Giải quyết nhanh bài toán con lắc đơn trong điện trường cực hay

Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà véc tơ cường độ điện trường có độ lớn E 10 V / m 4 và hướng thẳng đứng xuống dưới.. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà

CON LẮC ĐƠN DAO ĐỘNG TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương pháp chung:

Khi đặt con lắc vào điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường E

thì nó chịu tác dụng của trọng lực P

và lực điện trường F qE

 

, hợp của hai lực này ký hiệu là P' P F

(1)

P’ được gọi là trọng lực hiệu dụng hay trọng lực biểu kiến

Chu kì dao động nhỏ của con lắc là

' 2

'

T

g



Do đó để xác định được chu kì T’ ta cần xác định được gia tốc trọng trường hiệu dụng g’ Ta xét một số trường hợp thường gặp:

a) Trường hợp 1: E

có hướng thẳng đứng xuống dưới ( hay kí hiệu là E 

) Khi đó thì để xác định chiều của F

ta cần biết dấu của q

Nếu q<0, khi đó F  E

, ( hay F

ngược chiều với E

) Từ đó F

hướng thẳng đứng lên trên, từ (1) ta

q E

P P F mg mg q E g g

m

 Chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

'

T

q E g

g m



Nếu q>0, khi đó F   E

, ( hay F

cùng chiều với E

) Từ đó F

hướng thẳng đứng xuống dưới, từ (1) ta

q E

P P F mg mg q E g g

m

 Chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

'

T

q E g

g m



b) Trường hợp 2: E có hướng thẳng đứng lên trên.

Nếu q<0, khi đó F  E

F

  

, từ (1) ta được : ' ' '

q E

P P F mg mg q E g g

m

 Chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

'

T

q E g

g m



Nếu q>0, khi đó F   E

 

F

 

 , từ (1) ta được : ' ' '

q E

P P F mg mg q E g g

m

 Chu kỳ dao động của con lắc khi đặt trong điện trường là:

'

T

q E g

g m



Nhận xét:

Tổng hợp cả hai trường hợp và các khả năng trong hai trường hợp trên ta thấy rằng khi véc tơ cường độ điện trường E có phương thẳng đứng (chưa xác định lên trên hay xuống dưới ) thì ta luôn có '

q E

g g

m

 

Từ đây, dựa vào gia tốc g’ lớn hơn hay nhỏ hơn g và dấu của điện tích q ta có thể xác định được ngay chiều của véc tơ cường độ điện trường

Chúng ta có thể hiểu tổng quát như sau:

Nếu E

hướng xuống ( cùng chiều với trọng lực ) ta có: '

q E

g g

m

 

Nếu E



hướng lên ( ngược chiều với trọng lực ) ta có: '

q E

g g

m

 

c) Trường hợp 3: E

có phương ngang, khi đó F

cũng có phương ngang

Do trọng lực P hướng xuống nên F P

Từ đó,

P P F  mg  mg  q E

2 2

'

q E

 

     

 



Góc lệch của con lắc so với phương ngang ( hay còn gọi là vị trí cân

bằng của con lắc trong điện trường ) là  được cho bởi

tan F q E

P mg

  

II VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: [Trích đề thi tuyển sinh Đại học 2010] Một con lắc đơn có chiều dài dây treo = 50 cm và vật nhỏ

có khối lượng m = 0,01 (kg) mang điện tích q= 5.106 C, được coi là điện tích điểm Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà véc tơ cường độ điện trường có độ lớn E 10 (V / m) 4 và hướng thẳng đứng xuống dưới Lấy g10 /m s , 2 = 3,14 Tính chu kỳ dao động điều hòa của con lắc

Lời giải:

Cách 1: Do E 

, q>0 nên F  P' P F g' g q E

m

     

=10+5=15 (m s/ 2) Chu kỳ dao động của con lắc

1 ' 2 2 1,15( )

' 15

g

Chọn C.

Cách 2: Ta có thể làm như sau: Do E 

( cùng chiều với trọng lực ) nên

2

m

suy ra

1 ' 2 2 1,15( )

' 15

g

Chọn C.

4

1, 2.10

 C được coi là điện tích điểm Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều mà véc tơ cường độ điện trường có độ lớn E=40V/cm và hướng thẳng đứng lên trên, tại nơi có gia tốc trọng trường g 9,8( / )m s2 Chu kỳ dao động điều hòa của con lắc là:

A T=1,2s B T=1s C 1,1s D T=0,5s

Lời giải:

Do E 

( ngược chiều với trọng lực ) nên

4

( 1, 2.10 ).4000 g' g 9,8

0,05

qE m





   

Suy ra g'19, 4(m/ s )2

Do đó chu kỳ dao động điều hòa của con lắc là:

' 2 1( )

'

g



  

Chọn B.

Ví dụ 3: Một con lắc đơn treo hòn bi kim loại khối lượng m = 200g mang điện tích q = 2,5.107C Đặt con lắc trong điện trường đều E

có phương thẳng đứng hướng xuống dưới Chu kỳ con lắc khi E = 0 là T=3s Tìm chu

kỳ dao động khi E = 105(V/m) và g 10( / )m s2

Lời giải:

Cách 1: Ta có: q > 0 nên E

cùng chiều với lực điện F d

Mà

'

'

q E g



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Khi đó

'

1

T T

q E mg



2,98s Chọn D.

Cách 2: Do E

hướng xuống nên '

qE

m

 

Chọn D.

Ví dụ 4: Con lắc đơn dao động điều hòa với chu kỳ T Sau đó người ta tích điện cho vật nặng một điện tích q

rồi truyền cho con lắc dao động trong một điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường E

hướng thẳng đứng lên trên thì thấy chu kỳ dao động của con lắc khi đó là

' 3

T

T 

Cho E= 4.105 V/m, g=10 ( / )m s , khối2

lượng vật nặng m = 50g Điện tích của vật này là

Lời giải:

Từ giả thiết

'

Do E



hướng thẳng đứng lên trên ( ngược chiều với trọng lực ) nên:

6

Ví dụ 5: Một con lắc đơn dao động bé có chu kỳ T Đặt con lắc trong điện trường đều có phương thẳng đứng

hướng xuống dưới Khi quả cầu của con lắc tích điện q thì chu kỳ của con lắc là 1 T14T Khi quả cầu của con lắc tích điện q thì chu kỳ 2 2

2 3

T  T

Tỉ số giữa hai điện tích

1 2

q

q là

A

1

2

3

4

q

1 2

3 4

q

1 2

1

q

1 2

1

q

q 

Lời giải:

Do vecto cường độ điện trường hướng xuống nên ta có: '

qE

m

 

Ta có:

2

2 1

1

q E

m



Tương tự ta có:

2

2 2

2

1 q E

T

T   mg Do đó

2 2

1 1

2 2

2 2

1 3 4 1

T

T q T







  Chọn A.

Ví dụ 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa trong điện trường đều, có véc tơ cường độ điện trường có phương

thẳng đứng, hướng xuống Khi vật treo chưa tích điện thì chu kỳ dao động là T = 0,4s khi vật treo lần lượt tích điện q và 1 q thì chu kỳ dao động tương ứng là 2 T = 0,25s và 1 T = 0,5s Tỉ số 2

1 2

q

q là

A

1

2

8

13

q

q





B

1 2

13 3

q q





C

1 2

13 8

q q





D

1 2

13 8

q

q 

Lời giải:

Tương tự ví dụ trên ta có:

2 2 1 1

2 2

2 2

1 13 3 1

T T q

T







Chọn B.

Ví dụ 7: Hai con lắc đơn cùng chiều dài và cùng khối lượng, các vật nặng coi là chất điểm, chúng được đặt ở

cùng một nơi và trong điện trường đều E

có phương thẳng đứng hướng xuống, gọi T là chu kỳ chưa tích điện0

của mỗi con lắc, các vật nặng được tích điện là q và 1 q thì chu kỳ trong điện trường tương ứng là 2 T và 1 T ,2

biết T10,8T0 và T2 1, 2T0 Tỉ số

1 2

q

q là

A

44

81 44



C

44 81



81

44

Lời giải:

Tương tự ví dụ trên ta có:

2 0 2 1 1

2

2 0

2 2

1 81 44 1

T T q

T







  Chọn B.

Ví dụ 8: Một con lắc đơn dao động điều hòa trong điện trường đều, có véc tơ cường độ điện trường có phương

thẳng đứng, hướng xuống Khi vật treo chưa tích điện thì chu kỳ dao động là T, khi vật treo lần lượt tích điện là

q và –q thì chu kỳ dao động tương ứng là T1 = 1,05s và T = 0,15s Giá trị của T là: 2

Lời giải:

Áp dụng công thức

2

1

2 2

2 2 2

2

1

2

1,05 0,15

T T

T

T







Do đó T=0,21s Chọn C.

Ví dụ 9: Có ba con lắc đơn cùng chiều dài dây treo và cùng khối lượng Con lắc thứ nhất và thứ hai mang điện

tích q và 1 q Con lắc thứ ba không điện tích Đặt lần lượt ba con lắc vào điện trường đều có véc tơ cường độ2

điện trường theo phương thẳng đứng và hướng xuống Chu kỳ dao động điều hòa của chúng trong điện trường lần lượt là T , 1 T và 2 T với 3 1 3

3

T

T 

,

3 2

3

T

T 

Cho biếtq1 q2 105C

  Điện tích q và 1 q có giá trị lần lượt2

là:

A. 1 8.106



2 2.10

 B q1 6.106C

 ; q2 4.106C



C q1 12.106C

 ; q2 2.106C

 D q1 13,33.106C

 ; q2 3,33.106C



Lời giải:

Áp dụng công thức bài trên với T T ta có: 3

2

6 2

1 1

1

2 2

1

8.10 4

2.10 1

T

T q

T













Ví dụ 10: Một con lắc đơn mang điện, khi không có điện trường nó dao động với chu kỳ T Khi có điện trường

hướng thẳng đứng xuống thì chu kỳ dao động điều hòa của con lắc là T Khi có điện trường hướng thẳng đứng1

lên thì chu kỳ dao động điều hòa của con lắc là T Hệ thức nào sau đây là đúng 2

1 1 1

1 2

2 1 1

1 2

T T T D 2 12 22

2T T T

Lời giải:

Khi

1

qE g



          

Khi E 

tương tự ta có: 2 22 2

4



Mặt khác 2 2 12 22

g

 Do đó 2 12 22

2 1 1

T T T Chọn B.

Ví dụ 11: Một con lắc đơn gồm một quả cầu kim loại, khối lượng m=50g, tích điện q=4.10 C6 được treo bằng sợi dây mảnh Con lắc dao động trong điện trường đều có phương ngang tại nơi có gia tốc trọng trường

2

/

10



g m s Khi đó vị trí cân bằng của con lắc tạo với phương thẳng đứng một góc  30 Độ lớn của cường

độ điện trường là:

A.E= 21.104 V/m B E= 7, 2.10 V/m C E=4 4

12,5.10 V/m D E=25.104 V/m

Lời giải:

E

có phương ngang, khi đó F

cũng có phương ngang Do trọng lực P hướng xuống nên FP

Ta có: F=qE, P=mg

Góc lệch của con lắc so với phương ngang là  được xác định bởi

công thức:

tan 30 tan F q E tan 30 E mg

=7, 2.10 V/m Chọn B.4

khối lượng m=200g, được tích điện q= 2.106C đặt trong điện trường đều

E

có phương ngang và độ lớn 106 V/m Lấy g10 /m s Kéo con lắc2

sang phải và lệch so với phương thẳng đứng một góc 60 rồi thả nhẹ Tính tốc độ của vật khi sợi dây sang phải

và lệch so với phương thẳng đứng góc 42 A.0,81m/s B.0,96m/s C.2,2m/s

D.2,62m/s

Lời giải:

E

có phương ngang, khi đó F

cũng có phương ngang

Do trọng lực P hướng xuống nên F P

Từ đó, P'2 P2F2  (mg')2 (mg)2(q E)2



 

2 2

 

 

cb

qE

Do đó max 60  45   15

Khi con lắc lệch với phương thẳng đứng góc 42   45  42  3

max

2 ' (cos cos ) 2 ' (cos3 cos15 ) 0,96 /

v g     g      m s

Chọn B.

Ví dụ 13:Một con lắc đơn có khối lượng vật nặng m=20g, đặt trong điện trường đều E

có phương ngang và độ

lớn E= 4.105 (V/m) Khi vật chưa tích điện nó dao động với chu kỳ T, khi vật được tích điện tích q thì nó dao động với chu kỳ T’ Lấy g 10( / )m s , xác định độ lớn của điện tích q biết 2

2 ' 3

T

T 

A 107 C B 2.107C C 4.107C D 108C

Lời giải:

Từ giả thiết

Do E

hướng ngang nên

'

            

Từ đó, q 107C Vậy độ lớn điện tích của q là 107C Chọn A.

Ví dụ 14: [Trích đề thi đại học năm 2012] Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài 1m và vật nhỏ có khối

lượng 100g, mang điện tích 2.105C Treo con lắc đơn này trong điện trường đều với véc tơ cường độ điện trường hướng theo phương ngang và có độ lớn 5.104 V/m Trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo và song song với véc tơ cường độ điện trường, kéo vật nhỏ theo chiều của véc tơ cường độ điện trường sao cho dây treo hợp với véc tơ gia tốc trọng trường một góc 54 rồi buông nhẹ cho con lắc dao động điều hòa Lấy

2

10 /



g m s Trong quá trình dao động, giá trị cực đại của vật nhỏ là:

A 0,59 m/s B.3,14 m/s C 2,87 m/s D.0,5 m/s

Lời giải:

E

có phương ngang, khi đó F

cũng có phương ngang

Do trọng lực P hướng xuống nên F P

Từ đó, P'2 P2F2  (mg')2 (mg)2(q E)2



 

2 2

m

 

 

 

Do đómax 54  45   Khi đó 9

max  2 ' (1 cos  max)  2 ' .(1 cos9 ) 0,59 /   

Ví dụ 15: [Trích đề thi Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh] Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ khối lượng m=2g

và một dây treo mảnh, chiều dài , được kích thích cho dao động điều hòa Trong khoảng thời gian t con lắc thực hiện được 40 dao động Khi tăng chiều dài con lắc thêm một đoạn 7,9 cm thì cũng trong khoảng thời gian

t

 con lắc thực hiện được 39 dao động Lấy gia tốc trọng trường g9,8 /m s Để con lắc với chiều dài tăng2

thêm có cùng chu kỳ dao động với con lắc chiều dài, người ta truyền cho vật điện tích q= 0,5.108 C rồi cho

nó dao động điều hòa trong một điện trường đều có đường sức thẳng đứng Vecto cường độ điện trường này có:

A.Chiều hướng lên và độ lớn 1,02.105V m /

B.Chiều hướng xuống và độ lớn 1,02.105V m/

C Chiều hướng lên và độ lớn 2,04.105V m /

D.Chiều hướng xuống và độ lớn 2,04.105V m /

Lời giải:

Ta có: 1 2

0,079

   

Suy ra

1

2

39

40 0,079

T

T   





Lại có:

1







dt

qE g m

g m

2

5

40

39

qE E mg

 

      

 

Do đó E có chiều hướng xuống và độ lớn 2,04.10 V/m Chọn D.5

Ví dụ 16: [Chuyên ĐHSP lần 1 năm 2017] Con lắc đơn có khối lượng m=100g treo vào một điểm cố định

trong điện trường đều có phương thẳng đứng, hướng lên trên E= 2.106 V/m Khi chưa tích điện, con lắc vật

dao động điều hòa với chu kỳ T =2s Khi tích điện q cho con lắc, nó dao động điều hòa với chu kỳ giảm đi 4/30

lần Lấy g=10m s/ 2 Điện tích của vật là:

A q= 3,89.107C B.q= 3,89.107C C q= 3,89.106C D.q= 3,89.106C

Lời giải:

Do E 

nên ngược chiều với g suy ra '

qE

m

 

Ta có:

0

g m



7

3,89.10

qE







Chọn B.

Ví dụ 17: Một hòn bi nhỏ khối lượng m treo ở đầu một sợi dây và dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường

g Chu kỳ dao động thay đổi bao nhiêu lần nếu hòn bi được tích một điện tích q >0 và đặt trong một điện trường đều có véc tơ cường độ E thẳng đứng hướng xuống dưới sao cho qE=8mg

A.tăng 5 lần B giảm 5 lần C tăng 3 lần D giảm 3 lần

Lời giải:

Gia tốc trọng trường hiệu dụng ' 8 9

q

g

m  g g

 

Ta có

2

'

T

 

 

  Chu kỳ giảm 3 lần Chọn D.

Ví dụ 18: Con lắc đơn có quả cầu điện tích âm dao động điều hòa trong điện trường đều có véc tơ cường độ

điện trường thẳng đứng Độ lớn lực điện bằng một nửa trọng lực Khi lực điện hướng lên chu kỳ dao động của con lắc làT Khi lực điện hướng xuống thì chu kỳ của con lắc là?1

A

1

2

2

T

T 

B T2 T1 3 C

1 2

3

T

T 

D T2  T1 3

Lời giải:

Vì q<0 nên E

và F

ngược hướng nhau Khi lực điện hướng lên g1 1,5

qE

m

Khi lực điện hướng xuống

2 1

1 2

1,5

0,

0,

5

Chọn B.

Ví dụ 19: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q>0 Khi đặt con lắc vào trong điện

trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc , có tan 3 / 4; lúc này con lắc dao động nhỏ với chu kỳT Nếu đổi chiều điện trường này1

sao cho véc tơ cường độ điện trường có phương thẳng đứng hướng lên và cường độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là:

A

1

5

T

B 1

7 5

T

C 1

5 7

T

D T1 5

Lời giải:

+)E

nằm ngang  F

nằm ngang, vtcb lệch một góc:

3

4 cos cos tan 4

4

d





+) E hướng lên thẳng đứng, do q>0 F

 thẳng đứng hướng lên, vtcb không thay đổi

3

P

P  P F  P P

( do F d P ) g ' 4 4

hd hd

2

2 1 1

g

g '

hd

hd

T

T

Chọn D.

Ví dụ 20: Một con lắc đơn gồm dây treo chiều dài 1m, vật nặng khối

lượng 100g được tích điện q=10 μCC Con lắc đơn được đặt vào một điện

trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm ngang, độ lớn cường độ

điện trường E = 26795 V/m Con lắc đơn đang đứng yên ở vị trí cân bằng,

người ta kéo con lắc đến vị trí sao cho dây treo hợp với phương thẳng

đứng góc 30 rồi thả nhẹ Tìm tốc độ cực đại của con lắc trong quá trình

dao động có thể là A 0,76m/s B 1,06m/s C 2,46m/s

D.1,66m/s

Lời giải:

6

10.10 26795 0, 26795

d

0,1.10 1

Đặt con lắc vào trong điện trường nằm ngang thì vtcb của con lắc bị lệch so với phương thẳng đứng góc 

sao cho: tan 0, 26795 15

d

F P

      

Và con lắc đơn dao động với

2

10

g





Kích thích dao động bằng cách kéo theo phương thẳng đứng góc 30 , ta có hai trường hợp xảy ra:

TH1: Kéo cùng bên so với bên lệch của vtcb  0  15

max 2 ' (1 cos 0) 2.10,35.1.(1 cos15 ) 0,84 /

TH2: Kéo khác bên so với bên lệch của vtcb  0 45

max 2 ' (1 cos 0) 2.10,35.1.(1 cos 45 ) 2, 46 /

v  g        m s Chọn C.

Ví dụ 21: Một con lắc đơn có chiều dài l=1m, vật nặng có khối lượng m =100 3 g , tích điện q= 10 C5 Treo con lắc đơn trong một điện trường đều có phương vuông góc với g

và độ lớn E= 105 V/m Kéo vật theo chiều của vecto cường độ điện trường sao cho góc tạo bởi giữa dây treo và vecto g

là 75 thả nhẹ để vật chuyển động Lấy g=10 m s/ 2 Lực căng cực đại của dây treo là:

A 3,17N B 2,14N C 1,54N D 5,54N

Lời giải:

max (3 cos 2 )0

T T mg  

Áp dụng cho bài toán, ta xem con lắc chuyển động

trong trường trọng lực biểu kiến với

2

/ 3

bk

qE

m

 

  

 

Vị trí cân bằng bây giờ lệch khỏi vị trí cân bằng cũ một

góc  sao cho

1

3

qE mg

      

max bk(3 2cos 0)

   với  0 45

Ta thu được Tmax= 3,17N Chọn A.