Rèn luyện kỹ năng giải 1 số dạng bài tập trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số

Trong mộtvài năm lại đây, đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán chuyển sanghình thức thi trắc nghiệm, dạng toán giải phương trình lượng giác ít xuất hiện,thay vào đó là các phương

1 MỞ ĐẦU

Giải phương trình lượng giác là một nội dung trọng tâm trong Đại số vàGiải tích 11 cũng như chương trình toán học phổ thông nói chung Trong mộtvài năm lại đây, đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán chuyển sanghình thức thi trắc nghiệm, dạng toán giải phương trình lượng giác ít xuất hiện,thay vào đó là các phương trình lượng giác chứa tham số

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình Đại số và Giải tích 11, phương trình lượng giác chứatham số chưa được đề cập nhiều, bài tập còn hạn chế Khi học sinh gặp bài tậpdạng này thường tỏ ra lúng túng, chưa linh hoạt Việc hệ thống các dạng bài tậpnhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chứa tham số là cần thiết

Vì vậy, tôi viết sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập trắc nghiệm về phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Giải phương trình lượng giác chứa tham số giúp học sinh hiểu rõ bản chất,

có cái nhìn sâu sắc, tổng hợp, linh hoạt về phương pháp giải phương trìnhlượng giác thường gặp Qua đó cũng hạn chế tư duy máy móc, sự phụ thuộcvào máy tính cá nhân hiện nay của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài có đối tượng nghiên cứu là:

- Phương pháp dạy học môn Toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp khảo sát, thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê , xử lý số liệu

1.5 Những điểm mới của SKKN

-Hướng dẫn học sinh thành thạo giải bài toán về phương trình lượng giác cơbản chứa tham số; một số phương trình lượng giác thường gặp chứa thamsố,thông qua hệ thống bài tập đa dạng

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận để đề xuất sáng kiến

Khi giảng dạy người giáo viên phải phát hiện ra những khó khăn mà học sinhthường gặp trong giải phương trình lượng giác chứa tham số Từ đó đưa ra giảipháp giúp học sinh giải quyết những khó khăn đó

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Phương trình lượng giác chứa tham số nhìn chung là một nội dung khó và phứctạp Nội dung phương trình lượng giác chứa tham số ít được đề cập đến trongsách giáo khoa cũng như sách bài tập Tài liệu, sách tham khảo về phương trìnhlượng giác chứa tham số còn hạn chế Các bài tập được đưa ra còn rời rạc vàchưa có tính hệ thống Đồng thời, các dạng bài tập phần này khá đa dạng khiếncho học sinh khó nắm bắt, lúng túng và khó khăn trong việc tìm hướng đi giảiquyết bài toán

2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống lý thuyết về hàm số lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản, một số phương trình lượng giác thường gặp.

A Các hàm số lượng giác: y = sinx; y = cosx;y = tanx; y = cotx

B Các phương trình lượng giác cơ bản: sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a

C Một số phương trình lượng giác thường gặp

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

c Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

2.3.2 Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ năng giải một số phương trình lượng giác

thường gặp chứa tham số thông qua hệ thống ví dụ và các dạng bài tập Dạng 1 Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác chứa tham số

 Bài toán 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình lượng giác cơ

bản: f(x) = m với f(x) là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ 1: Tìm tham số m để phương trình: m2  3m 2 cos x m m 1 1  2      

có nghiệm

Giải: m2  3m 2 cos x m m 1  2      m 1 m 2 cos x m m 1     2     ;+) Khi m = 1, phương trình có dạng: 0 = 0 luôn đúng  x ¡ , hay phươngtrình có nghiệm  x ¡

+) Khi m = 2: phương trình có dạng: 0 = 2 (vô lý), suy ra phương trình vônghiệm

+) Khi m ≠ 1, m ≠ 2: 1 m 2 cos x m 2 cos x2 m  2

Giải: Điều kiện sinx 3 0  luôn đúng, do đó ta có:

pt  2sin x 1 msin x 3    2 m sinx 4   (1)

+) Với m = 2, phương trình có dạng: 0 = 4 (vô lý), vậy m = 2 không thỏa mãn.+) Với m 2 , khi đó

 1 sin x 4

2 m



và đường thẳng y 4

2 m



 trên 0; Dựa vào đồ thị, phương trình (1) có 2 

nghiệm trên 0; khi và chỉ khi:  0 4 1 m 2

2 m

 Vậy với m 2 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thỏa mãn 0 x 

Ví dụ 3: Gọi S là tập các giá trị của m để phương trình sin 2x m 5

Giải: Xét phương trình: sin 2x m 5 1 

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình (1) có nghiệm khi

4 Ta có tổng các phần tử nguyên của m thỏa mãn là – 15

Bài 3: Phương trình sin 2x m2 3m 3

 Bài toán 2: Giải phương trình tích đưa về phương trình bậc nhất với

một hàm số lượng giác chứa tham số

Ví dụ 1: Cho phương trình cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 1       Tìm tham số

m để phương trình có nghiệm trên khoảng ;3

1 1 m sin x 2cos x 1 3m cos x 0

1 m 1 cos x 2cos x 1 3m cos x 0

4mcos x 2cos x 1 m 0 m 4cos x 1 2cosx 1 0

Ví dụ 3: Cho phương trình cos x 1 cos 2x mcos x     msin x2 Phương

trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;2

   nên không tồn tại k thỏa

mãn Vậy phương trình (2) vô nghiệm trên 0;2

Bài 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Bài 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm trên khoảng

A 1 B 2 C.3 D vô số.

Bài 5 Biết rằng khi m m 0 thì phương trình

Bài 6 Số các giá trị thực của tham số m để phương trình

0;2 là:

Dạng 3: Phương trình bậc nhất với sinx và cosx chứa tham số

Ví dụ 1 : Với những giá trị nào của m, phương trình sau có nghiệm:

Giải: Điều kiện: 2cos x sin x 4 0   luôn đúng với mọi x do

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm

cosx ≠ 0 Trước hết, (1) có nghiệm khi 2a2 a 12 a 12 a 1

sin 2 x 2sinx cosx cos x msin x

2sin x cos x 2sin x cos x cos x m 1 cos x 0

cos x 1 2sin x m 1 cos x m 0

Để phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm trên đoạn 0;2 thì:

Bài 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [– 10; 10] để

a  .

Bài 6 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

2

3sin 2x cos 2x

m 1sin 2x 4cos x 1

 Bài toán 1: Phương trình đưa về phương trình bậc hai với một hàm số

lượng giác

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị m nguyên dương để phương trình

4sin 2x 8cos x 5 3m 0    có nghiệm

Giải: Ta có: 4sin 2x 8cos x 5 3m 02  2    ;

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

t sin 2x, t  0;1 Khi đó  1'  2t2 3t 1 m 1"    (1) có hai nghiệm

phân biệt trên đoạn 0;

4



  khi và chỉ khi (1”) có hai nghiệm phân biệt trên

0;1 Xét bảng biến thiên của hàm số  y2t2 3t 1 trên đoạn 0;1 :

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

y +∞ +∞

– 16 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi m16 m 16

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 2sin x mcos x 1 m   có nghiệm

Vậy để phương trình 2sin x mcos x 1 m   có nghiệm x ;

Ví dụ 5: Cho phương trình 2 sin x cos x 4  4  cos 4x 2sin 2 x m 0   Tìm

m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;



Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 10 m 2

3

Ví dụ 6: Cho phương trình cos 4x cos 3x msin x 2  2 , tìm các giá trị của tham

số m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;

2 2cos 2x 1 1 4cos 2x 3cos2x m 1 cos2x

4cos 2x 4cos 2x 3 m cos 2x m 3 0

Vậy với 0 m 1  thỏa mãn yêu cầu đề bài

 Bài toán 2: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Ví dụ 1: Tìm giá trị của tham số m để phương trình

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm t

Dựa vào đồ thị ta suy ra điều cần chứng minh)

Với t  2 thay vào phương trình (*): m 2  2 2  m 2 1  

t

0 1

– 3

Vậy  3 m1 suy ra có 2 giá trị nguyên của m là – 2 và – 1

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

Phương trình (1) trở thành t24t 2m 2 0    t2 4t 2 2m  Xét bảngbiến thiên hàm số y t 2 4t với  2 t  2

2cos 2x sin x cos x cos x sin x m sin x cos x    ,

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;

 1  2m f t    t2 4t 1 Trong đó, t cos x sin x 2 cos x

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi 2 m 2 

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

Việc hệ thống hóa các kiến thức của chương, giúp học sinh có cái nhìn tổngquan, thấy được sự liên hệ giữa các kiến thức Khi sử dụng lý thuyết trong bàitập học sinh đã có sự linh hoạt trong tư duy

Nhờ sự phân dạng các bài tập một cách có hệ thống, có sự liên kết với nhữngkiến thức học sinh đã học, các ví dụ với hình thức hỏi đa dạng tạo được sựhứng thú, sôi nổi trong học tập của học sinh

Kết quả bài kiểm tra viết ở hai lớp 11B2,11B3 năm học 2018-2019

Loại

Số HS

Kết quả thực nghiệm

Trung bình

Yếu, kém

SốHS

+Về phía học sinh: Học sinh phải tự giác, nhiệt tình và có khả năng phát huy

tính tích cực, chủ động trong học tập Tăng cường việc tự học và tìm ra phươngpháp học tập phù hợp cho bản thân

+Về phía giáo viên: Giáo viên phải có lòng nhiệt tình, sự chuẩn bị công phu

trước khi lên lớp, có phương pháp truyền đạt dễ hiểu và vai trò tổ chức, điềukhiển học sinh học tập Bên cạnh đó, giáo viên cần phải trau dồi thêm kiến thức

về Internet, áp dụng các thủ pháp dạy học hiện đại để giúp học sinh tiếp cận vớikiến thức mới một cách tích cực, chủ động đồng thời giúp các em học Toán với

sự vui vẻ, tích cực và hiệu quả

+ Về phía nhà trường:Đổi mới công tác quản lý, chú trọng đến công tác bồi

dưỡng mũi nhọn,khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để gópphần nâng cao chất lượng dạy và học

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa ngày 10 tháng5 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Phan Thị Yến

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11 NXB Giáo dục 2007.

2 Vũ Tuấn (Chủ biên): Bài tập đại số và giải tích 11 NXB Giáo dục 2007.

3 Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí: Phương pháp giải toán lượng

giác NXB Hà Nội 2008.

4 Trần Bá Hà: Phân dạng và phưng pháp giải các dạng bài tập trắc nghiệm.

NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2017

5 Đặng Việt Đông: Trắc nghiệm nâng cao hàm số lượng giác và phương trình

lượng giác

6 Toanmath.com: 232 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình

lượng giác có đáp án