Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

44 c Sử dụng hệ thống bài tập đã xây dựng để luyện tập cho học sinh những hoạt động tương ứng với các thành phần của kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ KIM ANH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ KIM ANH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA

CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định

HÀ NỘI – 2019

LỜI CẢM ƠN

Tác giả luận văn trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại học Giáo Dục Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập tại Trường Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giảng dạy bộ môn Toán đã nhiệt tình giảng dạy, trang bị những kiến thức nền tảng cũng như những kinh nghiệm quý báu về dạy học bộ Toán, công việc mà tôi yêu thích và sẽ gắn bó trong suốt cuộc đời của mình Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo

TS Lê Đình Định, người đã truyền cảm hứng và nhẫn nại hướng dẫn tôi những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học Mặc dù rất bận rộn trong công việc, thầy vẫn luôn quan tâm, lắng nghe, và khích lệ

để tôi tự tin, quyết tâm nghiên cứu, hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cùng các thầy cô trong

tổ Toán và các em học sinh của trường THPT Ngọc Tảo, Phúc Thọ đã giúp đỡ cho quá trình thử nghiệm sư phạm của luận văn được diễn ra thuận lợi, nghiêm túc

Mặc dù đã rất cố gắng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả luận văn xin chân trọng lắng nghe những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và đồng nghiệp

Hà Nội, tháng 10 năm 2019 Tác giả luận văn

Hoàng Thị Kim Anh

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ

SGK Sách giáo khoa SBT Sách bài tập THPT Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Phân phối tần số kết quả bài kiểm tra số 1 80 Bảng 3.2 Phân phối tần suất kết quả bài kiểm tra số 1 80

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 4

7 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Kĩ năng 5

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 5

1.1.2 Đặc điểm của kĩ năng 5

1.2 Kĩ năng giải toán 6

1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán 6

1.2.2 Phânzloạizkĩznăngzgiảiztoán 6

1.2.3 Sự hình thành kĩ năng giải toán 8

1.2.4 Vai trò của kĩ năng giải toán 9

1.3 Một số tri thức về hệ phương trình bậc nhất, bậc hai 9

1.3.1 Hệ gồm hai phương trình bậc nhất 9

1.3.2 Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai 11

1.4 Một số tri thức về đường thẳng, đường tròn 14

1.4.1 Đường thẳng 14

1.4.2 Đường tròn 14 1.4.3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn 14 1.5 Thực trạng dạy và học giải toán hệ phương trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn 15 Kết luận chương 1 18 CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HÌNH TRÒN 19 2.1 Định hướng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn 19 2.1.1 Tổ chức dạy học bám sát con đường hình thành và phát triển kĩ năng giải Toán, đặc biệt là quy trình hoạt động – kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn 19 2.1.2 Tổ chức hoạt động học tập chủ động, tích cực trong quá trình học lí thuyết để làm cơ sở cho hoạt động giải Toán 20 2.1.3 Tăng cường thực hành luyện tập giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn 21 2.1.4 Chú trọng rèn luyện và củng cố kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề hình tròn qua các tình huống chứa sai lầm 24 2.2 Một số biện pháp sư phạmzzzz 25 2.2.1 Biện pháp 1: Củng cố và truyền thụ tri thức, phương pháp một cách hợp lí trong dạy học giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ

đề đường tròn 25 2.2.2 Biện pháp 2: Xây dựng và sử dụng hợp lí hệ thống bài tập giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn 29

Dạng toán 2: Hệ gồm 2 phương trình bậc hai 34

Dạng toán 3: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai 36

Dạng toán 4: Một số bài toán liên quan đặc đặc biệt 44

c) Sử dụng hệ thống bài tập đã xây dựng để luyện tập cho học sinh những hoạt động tương ứng với các thành phần của kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn 62

2.2.3 Biện pháp 3: Sưu tầm, chọn lọc và khai thác những ví dụ chứa đựng khó khăn, sai lầm để tổ chức cho học sinh phát hiện và khức phục 62

Kết luận chương 2 65

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 66

3.1 Mục đích thực nghiệm 66

3.2 Nội dung thực nghiệm 66

3.3 Tổ chức thực nghiệm 66

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 66

3.3.2 Kế hoạch thực nghiệm 67

3.4 Kết quả thực nghiệm 79

3.4.1 Phân tích định tính 79

3.4.2 Phân tích định lượng 80

Kết luận chương 3 81

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, để thực hiện mục tiêu giáo dục thì môn toán đóng một vai trò, vị trí và ý nghĩa rất quan trọng Dạy học môn Toán nhằm: cung cấp cơ bản, thiết thực các tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học hướng tới hình thành, nâng cao các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, tạo thói quen tự giác học thường xuyên, liên tục với các cấp học cao hơn hay học nghề, vận dụng vào đời sống lao động thực tiễn.Việc học tập môn toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ yếu là hoạt động giải toán Điều này đòi hỏi giáo viên cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Bên cạnh đó, năm 2017, lần đầu tiên xuất hiện hình thức bài thi tổ hợp liên môn và cũng là lần đầu tiên hình thức thi trắc nghiệm khách quan chiếm 4/5 số môn thi Trong đó môn Toán thay đổi từ hình thức thi

tự luận truyền thống sang hình thức thi trắc nghiệm 50 câu/1 bài thi Điều này yêu cầu học sinh phải xử lý, tính toán linh hoạt hơn mới có thể hoàn thành bài thi trong thời gian quy định

Trong chương trình học và thi môn Toán THPT thì bài tập và ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất, bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng Ngoài những dạng cơ bản, đơn giản trong SGK, SBT, trong các kì thi học sinh còn gặp những dạng toán đòi hỏi kĩ năng tổng hợp và

sự sáng tạo nhất định Nếu giải các bài hệ phương trình bậc nhất và bậc hai chỉ theo cách giải đại số thông thường thì học sinh sẽ khó đáp ứng được thời gian yêu cầu của kì thi THPT quốc gia theo hình thức trắc nghiệm

Chính vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất

và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn là cần thiết, qua đó

hoạt, sáng tạo và nhanh chóng Học sinh không thụ động chỉ giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số thông thường mà có thêm các lựa chọn về hướng làm, giúp học sinh chủ động, sáng tạo, tìm tòi được cách giải nhanh và phù hợp nhất Giúp học sinh phát triển về tư duy và liên tưởng hình học

Xuất phát từ những lý do trên, để nâng cao hiệu quả dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi mới trong giáo dục, đồng thời để đảm bảo tính khả thi của chủ đề nghiên cứu, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ là:

“ Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc vận dụng bốn bước giải bài tập toán theo lược đồ của Polya vào giải một số bài tập theo phương pháp hình học, cụ thể là bằng cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán đại số bằng phương pháp hình học , qua đó phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Đồng thời đề xuất một số biện pháp dạy học nhằm nâng cao năng lực giải toán hệ phương trình bậc nhất, bậc hai một cách đa dạng, phong phú góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu là phương pháp rèn luyện kĩ năng giải toán hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

- Phạm vi nghiên cứu là chương trình toán đại số lớp 10 và 12, chủ

đề vị trí tương đối giữa đường thẳng, đường tròn, các vận dụng của chúng vào giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Bám sát nghiên cứu các nội dung, chương trình học trong SGK

để tìm tòi, phát triển chủ đề gắn liền với thực tiễn

- Xây dựng một số chủ đề toán học gắn liền với thực tiễn

- Xây dựng hệ thống bài tập có chọn lọc và hệ thống hợp lý theo các cấp độ

- Nghiên cứu phương pháp dạy học phù hợp với chủ đề xây dựng nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán của học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Ngọc Tảo để đánh giá tính phù hợp của các biện pháp đã đề xuất trong việc rèn kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh trong dạy học môn Toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Cáczphươngzphápznghiênzcứuzlýzluận:zTìmzkiếmzvàzthuzthậpcác tài liệu có liên quan đến đề tài Sử dụng một số phương pháp như phân tích, đánh giá, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa … các tài liệu thu thập được

- Cáczphươngzphápznghiênzcứuzthựcztiễn:

+ Tổng kết kinh nghiệm quá trình công tác của bản thân, học hỏi

và tiếp thu ý kiến của đồng nghiệp

+ Quan sát quá trình học tập của học sinh qua các giờ học, trao đổi trực tiếp với học sinh để tìm ra những khó khăn vướng mắc của học sinh khi giải bài tập toán liên quan đến chủ đề này và tìm ra biện pháp khắc phục

- Phươngzphápzthựcznghiệmzsưzphạm:

+ Thể hiện các biện pháp đã đề xuất trong dạy học giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn cho học sinh THPT Ngọc Tảo, Phúc Thọ

+ Kiểm tra, phân tích kết quả thử nghiệm và đánh giá hiệu quả của các biện pháp sư phạm

6 Giả thuyết khoa học

Nếu hướng dẫn học sinh cách tìm lời giải bài toán theo bốn bước trong lược đồ của Polya và xây dựng được hệ thống bài tập nhằm rèn luyện được kĩ năng giải toán cho học sinh bằng cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn trong chương trình lớp 10, đồng thời có các biện pháp sư phạm phù hợp sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán cho học sinh Giúp học sinh không chỉ khắc sâu kiến thức đã học mà còn mở rộng và kết nối thành một hệ thống các tri thức, phát huy tính chủ động ,sáng tạo và tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới , góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán trong trường THPT

7 Cấu trúc luận văn

Ngoàizphầnzmởzđầu,zkết luận,zkhuyến nghị,ztài liệu thamzkhảo, phụ lục, nội dung chính của luậnzvăn đượcztrìnhzbàyztrongz3zchương:

Chương 1 Cơzsởzlýzluậnzvàzthựcztiễnzcủazđềztài

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải toán hệ phương trình bậc nhất,

bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ năng

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Theo Từ điển Hán – Việt của Phan Văn Các ( 1992): “ Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” Trong đó, khả năng được hiểu là: Sức đã có ( có về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì” [2, tr548]

Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì : Kĩ năng (KN) là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng

để phát triển những thuộc tính, bản chẩt của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [3,tr149]

“ Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [4, tr.99]

Có rất nhiều cách định nghĩa khác nhau về kĩ năng bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn hay góc nhìn cá nhân của nhà nghiên cứu Tuy nhiên trong phạm vi luận văn này, ta sẽ hiểu về kĩ năng như sau: “ Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức ( khái niệm, định nghĩa, định lí, thuật giải, phương pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

1.1.2 Đặc điểm của kĩ năng

Trongzvậnzdụngztazthườngzchúzýzđếnzcáczđặczđiểmzcủazkỹz năng:

- Bất kì kĩznăng nào cũngzphải dựa trên cơzsởzlýzthuyết, đó chính là kiếnzthức, bởi vì cấuztrúc của kĩznăng baozgồm: Hiểu mục đích – biết cáchzthức đi đến kếtzquả - hiểu những điềuzkiện để triểnzkhai những cáchzthức đó Kiếnzthức là cơzsở của kĩznăng khi kiếnzthức đó phảnzánh đầy đủ các thuộcztính bảnzchất của đốiztượng, được thửznghiệm trong thựz tiễn và tồnztại trong ýzthức với tưzcách là côngzcụ của hànhzđộng Như

vậy, kĩznăngzgiảizToán cũng phải dựa trên cơzsở trizthức Toánzhọc ( bao gồm kiếnzthức, kĩznăng, phươngzpháp) Do vậy, nói đến kĩ năng giảizToán không thể táchzrời với phươngzpháp Toánzhọc nhằm hìnhzthành và rènzluyện những kĩznăng đó

- Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, chính xác hóa lại kiến thức Điều này vừa là tính chất, đồng thời là một mục tiêu quan trọng trong dạy học

- Kĩznăng chỉ cózthể hìnhzthành trong hoạtzđộng và bằng hoạtzđộng

Kĩ năng và trizthức thốngznhất trong hoạtzđộng Tri thức là cần thiết để định hướng, tiến hành các thao tác Mứczđộ thànhzthạo của các thaoztác được hiểu như là kĩznăng Các thaoztác này được thựczhiện dưới sự kiểmztra của trizthức Conzđường đi từ chỗ có trizthức đếnzchỗ có kĩznăng tươngzứng là conzđường luyệnztập

1.2 Kĩ năng giải toán

1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán

Theo G.Polya [8] : Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài Toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải

và chứng minh nhận được “Kĩ năng giải Toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các bài tập Toán học” Kĩ năng giải Toán dựa trên cơ sở của tri thức Toán học bao gồm: Kiến thức, kĩ năng và phương pháp Học sinh sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình tập luyện, củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng

cố, cụ thể hóa tri thức Toán học

1.2.2 Phân z loại z kĩ z năng z giải z toán

Hệzthốngzkĩznăngzgiảiztoán của họczsinh có thể chia làm ba cấpzđộ: biết làm, thànhzthạo và sángztạo trong việczgiảizcáczbàiztoán cụzthể

Trongzgiảiztoán, họczsinh cầnzcó nhữngznhómzkĩznăngzsau:

- Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: học sinh được rèn luyện kĩ năng này trong quá trình giải quyết yêu cầu của bài toán Cần chú ý,

kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụng kiến thức (một thành phần của tư duy Toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều

và biến đổi ngược chiều diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

- Kĩ năng tính toán: Đây là đòi hỏi cần thiết, thường gặp trong thực tiễn cuộc sống Ởzđâuzcũngzcần kĩznăngztínhztoán, đó là tínhzđúng, tínhznhanh và tính hợpzlý Để có được kĩ năng này cần có các đức tính là cẩn thận, tỉ mỉ, phản ứng nhanh và có sự cố gắng bền bỉ

- Kĩznăngztrìnhzbàyzlờizgiảizkhoazhọc, sử dụngzbiểuzđồ, sơzđồ,

đồzthị, đọc, vẽzhình, chính xác, rõ ràng

- Kĩ năng ước lượng đo đạc: là một kĩ năng cần thiết và rèn luyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt là đối với kĩ năng vẽ hình, học sinh cần lưu ý vẽ hình chính xác theo quy ước, đúng với giả thiết mà đề bài cho, nét vẽ

rõ ràng và hình vẽ dễ nhìn

- Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: xuất hiện trong giả thiết và yêu cầu của bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức toán học trong nhà trường vào thực tiễn, tạo hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực chất nội dung vấn đề, tránh hiểu toán học một cách thô cứng, mang tính chống đối, hình thức

- Kĩznăngzhoạtzđộngztưzduyzhàm:zTưzduy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần

tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng

Tưzduyzhàmzđóngzvaiztròzquanztrọng và xuyên suốt trong chương trình

toán phổ thông Nhữngzhoạtzđộng tư duy hàm là: Hoạt động phát hiện vàthiết lậpsựtương ứng, hoạtzđộng nghiên cứu tương ứng

- Kĩznăngztổngzhợp: Đó là kĩznăngzliênzkết các dữzkiện trong bàizToán; kháizquátzcáczdấuzhiệu, tómztắtznộizdung bàizToán; xác định rõ giả thiết, kết luận; kếtzcấu lại đềzToán, địnhhướngtiếntrìnhgiảizToán

- Kĩznăngzphânztích: Cózkĩznăngznày, họczsinhzbiếtzphânztích các quan hệ và cấuztrúczcủazbàizToán; nhậnzdạngzýztrọngztâm; dự đoán, phântích và khắc phục các saizlầm trong quáztrìnhzgiảizToán; phân loại cáckhảznăng có lời giải hoặc cáchzđizđếnzlờizgiải; và xác định trọng tâm cầngiảiquyết trong bài Toán

- Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hoạt động chuyển bài Toán thành mô hình và phân tích quan hệ Toán học cũng như các phương pháp Toán học sử dụng trên mô hình đó Đâyzlàzmột kĩ năng cầnthiết để giảizbài Toán có ứngzdụng thựcztiễn và cácbàiToán liênmônzkhác

- Kĩznăngzsửzdụngzthôngztin: Đó là kĩznăngznhậnzbiết, thuzthập và ghi nhận thôngztin từ nộizdungzbàizToán; phânzloại, sắpzxếp và thểzhiện qua các kênh thôngztin trong hoạtzđộngzgiảizToán để tạo cơzsở huyzđộng kiếnzthức, vốn kinh nghiệm có liênzquanzhữuzích đến việcgiải Toán

- Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm khi giải toán: Trongzhọcztậpzgiảiztoánzviệczphát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là một thành công của người học toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen kiểm tra lại bài, phát hiện ra sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm qua đó tìm hướng giải quyết đúng bài toán

1.2.3 Sự hình thành kĩ năng giải toán

Kĩznăngzchỉzđượczhìnhzthànhzthôngzquazquáztìnhztưzduyzgiải quyết các nhiệm vụ đặt ra Conzđườngzhìnhzthànhzkĩznăng rất phongphú và nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố

Cózhaizconzđườngzhìnhzthànhzkĩznăngzchozhọczsinhzlà:

- Truyền đạt cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra những bài toán vận dụng phù hợp và bám sát tri thức đó cho cho học sinh

- Dạy những nhận biết những dấu hiệu nhận biết đặc biệt cho học sinh mà từ đó có thể định hướng được phương pháp và cách giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng bài cụ thể

Vìzvậy,zkhizhìnhzthànhzkĩznăngzchozhọczsinhzgiáozviênzcần giúp cho học sinh:

- Biết cách lọc ra các thông tin cốt lõi và phát hiện ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Hìnhzthànhzmộtzmôzhìnhzkháizquátzđểzgiải quyết các đối tượng cùngzloại

- Xáczlậpzđượczmốizliênzhệzgiữazbàiztậpzmôzhình và kháizquát các kiến thức tương ứng

1.2.4 Vai trò của kĩ năng giải toán

Việczrènzluyệnzkĩznăngzhoạtzđộngznóizchung,zkĩznăngztoánzhọc nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảmzbảozmốizliênzhệzgiữazhọczvới hành

Nếu học sinh chỉ biết học vẹt các khái niệm, định nghĩa, định lí mà học sinh thực sự không nắm được bản chất của các phát biểu đó dẫn tới không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập thì coi như hiệu quả của việc dạy học là chưa đạt Có thể nói, “ chìa khóa” để rẻn luyện kĩ năng giải toán chính là bài tập toán

1.3 Một số tri thức về hệ phương trình bậc nhất, bậc hai

Hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn x và y có dạng: 1 1 1

b) Để biện luận phương trình này :

 Phương pháp thế đã học ở chương trình Toán lớp 9:

+ Rút y theo ẩn x từ một trong hai phương trình đã cho rồi thế vào phương trình còn lại ta thu được phương trình bậc nhất đối với ẩn x

+ Sau khi thu gọn ta giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: (1)

ax b

+ Đểzbiệnzluậnzphươngztrìnhz(1) :

Nếuza 0zthìz(1)ztrởzthànhz0x b z

 Nếu b 0 thì hệ phương trình có vô số nghiệm

 Nếuzb 0zthìzhệzphươngztrình vôznghiệmz

Nếuza 0zthìzphươngztrìnhz 1 zcózmộtznghiệmzduyznhấtzx b

a

Thayzvàozbiểuzthứczcủazxztaztìmzđượczy

Khizđózhệzphươngztrìnhzcó nghiệm duy nhất

+ NếuzD 0zthìzhệzphươngztrìnhzcóznghiệmzduyznhấtz D x; D y

D D





 thìzhệzphươngztrìnhzvôznghiệmz

+ NếuzD D x D y  0zthìzhệzphươngztrìnhzcózvôzsốznghiệm

“ Chozhệzphươngztrìnhz(I)z

a) Giải hệ với một giá trị cụ thể của tham số

- Giảizvàzbiệnzluậnzhệztheozthamzsốzz

- Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóznghiệmz

- Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóznghiệmzduyznhấtz

- Tìmzđiềuzkiệnzcủazthamzsốzđểzhệzcóz2znghiệmzphânzbiệtz z

Khi đó tốt nhất ta thực hiện theo 3 bước sau:

Bướcz1:zTừzphươngztrìnhz(2)zrútzx hoặczyzrồizthếzvàozphương trình (1) Khi đó ta được phương trình bậc hai theo ẩn x hoặc y, giả sử:

- Nếuz  0zthìzphương trìnhz(3)zcóz2znghiệm phânzbiệt Suy ra

hệ phương trình có 2 cặp nghiệp phân biệt

- Nếu   0 thì phương trình (3) có 1 nghiệm duy nhất Suy ra

hệzphươngztrìnhzcóz1zcặpznghiệm

- Nếuz  0zthìzphươngztrìnhz(3)zvôznghiệm

Suyzrazhệzphươngztrình vô nghiệm

 Phươngzphápzsửzdụngzhìnhzhọc:

Sử dụng khi bài toán yêu cầu biện luận theo tham số m

Khizđóztazthựczhiệnztheozcáczbướczsau:

Bướcz1:zTrongzhệztrụcztọazđộzOxy,zxétzcáczđường:

Chú ý: Để giải theo cách này bạn đọc cần có kiến thức về vị trí tương đói giữa đường thẳng với đường tròn, Elip, Hyperbol, Parabol

Cách 1: Lập công thức tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d) Biện luận số giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C) bằng cách

so sánh khoảng cách đó với r

Cách 2: Tìm dải mặt phẳng (Q) hoặc miền gốc P nhỏ nhất chứa (C) Biệnzluậnzvịztrízcủazđườngzthẳngz(d)zđốizvớizmiềnzmặtzphẳngzđó Nếu đườngzthẳng đi qua một điểm trong đường tròn thì hệz phương trìnhluônzcóz2znghiệm phân biệt

Bài 2:zBiệnzluậnzsốznghiệmzcủazhệzphươngztrìnhzz

+ Tậpznghiệmzcủazphươngztrìnhz(2)zlàztậpzcáczđiểmzthuộczđường thẳng (d)

Như vậy ta cần khảo sát số giao điểm của Elip (E) và đường thẳng (d) Nếu đường thẳng đi qua một điểm trong Elip (E) thì đường thẳng luôn cắt Elip (E) tại 2 điểm phân biệt

1.4 Một số tri thức về đường thẳng, đường tròn

1.4.1 Đường thẳng

Phươngztrìnhztổngzquátzcủazđườngzthẳngzcózdạng: ax by c   0

Vịztríztươngzđốizcủazhaizđườngzthẳng: 1 1 1 1

R a b c với điều kiện a2b2 c 0

1.4.3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Giữa đường thẳng   và đường tròn tâm  I R, có 3 vị trí tương đối:

- Đườngzthẳngzcắtzđườngztrònztạizhaizđiểmzphânzbiệtz

( , )

d I R

- Đườngzthẳngztiếpzxúczvớizđườngztrònzd I( , )  R zzz

- Đườngzthẳngzvàzđườngztrònzkhôngzgiaoznhauzd I( , )  R

1.5 Thực trạng dạy và học giải toán hệ phương trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

Để đề ra được các giải pháp tốt cho việc rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn thì một nhiệm vụ quan trọng của đề tài là phải điều tra và đưa ra được nhận xét

cụ thể về việc: Trong thực tế ở trường phổ thông, giáo viên và học sinh đã tiến hành “ Giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn” như thế nào? Những mặt nào tốt và những mặt nào còn chưa tốt? Những khó khăn, tồn tại nào mà học sinh đang gặp khi giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn? Do đó chúng tôi đã phát phiếu thăm dò ( hình 1) và trao đổi với 10 giáo viên trong tổ Toán, Trường THPT Ngọc Tảo

về thực tế dạy và học giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn trong nhà trường hiện nay

Phiếu thăm dò

Câu hỏi 1: Về rèn luyện kĩ năng sử dụng hình học đặc biệt là đường thẳng và đường tròn để giải một số bài toán về hệ phương trình có thật

sự quan trọng không? Tại sao?

Câu hỏi 2: Thầy cô có thường xuyên rèn luyện kĩ năng sử dụng hình học đặc biệt là đường thẳng và đường tròn để giải bài toán về hệ

phương trình cho học sinh hay không?

Câu hỏi 3: Thầy cô thường gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng giải

hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn?

Sau khi thu nhận kết quả chúng tôi đã tổng hợp và phân tích được một số vấn đề như sau:

- Nội dung 1: Đa số các thầy, cô coi việc rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

là thật sự quan trọng Haizlízdozcơzbảnzđượczđưazrazlà:

+ Thứ nhất, việc rèn luyện kĩ năng này giúp học sinh nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, tạo sự mới mới mẻ, hứng thú cho học sinh khi học Toán

+ Thứ hai, đây là một “công cụ” tốt để học sinh áp dụng vào hình thức thi trắc nghiệm mới

- Nội dung 2: Việc rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn chưa được chú trọng Hơn nửa thầy cô được hỏi đã không đề cập với học sinh rèn luyện kĩ năng này Một số thầy cô có đề cập tới nhưng chưa có kế hoạch và hệ thống cụ thể Đa số thầy cô cho rằng: có ít thời gian trong phân phối chương trình để rèn luyện kĩ năng cho học sinh vì hoạt động rèn luyện kĩ năng cho học sinh luôn đòi hỏi nhiều thời gian và kiên trì Ngoài ra, tài liệu tham khảo về giải hệ phương trình rất phong phú, song giải hệ phương trình bậc nhất, bác hai thông qua chủ đề đường tròn chưa được chọn lựa có hệ thống và bài bản phù hợp với điều kiện thời gian, trình độ của học sinh Điều này gây khó khăn cho các giáo viên, đặt biệt là các giáo viên trẻ

- Nội dung 3: Theo các thấy, cô có chú ý đến rèn luyện kĩ năng này cho học sinh, nội dung và phương pháp luyện tập giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn còn một số khó khăn, tồn tại Về mặt nội dung, kiến thức cần thiết để giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn là cả kiến thức đại số và hình học điều này đòi hỏi học sinh phải có nền tảng vững ở cả hai mặt Đối

với học sinh chỉ học khá một trong hai, đại số hoặc hình học thì việc liên

hệ sẽ chậm và khó hơn

+ Học sinh không nhận ra được các dạng phương trình của đường tròn hay thiếu điều kiện để phương trình đó là một phương trình đường tròn

+ Học sinh chưa xác định được điều kiện đủ và đúng về vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với đường tròn và đường tròn với đường tròn

Trước tình hình thực tế như vậy, chúng tôi nhận thấy rằng: Việc lựa chọn, phân tích, phân loại hệ thống kiến thức và bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề và việc đề xuất những biện pháp sư phạm hợp lí khi sử dụng hệ thống bài tập này là cần thiết với hoạt động rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn nói chung và trong việc giải các hệ phương trình nói riêng

Kết luận chương 1

Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT đóng vai trò hết sức quan trọng, góp phần trang bị cho học sinh những tri thức toán học cơ bản nhất nhằm phát triển các kĩ năng của cuộc sống

Chương 1 , chúng tôi đã hệ thống lại các vấn đề lý luận có liên quan khái niệm kĩ năng và kĩ năng giải toán, hệ thống sơ lược lại các kiến thức cần nhớ để làm tiền đề giúp học sinh vận dụng vào giải bài tập về hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề hình tròn Mặt khác, thông qua phương pháp nghiên cứu tài liệu ( SGK, SBT, bài báo, ) và điều tra thực tế ( phiếu điều tra, phỏng vấn), chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng dạy và học giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn ở trường THPT

Dựa trên phân tích, đánh giá cơ sở lí luận và thực tiễn kể trên, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết, cũng như cơ sở định hướng cho giải pháp sư phạm giúp hình thành và phát triển kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỦ ĐỀ HÌNH TRÒN

2.1 Định hướng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp rèn luyện

kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất và bậc hai cho học sinh thông qua chủ đề đường tròn

2.1.1 Tổ chức dạy học bám sát con đường hình thành và phát triển kĩ năng giải Toán, đặc biệt là quy trình hoạt động – kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn

Quá trình dạy và học diễn ra nhờ sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò Do đó, các tác động sư phạm hướng tới hoạt động học của học sinh phải thông qua biện pháp sư phạm dành cho hoạt động dạy của giáo viên Các biện pháp sư phạm cần tập trung phát triển các dạng hoạt động của học sinh để qua đó các rèn luyện kĩ năng của học sinh như: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá Hoạt động dạy học Toán ở trường THPT nói riêng cũng phải gắn việc truyền thụ tri thức Toán học với việc rèn luyện các kĩ năng tư duy và phát triển năng lực trí tuệ của học sinh Các biện pháp rèn luyện kĩ năng thực hành nói chung và kĩ năng giải Toán cho học sinh nói riêng nhằm vào việc biến các kiến thức

và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục thành kiến thức và kĩ năng thực tế của học sinh thông qua các bài tập Toán Để thực hiện quá trình chuyển hóa này, giáo viên cần căn cứ theo con đường hình thành và phát triển kĩ năng trong mối quan hệ với hoạt động dạy học giải toán được trình bày ở chương 1 của luận văn

Như vậy, một trong những định hướng sư phạm chủ đạo đảm bảo sự rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ

đề đường tròn đạt hiệu quả tốt đó là: Tổ chức dạy học giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn bám sát con đường hình thành và phát triển kĩ năng giải Toán của học sinh, qua các giai đoạn sau:

- Giai đoạn 1: Giáo viên tổ chức hoạt động tiếp nhận kiến thức chuẩn ( quy tắc, định lí, hệ quả, ) được trình bày trong SGK

- Giai đoạn 2: Giáo viên gợi động cơ, hướng học sinh vào các hoạt động giải hệ thống các hệ phương trình cơ bản ( bài tập ví dụ)

- Giai đoạn 3: Giáo viên tổ chức hoạt động hướng dẫn quy tắc, quy trình, thuật Toán giảizcáczdạngzhệzphươngztrìnhzcơzbản

- Giai đoạn 4: Học sinh thực hành, luyện tập giải các bài tập tương tự

và nâng cao

- Giai đoạn 5: Giáo viên tổ chức hoạt động thảo luận khái quát hóa một số dạng hệ phương trình, lựa chọn phương pháp tối ưu và hoàn thiện quy trình giải mỗi dạng

2.1.2 Tổ chức hoạt động học tập chủ động, tích cực trong quá trình học lí thuyết để làm cơ sở cho hoạt động giải Toán

Điều đầu tiên cũng là mục tiêu quan trọng của việc thực hiện các hoạt động học tập là nhằm đảm bảo cho học sinh nắm được vững chắc và

có hệ thống các kiến thức chuẩn được trình bày trong SGK Mục tiêu này được thực hiện trong quá trình học lí thuyết, là quá trình giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh tiếp nhận kiến thức chuẩn và gợi động cơ, hướng học sinh vào hoạt động giải các hệ phương trình cơ bản mang tính chất minh họa cho kiến thức chuẩn và dần định hướng phương pháp ( quy tắc, quy trình, thuật toán) giải các dạng hệ phương trình cơ bản Đảm bảo hiệu quả học tập trong quá trình học lí thuyết sẽ là cơ sở cho hoạt động giải toán nói chung và sự hình thành kĩ năng giải toán của học sinh nói riêng được diễn ra thuận lợi

Dựa trên quan điểm hoạt động định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong quá trình dạy học lí thuyết, giáo viên cần tổ chức những hoạt động học tập đáp ứng được các yêu cầu cụ thể sau:

- Tạo được những tình huống hấp dẫn, gợi mở những hoạt động phù hợp với nội dung và mục tiêu dạy học

- Đảm bảo học sinh hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo, có sự trao đổi giữa học sinh với học sinh và giữa học sinh với giáo viên Với các bài tập đã có phương pháp giải, học sinh cần tự xác định cách làm

Cụ thể khi giải các hệ phương trình này, học sinh cần phát hiện ra hệ phương trình này thuộc dạng nào và phương pháp làm ra sao Trong quá trình giải, học sinh làm việc độc lập, khi gặp khó khăn, có thể trao đổi với học sinh khác hoặc trao đổi với giáo viên để từng bước tìm ra lời giải thỏa đáng

- Giáo viên chủ động trong việc điều tiết hoạt động học tập, giúp đỡ học sinh vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách hoạt động giải thành những hoạt động thành phần đơn giản, hoặc cung cấp cho học sinh một số tri thức phương pháp

- Giáo viên cần giúp học sinh xác nhận và nhấn mạnh lại những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, sau đó đưa ra những bình luận phù hợp, cần thiết để học sinh hiểu tri thức đó một cách sâu sắc, đầy đủ hơn

- Đối với những hệ phương trình nâng cao, giáo viên cần dẫn dắt học sinh đi từ các bài toán đã biết, vận dụng những kiến thức liên quan để tìm tòi lời giải Thông qua một số bài toán cụ thể học sinh đúc kết được những cách thức tư duy, kinh nghiệm trong giải Toán, từ đó hình thành

kĩ năng giải một lớp các bài toán có dạng quen thuộc

2.1.3 Tăng cường thực hành luyện tập giải hệ phương trình bậc nhất,

Việc thực hành luyện tập, củng cố tri thức, kĩ năng một cách có định hướng và hệ thống có một ý nghĩa to lớn trong dạy học Toán nói chung

và trong việc rèn luyện kĩ năng giải toán nói riêng

a) Thực hành luyện tập giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai

Trước hết, thực hành luyện tập nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng,

kĩ xảo Luyện tập không chỉ phải với tính toán mà còn cả đối với nhiều

kĩ năng thành phần của hoạt động giải hệ phương trình Sau đây là một

số chỉ dẫn thực hiện hoạt động thực hành luyện tập, có chủ ý của những thành tố cơ sở của phương pháp dạy học:

- Về hoạt động và hoạt động thành phần: Thông qua hệ thống bài tập, cần chú ý tập luyện cho học sinh không phải chỉ những hoạt động toán học như biện luận, tìm m để hệ phương trình có nghiệm, vô nghiệm,

mà còn những hoạt động trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa và hoạt động ngôn ngữ

- Về mặt động cơ: Trước hết, giáo viên cần gợi động cơ hoạt động luyện tập Muốn vậy, cần làm cho học sinh ý thức được rằng “học Toán thực chất là học làm Toán”

Dozđózhọczlýzthuyếtzcầnzkếtzhợpzvớizluyệnztậpzthườngzxuyên

- Về mặt tri thức, phương pháp: Giáo viên cần cung cấp cho học sinh phương pháp chung để giải bài toán bao gồm 4 của Polya về cách thức giải toán Cùng với phương pháp có tính thuật giải, cần quan tâm cả chithức về những phương pháp có tínhzchấtztìmzđoán

- Vềzphânzbậczhoạtzđộng:zGiáozviênzcầnzxâyzdựngznhữngzmạch bài tập phân bậc để điềuzkhiển quáztrình dạyzhọc theoz3 hướng,ztùyhoànzcảnh cụ thể: tuần tự, nângzcaozyêuzcầu,ztạmzthời hạzthấp yêuzcầukhi cần thiết, và dạy học phân hóa Làm như vậy để tạo điều kiện cho nhiều học sinh có thể tự giải bài tập chứ không chỉ nghe thầy hay xem bài chữa của bạn khác

b) Luyện tập giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn tập thường xuyên

 Đào sâu: Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất; xem xét những trường hợp mở rộng, những trường hợp đặc biệt hoặc suy biến; nghiên cứu những mối liên hệ

và phụ thuộc; lật ngược vấn đề; thay đổi hình thức phát biểu

 Ứng dụng: là vận dụng những tri thức và kĩ năng đã được lĩnh hội vào việc giải quyết những vấn đề mới không chỉ trong nội bộ môn Toán

mà cả các vấn đề diễn ra trong đời sống hàng ngày Trong quá trìnhứngzdụng, cần rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện vàz\ giải quyếtvấnzđề,zlựazchọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp, tìm kiếm conđường giảizquyết;zlýzgiảizvà trình bày lời giải; kiểm trazđánh giá kếtquả và sắp xếp kiến thức đạtzđượczvào hệ thống tri thức đã có

 Hệ thống hóa: Là sự so sánh, đối chiếu giữa những tri thức đã đạt được với nhau và với các kiến thức mới, nghiên cứu các điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ mối quan hệ giữa chúng Nhờ đó, học sinh đạt được không chỉ những tri thức riêng lẻ có thể tự xây dựng thành một hệ thống tri thức

 Ôn:zHiềuzlàznhắczlạiztrizthức,zluyệnzlạizkĩznăngzđãzcó Ôn lại không chỉ những gì lĩnh hội được trong bài học lý thyết mà khi cần thiết,

có thể nhắc lại cả tri thức đã đạt được trong các khâu của luyện tập, củng

nâng cao thông qua các chuyên đề tự do Giáo viên hay Học sinh đề xuất

có ý nghĩa đặt biệt quan trọng Giáo viên cần đề xuất những chuyên đề phù hợp, hấp dẫn để học sinh lựa chọn Trong qua trình xây dựng chuyên

đề tự chọn cho học sinh, giáo viên cần lưu ý một số yêu cầu sau:

- Thời gian ( số tiết) dành cho mỗi chuyên đề phù hợp với yêu cầu phân phối chương trình của môn học, tránh lan man, không đúng trọng tâm kiến thức cần học

- Chọn chuyên đề gây được hứng thú học tập cho học sinh, tránh trùng lặp nhiều nội dung hay bài toán mà trên lớp học sinh đã được luyện tập và đã có kĩ năng giải tương đối tốt

- Nên lựa chọn những chuyên đề mở rộng, bổ sung và nâng cao kiến thức

- Không nên quá tham vọng xây dựng những chuyên đề lớn như đối với các trường chuyên, vì mục đích của các chuyên đề tự chọn, trước hết

là rèn luyện, củng cố tri thức, kĩ năng giải toán

2.1.4 Chú trọng rèn luyện và củng cố kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề hình tròn qua các tình huống chứa sai lầm

Việc tìm ra được những sai lầm mang ý nghĩa đặc biệt về mặt phương pháp vì điều này giúp học sinh chống lối học vẹt, hiểu hình thức, qua loa mà đi sâu vào bản chất vấn đề Những sai lầm hạn chế năng lực học Toán của học sinh, vì vậy qua việc phân tích những sai lầm giúp học sinh tìm được bản chất của bài toán, hứng thú tìm tòi và đào sâu môn toán Điều này đòi hỏi giáo viên phải phân tích cho học sinh những dạng sai lầm thường gặp và nguyên nhân chủ yếu

Nhiều nhà khoa học giáo dục đã chỉ rõ tầm quan trọng của vấn đề này như: “ Bất cứ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn học

sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm” (J.A.Komensky); “ Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (G.Polia)

Khái niệm “ sai lầm” trong luận văn này được hiểu là những sai lầm

“ phổ biến” chứ không phải là sai lầm làm ngẫu nhiên, mang tính cá nhân, chủ quan của một số ít học sinh Chúng tôi sử dụng định nghĩa của

Lê Thống Nhất: Sai lầm ( phổ biến) của học sinh khi giải toán là điều trái với yêu cầu khách quan ( yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải ( khái niệm, định nghĩa, tiên đề, định lí, quy luật, ), dẫn tới không đạt được yêu cầu của việc giải toán mà những điều này xuất hiện với tần số cao trong lời giải của nhiều học sinh “Sai lầm” khi giải toán không chỉ là lưu ý quan trọng trong dạy học giải toán mà còn là một “ chiến lược” giúp học sinh rèn luyện, củng cố kĩ năng và bản lĩnh giải toán

Điều cơ bản và cần thiết là chỉ ra cho học sinh thấy sai lầm trong bài giải của mình song điều quan trọng hơn đối với giáo viên là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến việc mắc lỗi đó Theo tác giả Lê Thống Nhất, có bốn nguyên nhân cơ bản về mặt kiến thức dẫn đến những sai lầm của học sinh, đó là:

- Học sinh chưa thực sự hiểu các thuộc tính của khái niệm toán học, hiểu theo cách học vẹt, đại khái chưa đầy đủ và chính xác

- Họczsinhzkhôngznắmzvữngzcấuztrúczlogiczcủazđịnhzlí

- Học sinh chưa nắm đầy đủ các kiến thức cần thiết về lôgic

- Học sinh không nắm vững những phương pháp giải các bài toán đơn giản, dẫn tới không nhận diện được dạng toán

2.2 Một số biện pháp sư phạm zzzz

2.2.1 Biện pháp 1: Củng cố và truyền thụ tri thức, phương pháp một cách hợp lí trong dạy học giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ

đề đường tròn

a) Cơ sở và ý nghĩa của biện pháp:

Nắm vững tri thức là cơ sở của việc rèn luyện kĩ năng và phát triển

tư duy cho học sinh Khi học sinh nắm được các công thức, định lí, các quy tắc, các phương pháp được trình bày trong SGK thì học mới có thể vận dụng tốt trong giải toán

Trong dạy học nói chung, giáo viên cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt được trong quá trình hoạt động, đặc biệt

là tri thức phương pháp, bởi nó định hướng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hưởng quan trọng đến việc rèn luyện kĩ năng Tri thức phương pháp thể hiện ở hai loại phương pháp khác nhau về bản chất, song đều có ý nghĩa to lớn, đó là những phương pháp có tính tìm đoán ( ví dụ quy trình giải bài tập toán của Polya) và những phương pháp có tính chất thuật toán, tựa thuật toán ( ví dụ phương pháp giải hệ gồm 2 phương trình bậc hai là phương trình của 2 đường tròn)

- Để đảm bảo quá trình hình thành và phát triển kĩ năng giải nhiều dạng bài tập toán, giáo viên cần giới thiệu và rèn luyện cho học sinh thực hành giải bài tập toán theo quy trình 4 bước của Polya [8] – được coi là tri thức cơ bản về phương pháp giải toán:

+ Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

+ Bước 2: Tìm cách giải

+ Bước 3: Trình bày lời giải

+ Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Khi đã nắm vững quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri thức phương pháp về nội dung Toán học cụ thể, học sinh có thể tự tìm tòi, khám phá tìm đến lời giải của nhiều bài toán mới

- Bên cạnh phương pháp chung mang tính chất tìm đoán đã trình bày trên, để học sinh giải được những bài toán về hệ phương trình bậc nhất,

bậc hai thông qua chủ đề đường tròn, giáo viên cần dạy mới, hoặc là củng cố lại những tri thức phương pháp có thể có trong nội dung này Đó

là các phương pháp mang tính chất thuật toán để giải các dạng hệ phương trình bậc nhất, bậc hai khác nhau thông qua chủ đề đường tròn

b) Nộizdungzvàzcáchzthứczthựczhiện:

Giáo viên cần củng cố vững chắc tri thức sự vật để làm nền tảng cho học sinh đồng thời giáo viên sưu tầm, lựa chọn tri thức phương pháp tựa thuật giải các dạng bài toán hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thường gặp ở THPT, song không phải để dạy tất cả các tri thức phương pháp cho học sinh một cách tường minh, mà còn phải căn cứ vào mục tiêu và điều kiện cụ thể chủ động lựa chọn cách thức; cấp độ truyền thụ một cách hợp lí: hoặc dạy một cách tường minh; hoặc thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động; hoặc chỉ thực hành ăn khớp với một tri thức nào đó; hay

là một hình thức trung gian giữa những hình thức này Các cách truyền thụ tri thức phương pháp được trình bày và minh họa dưới đây

 Dạyzhọcztườngzminh:ztrizthứczphươngzphápzđượczphátzbiểu một cách tổng quát

Theo cách thức này, giáo viên rèn luyện cho học sinh những hoạt động dựa trên tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát Thông qua từng bước hoạt động, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được ngôn ngữ diễn tả trước đó và tập cho học sinh biết hành động dựa trên phương tiện ngôn ngữ này

Ví dụ: Nhưzkhizdạyzphươngzphápzgiảizhệzphươngztrìnhzgồm một phương trình bậcznhất và mộtzphươngztrìnhzbậczhai:

 

1 2

Bước 1: Xác định phương trình (1) là phương trình đường tròn có tâm

 ,

I u v và bán kính là r Phương trình (2) là phương trình đườngthẳngz

Bước 2: Xétzvịztríztươngzđốizgiữazđườngzthẳngzvàzđườngztròn Sauzđózgiáozviênzyêuzcầuzhọczsinhzlàmzbàiztập

Ví dụ: Tìmzđiềuzkiệnzcủazmzđểzhệzphươngztrình sau có một nghiệm duy nhất:

 ThôngzbáoztrizthứczphươngzphápztrongzquáztrìnhzhoạtzđộngzzĐối với một số tri thức phương pháp chưa được quy định trong chương trình, giáo viên vẫn có thể suy nghĩ khả năng thông báo chúng trong quá trình học sinh hoạt động giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai cụ thể có liên quan đến tri thức phương pháp đó, nếu những tiêu chuẩn sau được thỏa mãn:

 Những tri thức phương pháp này giúp học sinh dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó được quy định trong chương trình

 Việczthôngzbáoznhững tri thức này dễ hiểu và tốn ít thời gian

 TậpzluyệnznhữngzhoạtzđộngzănzkhớpzvớiztrizthứczphươngzpházTrong một số tình huống, giáo viên không nhất thiết phải chỉ ra tường minh tri thức phương pháp mà chỉ tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp đó cho học sinh Những trizthức như thế cầnđượczgiáozviên vận dụng mộtzcáchzcó ýzthứcztrong việczra bàiztập,

trongzviệc hướng dẫn và bìnhzluận hoạtzđộng của họczsinh Nhờ đó học sinh làm quen được với những phương pháp này Ví dụ khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn, giáo viên luôn lặp đi lặp lại một cách có dụng ý những chỉ dẫn hoặc câu hỏi như:

 Điều kiện để phương trình trên là một phương trình đường tròn

Những chỉ dẫn như trên gắn liền với những bài toán cụ thể nhưng được phát biểu một cách tổng quát đề học sinh có thể vận dụng vào những tình huống khác nhau Trong quá trình học tập, học sinh sẽ ý thức được những câu hỏi hoặc chỉ dẫn này được giáo viên lặp đi lặp lại nhiều lần, sẽ dần lĩnh hội và vận dụng chúng như một chiến lược giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn

2.2.2 Biện pháp 2: Xây dựng và sử dụng hợp lí hệ thống bài tập giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn

a) Mục đích và nguyên tắc lựa chọn hệ thống bài tập

Theo định hướng “ Tăng cường thực hành luyện tập giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn bằng hệ thống bài tập lựa chọn”, chúng tôi xác định một nhiệm vụ nghiên cứu trọng tâm và cũng là một giải pháp quan trọng nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp hình học cho học sinh là xây dựng hệ thống các bài toán hệ phương trình bậc nhất, bậc hai giải được thông qua chủ

đề hình tròn, với các chỉ dẫn phương pháp giải , các bài tập minh họa tương ứng và các bài tập đề nghị thích hợp để làm phương tiện cho hoạt

động rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua chủ đề đường tròn

Qua hoạt động giải các hệ phương trình này theo ý đồ sư phạm của giáo viên, học sinh không những được củng cố, nắm vững kiến thức cơ bản về giải hệ phương trình mà còn có kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp hình học, từ đó phát triển kĩ năng giải Toán nói riêng và các kĩ năng ứng dụng tri thức Toán học vào việc thực hiện các nhệm vụ Toán cụ thể - giải bài tập Toán nói chung Nguyên tắc của việc lựa chọn

hệ phương trình cho hoạt động thực hành luyện tập của học sinh là:

+ Bám sát nội dung chương trình hiện hành, lựa chọn các bài Toán trong SGK, SBT, sách tham khảo nâng cao, và các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, cao đẳng môn Toán

+ Các bài Toán cần được lựa chọn cẩn thận, có lời giải chi tiết, đáp ứng những yêu cầu đối với một bài tập toán, cũng như đối với việc rèn luyện

kĩ năng giải toán nói chung và kĩ năng giải bằng phương pháp hình học nói riêng

+ Đảm bảo được tính hệ thống từ cơ bản đến nâng cao, đảm bảo tính cân đối, đa dạng và vừa sức

b) Lựa chọn và phân loại một số hệ phương trình bậc nhất, bậc hai giải thông qua chủ đề đường tròn

Nhận xét: Đối với dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn các phương

pháp đại số, dùng định thức hay phương pháp đồ thị về mặt thời gian tính toán hay ngắn gọn khi trình bày tự luận sẽ không có sự chênh lệch nhiều Tuy nhiên các phương pháp này đòi hỏi học sinh phải tính toán cẩn thận và biện luận nhiều khả năng có thể xảy ra của bài toán dễ dẫn đến thiếu sót, nhầm lẫn

Hệ phương trình có vô số nghiệm    d1  d2

4

m m

n n