Ứng dụng tích descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học (KLTN k41)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN BÍCH PHƯỢNG ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

NGUYỄN BÍCH PHƯỢNG

ỨNG DỤNG TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG

TOÁN TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI, 2019

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI, 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dục Tiểuhọc - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo môi trường học tập tốt nhất để

em được rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại

Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng tích Descartes trong dạy học một số dạng toán Tiểu học”

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng gópcủa một số các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện như hiện tại

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Bích Phượng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản

thân em dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào Các tài liệu tham khảo,

trích dẫn trong khóa luận được chỉ rõ nguồn gốc trung thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Bích Phượng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Bố cục khóa luận 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số vấn đề về lịch sử 3

1.2 Một số khái niệm và kí hiệu về tập hợp.; 3

1.3 Cách xác định một tập hợp 4

1.3.1 Liệt kê các phần tử 4

1.3.2 Chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp 4

1.4 Khái niệm Tích Descartes 5

1.5 Lũy thừa Descartes 6

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH DESCARTES TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN TIỂU HỌC 7

2.1 Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán số học 7

2.2 Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán hình học 34KẾT LUẬN 39TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Chúng ta biết rằng, cấp độ của học sinh tiểu học là sự khởi

đầu cho sự phát triển trí tuệ cho trẻ Ở cấp học này, các em học sinh đã được làmquen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán ở dạng đơngiản, dễ hiểu

Tuy nhiên, sịnh viên được đào tạo trong ngành Giáo dục Tiểu học thường nghĩrằng các kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy vàhọc toán Tiểu học Thực chất, những công thức, khái niệm đó được lấy từ lýthuyết, quy tắc ở chính các bậc học cao hơn

Để minh chứng cho những suy nghĩ mang tính không chuẩn xác đó, được sựđịnh hướng của người hướng dẫn, em muốn giới thiệu về tích Descartes và ứngdụng của lý thuyết này trong việc dạy một số dạng toán Tiểu học, để hoàn thành

khóa luận chuyên ngành toán Tiểu học em chọn đề tài: “Ứng dụng tích Descartes trong dạy học một số dạng toán tiểu học” với hai mục đích

(i) Sử dụng lý thuyết này trong việc định hướng tìm lời giải của một số

dạng toán Tiểu học

(ii) Từ cơ sở định hướng ở phần trên, em đưa ra một số phương pháp

hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức của học sinh ở cấp độ này

2 Mục đích nghiên cứu Đưa ra được những cách giải toán hữu hiệu nhất khi

ứng dụng tích Descartes trong việc giải một số bài toán bậc Tiểu học

Bên cạnh đó nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo, khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh tiểu học trong khi giải các bài toán thuộc dạng này

3 Đối tượng nghiên cứu Tích Descartes và một số bài toán bậc Tiểu học được

ứng dụng tích Descartes

4 Giả thuyết khoa học Đề tài giúp giáo viên phát hiện, đưa ra được những

cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng tích Descartes, nhằmnâng cao hiệu quả dạy và học

Nghiên cứu việc ứng dụng tích Descartes trong việc dạy một số dạng toán tiểuhọc

5 Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng của tích Descartes trong việc dạy một số dạng

toán bậc tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

Phương pháp phân tích, tổng hợp

7 Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài

gồm 2 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng của tích Descartes trong việc dạy một số dạng toánTiểu học

k h o a h ọ c, n h à t o án họ c người h á p P Ông có nhiều đóng góp quan trọng ở nhiềulĩnh vực khác nhau, trong đó lĩnh vực chính là toán học Đóng góp quan trọngnhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa h ìn h h ọ c g i ả i t í c h , hệ cáctrục tọa độ vuông góc được mang tên ông Ông là nhà toán học đầu tiên phânloại được các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình đã tạo nênchúng Ông còn có những đóng góp quan trọng vào lý thuyết về các đẳng thức.Descartes cũng là người đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái

x,y,z để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ

để chỉ các giá trị đã biết Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũythừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x 2 ) Hơn nữa, chính ông đã thiết

lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm s ố ng hi ệm

â m, dương của bất cứ phương trình đại số nào

1.2 Một số khái niệm và kí hiệu về tập hợp Tập hợp được hiểu là một lớp

như: một số các vật thể; các đối tượng toán học nào đó; với những tính chấtchung để xác định được những đối tượng hay những vật thể trong đó

Người ta ký hiệu các tập hợp bằng các chữ cái in hoa A,B,X,Y, Các vật thể

hay các đối tượng của một tập hợp được ký hiệu bởi các chữ thường a,b,x,y,.

và được gọi là “ph n t ” của tập hợp đó Hai phần tử x và y của tập hợp X

giống nhau ta viết là x và nói là “ x trùng y ” Tập hợp X gồm các phần tử x,y,z, được viết là

X .}.

Ký hiệu x đọc là “ x à một ph n t thuộ t p h p X ” hoặc “ x à một ph n t ủ t p h p X ” Nếu phần tử x không thuộc tập hợp X ta ký

hiệu là x

Ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A nếu hai tập hợp này có

những phần tử như nhau Trong trường hợp, có những phần tử thuộc tập hợp A

nhưng không thuộc tập hợp B và có những phần tử thuộc tập hợp B nhưng lại

không thuộc tập hợp A thì ta nói hai tập hợp này khác nhau và viết là A

1.3 Cách ác định một tập hợp Có hai cách thông thường để xác định một tập

1.3.2 Chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp Một bộ

phận A của tập hợp X mà mọi phần tử của nó đều thỏa mãn tính chất nào đó

(gọi đó à thuộ tính đặ trưng của t p h p A ) được ký hiệu bởi

A có tính chất .

Ví dụ 3 Tập hợp các tự nhiên ch n và tập hợp các số tự nhiên lẻ được viết

tương ứng là

chia hết cho 2và

chia cho 2 dư 1 1.4

B {(a,b) | a A,b B}

{1,5};B {x,y,z}

Trong toán học,lực lượng của một tập hợp về cơ bản để hiểu một cách đơn giản

ta hình dung qua các tập hợp hữu hạn dùng đề chỉ “số phần tử” có trong tập hợpđó

Nếu A1,A2, ,

A n

là n tập hợp hữu hạn (n , khi đó số phần tử của tích

Descartes các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần

A2, , một phần tử của

| A1

Trong ví dụ 1, ta thấy | A và ta thấy| A

Tích Descartes giữa hai tập (hoặc một số hữu hạn tập) đếm được là đếm được.1.5

1.5 Lũy thừa Descartes Ta có lũy thừa bậc 2 Descartes (hay bình phương

Descartes) của tập hợp A được định nghĩa là tích Descartes của A với A

A2

Tương tự, tích Descartes bậc n được xác định như sau

A n (có n tập hợp A ở vế phải)

DẠNG TOÁN TIỂU HỌC

Đối với bậc Tiểu học, đặc biệt là về cuối cấp, ta nhận thấy rằng có rất nhiều bàitoán được giảng dạy, áp dụng triệt để liên quan đến tích Descartes Em xin minhhọa một số bài toán để làm rõ luận điểm trên

.1 Ứng dụng của tích Descartes trong dạy học một số bài toán số học

Bài toán 1 Tìm và liệt kê các số có hai chữ số chia hết cho 2

Hướng dẫn Để hướng dẫn cho học sinh giải bài toán này, giáo viên đã biết

trong hệ thập phân các số được cấu tạo từ mười chữ số là 0,1,2, 3,4,5,6,7, 8,9

Số có hai chữ số có dạng ab với chữ số hàng chục phải khác 0 Như thế,các chữ số hàng chục a là các phần tử của tập hợp

A ,5,6,7,

Căn cứ vào dấu hiệu của số tự nhiên chia hết cho 2 phải có chữ số tận cùng là0,2, 4,6, 8 hay các số có chữ số tận cùng là số ch n, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm ra được chữ số hàng đơn vị Như vậy, chữ số hàng đơn vị b

thuộc

tập hợp

B , 8}; với B

Qua việc phân tích đó, ta có thể thấy rằng các số có hai chữ số chia hết cho 2chính là số phần tử của tích Descartes của tập hợp A và tập hợp B ở trên Từ

đó, giáo viên có thể dễ dàng biết được số các số có hai chữ số chia hết cho 2 là

B 9 5 45

A (số)

Ngoài việc nắm rõ về khái niệm tích Descartes, để giúp người giáo viên có thểđịnh hình và hướng dẫn học sinh có thể biết được số các số có hai chữ số chiahết cho 2 mà còn có thể hướng dẫn các em liệt kê được đầy đủ các số mà khôngthừa cũng không thiếu qua việc biểu diễn sắp thứ tự của tích Descartes Theo đó,

{0}; 1

B

B 9 1 9

Để số đó có thể chia hết cho 2 thì số tận cùng phải là số ch n, tức là một trong các chữ số {0,2, 4,6, 8}, để số đó chia hết cho 5 thì tận cùng chỉ có thể là một trong hai chữ số {0, 5} Từ đó ta thấy để số có 2 chữ số chia hết đồng thời cả 2 và 5 thì chữ số tận cùng phải bằng 0 hay thuộc tập hợp B với B Vậy số có hai chữ số chia hết đồng thời cả 2 và 5 là lực lượng của tích Descartes A và bằng A (số) Bài toán 3 Từ các số 1,2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số gồm hai chữ số ? Hướng dẫn Để giải bài toán này, học sinh có thể tiến hành giải bằng nhiều cách khác nhau Giải bằng phương pháp liệt kê: Một cách trực quan, học sinh sẽ chọn và ghép hai số giống nhau hoặc khác nhau lại với nhau để được một số có hai chữ số Theo cách làm đó, học sinh sẽ nhận được các số như sau 11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

Bằng cách liệt kê, học sinh sẽ nhận được kết quả là 16 số có hai chữ số có thể lập được từ các số1,2, 3, 4

Ta thấy rằng, bằng phương pháp này, với các bài toán cho trước 2 đến 4 số thìviệc thực hiện có thể dễ dàng và không có sai sót Nhưng đối với các bài toán

Hướng dẫn Số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab;a Việc tạo thành số

này sẽ trải qua hai bước

Chữ số hàng chục a thuộc tập hợp

A }; với A

Chữ số hàng đơn vị b thuộc tập hợp

{1,2,

B 4 3 12

B } \ {a}; với B (do không chọn lại a )

Theo trên, ta có thể biết được các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số đôimột khác nhau có thể lập được từ các số 1,2, 3, 4 là

A (số)

Bài toán 5 Cho các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cóbốn chữ số khác nhau

Hướng dẫn Để giải bài toán này, học sinh có thể thực hiện bằng phương pháp

liệt kê: Học sinh tiến hành chọn và ghép bốn chữ số lại với nhau sao cho các chữ

số không lặp lại (các chữ số khác nhau) Bằng phương pháp đó, học sinh sẽ nhậnđược các số

hiện ta thấy rằng phương pháp này mất nhiều thời gian và việc chọn và ghép cácchữ số với nhau sẽ gây nhầm lẫn, cần sử dụng một phương pháp ngắn gọn và cótính chính xác cao hơn.

Qua việc phân tích trên, ta thấy rằng số các số tự nhiên có thể lập được từ các số

1,5,6,7 chính là phần tử của tích Descartes của tập hợp A , tập hợp B , tập hợp

C và tập hợp D Từ đó, có thể biết được số các số tự nhiên có bốn chữ số có thể

lập được từ các chữ số 1,5,6,7 là

A (số)

Bài toán 6 Cho các chữ số 2, 3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm ba chữ số khác nhau?

Hướng dẫn Để tránh trường hợp học sinh liệt kê một cách trực quan dẫn đến

việc liệt kê trùng hoặc thiếu, giáo viên nên sử dụng tích Descartes Ta thấy, số có

ba chữ số có dạng cấu trúc abc Trong đó, chữ số hàng trăm a thuộc tập hợp

Hướng dẫn Nếu học sinh tiến hành giải bài toán này bằng phương pháp liệt kê

với tập E gồm 9 chữ số thì việc liệt kê ra tất cả các số tự nhiên ch n gồm bốn

chữ số đôi một khác nhau sẽ mất nhiều thời gian hoặc xẩy ra trùng, thiếu

Đối với bài toán cho trước nhiều chữ số và yêu cầu từ những chữ số đó lập thànhmột số tự nhiên khác, ta nên áp dụng sử dụng tích Descartes vào trong giải toán

để việc giải toán không mất nhiều thời gian và độ chính xác cao

Bài toán 8 Với ba chữ số 2, 0, 5 :

a) Hãy viết các số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho 2 b) Hãy viết các số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho

5

Hướng dẫn

a) Cách 1 Bằng cách trực quan, học sinh có thể tìm được các số có ba chữ sốkhác nhau và chia hết cho 2 là

250,502,520

Vậy ta tìm được ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Cách 2 Số tự nhiên có ba chữ số có dạng abc Căn cứ vào dấu hiệu của số

tự nhiên chia hết cho 2 , đó là các số có chữ số tận cùng là 0,2, 4,6, 8 haycác số có chữ số tận cùng là chữ số ch n Đề bài đã cho trước ba chữ số 2, 0, 5 Vậy số cần tìm chia hết cho 2 là số có chữu số hàng đơn vị là 0 hoặc 2

Vì số cần tìm là số có ba chữ số mà số đó phải chia hết cho cả 5 và 9 nên chữ

số hàng trăm a và chữ số hàng chục b không thể là chữ số 1 Bởi, tổng của 1

2 2) 5 3

Vậy, số có ba chữ số vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 9 có thể lập từ các

số0,1, 4,5 là

(2 (số)

Hướng dẫn Trước tiên, giáo viên phải hướng dẫn và yêu cầu học sinh nêu được

các số tự nhiên là các số: 0,1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9 Sáu số của tờ vé số

có dạng

abcdef Trong đó, chữ số hàng trăm nghìn a thuộc tập hợp

A , 4,5,6,7, 8,9}; với A (được chọn cả số 0 đứng đầu).

Bài toán 11 Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó các chữ số cách

đều chữ số đứng giữa giống nhau ?

Hướng dẫn Giáo viên cần hướng dẫn học sinh hiểu được yêu cầu của bài toán.

Ta biết, số tự nhiên có năm chữ số có dạng abcde Chữ số đứng giữa của

abcde là c Bài toán yêu cầu các chữ số cách đều chữ số đứng giữa phải giống

nhau tức là b giống d và a giống e

Bài toán 13 Một lớp học có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một

ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ Hỏi có baonhiêu cách chọn biết mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụ

39 38 59280

Hướng dẫn Việc chọn ra ban cán sự lớp như sau

Lớp có 40 học sinh, ta kí hiệu số học sinh theo thứ tự từ 1 đến 40 : 1,2,3, , 40 Chọn một học sinh làm lớp trưởng từ 40 học sinh (trong 40 học sinh

đó em nào cũng có thể làm lớp trưởng) nên số cách chọn học sinh làm lớp trưởngthuộc tập hợp

Lớp trưởng = {1,2, 3, , 40}; với lớp trưởng = 40.{1,2,

3, , 40};

Chọn học sinh làm lớp phó thuộc tập hợp

Lớp phó = {1,2, 3, , 40} \ {lớp trưởng}; với lớp phó =

39

Chọn học sinh làm thủ quỹ thuộc tập hợp

Thủ quỹ = {1,2, 3, , 40} \ {lớp trưởng, lớp phó}; với thủ quỹ =

38

Theo trên, ta biết được có tất cả các cách chọn ban cán sự lớp gồm một lớptrưởng, một lớp phó và một thủ quỹ là

40 (cách)

Bài toán 14 An đến văn phòng phẩm mua quà tặng bạn Trong cửa hàng có ba

mặt hàng : bút, vở, thước Bút có năm loại, vở có bốn loại, thước có ba loại Hỏi

An có bao nhiêu cách chọn quà gồm một bút, một vở và một thước

Hướng dẫn Cách 1: Tổ hợp

Có năm cách chọn bút

Ứng với một cách chọn bút sẽ có bốn cách chọn vở