Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở tiểu học (KLTN k41)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC====== NGUYỄN THỊ THU HẰNG ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

NGUYỄN THỊ THU HẰNG

ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

NGUYỄN THỊ THU HẰNG

ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dụcTiểu học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo môi trường học tập tốtnhất để em được rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại

Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình

chỉ bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học”.

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được nhiều ý kiến đónggóp của một số các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện như hiệntại

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, 10 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của

bản thân em dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham

khảo trích dẫn trong khóa luận được chỉ rõ nguồn gốc trung thực

Hà Nội, 10 tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hằng

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Tập hợp 3

1.1.1 Khái niệm tập hợp 3

1.1.2 Các phép toán về tập hợp 4

1.1.2.1 Hiệu của hai tập hợp 4

1.1.2.2 Hợp của các tập hợp 5

1.1.2.3 Giao của các tập hợp 6

1.1.2.4 Hiệu đối xứng của hai tập hợp 6

1.1.3 Tích Descartes của các tập hợp 7

1.2 Quan hệ tương đương 9

1.2.1 Quan hệ hai ngôi 9

1.2.2 Quan hệ tương đương 9

1.3 Bản chất của phân số 12

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC 13

2.1 Một số dạng toán sử dụng quan hệ tương đương trên tập hợp số hữu tỉ ở Tiểu học 13

2.1.1 Dạng 1 Một số bài toán về cấu tạo phân số 13

2.1.2 Dạng 2 Một số bài tập về so sánh phân số 16

2.1.3 Dạng 3 Thực hành các phép tính trên phân số 19

2.1.4 Dạng 4 Một số bài toán điển hình về phân số 23

2.2 Một số bài toán dạng mở rộng 28

KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, cấp độ của học sinh tiểu học là sự

khởi đầu sự phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, các em học sinh đã đượclàm quen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán ởdạng đơn giản, dễ hiểu

Tuy nhiên, sinh viên được đào tạo ngành Giáo dục Tiểu học thường suy nghĩcác kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy vàhọc toán bậc Tiểu học Thực chất, những công thức, khái niệm đó được lấy từcác kiến thức toán học cao cấp được đào tạo cho sinh viên chuyên ngành Giáodục Tiểu học trong nhà trường

Để minh chứng cho việc suy nghĩ không chuẩn xác đó, được sự định hướngcủa người hướng dẫn, em muốn giới thiệu về quan hệ tương đương và ứngdụng của lý thuyết này trong việc dạy học phân số ở Tiểu học, để hoàn thành

khóa luận chuyên ngành Toán và phương pháp dạy học Toán với đề tài: “Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học” với hai mục

2 Mục đích nghiên cứu Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân

số ở Tiểu học để giúp giáo viên hiểu được bản chất khái niệm phân số, đưa racách giải các bài tập một cách hữu hiệu

Đồng thời, giúp học sinh rèn luyện tư duy, khả năng sáng tạo, phát hiện vàgiải quyết vấn đề trong khi giải các dạng toán thuộc dạng này

3 Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết về quan hệ tương đương và một số bài

tập về phân số ứng dụng quan hệ tương đương ở Tiểu học

4 Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên có định hướng và đưa ra được

những cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng quan hệtương đương, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học

Nghiên cứu việc ứng dụng của quan hệ tương đương trong dạy học phân số ởTiểu học

5 Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng của quan hệ tương đương trong dạy học

phân số ở Tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phương pháp phân tích, tổng hợp

7 Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,

khóa luận gồm có 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp

1.1.1 Khái niệm tập hợp Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta gặp rất

nhiều tập hợp khác nhau: tập hợp các sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học, tậphợp các số tự nhiên nhỏ hơn 100 , tập hợp các chữ cái,.…Như vậy, ta cóthể hiểu những đối tượng có chung một số tính chất nào đó được gọi là tậphợp

Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp Người ta

{x,y, z,

{0,1,2

,3

{x : x 6}

thường dùng các chữ cái in hoa A,B,

X,Y, để ký hiệu tập hợp Người ta

thường dùng các chữ thường

a,b,x,y, để ký hiệu các phần tử của tập hợp.

Tập hợp X gồm các phần tử x,y, z, được kí hiệu là

X .}

Phần tử x nằm trong tập hợp X được ký hiệu là:

x

Phần tử a không thuộc tập hợp X được ký hiệu là a

Ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau và được kí hiệu là A nếu mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và ngược lại Trường hợp, có những phần tử

thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B và có những phần tử thuộctập hợp B mà không thuộc tập hợp A thì ta nói hai tập hợp A và B khác

nhau và ký hiệu là A .

Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B , được kí hiệu là A

nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B Khi đó, ta nói B chứa

A ( B bao hàm A ) và kí hiệu là B .

Thông thường có hai cách để xác định một tập hợp

- Cách thứ nhất là liệt kê các phần tử Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên nhỏhơn

- Cách thứ hai là chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6 là A

{0,1,2, 3

p *

r : p , q , p,q 1 q

{z x i y : x,y }

5 x 6 0

{x : x A,x B}

Ví dụ 1 Một số tập hợp số trong chương trình toán đã nghiên cứu

- là tập hợp số tự nhiên gồm các chữ số được viết như sau

,4,5, }

- là tập hợp số hữu tỷ gồm các chữ số được viết như sau

- là tập hợp số phức gồm các chữ số được viết như sau

1.1.2.1 Hiệu của hai tập hợp

Định nghĩa Giả sử A và B là hai tập hợp tùy ý Hiệu của tập hợp A và tập

hợp B là tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc

tập hợp B , ký hiệu là A \ B hoặc được viết dưới dạng ký hiệu toán học là

A \ B .Nếu tập hợp B là tập hợp con của tập hợp A thì hiệu A \ B được gọi là phần

bù của B trong A và được ký hiệu là C A B

Ví dụ A là tập hợp học sinh giỏi Toán lớp 4A1: A {Hoa, Lan, Anh, Tú,

Hoàng} B là tập hợp học sinh giỏi Tiếng Việt lớp 4A1: B {Lan, Tú,Hoàng, Thúy, Quỳnh}

A \ B gồm những học sinh chỉ giỏi Toán mà không giỏi Tiếng Việt lớp4A1

B \ A gồm những học sinh chỉ giỏi Tiếng Việt mà không giỏi Toán lớp 4A1

B \ A {Thúy, Quỳnh}.

người ta gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là

Như vây, X \ X

Tập rỗng là tập hợp con của một tập hợp bất kỳ vì nó không chứa phần tửnào hay với một tập hợp bất kỳ X ta luôn có

1.1.2.2 Hợp của các tập hợp

Định nghĩa Cho hai tập hợp A và B tùy ý Hợp của hai tập hợp A và B là

một tập hợp gồm những phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B

và được ký hiệu là A , nghĩa là

A Phép hợp của các tập hợp có các tính chất sau

1.1.2.3 Giao của các tập hợp

Định nghĩa Cho hai tập hợp A và B tùy ý Giao của hai tập hợp A và B là

một tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B

và được ký hiệu là A , nghĩa là

A

Ta nói hai tập hợp A và B không giao nhau hoặc rời nhau nếu A ,

nghĩa là hai tập hợp A và B không có phần tử chung nào

Phép giao của các tập hợp có các tính chất sau

1.1.2.4 Hiệu đối xứng của hai tập hợp

Định nghĩa Cho hai tập hợp A và B Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và

B là một tập hợp gồm những phần tử chỉ thuộc tập hợp A hoặc chỉ thuộc tập

hợp B và không đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B , được ký hiệu là

A

B {4}

B {1,2,

4,6

{2,6, 8}

{1,9,16}

A B

{1,2,6, 8

Y

Y {(x;y) : x X,y Y}.

Y Z {(x;y;z) : x X,y Y,z Z}.

X2 X n X

Đặc biệt, nếu X1 thì ta viết X n

n

Ví dụ 2 Tìm tất cả các số có hai chữ số chia hết cho 2 và 5

Các số có hai chữ số được viết dưới dạng ab Để tìm được số có hai chữ sốthỏa mãn yêu cầu bài toán thì hai chữ số a và b được lấy lần lượt trong cáctập hợp sau

A ,5,6,7,

Như vậy, ta có thể liệt kê đầy đủ các số thỏa mãn yêu cầu bài toán như tích

Descartes của hai tập hợp A và B Như vậy, các số chia hết cho 2 và 5 là

10,20, 30,40,50,60,70, 80,90

Y Y

1.2 Quan hệ tương đương

1.2.1 Quan hệ hai ngôi Một tập con S nào đó của tích Descartes X

được gọi là quan hệ hai ngôi trên X

Một phần tử

(x;y)

ta nói x có quan hệ hai ngôi S với y và từ đây ta

viết xSy thay cho cách viết là

(x;y)

Khi Y để đơn giản ta nói S

là quan hệ hai ngôi trên X thay cho cách nói S là quan hệ hai ngôi trên

(i) Phản xạ: ới mọi x thì xSx

(ii) Đối xứng: ới mọi x,y mà xSy thì ySx

" b

b)

Khi quan hệ hai ngôi S là quan hệ tương đương, người ta thường thay S

bằng ký hiệu " và nếu a thì đọc là “a t ng ng v i b ”

Ví dụ 1 Cho n là một số nguyên dương Ta xác định quan hệ hai ngôi R

trên như sau: với hai số nguyên a,b ta nói a quan hệ R với b nếu (a

chia hết cho n Khi đó, R là quan hệ tương đương trên .

Chứng minh

ậy aRc (R có tính chất bắc cầu).

Đây là quan hệ đồng dư modul n và được viết a n) thay vì aRb

Ví dụ 2 Quan hệ R đồng dư modul 3 trên xác định các lớp tương đươngsau

Chứng minh Xét lớp tương đương bất kỳ C(x). Đầu tiên, ta thấy rằng

x nên x , nghĩa là C(x) Để chứng minh tiếp, giả sử rằnghai lớp tương đương C(a) và

C(b)

mà C(a) , ta chỉ cần chứng

minh C(a) Chọn một phần tử bất kỳ x Khi đó, bởi vì

x nên a và x nên x Theo tính chất bắc cầu củaquan hệ tương đương, ta nhận được a

Lúc đó, nếu là phần tử bất kỳ của tập hợp X mà

Điều đó, chứng tỏ rằng

C(a)

Định nghĩa 2 Tập hợp mà mỗi phần tử là một lớp tương đương của tập hợp

X theo quan hệ tương đương gọi là tập thương của X theo quan hệ ,

ký hiệu là X Như vậy

sinh đó có cùng giới tính Dễ thấy rằng quan hệ hai ngôi trên là một quan hệtương đương Khi đó, tập thương của X theo quan hệ hai ngôi này gồm 2 lớptương đương C(g)có 39 học sinh nữ

và

C(t)có 11 học sinh nam hay tập

thương này có hai phần tử được xác định như sau

X (t)}.

/ {0}

*

*,

*

1.3 Bản chất của phân số

Cho là tập hợp số tự nhiên và Mỗi cặp số sắp thứ tự

số, ta kí

hiệu là P Vậy P

a : a , b *b

"

P; a b

c

d d b c

Ta sẽ sử dụng kí hiệu

a b

để chỉ phân số (a;b), trong đó a gọi là tử số, b

P/ và được kí hiệu là (tập các số hữu tỉ không âm) Khái niệm phân

số hình thành trong nhà trường Tiểu học cũng đồng nhất với khái niệm phân

số trong giáo trình này Cách hình thành phân số như trên là nền tảng để xâydựng tập số hữu tỉ Mỗi số hữu tỉ là một lớp đương đương gồm các phân

số tương đương nhau.[3]

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY HỌC PHÂN

SỐ Ở TIỂU HỌC

Trong chương trình Toán ở Tiểu học, phân số được hình thành dựa trên quan

hệ tương đương ì vậy, ta có thể hiểu các bài toán về phân số một cách dễdàng và giảng dạy cho các em học sinh khi nắm rõ lí thuyết về quan hệ tươngđương Chúng tôi xin minh hoạ điều đó qua một số bài toán dưới đây

2.1 Một số dạng toán sử dụng quan hệ tương đương trên tập hợp số hữu

tỉ ở Tiểu học

2.1.1 Dạng 1 Một số bài toán về cấu tạo phân số

Bài toán 1 Tìm x để có các phân số bằng nhau ([1], Bài 153, trang

19)

x x

12

1

x

25

6 12

Cách 1 Giáo viên gợi ý cho học sinh sử dụng tính chất hai phân số bằng nhau

để giải bài toán này

x

có tử số đều bằng 12 nên hai phân số này

bằng nhau thì mẫu số phải bằng nhau

Khi đó:

Vậy x

12

x

1288

Dễ thấy mẫu số của hai phân số 8

12bằng nhau thì tử số phải bằng nhau

x

Vậy x

c) và d) tương tự phần a) và b)

Cách 2 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán trên dựa trên lý thuyết về

quan hệ tương đương

Dựa vào tính chất này, ta có thể hướng dẫn học sinh giải như sau

a)

2322Đến đây học sinh áp dụng công thức tìm thừa số chưa biết để tìm x

a) 308

78078 65065

11 28

8 48

6 6

1 1 8 8

15 90

6 6

1 1 15 15

38 22

6 6 8

1 1 38 38

97 58

Hướng dẫn giải Ở dạng bài này, giáo viên cần yêu cầu học sinh học thuộc và

ứng dụng tốt bảng nhân chia trong quá trình làm bài, đồng thời cần kiểm trathường xuyên và điều chỉnh cho học sinh

Hướng dẫn giải Đối với bài tập này, trước tiên giáo viên phải gợi cho học

sinh nhớ lại số tự nhiên có thể được viết dưới dạng phân số có mẫu số bằng 1

.6

Sau đó, ta quy đồng mẫu số phân số 6

1 để tìm các phân số mới thỏa mãn yêucầu bài toán

6 6

6 6

Một số bài toán tương tự

Bài toán 1 Viết số thích hợp vào ô trống

a) 50

75

b) 3

5

Bài toán 2 Viết số thích hợp vào ô trống

27 3

12

5472

Bài toán 3 Tìm x là số tự nhiên, biết ([1], Bài 152, trang 19)

9 27

3

7 9 63

7 35

5

9 7 6335

63

595

9

a) Phân số x

có giá trị là 4 33

b) Phân số 5

x có giá trị là

1 2

Bài toán 4 Rút gọn các phân số sau

Vậy

7

Cách 2 Quy đồng tử số hai phân số, nghĩa là biến hai phân số ban đầu thành

hai phân số mới có tử số bằng nhau Ở cách này, giáo viên cần lưu ý học sinhkhi so sánh hai phân số cùng tử số (phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏhơn)

7 5 35

5

9 3 2715

27

595

5

12

595

9

3 4

5 5

4 82

3 4 12

2 10

5

6 2 12

3 93

Bài toán 2 Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn

Hướng dẫn giải Trong bài toán này, giáo viên cần chỉ rõ muốn sắp xếp được

các phân số ta phải đưa các phân số đó thành các phân số có cùng mẫu sốhoặc tử số hoặc so sánh với số trung gian

a) Ta thấy các phân số có cùng mẫu số nên phân số nào có tử số bé hơn thì

bé hơn Do đó

1

.5

Bởi vì

812

; 9 12

310

; 12

.32

6

.20

Bài toán 3 Hãy tìm 6 phân số nằm giữa hai phân số 6

5 và

7 5

Hướng dẫn giải Muốn tìm 6 phân số nằm giữa hai phân số, ta phải quyđồng mẫu số hai phân số trên để được mẫu số lớn hơn

Ta có

nên

65

42

.35

Một số bài toán tương tự Bài toán 1 So sánh hai phân số