Dạng 6 biện luận theo m nghiệm hệ BPT bậc nhất một ẩn

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm... Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm... Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm... Tìm

Bài 1 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

a)

  



1 2

2 2 1

m mx





Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với  2  2

3

x







2

2

3

2

x

x

m





Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

2 2

2

m

Vậy m 0 là giá trị cần tìm

b) Hệ bất phương trình tương đương với

2 2

2

4 1





Với m 0 ta có hệ bất phương trình trở thành 0 2

0 1

x x





 suy ra hệ bất phương trình vô

nghiệm

Với m0 ta có hệ bất phương trình tương đương với

2

2

2

m x m m x m



 



 



Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 22 4 2 1 1

3

m

Vậy 1

3

m là giá trị cần tìm

Bài 2 Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm

a)  2 2

2 8 5



 

  





BIỆU LUẬN THEO m NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

a) Hệ bất phương trình tương đương với

8 13

5

x m x

 



 



Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm 8 2 8 72

m

Vậy 72

13

m là giá trị cần tìm

b) Hệ bất phương trình tương đương với

14 3

x









Với m 1 hệ bất phương trình trở thành

0 2 14 3

x x

 







 (hệ bpt vô nghiệm)

Với m 1 hệ bất phương trình

2 1 14 3

x m x



 



 



suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm

6 14 1

m



Do đó m 1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm

Với m 1 hệ bất phương trình

2 1 14 3

x m x



 



 



(hệ bpt luôn có nghiệm)

Vậy giá trị cần tìm là m 1

Bài 3 Tìm m để hệ bất phương trình 2  1 3

4 3 4



 có nghiệm duy nhất

Lời giải:

Hệ bất phương trình tương đương với  

2 1 3 2



Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì 3 2 3

2 1 4 4

m

8 26 15 0

4

2

Với 3

4

m hệ phương trình trở thành

3 3

x x

x

     

   



Với 5

2

m hệ phương trình trở thành 4 2 1

2

6 3

x

x x

 



Vậy giá trị cần tìm là 3

4

Bài 4 Cho hệ bất phương trình

2 2 2

0 (1)

2 1 2

mx







a) Giải hệ bất phương trình khi m 1

b) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm

Lời giải

ĐKXĐ:

2 1 2

x

x

 











Ta có     

2

0

2 1 2

2 1 2

x



Bảng xét dấu

x

  2 1

2



2

x  0 + | +

2x1  |  0 +

2x11 x2

+ ||  || + Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là 1  

1

2

S   

a) Khi m 1 ta có bất phương trình  2 trở thành     x 2 x 2

Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm bất phương trình (2) là S2    ; 2

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S S1 S2  

b) Với m0 bất phương trình  2 trở thành 0.x2 suy ra bất phương trình vô nghiệm

do đó hệ bất phương trình vô nghiệm

 Với m0 bất phương trình (2) x 2

m

  Đối chiếu với điều kiện ta có

Nếu 2 1 4

m   thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S2 2;

m

 

Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2

m

m

m m

 



Nếu 2 1 4

m   thì tập nghiệm bất phương trình (2) là 2 2; \ 1

2

S m

   

   

   

Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2

4

4

m

m

m m





 Với m0 bất phương trình (2) x 2

m

  Đối chiếu với điều kiện ta có

Nếu 2 2 m 1

m     thì tập nghiệm bất phương trình (2) là 2  

2

S

m

   

Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2

1 2

m

m

m m

  



 

Nếu 2 2 m 1

m     thì tập nghiệm bất phương trình (2) là S2 ;2

m

  

Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2

1

1

1 2

m

m

S S

m m

 



         (loại) Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1  m 0 và m 2

Bài 5 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

a) 4 3 1 3 3

1



  



   





Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với 2

1

x





  



Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 1 m m 1

Vậy m 1 là giá trị cần tìm

b) Hệ bất phương trình tương đương với

2

4

2 2

x

x x

 

  



Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Bài 6 Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm

a) 2 7 8 1

5 2



  

 b)    

  







Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

1 5 2

x m x







Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm 1 5 3

2

m

Vậy m 3là giá trị cần tìm

b) Hệ bất phương trình tương đương với

2

x m

x



 

 



Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm 1 1 3

2

m

Vậy m 3 là giá trị cần tìm

Bài 7 Cho hệ bất phương trình 2 0 (1)2

4 1 (2)





Tìm m để hệ đã cho có nghiệm

Bài 8 Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm

a) 2 1 0

2

x

 



  

5

7 2

x







c)

2

1 0

0

x

 



2 0

1 4

x

 





e)  

1 2

2 2 1

m mx





HD:

a) Bất phương trình 2x 1 0 có tập nghiệm 1 1;

2

S  

  Bất phương trình x m 2 có tập nghiệm S2   ;m2 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 1 2

b) Bất phương trình 3x6 3 có tập nghiệm S1   ;5 

Bất phương trình 5 7

2

xm 

có tập nghiệm 2 14 ;

S  m  

 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi 1 2 14 5 11

5

m

c)Bất phương trình x2  1 0 có tập nghiệm S1   1;1

Bất phương trình x m 0 có tập nghiệm S2 m;

Hệ có nghiệm S1 S2   m1

d) Bất phương trình x  2 x 2 có tập nghiệm S1 2;

Bất phương trình  2 

2

4

1 4

1

m

 (do m2 1 0)

Suy ra 2 ; 24

1

S

m

Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 2 2

4 2 1

m



Giải bất phương trình  2  2 2

2

4



e) Hệ bất phương trình tương đương với

2 2

2

4 1



 Với m0, ta có hệ bất phương trình trở thành 0 2

x x





 

 : hệ bất phương trình vô nghiệm

 Với m0, ta có hệ bất phương trình tương đương với

2

2

2

4 1

m x m m x m



 



 



Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 22 4 2 1 1

3

m

Vậy 0 1

3

m

  là giá trị cần tìm

Bài 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất

a) 2 1 3

0

x

x m

 



  

2 6

 





c)  2 2

2 8 5



 

3



e) 2  1 3

4 3 4





HD:

a) Bất phương trình 2x    1 3 x 2  S1 2;

Bất phương trình x    m 0 x m S2   ;m

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất S1S2 là tập hợp có đúng một phần tử  2 m

b) Bất phương trình 2  2 

2

6

1

m



6

1

S

m

    

Bất phương trình 3x     1 x 5 x 3 S2   ;3

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất S1S2 là tập hợp có đúng một phần tử

2 2

6

m



c) Bất phương trình  2 2 2 2 8

13

1

8

13

   

m  x x  S   

 

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất S1S2 là tập hợp có đúng một phần tử

m

m



d) Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì 3 9 1

3

m



Thử lại với m 1, hệ bất phương trình trở thành 2 2

2

x

x x

 

  

Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

e) Hệ bất phương trình tương đương với  

2 1 3 2





Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì

3 2 3

2 1 4 4

m

3

8 26 15 0

4

      hoặc 5

2

m Thử lại

 Với 3

4

m , hệ trở thành

3 3

x x

x

     

   



: thỏa mãn

 Với 5

2

m , hệ trở thành 4 2 1

2

x

x x

 

  

 : không thỏa mãn

Vậy 3

4

m là giá trị cần tìm

Bài 10 Tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm

a) 3 4 9

x m x

  



    

  



  

c)  2 2

2 8 5



 

  







e) 2 3 5 4



HD :

x   x x    x S  

  Bất phương trình 1 2 x m 3x   1 x m S2   ;m

Để hệ bất phương trình vô nghiệm 1 2 5

2

b) Bất phương trình 2x 7 8x  1 6x    6 x 1   S1  ;1 

Để hệ bất phương trình vô nghiệm 1 2 1 5 3

2

m

c) Bất phương trình  2 2 2 2

x  x  x  x  x  x  x

1

            

  Bất phương trình m3

Để hệ bất phương trình vô nghiệm 1 2 8 2 8 72

m

d) Bất phương trình 3x   5 x 1 2x     6 x 3    S1  3; 

Bất phương trình  2  2 2 2

2

4x 4 2x 1 9 6x 6 x 1 S ;1

Suy ra S1S2   3;1

Bất phương trình mx 1 m2xmmx 1 mx2xm

Để hệ bất phương trình vô nghiệm  1 2 3

1

2

m

e) Bất phương trình

x  x  x S  

  Bất phương trình mx   1 x 1 m1x 2 *

 Với m 1, khi đó  * trở thành 0x 2: vô nghiệm  hệ vô nghiệm

 trong trường hợp này ta chọn m1

 Với m1, ta có   2

     

hệ bất phương trình vô nghiệm 1 2

2 14

1 3

m





14 1

6 14 1

m





  (do với m   1 m 1 0)

 trong trường hợp này ta chọn m1

 Với m1, ta có   2

        Khi đó S1S2 luôn luôn khác rỗng nên m1 không thỏa mãn

Vậy m1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm