Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số dạng toán tiểu học (KLTN k41)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== ĐÀO THỊ TỐ UYÊN ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

ĐÀO THỊ TỐ UYÊN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG

TOÁN TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI, 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

ĐÀO THỊ TỐ UYÊN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG

TOÁN TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI, 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dụcTiểu học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo môi trường học tập tốtnhất để em được rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại

Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số dạng toán Tiểu học”

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được nhiều ý kiến đónggóp của một số các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện như hiệntại

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Đào Thị Tố Uyên

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của

bản thân em dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham

khảo trích dẫn trong khóa luận được chỉ rõ nguồn gốc trung thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Đào Thị Tố Uyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Giả thuyết khoa học 1

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Bố cục khóa luận 2

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Tập hợp 3

1.2 Quy tắc cộng 4

1.3 Quy tắc nhân 4

1.4 Hoán vị 5

1.5 Chỉnh hợp 8

1.6 Tổ hợp 10

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT TỔ HỢP TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 13

2.1 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số bài toán số học 13

2.2 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số bài toán hình học 22

KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, cấp độ của học sinh tiểu học là sự

khởi đầu cho sự phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, các em học sinh đãđược làm quen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán

ở dạng đơn giản, dễ hiểu

Tuy nhiên, sinh viên được đào tạo trong ngành Giáo dục Tiểu học thường suynghĩ các kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy

và học toán Tiểu học Thực chất, những công thức, khái niệm đó được lấy,được áp dụng từ lý thuyết, quy tắc ở chính các bậc học cao hơn

Để minh chứng cho việc suy nghĩ không chuẩn xác đó, được sự định hướngcủa người hướng dẫn, em muốn giới thiệu về lý thuyết về tổ hợp và ứng dụngcủa lý thuyết này trong việc dạy một số dạng toán Tiểu học, để hoàn thành

khóa luận chuyên ngành toán Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng lý thuyết

tổ hợp trong dạy học một số dạng toán Tiểu học” với hai mục đích:

(i) Sử dụng lý thuyết này trong việc định hướng tìm lời giải của một

số dạng toán Tiểu học

(ii) Từ cơ sở định hướng ở phần trên, em đưa ra một số phương pháp

hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức của học sinh ở cấp độ này

2 Mục đích nghiên cứu Đưa ra được những cách giải toán hữu hiệu nhất

khi ứng dụng lý thuyết của tổ hợp trong dạy một số bài toán tiểu học

Bên cạnh đó nhằm rèn luyện tư duy, sự sáng tạo, khả năng suy nghĩ, pháthiện và giải quyết vấn đề của học sinh tiểu học trong khi giải các bài toánthuộc dạng này

3 Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết tổ hợp và một số dạng toán bậc Tiểu học

được ứng dụng lý thuyết tổ hợp

4 Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đưa ra được những

cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng lý thuyết tổ hợp, đểnâng cao hiệu quả dạy và học

Nghiên cứu việc ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong việc giải một số bài toán tiểuhọc.

5 Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong việc dạy một số

dạng toán tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

Phương pháp phân tích, tổng hợp

Phương pháp quan sát sư phạm

7 Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề

tài gồm 2 chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số dạng toán Tiểuhọc

z;

1.1 Tập hợp

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Lịch sử nghiên cứu Lý thuyết tập hợp được xem là ngành toán học

khởi đầu cho việc nghiên cứu toán học hiện đại Bất kì đối tượng nào ta cũng

có thể đưa vào tập hợp, song lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đốitượng liên quan đến toán học

Lý thuyết tập hợp được sáng lập bởi Georg Cantor (nhà toán học người Đức)trong những năm 1874 đến năm 1897

Công trình của ông công bố năm 1874 đã đánh dấu sự ra đời của lý thuyết tậphợp giống như sự khởi đầu và đặt nền móng vững chắc cho nền toán học hiệnđại

1.1.2 Một số khái niệm và ký hiệu Tập hợp được hiểu là một lớp như: một

số các vật thể; các đối tượng toán học nào đó; với những tính chất chung đểxác định được những đối tượng hay những vật thể trong đó

Thông thường, một tập hợp được biểu diễn tương ứng như một mặt phẳngđược giới hạn bởi một đường cong khép kín (như hình)

.A

Người ta kí hiệu các tập hợp bằng các chữ cái in hoa A,B,X,Y, Các vật

thể hay các đối tượng của một tập hợp được ký hiệu bởi các chữ thường

a,b,x,y,

và được gọi là “phần tử” của tập hợp đó Tập hợp X gồm cácphần tử x,y,z, được viết là

X .}.

Ví dụ Tập hợp A các học sinh trong một lớp học, tập hợp B các học sinh

trai và tập hợp C các học sinh gái trong lớp học đó.

Tập hợp các số tự nhiên được viết như sau

N ; }

1.2 Quy tắc cộng

1.2.1 Quy tắc Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án

A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực

hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n cách.

Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của

A bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B , tức là

A

1.2.2 Một số ví dụ Một hộp nhựa đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màuxanh Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong số các viên bi trong hộp nhựađó?

Mỗi lần lấy ra một viên bi là một cách chọn

Có bốn cách chọn viên bi màu đỏ, năm cách chọn viên bi màu xanh

Như vậy, số cách chọn một trong số các viên bi là

4 (cách chọn)

1.3 Quy tắc nhân

Đáp số: 9 cách chọn

1.3.1 Quy tắc Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và

B Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn

A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực

hiện theo m cách.

Quy tắc nhân có thể thực hiện với một công việc có nhiều công đoạn

4 12

1)

1.3.2 Một số ví dụ Tổ 1 lớp 2A có ba học sinh nữ và bốn học sinh nam Cô

giáo muốn chọn một cặp học sinh (gồm một học sinh nữ và một học sinhnam) để tham gia văn nghệ Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn?

Ta đánh số thứ tự ba học sinh nữ lần lượt là

lượt là 1,2, 3, 4

a,b,c và bốn học sinh nam

lầnCông việc 1 Chọn một học sinh nữ, có ba cách chọn (chọn a,b hoặc c )

Công việc 2 Chọn một học sinh nam, có bốn học sinh nam Ứng với mỗicách chọn học sinh nữ có bốn cách chọn học sinh nam (chọn 1,2, 3 hoặc 4)

Do đó có những cặp học sinh như sau:

1.4.1 Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử (n Khi sắp xếp n

phần tử này theo một thứ tự nhất định, ta được một phần tử của một tập hợpmới và được gọi là một hoán vị của tập hợp A

Ví dụ 1 Có ba vận động viên tham gia cuộc thi bơi lội Nếu không có trường

hợp có hai người về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra vớicác vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba?

Giả sử ba vận động viên có tên lần lượt là A,B,C

Khi đó kết quả sắp xếp theo thứ tự nhất, nhì và ba có thể xảy ra như sau

ABC ,ACB ,BAC ,BCA, CAB , CBA

Như vậy, mỗi kết quả của việc sắp thứ tự ba vận động viên theo vị trí thứnhất, thứ nhì và thứ ba được gọi là một hoán vị của ba vị trí nhất, nhì và ba

Ví dụ 2 Trong trận chung kết bóng đá Việt Nam với Hàn Quốc, sau hai hiệp

phụ cả hai đội có tỉ số bằng nhau nên phải đá luân lưu Đội Việt Nam cần

chọn ra năm cầu thủ trong đội để tham gia Hãy nêu ra bốn cách sắp xếp cầuthủ để đá luân lưu?

Giả sử tên của năm cầu thủ được chọn để đá luân lưu là M,N,P,Q,R

Cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm

Kết quả phân công là một danh sách có thứ tự tên của năm cầu thủ

Bốn cách sắp xếp cầu thủ để đá luân lưu như sau

Ví dụ Có bốn bạn Mai, Ngọc, Phượng, Quyên Hỏi có bao nhiêu cách sắp

xếp chỗ ngồi cho bốn bạn vào một bàn học?

Ta viết tên bốn bạn Mai, Ngọc, Phượng, Quyên lần lượt là M,N,P,Q và viết MNPQ để biểu diễn cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn trên.

Bài toán trên có thể giải theo hai cách sau

a) Cách 1: Dùng phương pháp liệt kê

Có những cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn vào một bàn học như sau

MNPQ,MNQP,MPNQ,MPQN,MQNP,MQPN.

NMPQ,NMQP,NPMQ,NPQM,NQMP,NQPM.

PMNQ,PMQN,PNMQ,PNQM,PQMN,PQNM.

QMNP,QMPN,QNMP,QNPM,QPMN,QPNM.

2 3 4 24

n ! n (n 1) (n 2) 2 1.

1

2

Vậy có tất cả 24 cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn Mai, Ngọc,

Phượng, Quyên vào một bàn học

Vị trí ngồi thứ tư: Có một cách chọn (vì chỉ còn một bạn còn lại)

Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho bốn bạn là

(n 1) (n 2) 2 1 n !

n ! n (n 1) (n 2) 2 1.

n !

k n

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả n cách

sắp xếp thứ tự n phần tử đã cho của tập hợp, tức là có n ! hoán vị Vậy

P n

Kí hiệu: P n

1.5 Chỉnh hợp

(đọc là n giai thừa)

1.5.1 Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên dương k với

1 Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta

được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp

8 9 10 5040

Ví dụ Tổ 4 lớp 5A có 10 bạn học sinh Lớp trưởng cần phân công bốn

bạn để làm các công việc sau: giặt khăn lau, quét lớp, lau cửa sổ và đổ rác.Hỏi lớp trưởng có bao nhiêu cách phân công?

Phân công một bạn giặt khăn lau, có mười cách chọn

Phân công một bạn quét lớp, có chín cách chọn (vì đã chọn một bạn giặt khănlau)

Phân công một bạn lau cửa sổ, có tám cách chọn (vì đã chọn hai bạn để giặtkhăn lau và quét lớp)

Phân công một bạn đổ rác, có bảy cách chọn (vì đã chọn ba bạn để giặt khănlau, quét lớp và lau cửa sổ)

Theo quy tắc nhân, số cách phân công là

Chứng minh Việc lập một chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được

xem như một công việc gồm k hành động Hành động thứ nhất là chọn phần

tử xếp vào vị trí thứ nhất Hành động thứ hai là chọn phần tử xếp vào vị tríthứ hai,… Hành động thứ k là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ k

Khi đó công thức trên đúng với cả k và

1.6.1 Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với

1 Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp

chập k của tập hợp A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A )

Như vậy, một tổ hợp chập k của tập hợp A chính là việc lấy ra k phần tử của

tập hợp này mà không quan tâm đến sự sắp xếp về mặt thứ tự của các phần tửtrong đó

Ví dụ Trong mặt phẳng cho bốn điểm M,N,P,Q (không có ba điểm nào

thẳng hàng) Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh được tạo nên từ bốn điểmtrên?

Ta thấy rằng một tam giác được tạo nên từ ba đỉnh Ba đỉnh đó thuộc bốnđiểm đã cho trong đề bài

Như vậy số tam giác được tạo nên là

MNP,MNQ,MPQ,NPQ

15 20 3000

Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra 3 viên bi là

10 (cách chọn)

Định lý 3 Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (0

là

k n

Chứng minh Với k : Ta quy ước C

trên hiển nhiên đúng

Với k : Ta thấy mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của một tổ hợp chập k

của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A Hay nói cách khác, mỗi hoán vị

của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A

Vậy từ một tổ hợp chập k của A ta lập được k

!

có

chỉnh hợp chập k của A , ta

k k

n

2.1 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong dạy học một số bài toán số học

Bài toán 1 [2,Ví dụ 1.1 – trang 7] Cho bốn chữ số 0,1,2, 3 Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?

Vì vậy, số các số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho là

6 (số)Cách 2 Các số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho là

1230 1023 2103 3012 3201

1203 1032 2130 3021 3210

Cách 3 Ta thấy rằng chữ số hàng nghìn phải khác 0 Do đó, cách chọn các chữ số như sau

+ Chữ số hàng nghìn: Có ba cách chọn (vì chữ số hàng nghìn phải khác0)

+ Chữ số hàng trăm: Có ba cách chọn (vì đã chọn một chữ số vào vị tríhàng nghìn)

+ Chữ số hàng chục: Có hai cách chọn (vì đã chọn hai chữ số vào vị tríhàng nghìn và hàng trăm)

+ Chữ số hàng đơn vị: Có một cách chọn (vì đã chọn ba chữ số vào vịtrí hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục)

Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho là

3 (số)

Nhận xét

Đối với cách 1 và cách 2 , học sinh thường làm theo hai cách này Đây làhai cách đơn giản, phù hợp với trình độ của các em Nhưng các em học sinhthường liệt kê thiếu kết quả hoặc đối với các bài toán đưa ra dữ liệu với nhiềuchữ số thì làm theo cách 1 và cách 2 như trên sẽ gây khó khăn, dễ nhầm lẫn.Đối với cách thứ 3 đã sử dụng lý thuyết tổ hợp để giải bài toán trên Khi ápdụng cách này, trong khi chọn các chữ số của các số thỏa mãn đề bài, họcsinh sẽ không bị bỏ sót Việc chọn các chữ số lần lượt theo các hàng mộtcách tuần tự giúp các em dễ dàng tìm ra lời giải bài toán Bên cạnh đó, đốivới các bài toán đưa ra dữ liệu với nhiều chữ số thì làm theo cách này sẽkhông bị nhầm lẫn

Bài toán 2 [2, Ví dụ 1.2 – trang 9] Cho năm chữ số 0,1,2, 3, 4 Từ nămchữ

số đã cho

5 5 5 500

5 3 1 60

a) Có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số?

b) Có thể viết được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà chữ số hàng trăm

b) Vì chữ số hàng trăm bằng 2 nên chữ số hàng trăm có một cách chọn.

Cách chọn các chữ số còn lại như sau

+ Chữ số hàng nghìn: Có bốn cách chọn

+ Chữ số hàng chục: Có năm cách chọn

+ Chữ số hàng đơn vị: Có ba cách chọn (vì các số cần tìm là số chẵn,chọn từ các chữ số 0,2, 4 )

Vậy số các số chẵn có bốn chữ số thỏa mãn đề bài là

4 (số)

Nhận xét Đối với bài toán trên đã ứng dụng lý thuyết tổ hợp, giúp giáo viên

tìm ra hướng giải phù hợp nhất cũng như giúp học sinh tìm ra kết quả chínhxác, đầy đủ

Bài toán 3 [2, Bài 2 – trang 20] Có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số

khác nhau, biết rằng

a) Các chữ số của chúng đều là số lẻ?

b) Các chữ số của chúng đều là số chẵn?

+ Chữ số hàng đơn vị: Có ba cách chọn (vì đã chọn hai chữ số vào vị tríhàng trăm và hàng chục)

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là

5 (số)

b) Vì số cần tìm có các chữ số là đều là số chẵn nên cách chọn các chữ số

như sau

+ Chữ số hàng trăm: Có bốn cách chọn từ các chữ số 2, 4,6, 8 (vì chữ

số hàng trăm phải khác 0)

+ Chữ số hàng chục: Có bốn cách chọn (vì đã chọn một chữ số vào vịtrí hàng trăm)

+ Chữ số hàng đơn vị: Có ba cách chọn (vì đã chọn hai chữ số vào vị tríhàng trăm và hàng chục)

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là

4 (cách chọn)

Bài toán 4 [3, Bài 20 – trang 7] Viết tất cả các số có hai chữ số mà chữ số

hàng chục là 5 Có bao nhiêu số như vậy?

Cách 2 Vì chữ số hàng chục là 5 nên có 1 cách chọn chữ số hàng chục

1 10

10 10 10 10 10 10 10 10 90

Vậy số các số có hai chữ số là

(99 (số)Cách 3 Cách chọn các chữ số như sau