Dạng 7 rút gọn chứng minh biểu thức

Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, kết hợp với 7 hằng đẳng thức để biến đối.. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:... Chứng minh các công thức sau sin cos sin co... Chứng min

Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác, kết hợp với 7 hằng đẳng thức để biến đối

Bài 1 Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:)

Bài 3 Chứng minh các đẳng thức sau:

1) cos2sin2  1 2sin2 5) 2 cos2  1 1 2sin2

2) 34sin2  4cos2 1 6) sin cot  costan sin cos 3) sin4cos4  1 2sin2cos2 7) cos4sin4 cos2sin2

4)sin3cossincos3 sincos 8) sin4cos4  1 2cos2 2sin2 1HD:

1) cos2sin2  (1 sin2)sin2  1 2sin2

2) 34sin2  3 4(1 cos 2)  3 4 4 cos2 4 cos21

3) sin4cos4 (sin2cos2)2 2sin2cos2  1 2sin2cos2

4) sin3cossincos3 sincos (sin 2cos2)sincos

5) 2 cos2 1 2(1 sin 2) 1  2 2sin2   1 1 2sin2

6) sin cot cos tan sin cos cos sin cos sin

cos sin   cos sin  cos  sin  cos  sin 

8) sin4cos4 (sin2 cos2)(sin2cos2)sin2cos2

(1 cos ) cos  1 2 cos  2sin  1

Bài 4 Chứng minh các đẳng thức sau:



 

tan tantan tan

sin cos 2 sin 1 2 1

1 cos sin (1 cos ).sin (1 cos ).sin (1 cos ).sin sin

8)

sin sin sin cos cos sin

tan tancos cos cos sin sin cos

sin sin sin sin

tan cot 1

tan tan (cot cot ) tan tan cot tan tan cot tan tan

tan tantan tan

cos (1 sin ) cos (1 sin ) cos

sinsin

sin tan cos sin cos sin . sin sin (1 cos )

coscos cot cos cos cos sin cos cos (1 sin )

sin (1 cos )

cos (1 sin )Nhiều bạn sẽ thắc mắc tại sao cos  0;sin  0 thì  1 sin ,cos  1

Bài 6 a) Chứng minh: sin cos cos2 cos4x x x x 1sin8x

sin 78 cos12 ;sin66 cos24 ;sin 42 cos48

sin6 sin 42 sin66 sin 78 sin6 cos12 cos24 cos48

1cos6 sin6 cos6 cos12 cos24 cos48 sin96

Bài 8 a) Chứng minh: tan 1 cos2

sin2

x x

sin 2 2sin cos 2sin cos cos

sin 1 cos sin (1 cos ) sin cos 1 2 cos

1 cos sin (1 cos ).sin (1 cos ).sin

sin tan 4sin tan 3cos (sin tan tan ) (4sin 3cos )

tan sin 1 sin 3(sin cos ) tan ( cos ) sin 3

2

2

2 2

cos sin (cos sin )(cos sin ) cos sin

Bài 11 Chứng minh:

a) sin 3 sinx 3xcos 3 cosx 3xcos 23 x

b) 1 cos 1 cos 2 cot 0

sin 3 sin cos 3 cos 3sin 4sin sin 4 cos 3cos cos

3sin 3cos 4 cos 4sin

4 cos 4sin 4 cos sin sin sin cos cos

4 cos sin sin cos sin cos 4 cos sin 1 sin cos

sin 3 sin cos 3 cos 3 sin cos 4 cos sin 1 sin cos

cos sin 3 4 4sin cos cos sin 1 4sin cos

cos 2 1 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2

Các em có thể giải bằng cách bình phương hai vế

Bài 12 Chứng minh các công thức sau

(sin cos )(sin co

b) Ta có:

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos | sin | | sin | sin

sin cos cos tan

cos sin sin

1 cos 1 cos 4cot

1 cos 1 cos sin

3cos cos 1 cot

sin cos cos sin cos (1 cos ) sin cos sin

cos sin sin cos sin (1 sin ) cos sin cos

sin (1 cos ) sin tan

cos (1 sin ) cos

sin cos 2sin cos

x x

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos sin sin sin sin

cos cos(120 ) cos(120 )

cos cos120 cos sin sin120 cos120 cos sin sin120

cos 2cos120 cos cos cos 0

x





 Ta có:

2(cos cos3 ) 2(4cos 4cos ) 8cos (1 cos ) 8cos (1

(1 cos )(1 cos3 ) (1 cos )(1 cos3 ) (1 cos )(1 cos3 ) 

3cot cot 8cos (1 cos ) cos (1 cos )

1 cos3 1 cos33

cos cos 1 cot

cos sin sin2 cos sin cos sin sin2 cos sin sin2

cos2 sin2 2 cos 2

Bài 14 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) 3(sin4xcos ) 2(sin4x  6xcos )6x

b) cos6x2sin4xcos2x3sin2xcos4xsin4x

c) cos x cos x cos x cos x 3

2(sin cos ) 2 (sin cos )(sin cos sin cos )

2(sin cos sin cos )

3(sin cos ) 2(sin cos ) sin cos 2sin cos sin cos 1

cos 2sin cos 3sin cos sin

cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin

cos cos sin 2 cos sin cos sin sin

cos 2 cos sin sin cos sin 1

sin2 sin 4 sin8 sin16  

c) cos cos .cos 1.cos3

1 cot 4 cot 8 sin 2 sin 4 sin8 sin16

1 2cos cos cos cos cos2 cos

sin 5 2sin (cos4 cos2 ) sin 5 2sin cos4 2sin cos2

sin 5 (sin 5 sin3 ) (sin3 sin ) sin

sin3 sin(2 ) sin2 cos cos2 sin 2.sin cos (1-2sin ).sin

2sin (1 sin ) sin 2sin 3sin 4sin

       



tan2 sin2 .cos 2sin cos cos 2cos 1 cos2 1 1

tan cos2 sin cos2 sin cos2 cos2 cos2

2 1

x

2

sincos cos cos

2cos

n

n

x

x x x

x x

x

x

Bài 21 Chứng minh rằng:

a) n

n Q

HD:

Cách 1: Các em sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Cách 2: Biến đổi dựa vào các công thức lượng giác đã học

n Q

n Q

n Q

n Q

n R

Bài 22 Chứng minh các hệ thức sau:

1) sin4 cos4  3 1 cos4

7)

x x

1 tan tan 2





11) tanx cotx2cot 2x 12) x x

x

2cot tan

3 1cos4 3 1 1 2sin 2 1 sin 2 1 2sin cos 4 4

sin cos sin cos sin cos sin cos

sin cos sin cos 1 3sin cos

5 3cos4 5 3 1 2sin 2 1 6.4sin cos 1 3sin cos

5 3sin cos cos4

x x

2

sin cos

cos2 cos sin (sin cos )(sin cos ) sin cos

2.sin

42.cos

4

9) Ta có:

tan 2 tan (tan2 tan )(tan2 tan )

(1 tan tan2 )(1 tan tan2 )

1 tan tan 2

tan2 tan . tan2 tan tan3 tan

1 tan tan2 1 tan tan2

2

cos sin sin cos cos 3sin

cos sin cos sin cos cos sin 3sin

C sin tan tan cos sin sin tan (sin 1) 1 sin

tan cos 1 sin sin 1 sin 1

sin cos sin cos

sin cos 1 sin cos 2sin cos 1 2sin cos 2sin cos 2tan

D

Bài 25 Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(a b ).cos(a b ) b) 2cos(a b ).cos(a b )

c) 4sin3 sin2 cosx x x d) 4sin13x.cos cosx x

e) sin(x30 ).cos(o x30 )o f) sin sin2

g) 2sin sin2 sin3 x x x h) 8cos sin2 sin3x x x

i) sin x sin x cos2x

2sin(a b).cos(a b) sin a b a b sin a b a b sin2a sin2b

b) Sử dụng công thức 2cos cosa bcos(a b ) cos(a b )

2.sin 2 cos sin 2 sin 2 sin3 sin

4sin3 sin 2 cos 2sin3 sin3 sin

2sin 3 2sin3 sin

1 cos6 cos2 cos4

2sin sin2 sin3

2sin sin2 sin3 x x x x x x

Bài 26 Chứng minh:

a) 4 cos cosx x cos x cos3x

A sin10 sin50 sin70 B cos10 cos50 cos70 o o o

Csin20 sin40 sin800 0 0 Dcos20 cos40 cos800 0 0

23cos10 cos50 cos70 cos30

23sin20 sin 40 sin80 sin60

21cos20 cos40 cos80 cos60

c) 1 3tan 2x d) sin2xsin4xsin6x

e) 3 4cos4 xcos8x f) sin5xsin6xsin7xsin8x

g) 1 sin2 –cos2 –tan2 x x x h) sin (2 x90 )0 3cos (2 x90 )0

i) cos5xcos8xcos9xcos12x k) cosxsinx1

sin 2 sin 6 2sin 4 cos 2

sin 2 sin 4 sin 6 2sin 4 cos 2 sin 4

12sin 4 cos 2 2sin 4 cos 2 cos 60

24sin 4 cos 30 cos 30

cos7 cos8 cos9 cos10

sin7 sin8 sin9 sin10

sin2 2sin3 sin 4 sin2 sin 4 2sin3

2sin3 cos 2sin3 2sin3 cos 1

sin3 2sin4 sin5 sin3 sin5 2sin4

2sin4 cos 2sin4 2sin4 cos 1

1 cos cos2 cos3 1 cos2 cos cos3

2cos 2cos2 cos 2cos cos cos2

cos 2cos 1 cos cos2

sin 4 sin5 sin6 sin 4 sin6 sin5

2sin5 cos sin5 sin5 cos 1

cos4 cos5 cos6 cos4 cos6 cos5

2cos5 cos cos5 cos5 cos 1

7cos2

3sin2

cos2

sin2

Bài 30 Rút gọn các biểu thức sau:

1) 2sin a.sin 2a.sin 3a 2) sin xsin 2xsin 3xsin 4x

3) cos xcos 2xcos 3xcos 4x 4) 1 cos x sin x

5) 2 cos 2a 3 6) 1 2sin a 2cos 2a

7) 9sin a6cos a 3sin 2a cos 2a 8 8) sin 3a cos 4a sin 5a cos 6a2  2  2  2

Bài 32 Rút gọn các biểu thức sau:

a) Asin(x y) cos(x y)sin(x y) cos(x y)

b) B cos(400 x) cos(x20 )0 sin(400 x) sin(x20 )0

c) C sin(x10 ) cos(20 x80 )0 sin(x100 ) cos(20 x10 )0

cos(40 ) cos( 20 ) sin(40 ) sin( 20 ) cos(40 20 )

Bài 33 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos sin 2 cos 2 sin

c) sin(x y) sin(x y)sin2xsin2 y cos2 ycos2x

d) cos(x y) cos(x y) cos2xsin2 y cos2 ysin2x

b) Thay x bằng x vào biểu thức ở câu a ta được:

cos( ) sin( ) 2 cos 2 sin

Bài 34 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin sin 2 sin

Bài 35 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos( ) cot cot 1

cos( ) cot cot 1

c) 2 2

sin( ) sin( )

tan tancos cos

cos( ) cos cos sin sin cot cot 1

cos( ) cos cos sin sin cot cot 1

sin cos cos sin

tan tancos cos

cos cos sin sin

1 tan tancos cos

Bài 36 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

a) 1 cos xcos 2xcos3x b) sinxsin 3xsin 7xsin 5x

c) sinxsin 2xsin 5xsin 8x d) cos10xcos8xcos 6x1

e) cos9xcos 7xcos3xcosx f) cos 7xsin 3xsin 2xcos3x

HD:

Bài 37 Rút gọn các biểu thức sau :

1) M1sin x cot x2  2  1 cot x2 2)

2

2cos x 1N

1) sin x2 2) cos asin a 3) sin a cos a 4) sin a cos a

Bài 38 Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau :

3 sin xcos x 2 sin xcos x 1

sin acos a cos a 1 tan a sin a 1 cot a

3) tan a sin a2  2 tan a.sin a2 2

x

1

5 tan 2tan2

a) Chứng minh rằng: a a

a

sin2cos

Bài 45 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cotxtanx2tan2x  4cot 4x b) x x

c) x x

2 6

cos4 sin2 cos2

3(sin cos ) 4 cos sin 6 sin

3(sin cos )(sin cos ) 4 cos sin 6 sin

3(sin cos ).(sin cos ).(sin cos ) 4 cos sin 6 sin

3(sin cos ).(sin cos ) 4 cos sin 6 sin

4(sin cos ) cos 4 4 sin cos 8sin cos 2 cos 1

4 2sin 2 cos 1 5 2 sin c

2o

1) A sin π a cos π a cot  2π a  tan  3π a

cos sin sin

sin sin cos

a) Các em có thể đổi về tan a b rồi sử dụng công thức khai triển

hoặc viết cot  sin    sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

Sau đó chia cả tử và mẫu cho sin sina b

tan a tan btan a.tan b tan a.tan b.tan a b

2sin a b 2 sin cos cos sin

cos a b cos a b cos cos sin sin cos cos sin sin

2 sin cos cos sin

2

os os 2 sin2sin os 1 2sin sin 2sin

sin 3 sin 2 sin 2 c c

a a

1 tan acos 2a



HD:

a) Ta có:

2 2

2

sin2

os 2sin coscos

Bài 52 Biến đổi thành tổng

a) cos 2 cosx x b) cos 3 sin 2x x

c) sin 4 cosx x d) sin 3 sin 5x x

HD: Bài này ta sử dụng công thức : sin sin ; cos cos ; sin cosa b a b a b

a) Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

1cos 2 cos cos cos 3

a) Acosxcos3x b) Bcos 4xcos3x

c) Csin 2xsinx d) Dsin 5xsin 3x

HD: Bài này ta sử dụng công thức sinasin ; cosb acosb

a) Acosxcos3x2cos 2 cosx x

b) B cos 4 cos 3 2sin7 sin

b) sin 5 2sincos 4cos 2sin

HD: Sử dụng công thức: sin sin ; sin cosa b a b

sin 5 2sin cos 4 cos 2 sin 5 2sin cos 4 2sin cos 2

sin 5 sin 5 sin 3 sin 3 sin sin

Bài 56 Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin(x y ).sin(x y ) sin 2xsin2y

2sin( )tan tan

1 tan 2 tan





HD:

sin( ).sin( ) sin cos sin cos sin cos sin cos

sin cos sin cos sin 1 sin sin 1 sin sin sin

Hoặc sử dụng công thức tích thành tổng rồi dùng công thức nhân đôi:

Bài 57 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2tanatan(a b khi ) sinbsin (a cos a b )

b) 2tanatan(a b khi ) 3sinbsin(2a b )

c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2cos(a b)

1



HD:

a) Chú ý:bab–a b) Chú ý: bab– ; 2a a b aba

c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a2baba; aab–b

Bài 58 Chứng minh rằng:

a) Nếu cos(a b ) 0 thì sin(a2 ) sinb  a

b) Nếu sin(2a b ) 3sinb thì tan(a b ) 2tana

b) Cho tan(a b ) 3tan a Chứng minh: sin(2a2 ) sin2b  a  2sin2b

HD:

Bài 60 Rút gọn biểu thức cos cos 2 cos 3 cos 4

sin sin 2 sin 3 sin 4

Bài 61 Chứng minh rằng:

1) cotxtanx2 tan 2x4 tan 4x8cot 8x

2) tan 3atan 2atanatan 3 tan 2 tana a a

Bài 63 Chứng minh:

1)

2

2 2

cos 2a 1 sin 2a





5) cos a sin a cos a sin a 2 tan 2a

cos a sin a cos a sin a

6) 1 tan a 1 1 tan a 1 sin 2a2

cos a cos a cos a

Bài 65 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2tanatan(a b khi ) sinbsin (a cos a b )

b) 2tanatan(a b khi ) 3sinbsin(2a b )

c) tan tana b 1 khi cos(a b) 2cos(a b)

3

d) a b b k khi a b k a

k

1tan( ).tan cos( 2 ) cos

1



HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a

c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

Bài 66 Biến đổi các biểu thức sau thành tổng :

1) sin a b sin a b    2) sin a.sin 2a.sin 3a 3) cos a.cos b.cos c

Bài 67 Chứng minh các đẳng thức sau:

1) sin sina bcsin sinb casin sinc ab0

2) cos a b sin a b      cos b c sin b c      cos a c sin c a      0

8) 2 sin 6a cos 6a  1 3 sin 4a cos 4a 9) 3 sin 4x cos 4x 2 sin 6x cos 6x 1

10) tan2asin2atan2a.sin2a 11) sin 1 cos 2

1 cos sin sin

a



 ( nếu sina 1) 14)

cot a c os acot acos a

16) tan2asin2atan a sin2 2a 17) t ana sin cos

sin cot

a

a

18)

2

2 2

sin acos a  sin acos a sin asin a.cos acos a

7) Biến đổi: cot b cot a 1 1

2 2

1 sin cos

sinsin

a) 2 2 2 2 2 2

2

oscot sin cot 1 cot 1 sin sin

sin 2sin cos os 1 2sin cos sin

2sinb

l) cos α sin α sin α.cos α4  2  2 2

m) cos α 4sin α4  2  sin α 4cos α4  2

cos a

g) sin a2 cos a2 sin a4 sin a.cos a2 2 cos a4 3sin a.cos a2 2

= sin a sin a.cos a cos a 3sin a.cos a4  2 2  4  2 2

sin acos a 3sin a.cos a3sin a.cos a

= 1 3sin a.cos a 3sin a.cos a 2 2  2 2 1

Bcos x 2 cos a.cos x.cos a  x cos ax ĐS: sin a2

Bài 73 Chứng minh các biểu thức lượng giác sau luôn luôn nhận giá trị không đổi,

không phụ thuộc vào góc 

Bài 74 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào góc

a) 2cos α sin α sin α.cos α 3sin α4  4  2 2  2 b)   2 2

tanαcotα  tanα cotαc) 3(sin4α +cos4α)-2(sin6α +cos6α) d) (sin4α +cos4α -1).(tg2α +cotg2α +2) e) sin α.cot α cos α 12 2  2  f) sin α cos α cos α 3sin α4  4  2  2

HD: Các em khai triển kết hợp các công thức

Bài 75 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

a) Acos x sin x4  4 2sin x2

b) Bsin x sin x.cos x cos x4  2 2  2

c) Ccos x sin x.cos x sin x4  2 2  2

Dcos x 2cos x 3 sin x 2sin x3

e) Esin x cos x 2sin x cos x sin x6  6  4  4  2

sin α cos α sinα cosα

1 2sinα.cosα sinα cosα

2 2

1 4sin α.cos α

sinα cosαsinα cosα

a, Biến đổi tương đương hai vế ( nhân chéo)

b, Biến đổi vế trái

VT =

(sin α 2sin α cos α cos α) (sin α 2sin α cos α cos α)

4sin α cos α

1 tanα cosα cosα cosα sinα

sinα cosα sinα

e)    

2

sinα cosα sinα cosα

1 2sinα.cosα sinα cosα sinα+cosα

sin α cos α 2sinα.cosα sin α cos α 2sinα.cosα

sinα cosαsinα cosα

cos α 1 sin α cos α

cot αsin α

k) ( chia cả tử và mẫu cho cosα )

Bài 78 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4xcos4x  1 2cos2x

b) sin4xcos4x  1 2cos sin2x 2x

c) sin6xcos6x  1 3sin cos2x 2x

d) sin8xcos8x  1 4sin cos2x 2x2sin cos4x 4x

e) cot2xcos2x  cos cot2x 2x

f) tan2xsin2x  tan sin2x 2x

g) 1 sin xcosxtanx  (1 cos )(1 tan )x  x

h) sin tan2x xcos cot2x x2sin cosx x tanxcotx

sin cos 1 2cos

1 cos sin cos 1

1 sin 1 tan

1 sin



Bài 79 Chứng minh các đẳng thức sau:

tan tantan tan

sin cos cos sin 1 cot

1 cos 1 (1 cos ) 2cot

tan .1 cot 1 tan

1 tan cot tan cot

Bài 80 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 sin )cot 2x 2x 1 cot2x b) (tanxcot )x 2(tanxcot )x 2

cos cos cot

sin sin tan

2 2

 

Bài 81 Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin4xcos ) 2(sin4x  6xcos )6x ĐS: 1

b) 3(sin8xcos ) 4(cos8x  6x2sin ) 6sin6x  4x ĐS: 1

c) (sin4xcos4x1)(tan2xcot2x2) ĐS: –2

d) cos cot2x 2x3cos2xcot2x2sin2x ĐS: 2

32