Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học

Ở đây tôimuốn đề cập đến việc giảng dạy phân môn hình học với những yêu cầu nhằmphát huy khả năng nhận thức của học sinh, đó là yêu cầu vẽ yếu tố phụ trong quátrình giải các bài tập hình

MỤC LỤC

PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ 1

I- Lý do chọn đề tài 1

II- Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và thời gian nghiên cứu 2

1 Mục đích chọn đề tài: 2

2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Thời gian nghiên cứu 2

III- Phương pháp nghiên cứu 3

PHẦN B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4

I- Cơ sở lý luận 4

II- Các giải pháp và biện pháp thực hiện 4

1 Giải pháp thực hiện 4

2 Kiến thức cần truyền đạt 5

3 Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ 5

4 Các cơ sở để xác định đường phụ 6

5 Một số bài toán và phương pháp giải 6

III- Hiệu quả áp dụng 25

PHẦN C - KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 26

I- Kết luận 26

II- Khuyến nghị 27

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

Ngoài những thuận lợi, tạo điều kiện tốt cho việc bồi dưỡng nâng cao chấtlượng học sinh, vẫn còn những vấn đề cần lưu ý về mặt phương pháp Ở đây tôimuốn đề cập đến việc giảng dạy phân môn hình học với những yêu cầu nhằmphát huy khả năng nhận thức của học sinh, đó là yêu cầu vẽ yếu tố phụ trong quátrình giải các bài tập hình học Việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho bài toán trở nên

dễ dàng hơn, thuận lợi hơn Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm rađược lời giải bài toán Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để cho bài toán

có lời giải ngắn gọn và hay là vấn đề khiến cho chúng ta phải đầu tư suy nghĩ

Kinh nghiệm cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽthêm yếu tố phụ mà là cả một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽthêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải bài toán mộtcách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêmyếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình

cơ bản

Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh còn rất lúngtúng khi đứng trước bài toán chứng minh hình học, nhất là những bài toán cầnphải kẻ thêm đường phụ Các em chưa định hướng được vấn đề, đôi khi cònchưa biết phải bắt đầu từ đâu, vẽ đường phụ như thế nào? Có cơ sở nào giúp các

em tìm ra hướng đi cho việc kẻ thêm hình mỗi khi chưa tìm ngay ra lời giải củabài toán

Thiết nghĩ đây là vấn đề rất trăn trở, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi toán của người giáo viên Không chỉ là định hướng và rèn luyện cho các

em, mà thực sự đây còn là cách để rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh,nâng cao khả năng suy luận logic, khả năng vận dụng tri thức vào thực tiễn

Với mục đích như vậy, tôi đã viết và áp dụng sáng kiến với đề tài: “Một

số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thứchình học”

II- Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và thời gian nghiên cứu

1 Mục đích chọn đề tài:

Đề tài này nhằm giúp học sinh THCS, đặc biệt là học sinh khá, giỏi cóphương pháp và phương hướng để giải quyết các bài toán về chứng minh đẳngthức hình học Đồng thời qua đề tài giúp học sinh được rèn luyện, củng cố mộtcách vững chắc kiến thức, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày lời giải đặc biệt là

có tư duy vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải các bài toán hình học

Đề tài này chính là nguồn tư liệu bổ ích phục vụ cho các thầy cô giáo trongviệc định hướng và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS, nguồn tư liệu chocác em học sinh khá – giỏi

Ngoài mục đích trên, đề tài có thể coi như một giải pháp góp phần thựchiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tậpcủa học sinh

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tiến hành nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thực hiện qua 6nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của biện pháp rèn kỹ năng phân tích tìm lời giảihình học

- Nghiên cứu phương pháp dạy học, nghiên cứu chương trình và SGK,SBT, các tài liệu tham khảo

- Phân tích thực trạng và kết quả giảng dạy môn hình học

- Đưa ra các biện pháp rèn kỹ năng phân tích tìm lời giải và khai thác bàitoán hình học

- Vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong công tác giảng dạy môn hìnhhọc tại đơn vị nhà trường

- Rút kinh nghiệm và đánh giá kết quả đạt và chưa đạt trong quá trình vậndụng thực tế của sáng kiến kinh nghiệm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ giải dạng toánchứng minh đẳng thức hình học

- Giáo viên giảng dạy Toán cấp THCS và học sinh THCS

4 Thời gian nghiên cứu

Thời điểm từ tháng 8 năm 2017 đến tháng 3 năm 2018

III- Phương pháp nghiên cứu

- Khảo sát thực tiễn.

- Phân tích, tổng hợp khái quát hóa

- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu

- Vận dụng thực hành trong giảng dạy

- So sánh, tổng kết

PHẦN B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I- Cơ sở lý luận.

Khi giải các bài toán hình học, việc vẽ thêm hình phụ tạo điều kiện thuậnlợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thíchhợp không phải là dễ Trong đề tài này tôi muốn đưa ra một cách phân tích cóchủ ý để tìm được cách vẽ thêm hình phụ thích hợp khi giải quyết một số bàitoán chứng minh đẳng thức hình học dạng: x = a + b; xy = ab + cd; x2 = ab + cd;

x2 = ab – cd; x2 = a2 + cd; x2 = a2 + b2

Ta xuất phát từ một bài toán đơn giản:

Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng khác, chẳng hạn:

AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn bởi điểm Ksao cho AK = CD, công việc còn lại là chứng minh KB = EF

Ý tưởng trên cũng được sử dụng để chứng minh đẳng thức: xy = ab + cd

và các dạng: x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + c2 v.v… như sau:

Bước 1: Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn bởi điểm chia K để có

x = x1 + x2 sao cho x1y = ab (1)

Trong từng giải pháp vẽ thêm yếu tố phụ, sau mỗi suy luận giáo viên đưa

ra cách vẽ yếu tố phụ hợp lý và đơn giản nhất cần chọn lọc những bài tập tương

tự cho học sinh tập suy luận và độc lập tư duy, tìm tòi sáng tạo để tìm ra lời giảihay nhất

II- Các giải pháp và biện pháp thực hiện.

- Tăng cường các hoạt động tìm tòi, dự đoán tiếp cận lời giải

- Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản vàogiải quyết các vấn đề có liên quan

2 Kiến thức cần truyền đạt

Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện được khả năng sáng tạo, rènluyện cách khai thác và phân tích tìm tòi lời giải bài toán chứng minh đẳng thứchình học Trong đề tài này do khuôn khổ giới hạn tôi chỉ đưa ra một số bài tậpđiển hình xuất phát từ ý tưởng phân tích tìm tòi cách vẽ thêm yếu tố phụ trongchứng minh đẳng thức từ ví dụ đơn giản để học sinh ứng dụng xác định yếu tốphụ để giải các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

3 Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.

a Vẽ đường phụ phải có mục đích:

Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh được bài toán Muốn vậy

nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoántheo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có vớiđiều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm Do đó không được vẽ đườngphụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ khônggiúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khóthêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy, khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lờicâu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?" Nếu

"không" nên loại bỏ ngay

b Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.

c Lựa chọn cách dựng đường phụ thích hợp

Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đườngphụ là rất quan trọng Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cáchdựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

d Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở chương trình THCS.

- Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng:

- Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý

- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đãxác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xácđịnh.

- Dựng đường phân giác của một góc cho trước

- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đườngthẳng khác một góc bằng góc cho trước

- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước

- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung

- Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung hoặcđường nối tâm

Vẽ tia đối của một tia

Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến, trung bình, phângiác, đường cao)

- Đường phụ là đường tròn:

+ Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có+ Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có

+ Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác

Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần phândạng được các bài toán Hình mà lời giải có sử dụng đường phụ

b Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý

để giải quyết Bài toán

c Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mốiquan hệ để giải quyết Bài toán

d Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng

e Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đềtương đương để giải quyết Bài toán

5 Một số bài toán và phương pháp giải

Bài toán 1

Cho ABC, M là 1 điểm bất kỳ trong tam

giác Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối

K H

M A

A'

B' C'

K C

H F

B

E A

diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’;A’C’ tại K và H Chứng minh rằng: MK= MH?

Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả Ta chú ý đến giảthiết của bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song Giả thiết củađịnh lý nào gần với nó nhất?

Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet

- Ở đây KH // BC Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ?

- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC

- Cần phải xác định thêm các điểm nào?

- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC

Ta có lời giải như sau

Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q

Ta có: Theo Hệ quả định lý Talét ta dễ chứng minh được:

AC2 = AB.AE + AD.AF

*Phân tích: Để chứng minh đẳng thức AC 2 = AB.AE + AD.AF ta vẽ thêm điểm

K thỏa mãn điều kiện:

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống AC (vì BAC,BCA   < 90o nên

 AB.AE + AD.AF = AK.AC + CK.AC

= (AK + CK).AC = AC.AC = AC2Vậy: AC2 = AB.AE + AD.AF (đpcm)

B

ài toán 4

Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc cạnh BC Kẻ MD  AB( DAB),

kẻ ME  AC ( EAC), kẻ BH  AC ( HAC) CMR: MD + ME = BH

*Phân tích: Lấy điểm KBH sao cho BK = MD Vì

cạnh MD là cạnh góc vuông trong MDB vuông tại

D nên đoạn thẳng BK cũng phải là cạnh góc vuông

của BKM Từ đó K phải là chân đường vuông góc

vị trí của nó

K

H E D

B

A

Áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác

vuông MHO và MKO ta được MH > MK

AC ABC

tg



 2

BC AB

AC BC

AB

DC AD AB

AD BC

Do đó:

BC AB

AC ABC

tg



 2

Bài toán 8

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O;R), AH là đường cao

Chứng minh rằng BAC và HAO có cùng một tia phân giác

Lời giải:

Vẽ tia phân giác Ax của HAO, vẽ đường kính AD

Ta chứng minh: BAH = DAC

Có: ACD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 DAC + ADC = 900 (1)

Trong tam giác vuông AHB: BAH + ABH = 900 (2)

Lại có: ABC = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Hay ABH = ADC (3)

Hướng dẫn giải:

+ Vẽ tiếp tuyến chung xAy

+ Xét (O’) có yAE = ADE (cùng chắn cung AE)

+ Xét (O) có yAC = ABC (cùng chắn cung AC)

Suy ra ADE = ABC  BC // DE

B H C A

c

O’

O

F I

D E

C B

BC nên ABC vuông tại A

Suy ra: BAC = 900

Bài toán 11

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c nội tiếp đường tròn (O; R), AH

là đường cao của tam giác ABC, AH = ha Chứng minh rằng bc = 2Rha

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O D là một điểm trên cung

BC không chứa đỉnh A Gọi I, E, F lần lượt là hình chiếu của D trên các đườngthẳng BC, AB, AC Chứng minh rằng: BC AB AC= +

C

+ Bước 3: Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

*Lời giải: Lấy K trên cạnh BC sao cho: CDK ADB   

hay: BC AB AC= +

*Nhận xét: Khi phân tích tìm tòi lời giải bài toán chứng minh đẳng thức dạng

“Tổng hai tỉ số bằng tỉ số thứ ba” ta nên xây dựng các câu hỏi định hướng sau:

+ Tỉ số này viết được về dạng tổng của hai tỉ số nào?

+ Trong các tỉ số đó ta đã có hai tỉ số nào bằng nhau?

+ Để có đẳng thức ta phải chứng minh thêm điều kiện gì?

Từ hệ thống câu hỏi trên, học sinh thảo luận phân tích tìm tòi hướng giải

=> tam giác PCK đồng dạng với tam giác PBA => CPK=BPA 

Vậy K phải thuộc PB

Như vậy điểm phụ K cần xác định chính là giao điểm của PB và AC

*Lời giải: Gọi K là giao điểm của PB và AC.

PAK=PBC ( góc nội tiếp cùng chắn cung CP);

P

K O

D

C B

A

APK=CPB ( hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Từ đó tạo ra các vuông EAM, FMC, EBM,

FMD và hai hình chữ nhật AEFD, EBCF

Dựa vào định lí Pi-ta-go thành lập các hệ thức sẽ giúp ta tìm ra lời giải của bàitoán

*Lời giải:

+ Vẽ ME AB, E AB, EM cắt DC tại F

+ Tứ giác AEFD là hình chữ nhật nên EA = FD

+ Tứ giác EBCF là hình chữ nhật nên EB = FC

+ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào các  vuông

Cho ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác Biết

* Nhận xét: Nhờ tạo ra tam giác vuông và đưa đoạn thẳng cần tính (AB) trở

thành một cạnh của tam giác vuông để tính độ dài các cạnh của nó Từ đó tínhđược độ dài AB Thông qua hệ thức lượng trong tam giác, lập được mối liên hệgiữa độ dài đã biết với độ dài cần tính giúp ta giải được Bài toán

Chú ý: Cần biết kết hợp và sử dụng kiến thức đại số vào giải các bài toán hình học.

KBA đồng dạng với ABC nên BKA=90  0 Từ đó, K

là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống cạnh BC

*Lời giải:

Kẻ AK  BC Vì các góc B, C đều nhọn nên K

BC

+ KBA và ABC có: BKA=BAC=90   0; B chung

 KBA đồng dạng với ABC (g.g)

B

A

+ KAC và ABC có: AKC=BAC=90   0; C chung

 KAC đồng dạng với ABC (g.g)

*Nhận xét: Vì ABC vuông tại A Do đó, để KBA đồng dạng với ABC thì

điểm K cần xác định chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống cạnh BC

Do đó: ABK=ADC   Như vậy ta xác định được

điểm K

*Lời giải: Trên AD lấy điểm K sao cho:

+ ABK và ADC có: ABK=ADC   ; BAK=CAK  

(AD là phân giác của góc A)

 ABK đồng dạng với ADC (g.g)

Hay: AD2 = AB.AC - BD.DC (đpcm)

*Nhận xét:

1) ABK và ADC đã có BAD=CAD  ( do AD là phân giác của góc A), để hai

tam giác này đồng dạng với nhau ta cần tìm thêm một cặp góc bằng nhau (ABK=ADC  ) Do đó, điểm phụ K thuộc AD sao cho ABK=ADC 

K

B

A

2) Nếu AD là đường phân giác ngoài của góc A ( D  BC) thì ta có hệ thức:

với ACB => ABK=ACB 

Vậy ta xác định được điểm K

*Lời giải: Lấy K  AC sao cho ABK=ACB 

+ ABK và ACB có:ABK=ACB  ; A chung

+ CBK và ACD có: KCB=CAD   (so le trong); CBK=ACD  

*Nhận xét: ABK và ACB đã có chung góc A, để hai tam giác này đồng dạng

với nhau ta cần tìm thêm một cặp góc bằng nhau (ABK=ACB   ) Do đó, điểm phụ

K thuộc AC sao cho ABK=ADC  

Bài toán 19

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O

Chứng minh rằng: AC.BD = AB.CD + AD.BC

A

Vì ABC>DBC   nên trên đoạn AC lấy điểm K sao cho ABK=DBC  

+ABK và DBC có:ABK=DBC   ; BAK=BDC   (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) => ABK đồng dạng với DBC (g.g)

AK AB

CD BD

  (1) + Vì ABK=DBC   => ABK+KBD=KBD+DBC     hay ABD=CBK  

+ BCK và BDA có: BCK=BDA   (góc nội tiếp cùng chắn cung AB);

Hay: AC.BD = AB.CD + BC.AD (đpcm)

*Nhận xét:

1) ABK và DBC đã cóBAK=BDC   (góc nội tiếp cùng chắn cung BC), đểhai tam giác này đồng dạng với nhau ta cần tìm thêm một cặp góc bằng nhau (

ABK=DBC) Do đó, điểm phụ K thuộc AC sao cho ABK=DBC  

2) Từ lời giải và kết quả của bài toán, ta giải được các bài toán hay và khósau:

Bài 1: Trong các tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), hãy tìm tứ giác có

tổng: AB.CD + AD.BC lớn nhất

Bài 2: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC  AC.BD Dấu

đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 3: Qua đỉnh B và C của tam giác ABC, vẽ tiếp tuyến với đường tròn ngoại

tiếp tam giác, chúng cắt nhau tại M Gọi N là trung điểm của cạnh BC Chứngminh rằng: BAM=CAN  

Bài toán 20

Cho tam giác ABC có: 3.A+2.B=180  0

Chứng minh rằng: AB2 = BC2 + AB.AC