãn hệ thức x12 x x2 3 Tại thời điểm mà khoảng cách giữa x2 và x3
280
Trang 9bằng 2A
3 thì tỉ số giữa động năng của chất điểm thứ nhất so với chất điểm thứ
ba là
A 9
.
11 B.
11
9. C.
9
4 9
Phân tích và hướng dẫn giải
+ Ta có Eđ1 Etφ)2 mωtφ) (A2 2 x ) mωtφ) x12 2 22 x12 x22 A2
+ Tại mọi thời điểm : x12 x x2 3 x22 A2 x x2 3 x (x2 2 x ) A 3 2
+ Khi khoảng cách giữa hai chất điểm 2 và 3 là 2A
3 ta có :
Khi :
2
3
A 3 x
Khi :
2 2
2
3
A 3 x
2 2
1
đ
3
1
A A
A
2 3
Chọn đáp án A
Ví dụ 11: Một chất điểm tham gia đồng thời ba dao động điều hòa có
phương trình x12 c ost cm; x22 c ost + φ2 cm và x32 c ost + φ3
cm với φ3φ2và 0 φ φ 3; 2 Dao động tổng hợp của x1 và x2 có biên độ là 2
cm, dao động tổng hợp của x1 và x3 có biên độ 2 3cm Độ lệch pha giữa hai dao động x2 và x3 là
A 5π
6 B.
π
3. C
π
2 D
2π
Phân tích và hướng dẫn giải
⋇Nhận thấy biên độ các dao động thành phần bằng nhau nên:
x x x 2.2cos c os 4t +
281
Trang 10Theo bài ra: φ φ π
φ
2 2
x x x 2.2cos c os 4t +
φ
3
Chọn B
Ví dụ 12: Hai vật dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
trình lần lượt là x1A cos( t1 1) và x2A cos( t2 2) Gọi x x1x2
vàx x1 x Biết rằng biên độ dao động của 2 x gấp 3 lần biên độ dao động củax Độ lệch pha cực đại giữa x1 và x2 gần nhất với giá trị nào sau đây ?
A 5π/6) (cm) Biết00
B 400
C 300
D 6) (cm) Biết00
Phân tích và hướng dẫn giải
+ Ta có:
+ Mà: A( ) 3A( ) 20A A cos φ = 8(A1 2 12 A ) 16A A22 1 2
5
Vậy giá trị gần nhất với φmax là 400 Chọn B
Ví dụ 13: (Chuyên Lương Văn Tụy
– Ninh Bình lần 2/2016) Ba chất điểm
M1, M2 và M3 dao động điều hòa trên ba
trục tọa độ song song cách đều nhau với
các gốc tọa độ tương ứng O1, O2 và O3
như hình vẽ Khoảng cách giữa hai trục
tọa độ liên tiếp là a = 2cm Biết rằng
phương trình dao động của M1 và M2 là
x1 = 3cos2πt – 5π/6) (cm) Biếtt (cm) và x2 = 1,5π/6) (cm) Biếtcos(2πt – 5π/6) (cm) Biếtt +
πt – 5π/6) (cm) Biết/3) (cm) Ngoài ra, trong quá trình dao
động, ba chất điểm luôn luôn thẳng hàng với nhau Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm M1 và M3 gần giá trị nào nhất sau đây?
A 6) (cm) Biết,5π/6) (cm) Biết6) (cm) Biếtcm B 5π/6) (cm) Biết,20cm C 5π/6) (cm) Biết,5π/6) (cm) Biết7cm D 5π/6) (cm) Biết,00cm
Phân tích và hướng dẫn giải
282
x
x
x
O1
O2
O3 a
a
