Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học

Ở đây tôimuốn đề cập đến việc giảng dạy phân môn Hình học với những yêu cầu nhằmphát huy khả năng nhận thức của học sinh, đó là yêu cầu vẽ yếu tố phụ trong quátrình giải các bài tập Hình

MUC LỤC

1

A - ĐẶT VẤN ĐỀ I- Lý do chọn đề tài.

Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng, tínhlogíc cao Để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, người giáo viên cần trang

bị tốt cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hình thành kĩ năng, tư duy thuậtgiải và phát triển năng lực tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo

Bên cạnh việc nâng cao chất lượng học sinh đại trà còn cần phải phát huytrí lực cho học sinh khá và giỏi Bởi vì, hiện nay trong các nhà trường công tácbồi dưỡng học sinh giỏi rất được quan tâm và trở thành mũi nhọn của mục tiêuphấn đấu chất lượng, trong đó bồi dưỡng học sinh giỏi Toán giữ một vai trò thiếtyếu

Ngoài những thuận lợi, tạo điều kiện tốt cho việc bồi dưỡng nâng cao chấtlượng học sinh, vẫn còn những vấn đề cần lưu ý về mặt phương pháp Ở đây tôimuốn đề cập đến việc giảng dạy phân môn Hình học với những yêu cầu nhằmphát huy khả năng nhận thức của học sinh, đó là yêu cầu vẽ yếu tố phụ trong quátrình giải các bài tập Hình học Việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho bài toán trở nên

dễ dàng hơn, thuận lợi hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm rađược lời giải bài toán Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để cho bài toán

có lời giải ngắn ngọn và hay là vấn đề khiến cho chúng ta phải đầu tư suy nghĩ

Kinh nghiệm cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽthêm yếu tố phụ mà là cả một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêmcác yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải bài toán một cáchngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu

tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơbản

Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh còn rất lúngtúng khi đứng trước bài toán chứng minh Hình học, nhất là những bài toán cầnphải kẻ thêm đường phụ Các em chưa định hướng được vấn đề, đôi khi cònchưa biết phải bắt đầu từ đâu, vẽ hình phụ như thế nào? Có cơ sở nào giúp các

em tìm ra hướng đi cho việc kẻ thêm hình mỗi khi chưa tìm ngay ra lời giải củabài toán

Thiết nghĩ đây là vấn đề rất trăn trở, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡngHọc sinh Giỏi Toán của người giáo viên Không chỉ là định hướng và rèn luyệncho các em, mà thực sự đây còn là cách để rèn luyện và phát triển tư duy chohọc sinh, nâng cao khả năng suy luận logic, khả năng vận dụng tri thức vào thựctiễn

2/27

Với mục đích như vậy, tôi đã viết và áp dụng sáng kiến với đề tài: “Một

sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học”.

II- Thời gian, đôi tượng, phạm vị nghiên cứu và ứng dụng.

1 Thời gian thực hiện: Năm học 2016-2017; Năm học 2017-2018

2 Đôi tượng: Học sinh lớp 8; 9

3 Phạm vị nghiên cứu: Lớp 8; 9 tại một trường THCS

III Sô lượng khảo sát trước khi thực hiện giải pháp.

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I- Cơ sở lý luận.

Trước khi áp dụng sáng kiến: “ Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ

để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học” tôi thường chỉ chú trọng

cho học sinh giải các bài tập một cách đơn lẻ, chưa có nhiều sự mở rộng và liên

hệ giữa các bài tập với nhau, chưa quan tâm nhiều đến việc phát triển và mởrộng bài toán, chưa tạo ra được nhiều tình huống có vấn đề, chưa tạo ra đượcnhiều hứng thú trong học tập cho học sinh

Đây là dạng toán hình học được sử dụng trong chương trình toán THCS.Tuy nhiên trong sách giáo khoa lại không hướng dẫn phương pháp giải toán mộtcách cụ thể Vì vậy học sinh thường lúng túng khi gặp dạng toán này

Do đó việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thựchình học ở lớp 8; 9 đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ lôgíc sáng tạo,biết kết hợp kiến thức cũ và mới một cách có hệ thống

II- Thực trạng của vấn đề.

Tại trường THCS khi được phân công dạy toán 9 ở những tiết đầu tiên tôicảm thấy băn khoăn trước cách học của học sinh, tôi dùng nhiều hình thức kiểmtra Tôi nhận thấy một hiện tượng, học sinh trả lời rõ ràng, mạch lạc nhưngmang tính chất chấp hành đúng nguyên bản Trong qua trình dạy, tôi đưa ra một

số ví dụ thì đa số học sinh không biết làm như thế nào

Trong quá trình dạy và bồi dưỡng học sinh lớp 8; 9, bản thân tôi đã tìmhiểu nhiều tài liệu và nhận thấy đây là dạng toán tương đối khó Tuy nhiên, phầnnhiều các tài liệu chỉ đưa ra bài tập và bài giải mà ít đề cập đến phương pháp Vìvậy, học sinh gặp nhiều khó khăn đối với dạng toán này

III- Các giải pháp và biện pháp thực hiện.

- Tăng cường các hoạt động tìm tòi, dự đoán tiếp cận lời giải

- Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản vàogiải quyết các vấn đề có liên quan

2 Biện pháp thực hiện

4/27

Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện được khả năng sáng tạo, rènluyện cách khai thác và phân tích tìm tòi lời giải bài toán chứng minh đẳng thứchình học lớp 8, 9 Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn tôi chỉ đưa ra một sốbài tập điển hình xuất phát từ ý tưởng phân tích tìm tòi cách vẽ thêm yếu tố phụtrong chứng minh đẳng thức từ một ví dụ đơn giản để học sinh ứng dụng xácđịnh yếu tố phụ để giải các bài toán chứng minh đẳng thức hình học lớp 8, 9.

3 Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.

a Vẽ đường phụ phải có mục đích:

Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán Muốn vậy

nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoántheo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có vớiđiều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm Do đó không được vẽ đườngphụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ khônggiúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêmcho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câuhỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?" Nếu

"không" nên loại bỏ ngay

b Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.

c Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:

Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đườngphụ là rất quan trọng Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cáchdựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

d Một sô loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở chương trình THCS.

- Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng:

- Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý

- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đãxác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xác định

5/27

- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.

- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đườngthẳng khác một góc bằng góc cho trước

- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước

- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung

- Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung hoặcđường nối tâm

Vẽ tia đối của một tia

Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến, trung bình, phângiác, đường cao)

- Đường phụ là đường tròn:

+ Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có+ Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có+ Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác

Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần phândạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ

b Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định

lý để giải quyết bài toán.

c Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán.

d Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.

e Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán.

5 Một sô bài toán và phương pháp giải

6/27

K H

M A

A'

B' C'

Bài toán 1: Cho ∆ABC M là 1 điểm bất kỳ trong ∆ Nối M với các đỉnh A, B,

C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song songvới BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H Chứng minh rằng: MK = MH?

Câu trả lời mong đợi ở đây là định lýTalet

với các đoạn BA’ và CA’, BC

- Cần phải xác định thêm các điểm nào?

- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC

Ta có lời giải như sau

Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q

Ta có: Theo Hệ quả định lý Talét ta dễ chứng minh được:

*Phân tích: Để chứng minh đẳng thức ta vẽ thêm

điểm K thỏa mãn điều kiện:

B

E A

K

C B

⇑ BKH 90· = 0

Do đó K là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống BC

Bài toán 3 ( Bài 43/ Vở bài tập Toán 8 tập hai - NXB Giáo dục năm 2005)

Cho hình bình hành ABCD có góc BAD nhọn Gọi E và F lần lượt là chân

các đường vuông góc kẻ từ C xuống các đường thẳng AB và AD Chứng minh

⇒ AB.AE + AD.AF = AK.AC + CK.AC

= (AK + CK).AC = AC.AC = AC2

Vậy: AC2 = AB.AE + AD.AF (đpcm)

Bài toán 4: (Bài 105/Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 - NXB GD

năm 2005)

Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB và CB

DN +DK = DM

M

D

C B

A

M N

B A

Bài toán 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O D là một điểm

trên cung BC không chứa đỉnh A Gọi I, E, F lần lượt là hình chiếu của D trêncác đường thẳng BC, AB, AC Chứng minh rằng:

+ Bước 1: Chứng minh

CK AB

DI = DE

(1) + Bước 2: Chứng minh

D E

C B

A

+ Bước 3: Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

*Lời giải: Lấy K trên cạnh BC sao cho: CDK ADB· =·

ADC ADK CDK v do : CDK ADB· =· +· à · = ·

*Nhận xét: Khi phân tích tìm tòi lời giải bài toán chứng minh đẳng thức dạng

“Tổng hai tỉ số bằng tỉ số thứ ba” ta nên xây dựng các câu hỏi định hướng sau:

+ Tỉ số này viết được về dạng tổng của hai tỉ số nào?

+ Trong các tỉ số đó ta đã có hai tỉ số nào bằng nhau?

+ Để có đẳng thức ta phải chứng minh thêm điều kiện gì?

Từ hệ thống câu hỏi trên, học sinh thảo luận phân tích tìm tòi hướng giải

và qua đó sắp xếp trình tự các bước làm

Bài toán 7 : ( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2012 - 2013)

12/27

I H

O

D C

a, Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

tại A và B nên các góc của tứ giác MAOB vuông tại A và B, nên nội tiếp đượcđường tròn

b, ∆MAC và ∆MDA có chung góc M và

MAC MDA  = (cùng chắn cung AC),

Nên ∆MAC ∆MDA

c, ∆MAO và ∆AHO có chung góc O

và AMO HAO · =· (cùng chắn hai cung bằng nhau của đường tròn nội tiếp

tứ giác MAOB).

Suy ra∆MAO ∆AHO

Suy ra OH.OM = OA2

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MAO và các hệ thức OH.OM

= OA2 ; MC.MD = MA2 để suy ra điều phải chứng minh

13/27

Bài toán 8 : Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến

Ax, By ( Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Trên

nửa đường tròn đã cho lấy điểm M không trùng với A và B , tiếp tuyến tại M cắt

Ax, By lần lượt tại E và F

1) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh EO2 = AE EF

3) Kẻ MH vuông góc với AB ( H thuộc AB)

4) Gọi K là giao điểm của EB và MH Tính tỉ số

MK MH

*Lời giải:

1) Vì EA, EM là các tiếp tuyến với (O)

=> EA ⊥ AO và EM ⊥ MO

Tứ giác AMEO có: EAO OMEˆ + ˆ = 1800 => Tứ giác AMEO nội tiếp

2) OE và OF lần lượt là các đường phân giác của các góc

AOM và góc BOM(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

mà AOM BOMˆ + ˆ = 1800 => MOE MOFˆ + ˆ = 900

hay tam giác EOF vuông tại O

EB

= (3)

MK

MH =

Bài toán 9: (Đề thi vào 10 Nam Định năm 2013 - 2014)

Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C( C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm),tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E Gọi H là giaođiểm của AD với OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùngvới B)

F

E

H

2) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.

3) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AE⊥AB

=> ∆ABE vuông tại A

Trong tam giác vuông ABE, đường cao AK

Ta có: AE 2 = EK.EB

2) ta có AE = ED (T/C 2 tiếp tuyến cắt nhau)

có OA = OD (bằng bán kính)

=> EO là trung trực của AD => AD⊥EO tại H

Trong tam giác vuông AEO, ta có: AE 2 = EH.EO

mà AE 2 = EK.EB ( chứng minh trên)

=> EHK· =EBO· => tứ giác BOHK nội tiếp

Vậy bốn điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn

3) Ta có AE ⊥AB(chứng minh trên), MO⊥AB (gt)

=> OM //AE

=>·AEO EOM=· (2 góc so le trong)

EO là tia phân giác của AEDˆ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> ·AEO OEM=· => OEM· =EOM·

=> ∆EOM cân tại M

Bài toán 10: (Đề thi vào 10 Nam Định năm 2004 - 2005)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn (O)lấy 2 điểm G và E (theo thứ tự A, G, E, B) sao cho tia EG cắt tia BA tại D.Đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đườngtròn (O) tại điểm thứ hai là F

a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp

b) Chứng minh: BF = BG

c) Chứng minh:

.

DA DG DE

BA = BE BC

*Lời giải:

a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp

Ta có: AFB 90· = 0(góc nt chắn nửa đường tròn)

Ta có: µB1 = Cµ1 (vì nt cùng chắn cung DF của đường tròn đường kính BC)

Do đó: µE1= µB1 => cung AG = cung AF => cung BG = cung BF => BG = BFc) Ta chứng minh được:

B

NI

M

A

Cho ∆ABC đều cạnh a, gọi O là trung điểm của BC Trên cạnh AB, AC theo thứ

tự lấy M, N sao cho góc MON = 600

a) Chứng minh . 4

2

a CN

BM =

;b) Gọi I là giao điểm của BN và OM Chứng minh BM.IN = BI.MN;

c) Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

2

a CN

Ta có ∆BMO: B M O =180µ + +µ µ 0

BMO MON NOC 180   + + = ( Vì ∠BOC = 1800)

⇒ BMO CNO· =· ; lại có Bˆ =Cˆ = 60 0 (vì ∆ABCđều)

17/27

⇒∆BMO ∆CON (g.g), từ đó suy ra CN

CO BO

BM =

hay BM.CN = BO.CO; mà 2 2

a BC CO

Do đó . 4

2

a CN

(đpcm)

b) Cũng tương tự như vậy ở phần (b) thầy giáo cũng giúp học sinh phát triển

tư duy lôgic, thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, đặc biệt là tư duy phân tích đilên- một thao tác tư duy đặc trưng của môn hình học Với sự phân tích như vậyhọc sinh sẽ thấy đó chính là sử dụng tính chất đường phân giác của tam giácBMN Nghĩa là học sinh cần chỉ ra MI là tia phân giác của góc BMN Từ đó ta

có lời giải sau:

MO BO

BM hay ON

MO CO

Từ đó suy ra BMO OMN· =·

do đó MO là tia phân giác của góc BMN hay MI là tia phân giác gócBMN

Xét ∆BMN có MI là tia phân giác của góc BMN,

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có IN

IB MN

MB

=(đpcm)

Bài toán 12: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC,

vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F

a) Chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K Chứng minh rằng K làtrung điểm của FE

18/27

K F

Từ (1) và (2) suy ra

FK EK

AM = AM

⇒FK = EK hay K là trung điểm của FE

Bài toán 1 3: (Đề HSG huyện Thạch Hà năm 2003 – 2004)

Cho hình thoi ABCD cạnh a có A = 60µ 0, một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia BA, DA tại M, N

a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo của góc BKD

C B

A

Bài toán 1 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx

cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông gócvới AD, BG vuông góc với AC Gọi K là điểm đối xứng với D qua I Chứngminh rằng

D

C

B