Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc là m, chiều dài dây treo là , mốc thế năng tại vị trí cân bằng.. Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc 0, tại nơi có gia tốc trọng
Trang 1CHỦ ĐỀ 15: TỐC ĐỘ, LỰC CĂNG DÂY, NĂNG LƯỢNG CLĐ
I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Năng lượng của con lắc đơn.
Chọn gốc thế năng ở vị trí cân bằng
Cơ năng:W W đWt
Thế năng trọng trường: Wt mghvới h1 cos
Động năng: đ 2
1
2
+) Tại vị trí biên B:
Thế năng cực đại: W W t max mgh0
mg 1 cos
+) Tại vị trí cân bằng O:
Động Năng cực đại:
2 max max
đ
mv
W W
2
(vmaxlà vận tốc cực đại của vật).
+) Tại vị trí bất kì A: đ
2
mv
2
Với h OC HC 1 cos , suy ra
2 A
mv
2
Như vậy, suy ra Wđ mg cos cos0
2 Tốc độ, lực căng dây, gia tốc con lắc đơn.
Tốc độ dao động con lắc đơn:
2
1
2
+) vmax 2g 1 cos 0 tại VTCB 0
+) vmin 0tại hai biên 0
Lực căng dây T : Theo định luật II Niuton ta có:
P T ma
(*) Chiếu (*) lên phương sợi dây ta có:
max 0
Trang 22 ht
v
P cos T ma T m mg cos
Do v 2g cos cos0 , suy ra
+) Tmax mg 3 2cos 0tại VTCB 0
+) Tmin mg cos0tại 2 biên 0
Lực kéo về của con lắc đơn: Fmg sin
Gia tốc của con lắc đơn:
Gia tốc của con lắc đơn được tính theo công thức: 2 2
a a a với:
+) Thành phần pháp tuyến (gia tốc hướng tâm của vật):
2
v
a 2g cos cos
+) Thành phần tiếp tuyến của vật: att g sin
Khi vật dao động điều hòa: tt 2
g
a g s
Tại vị trí cân bằng chỉ có gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến bằng 0
Tại vị trí biên vật chỉ có gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến bằng 0 (vì vận tốc ở vị trí biên của vật bằng 0)
Khi con lắc đơn dao động điều hòa (tức sin ) ta có:
2
2 0
1
2 max
0
g
m
2
g
v A x g
Lực kéo về: Fmg sin mg
F msm .smg
T mg 3cos 2cos
Trang 3II VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Một con lắc đơn được thả không vận tốc đầu từ li độ góc 0 Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của quả cầu con lắc là:
A g 1 cos 0 B 2g cos 0 C 2g 1 cos 0 D g cos 0
Lời giải
Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng ta có v v max 2g 1 cos 0 Chọn C.
Ví dụ 2: Một con lắc đơn được thả không vận tốc đầu từ li độ góc 0 Động năng của con lắc tại li độ góc
là:
A mg 1 cos B mg cos 0 cos C mg cos cos0 D mg cos
Lời giải
2 đ
0
0
m.2g cos cos mv
Ví dụ 3: Một con lắc đơn dao động với biên độ góc 45tại nơi có gia tốc trọng trường là g 9,8m / s 2 Vận tốc cực đại của con lắc khi đi qua vị trí cân bằng là v 3m / s Độ dài dây treo con lắc là:
Lời giải
2 max
0
v
2g 1 cos
Ví dụ 4: Một con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không giãn và một vật nhỏ có khối lượng m 100g dao động điều hòa tại một nơi có gia tốc trọng trường g 10m / s 2với biên độ góc 0,05rad Năng lượng dao động điều hòa của vật bằng 5.10 J 4 Chiều dài dây treo là:
Lời giải
2
0
1
Suy ra 40cm Chọn D.
Ví dụ 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình li độ dài s 2cos 7t cm (t tính bằng giây), tại nơi có gia tốc trọng trường g 9,8 m / s 2 Tỷ số giữa lực căng dây và trọng lực tác dụng lên quả cầu ở
vị trí cân bằng là:
Lời giải
Trang 4Ta có: max max
m
2 ax
0,1 rad g
Tại vị trí cân bằng min max
T
mg
Ví dụ 6: [Trích đề thi cao đẳng năm 2009] Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động
điều hòa với biên độ góc 0 Biết khối lượng vật nhỏ của con lắc là m, chiều dài dây treo là , mốc thế năng tại vị trí cân bằng Cơ năng của con lắc là:
0
1
mg
2 0
0
1 mg
2 0
2mg
Lời giải
2
2 0
1
2 max
0
g
m
Chú ý: Khi áp dụng công thức chúng ta đổi đơn vị biên độc góc sang radian.
Ví dụ 7: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 0, biết lực căng dây cực đại của vật là 0,51N Biết khối lượng vật nhỏ là 50g , chiều dài dây treo là 80cm Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng và lấy g 10m / s 2 Cơ năng của vật trong quá trình dao động là:
Lời giải
Ta có: Ở vị trí cân bằng ta có: 0 T T max mg(3 2cos 0) 0,51N.
Do đó cos 0 0,99 suy ra W W t max mgh0 mg 1 cos 0 4 mJ Chọn A.
Ví dụ 8: [Trích đề thi đại học năm 2011] Một con lắc đơn đang dao động điều hòa với biên độ góc 0, tại nơi có gia tốc trọng trường g Biết lực căng dây lớn nhất bằng 1,02 lần lực căng dây nhỏ nhất Giá trị của
0
là:
Lời giải
Ta có: T mg(3cos 2cos0)
Ở vị trí cân bằng ta có: 0 T T max mg(3 2cos 0)
Ở vị trí biên: 0 max T T min mg cos0
Ví dụ 9: [Trích đề thi đại học năm 2010] Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động
Trang 5điều hòa với biên độ góc 0nhỏ Lấy mốc thế năng tại vị trí cân bằng Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc của con lắc bằng:
A 0
3
2
2
D 0
3
Lời giải
Khi động năng bằng n lần thế năng ta có: s s0 0
Do con lắc chuyển động nhanh dần đều theo chiều dương suy ra con lắc đi từ biên về vị trí cân bằng
theo chiều dương nên 0
2
Chọn B.
Ví dụ 10: Một con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m 100g , con lắc có chiều dài dây treo là , dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g 10m / s 2 Kéo con lắc khỏi vị trí cân bằng rồi buông nhé, trong quá trình dao động lực căng dây cực tiểu nếu bỏ qua ma sát là 0,5N Gốc thế năng tại vị trí cân bằng Khi dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 30thì tỉ số giữa động năng và thế năng là:
Lời giải
Ở vị trí biên: 0 max T T min mg cos 0 0,1.10cos 0 0,5
1
2
Khi 0 30
đ t
0,73
Ví dụ 11: Một con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m 300g , dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường g 2 10m / s2với biên độ góc 0 4
Giá trị của lực căng dây treo khi con lắc đi qua vị trí thế năng bằng 3 lần động năng là:
Lời giải
Ta có:
t đ
3 1
1 3
Khi đó lực căng dây của vật là: T mg(3cos 2cos0)
Suy ra T 2,998 N Chọn B.
Ví dụ 12: Một con lắc đơn có chiều dài 1m dao động tại nơi có g 2 10m / s2 Biết rằng khi vật qua vị trí cân bằng, dây treo vướng vào một cái đinh nằm cách điểm treo một khoảng 75cm Chu kì dao động nhỏ
Trang 6của hệ đó là:
Lời giải
Dao động của con lắc gồm 2 nửa một nửa là con lắc có chu kì 1
1
g
; một nửa là con lắc có chu kì
2
2
g
Chọn D
Ví dụ 13: Chiều dài con lắc đơn 1m Phía điểm treo O trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh đóng vào
điểm O’ cách O một khoảng OO' 50cm Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 30
rồi thả nhẹ Bỏ qua ma sát Biên độ cong trước và sau khi vướng đinh là:
A 5, 2 mm và 3,7 mm B 3,0 cm và 2,1 cm C 5, 2 cm và 3,7 cm D 5, 27 cm và 3,76 cm
Lời giải
Biên độ cong ban đầu: A1 1 max1a 100 3 5, 2cm
180
Dao động của con lắc gồm 2 nửa, một nửa là con lắc có chiều dài 1 và biên độ dài A một nửa là con lắc1
có chiều dài 2và biên độ dài A Vì cơ năng bảo toàn nên:2
Ví dụ 14: Một con lắc đơn có khối lượng m dao động điều hòa với biên độ góc 0 Biểu thức lực căng dây cực đại là:
A max 0
2
T mg 1 B Tmax 2mg 0 C max 0
2
T mg 1 D max 0
2
T mg 2
Lời giải
Ta có Tmax mg(3 2cos 0) mg 1 2 1 cos 0
0
2
Tổng quát: Khi sin ta có:
2
Khi đó
2
2 0
3
Khi
2
2
Trang 7Ví dụ 15: Một con lắc đơn dao động cới vật nhỏ khối lượng m 100g , chiều dài dây treo là 50cm, tại nơi có gia tốc trọng trường 2
g 10m / s Trong quá trình dao động lực căng dây cực đại là 1,06N Ở vị trí
mà lực căng dây bằng trọng lực của vật thì vận tốc của con lắc là:
A 100cm/ s B 30 cm/ s C 10 cm/ s D 10 10 cm/ s
Lời giải
Ta có Tmax mg(3 2cos 0) 1,06 cos 0 0,97
Khi lực căng bằng trọng lực của vật: mg(3cos 2 cos0) mg cos 0,98
Khi đó vận tốc của vật là v 2g (cos cos0) 10 10cm / s. Chọn D.
Ví dụ 16: Một con lắc có chiều dài 50cm, vật nặng có khối lượng bằng 100g , dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g 10m / s 2.Biết độ lớn lực căng dây cực đại lớn gấp 4 lần độ lớn lực căng dây cực tiểu của nó Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng Động năng của vật khi con lắc lệch so với phương thẳng đứng một góc 45là:
Lời giải
mg 3 2cos
Khi đó Wđ mg cos cos0 0,1J.Chọn A
Ví dụ 17: [Trích đề thi THPT QG năm 2017] Ở một nơi trên Trái Đất, hai con lắc đơn có cùng chiều dài
đang dao động điều hòa với cùng biên độ Gọi m , F và 1 1 m , F lần lượt là khối lượng, độ lớn lực kéo về cực2 2
đại của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai Biết m1m2 1, 2 kgvà 2F2 3F1 Giá trị của m là:1
Lời giải
Ta có:
2
2
2
m 0, 48kg
m m 1, 2 kg
m 0,72kg
Ví dụ 18: [Trích đề thi THPT QG năm 2017] Ở một nơi trên Trái Đất, hai con lắc đơn có cùng khối
lượng đang dao động điều hòa Gọi 1,s , F01 1và 2,s , F02 2 lần lượt là chiều dài , biên độ, độ lớn lực kéo về
cực đại của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai Biết 32 2 , 2s1 02 3s 01 Tỉ số 1
2
F
F bằng
Trang 8A 3
4
9
2 3
Lời giải
Vì con lắc dao đông điều hòa nên
01 1
s
Ví dụ 19: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 9dưới tác dụng của trọng lực Ở thời điểm
0
t , vật nhỏ của con lắc có li độ góc và li độ cong lần lượt 4,5
và 2,5 cm Lấy g 10m / s 2 Tốc độ của vật tại thời điểm t bằng:0
A 37cm / s B 31cm / s C 25cm / s D 43cm / s
Lời giải
g
v A x g
Khi đó v 43cm / s Chọn D
Ví dụ 20: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 5 Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng thì người ta giữ chặt điểm chính giữa của đây treo, sau đó vật tiếp tục dao động điều hòa với biên độ góc 0 Giá trị của 0 là:
Lời giải
Ta có: vmax 2g 1 cos 5
Khi qua VTCB ta giữ điểm chính giữa, vận tốc cực đại không đổi
max
2
Do đó 7,1
Chọn A.
Ví dụ 21: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng bằng m 100g , dao động điều hòa với chu kì 2s Khi vật đi qua VTCB lực căng của sợi dây là 1,0025N Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng, lấy
g 10m / s Cơ năng dao động của vật là:
A 25.10 J 4 B 25.10 J 3 C 125.10 J 5 D 125.10 J 4
Lời giải
Ở vị trí cân bằng ta có 0 T T max mg(3 2cos 0) 1,0025 N.
Do đó 0
799 cos
800
Trang 9Lại có: T 2 1m
g
0
W mg 1 cos 1, 25.10 J
Vật dao động điều hòa nên ta có thể tính theo công thức 02
1
2
Ví dụ 22: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 45cm, khối lượng vật nặng bằng m 100g Con lắc dao động tại nơi có gia tốc trọng trường 2 2
g 10m / s Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng, lực căng dây treo bằng 3N Vận tốc của vật nặng ki đi qua vị trí này có độ lớn là:
Lời giải
Ta có: T mg(3 2cos 0) 3 cos 0 0
Khi đó v 2g 1 cos 0 3m / s Chọn B
Ví dụ 23: Một con lắc đơn gồm một sợi dây nhẹ, không dãn và một vật nhỏ có khối lượng là m 100g dao động điều hòa tại nơi có 2
g 10m / s với biên độ góc bằng 0,05rad Năng lượng điều hòa bằng 5.10 J 4
Chiều dài dây treo bằng:
Lời giải
0
Ví dụ 24: Một con lắc đơn có chiều dài 1m dao động điều hòa tại nơi có 2 2
g 10m / s Tại vị trí dây treo hợp phương thẳng đứng góc 0,014 rad thì gia tốc có độ lớn là:
A 0,1rad / s2 B 0,0989rad / s2 C 0,14rad / s2 D 0,17rad / s2
Lời giải
Ví dụ 25: Tại nơi có gia tốc trọng trường g 10m / s 2một con lắc đơn có chiều dài 1m, dao động với biên
độ góc 60 Trong quá trình dao động, cơ năng của con lắc được bảo toàn Tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 30, gia tốc của vật nặng có độ lớn là:
A 1232cm / s2 B 732cm / s2 C 887cm / s2 D 500cm / s2
Lời giải
Gia tốc của con lắc đơn được tính theo công thức: 2 2
a a a với:
+) Thành phần pháp tuyến (gia tốc hướng tâm của vật):
2 n
R
Trang 10+) Thành phần tiếp tuyến của vật
a 8,87m / s Chọn C.
Ví dụ 26: Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ được treo vào đầu dưới của một sợi dây không dãn, đầu trên
sợi dây được buộc cố định Bỏ qua ma sát và lực cản không khí Kéo con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ Tỉ số độ lớn gia tốc của vật tại vị trí cân bằng và độ lớn gia tốc của vật tại vị trí biên là:
Lời giải
Gia tốc của vật tại vị trí biên là gia tốc tiếp tuyến att g sin
Gia tốc của vật tại vị trí cân bằng là gia tốc hướng tâm
tt
a
a
Ví dụ 27: Một con lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng m gắn với dây treo có chiều dài Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho góc lệch của sợi dây hợp với phương thẳng đứng là 0 60
rồi thả nhẹ Lấy
2
g 10m / s Bỏ qua mọi ma sát Độ lớn gia tốc của vật khi độ lớn lực căng dây bằng trọng lực là:
m / s
2
10
m / s
2
10 6
m / s 3
Lời giải
2
3
Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật là 2
tt
10 5
3
10 6
3
Ví dụ 28: Một con lắc đơn có khối lượng m, dây mảnh có chiều dài là Từ vị trí cân bằng kéo vật sao
cho dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 0 60
rồi thả nhẹ Lấy g 10m / s 2.Bỏ qua mọi lực cản Độ lớn gia tốc có giá trị cực tiểu trong quá trình chuyển động là:
10 m / s
2
10 m / s
2
10 5
m / s 3
Lời giải
Ta có att g sin
a 2g cos cos 2gcos g
Trang 11
g 3cos 4cos 2
Nhận thấy 3cos2 4cos 2là một tam thức bậc 2 theo coscó hệ số a 3 0 Nên tam thức đạt cực
tiểu khi cos b 2 1;1
(do 60
)
Gia tốc đạt cực tiểu
2
2 tpmin
Trang 12BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Một con lắc đơn có khối lượng vật nặng 200g , chiều dài 50cm Từ vị trí cân bằng ta truyền cho vật gia tốc 1m / s theo phương ngang Lấy 2 g 10m / s 2 Lực căng dây khi vật đi qua vị trí cân bằng là:
Câu 2: Con lắc đơn dao động không ma sát, vật dao động nặng 0,1kg Cho gia tốc trọng trường bằng
2
10m / s Khi vật dao động qua vị trí cân bằng thì lực căng dây có độ lớn 1, 4N Tính li độ góc cực đại của con lắc:
Câu 3: Một con lắc đơn gồm một sợi dây có khối lượng không đáng kể, không dãn, có chiều dài và viên bi nhỏ có khối lượng m Kích thích cho con lắc dao động điều hòa ở nơi có gia tốc trọng trường g Nếu chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng của viên bi thì thế năng của con lắc này ở li độ góc có biểu thức là:
A mg 1 sin B mg 1 cos C mg 3 2cos D mg 1 cos
Câu 4: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 2 Động năng của quả cầu bằng một nửa
cơ năng tại vị trí có li độ góc là:
Câu 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 6 Với góc lệch bằng bao nhiêu thì động năng của con lắc gấp 2 lần thế năng?
A 3, 45
Câu 6: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc dao động diều hòa với biên độ góc maxnhỏ Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng thì li độ góc của con lắc bằng:
A max
2
B max
2
C max
2
D max
2
Câu 7: Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc maxnhỏ Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có
động năng bằng 1
3lần thế năng thì li độ góc của con lắc bằng:
A max
2
B 0,5max 3 C 0,5max 3 D max
2
Câu 8: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, khối lượng vật nặng 100g dao động với biên độ góc 30tại nơi
có g 10m / s 2.Bỏ qua mọi ma sát Cơ năng của con lắc đơn là:
A 1 0,5 3 J B 5 J
Trang 13Câu 9: Một con lắc đơn có chiều dài 1m, khối lượng vật nặng 100g dao động với biên độ góc 60tại nơi
có g 10m / s 2.Bỏ qua mọi ma sát Cơ năng của con lắc đơn là:
A 1 0,5 3 J B 5 J
Câu 10: Một con lắc đơn mà vật dao động có khối lượng 0, 2kg và độ dài dây treo là 0,5m dao động điều
hòa tại nơi có gia tốc trọng trường 2
g 10m / s Vật dao động vạch ra cung tròn có độ dài cung là 4 cm Tính cơ năng của con lắc:
Câu 11: Một con lắc đơn có sợi dây dài 10cm, treo tai nơi có g 10m / s 2 Kéo con lắc ra đến góc lệch 0,01rad rồi thả nhẹ cho nó dao động điều hòa thì cơ năng dao động là 5 J Khối lượng quả cầu nhỏ là:
Câu 12: Một con lắc đơn có khối lượng 2,5kg và có độ dài 1,6m dao động điều hòa tại nơi có gia tốc
trọng trường 2
g 9,8m / s Cơ năng dao động của con lắc là 196mJ Li độ góc cực đại có giá trị bằng:
Câu 13: Hai con lắc đơn dao động điều hòa tại cùng một nơi trên Trái Đất, có năng lượng như nhau Quả
nặng của chúng có cùng khối lượng Chiều dài dây treo con lắc thứ nhất gấp đôi dây treo con lắc thứ hai
Tỉ số biên độ góc của con lắc thứ nhất và biên độ góc của con lắc thứ hai là
Câu 14: Một con lắc gồm một quả cầu có khối lượng 500g , được treo tại nơi có gia tốc trọng trường
2
g 10m / s Biết con lắc đơn dao động điều hòa tại vị trí có li độ góc 0,15rad thì có tốc độ 8,7cm / s Nếu
cơ năng dao động là 16mJthì chiều dài dây treo là:
Câu 15: Một con lắc gồm một quả cầu có khối lượng 0, 2kg , sợi dây dài 0,8m được treo tại nơi có gia
tốc trọng trường g 10m / s 2.Biết cơ năng của giao động là 0,32mJ thì biên độ dài là
Câu 16: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc 9và năng lượng dao động là 0,02J thì động năng của con lắc ở li độ góc 4,5
là
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO