Trong năm học 2018 – 2019 tôi nghiên cứu và đưa vào giảng dạy một cách hệ thống cho học sinh các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng ứng với từng nội dung bài học trong SGK.. Biện
Trang 1MỤC LỤC
PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ 1
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2
III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3
IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3
VI PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4
VII GIỚI HẠN ĐỀTÀI 4
PHẦN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 5
I THỰC TRẠNG 5
1 Thuận lợi 5
2 Khó khăn 5
3 Số liệu thống kê ban đầu 5
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 6
1 Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng 6
2 Biện pháp thực hiện 8
3 Một số bài tập áp dụng 18
III KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 19
PHẦN C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 20
I KẾT LUẬN 20
II ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ 21
III KHUYẾN NGHỊ 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
Trang 2kì, bài toán có dạng tổng hợp nhiều câu hỏi, trong đó có yêu cầu chứng minh 3điểm thẳng hàng, học sinh không biết phải lập luận thế nào, phải trình bày rasao Vì không có sự định hướng tốt nên nhiều em cũng muốn bài làm của mìnhđược trọn vẹn, nhưng gặp nhiều khó khăn, suy nghĩ lan man…
Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt
để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổngquát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em những phương pháp chứngminh 3 điểm thẳng hàng và các ví dụ áp dụng đối với từng bài học, từ đó khi các
em tiếp xúc với dạng toán này, các em có thể tư duy tìm hướng giải quyết chobài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Rèn
luyện một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 7”.
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Trang bị cho học sinh lớp 7 một cách có hệ thống các phương pháp chứngminh ba điểm thẳng hàng nhằm giúp cho học sinh có khả năng giải dạng toánnày
- Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển khả năng tư duy, năng lực
tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú, say mê học tập bộ môn
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vàothực tiễn cuộc sống
Trang 3III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu nội dung dạy học, lý thuyết cũng như các bài tập áp dụng về chứngminh ba điểm thẳng hàng trong sách giáo khoa, sách giáo viên và sách nâng caotoán
- Nghiên cứu những ứng dụng của việc chứng minh ba điểm thẳng hàng trongviệc giải các bài toán có liên quan để thấy được tầm quan trọng của nội dungnày
- Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập để thấy được sự nắm bắt củahọc sinh Qua đó nhận ra những tồn tại, những sai lầm và những thiếu sót màhọc sinh thường mắc phải khi giải các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng
Từ đó tìm ra những giải pháp phù hợp nâng cao chất lượng giảng dạy
- Tìm hiểu kĩ đối tượng học sinh (qua khảo sát và thông qua giáo viên chủnhiệm) nhằm phân loại đối tượng học sinh để có biện pháp giảng dạy phù hợp
IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng cho họcsinh lớp 7
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu qua các tài liệu về phương pháp dạy học hình học nói chung vàhình học 7 nói riêng
- Nghiên cứu và hệ thống hóa các kiến thức về chứng minh ba điểm thẳng hàngtrong chương trình hình học 7
* Phương pháp thực nghiệm: Nghiên cứu qua các tiết dạy trên lớp, qua việc thựchành giải toán của học sinh và qua khảo sát
* Phương pháp tư vấn: Dự giờ, trao đổi chuyên môn, tham khảo ý kiến các đồngnghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài
Trang 4VI PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 7A3 và 7A7
- Nghiên cứu và thực hiện đề tài trong năm học 2018 - 2019
VII GIỚI HẠN ĐỀTÀI
Đề tài nghiên cứu một số phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng chohọc sinh lớp 7 và áp dụng đối với học sinh hai lớp 7A3 và 7A7 trong năm học
2018 - 2019
Trang 5 Khó khăn trong việc suy luận để tìm ra hướng giải.
Chưa biết khai thác các giả thiết nhằm tìm ra hướng giải
Thường ngộ nhận chúng đã thẳng hàng trong khi làm bài
3 Số liệu thống kê ban đầu
Trong năm học 2018 – 2019, trước khi dạy học nội dung chứng minh bađiểm thẳng hàng, tôi tiến hành khảo sát qua bài kiểm tra 45 phút và nhận
được kết quả như sau: (Có minh chứng ở phần phụ lục)
Lớp Số HS Điểm dưới 5 Điểm 5 – 7 Điểm 8 - 10
Số lượng % Số lượng % Số lượng %
Trang 6Kết quả trên cho thấy khả năng giải các bài toán chứng minh ba điểm thẳnghàng của học sinh chưa tốt Một phần do đây là dạng khó đối với các em họcsinh lớp 7, một phần do trong SGK ít đề cập đến vấn đề này, học sinh chưa đượcdạy một cách có hệ thống về các phương pháp cũng như ví dụ minh họa ở từngphương pháp cho dạng toán này Cũng chính vì những nguyên này mà khi giảicác bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng học sinh rất lúng túng, dễ mắc sailầm trong quá trình giải.
Từ thực trạng trên tôi luôn trăn trở và cố gắng tìm ra giải pháp để giảng dạycho học sinh nội dung này một cách có hiệu quả nhất Trong năm học 2018 –
2019 tôi nghiên cứu và đưa vào giảng dạy một
cách hệ thống cho học sinh các phương pháp
chứng minh ba điểm thẳng hàng ứng với từng
nội dung bài học trong SGK Mong rằng
những giải pháp thiết thực này sẽ giúp các em
có kỹ năng chứng minh ba điểm thằng hàng một cách tốt hơn và linh hoạt hơn
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp 1: D ựa và o đ ịnh ngh ĩa góc bẹ t để c hứ ng mi nh ba đ iể m t hẳ ng
hà ng
^ABC=180 °
A, B, C thẳng hàng
Phương pháp 2: Dựa vào tiên đề Ơclit
Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng song song với 1 đườngthẳng cho trước
Trang 7Phương pháp 4: C hứ ng mi nh ba điể m c ùng t hu ộc t ia p hâ n giá c c ủa một góc
Tia OA là tia phân giác của ^xOy
Tia OB là tia phân giác của ^xOy
A, O, B thẳng hàng
Mỗi góc chỉ có một tia phân giác.
Phương pháp 5: C h ứ ng m i nh ba đ i ể m c ùng t h u ộc đ ư ờ ng t r ung t r ự c c ủ a m ột đo
G là trọng tâm của ABC
AM là đường trung tuyến của ABC
A, G, M thẳng hàng
Phương pháp 7: Áp dụng định lí trong một tam giác, đ ư ờ ng p h â n g i á c thì đ i q u a gi
a o đ i ể m c hung c ủ a chúng
I là giao điểm 2 đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và C
AD là phân giác của ^A
A, I, D thẳng hàng
Phương pháp 8: Áp dụng định lí trong một tam giác, đườ ng ca o t hì đi q ua tr ực
tâ m
H là trực tâm của ABC
BE là đường cao của ABC
Trang 8 B, H, E thẳng hàng
Phương pháp 9: Áp dụng đường trung trực của tam giác phải đi qua giao điểm chung của chúng
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AB và AC
MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC
O, M, N thẳng hàng
Phương pháp 10: Chứng minh hai tia OA và OB cùng nằm trên một nửa mặt
phẳng bờ chứa tia Ox, ^xOA=^ xOB=α °
O, A, B thẳng hàng
2 Biện pháp thực hiện
Để giúp các em có sự định hướng tốt trong khi tìm tòi cách giải, tôi nghĩchúng ta có thể giúp các em làm quen với bài toán “chứng minh ba điểm thẳnghàng” ngay từ đầu chương trình toán 7 bằng cách chúng ta vẫn dạy theo đúngnội dung bài học, nhưng trong các tiết luyện tập, chúng ta chọn những bài tậpnhỏ, đơn giản, dễ nhìn, những bài tập này vừa vận dụng kiến thức đã học vừagiúp chúng ta giới thiệu cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, mỗi lần một ít –dần dần học sinh sẽ quen và khi gặp những bài toán tổng hợp, phức tạp, học sinh
có thể tự tìm được hướng đi và từ đó giải quyết được yêu cầu của đề bài
Ngay từ bài 1: “ Hai góc đối đỉnh” , ta có thể lồng vào bài toán yếu tố
“chứng minh 3 điểm thẳng hàng” như sau:
Bài toán 1: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ
tia OB sao cho ^AOB=45 ° Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho ^AOC =
90° Gọi OB’ là tia phân giác của ^A ’OC
Trang 9^BOB ’ = ^BOA + ^AOC + ^COB ’ = 45° + 900 + 450 = 1800
Vậy 3 điểm B, O, B’ thẳng hàng
b) Dễ dàng chứng minh được ^AOBvà ^A ’OB' là hai góc đối đỉnh và ^AOB= ^A ’OB '
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập về: Tính số đo góc, chứng minh 2góc đối đỉnh, tính chất 2 góc đối đỉnh Nhưng qua đó, các em biết cách chứngminh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1
Bài: “ Hai đường thẳng vuông góc” , ta chọn bài tập sau:
Bài toán 2: Cho góc vuông AOB và tia OC nằm trong góc đó Vẽ tia OM sao
cho tia OA là tia phân giác của COM^ Vẽ tia ON sao cho tia OB là tia phân giáccủa CON^ Chứng minh: 3 điểm M, O, N thẳng hàng
Giải:
OA là tia phân giác của COM^ COM^= 2 COA^
OB là tia phân giác của CON^ CON^ = 2 COB^
^
MON = COM^ + CON^ = 2 COA^ + 2 COB^
= 2.(COA^ + COB^) = 2 ^AOB = 2 900 = 1800
Vậy 3 điểm M, O, N thẳng hàng
Trong bài tập này, học sinh được luyện tập về tia phân giác 1 góc; tính số đogóc, vẽ góc vuông và qua đó, các em chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vàophương pháp 1
Bài: “ Hai đường thẳng song song” , ta chọn bài tập sau:
Bài toán 3: Cho 2 góc ^AOM và ^MOB kề bù (theo hình vẽ) Vẽ tia MC sao cho 2 góc CMO^, ^MOA so le trong và bằng nhau Vẽ tia MD sao cho 2 góc ^DMO, ^MOB
so le trong và bằng nhau Chứng minh: C, M, D thẳng hàng
Giải: Vì CMO^ và ^MOA là cặp góc so le trong bằng nhau
Trang 10Trong bài toán này, học sinh luyện tập chứng minh 2 đường thẳng song song
và qua đó biết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 2
Bài: “Định lý ”, học sinh làm bài trắc nghiệm sau:
Bài toán 4: Điền vào chỗ chấm (…) sao cho thích hợp:
a) Nếu đường thẳng AB và CD cùng song song với đường thẳng xy thì
Học sinh kết luận A, B, C thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2)
Và kết luận E, F, H thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
Bài “Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh(c.c.c)”, ta chọn bài tập sau:
Bài toán 5: Cho ABC có AB = AC Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
sao cho MB = MC, N là trung điểm BC (theo hình vẽ)
Chứng minh : a) AM là tia phân giác của ^BAC
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng
Giải: a) ∆BAM = ∆CAM (c.c.c) ^BAM = CAM^
AM là tia phân giác ^BAC (1)
b¿∆ BAN = CAN (c.c.c) ^BAN = CAN^
AN là tia phân giác ^BAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng
A
M
Trang 11Trong bài toán này, học sinh được luyện tập chứng minh 2 tam giác bằngnhau (c.c.c) và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4.
Bài: “Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh(c.g.c)”, ta chọn các bài tập sau:
Bài toán 6: Cho ABC, M là trung điểm BC Vẽ AD // BM và AD = BM (M và
D khác phía đối với AB), I là trung điểm AB Chứng minh: M, I, D thẳng hàng Giải: Xét AID và BIM có:
AD = BM (gt)
IA = IB ( I là trung điểm của AB)
^
DAI= ^IBM ( 2 góc so le trong – AD // BM)
AID = BIM (c.g.c) µI1 =µI2 (2 góc tương ứng)
Bài toán 7: Cho ABC, gọi D và E lần lượt là trung điểm AC, AB Trên tia đối
của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB Trên tia đối của tia EC lấy điểm Nsao cho EN = EC Chứng minh: A, M, N thẳng hàng
Trang 12Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng (Tiên đề Ơclit).
Bài toán 8: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi
đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.Giải:
AOD = COB (c.g.c)nên DAO OCB
AB = BM ( B là trung điểm AM)
Vậy DAB = CBM (c.g.c) Suy ra ABD BMC Do đó BD // CM (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng
Trong các bài toán 7 và 8, học sinh vẫn được luyện tập chứng minh 2 tamgiác bằng nhau (c.g.c), chứng minh 2 đường thẳng song song và cách chứngminh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2 – Tiên đề Ơclit)
Bài toán 9: Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC Vẽ AH BC (H BC).Trên DE lấy điểm K sao cho BH = DK Chứng minh: A, H, K thẳng hàng
C B
M
N
Trang 13Ta có: AK BC (cmt); AH BC (gt)
A, H, K thẳng hàng
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập chứng
minh tam giác bằng nhau (c.g.c), sử dụng kiến thức về
2 đường thẳng song song, quan hệ giữa tính vuông
góc và tính song song của hai đường thẳng, ôn lại
cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào phương
pháp 3)
Bài toán 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx
vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Trên tia
Cx lấy điểm D sao cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Giải: AMB = CMD (c.g.c)
Suy ra: AMB DMC (2 góc tương ứng)
Mà AMB BMC 1800 (kề bù) nên BMC CMD 1800Þ BMD· =180°
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau(c.g.c) và chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 1 – góc bẹt)
Bài “Tam giác cân ”, ta chọn bài toán sau:
Bài toán 11: Cho ABC có ^A = 60° Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giácđều ABM và CAN Chứng minh rằng:
b) ∆ABN = ∆AMC(c.g.c) BN = CM ( 2 cạnh tương ứng) (đpcm)
Trong bài toán này, học sinh được củng cố kiến thức về tam giác đều, chứngminh hai tam giác bằng nhau (c.g.c) và chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vàophương pháp 1
A
N
C B
x
D M
B
Trang 14Bài toán 12: Cho ABC vuông cân tại A Vẽ ra ngoài ABC tam giác cân
BCM có đáy BC và góc ở đáy 15° Vẽ tam giác đều ABN (N thuộc nửa mặtphẳng bờ AB có chứa C Chứng minh: Ba điểm B, M, N thẳng hàng
Giải: Vì ABC vuông cân tại A nên ^ABC = 45°
^ABM = ^ABC + CBM^ = 45° + 15° = 60°
ABN đều ^ABN = 60°
Trên cùng nửa mặt phẳng, có bờ là đường thẳng AB
có: ^ABM = 60°, ^ABN =60°
Vậy B, M, N thẳng hàng
Trong bài này, học sinh được luyện tập về tam giác cân, đều, vuông cân
và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 10
Bài “ Tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác ”, ta chọn bài tập sau:
Bài toán 13: Cho ABC có AD là trung tuyến Trên AD lấy 2 điểm I và K sao
cho AI=IK=KD Gọi F và E lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh:
Mà BE, CF là đường trung tuyến của ABC nên BE, CF đi qua trọng tâm K Vậy B, K, E thẳng hàng; C, K, F thẳng hàng
Bài toán 14: Cho ABC vuông tại A, có BC = 10cm, AC = 8cm Lấy điểm M
trên AB sao cho BM = 4cm Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N làtrung điểm BD Chứng minh: ba điểm C, M, N thẳng hàng
Giải: Học sinh tính được AB = 6cm (áp dụng định lý Py-ta-go)
A
N
C B
M
Trang 15Vậy M là trọng tâm của DBC
Vì N là trung điểm BD suy ra CN là đường trung tuyến của BDC
Đường trung tuyến CN phải đi qua trọng tâm M Vậy C, M, N thẳng hàng Trong các bài toán trên, học sinh luyện tập về tính chất 3 đường trung tuyếntrong tam giác và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 6(trong tam giác, đường trung tuyến phải đi qua trọng tâm)
Bài “Tính chất tia phân giác của 1 góc ”, ta chọn bài tập sau:
Bài toán 15: Cho ABC cân tại A, gọi D là trung điểm BC Từ D vẽ DE AB,
DF AC (E AB; F AC)
a) Chứng minh: DEF cân
b) Vẽ BH // DF, CK // DE (H AC ; K AB), BH cắt CK tại I
Chứng minh: A, I, D thẳng hàng
Giải:
a) Dễ dàng chứng minh ∆BDE = ∆CDF ( cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra DE = DF (2 cạnh tương ứng) Vậy ∆≝¿ cân tại D
b) Chứng minh: A, I, D thẳng hàng:
DE AB; DF AC (gt)
DE = DF (cmt)
Suy ra: D thuộc tia phân giác của ^BAC (1)
Ta c/m IH = IK Dễ thấy ∆HCB= ∆KBC (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra ^HBC=^ HCB Þ ∆ICB cân tại I nên IB = IC
Þ ∆KBI= ∆HCI (cạnh huyền – góc nhọn) Þ IK = IH
Vì IK AB, IH AC (do CK // DE, DE AB; BH // DF, DF AC)
D
H F K
