100 bài toán thực tế liên quan đến hình học

Diện tích tam giác là: Diện tích xuang quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng vàr có đọ dài đường sinh b ng là: ằ l S xq rl... tròn tr ừ đi diện tích tam giác ABC xem hình

Bài toán th c t ự ế liên quan đế n hình h c ọ

1 Công th c tính chu vi, di n tích c a các hình, th tích c a các kh ứ ệ ủ ể ủ ố i hình.

 Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt

a BC b CA c AB h AH   

Chu vi tam giác là: P a b c   

Diện tích tam giác là:

Diện tích xuang quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng vàr

có đọ dài đường sinh b ng là: ằ l S xq rl

Diện tích toàn ph n c a hình nón tròn xoay b ng di n tích xung quanh cầ ủ ằ ệ ủa

Thể tích c a kh i tr có chi u cao ủ ố ụ ề h và có bán kính đáy bằng r là: V r h .2

Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứ ng và khối lăng trụ đứng (như hình vẽ)

h

l r

r

Hoàng Mạnh Quân

 Cho hàm số y ax bx c 2  ,n u ế a 0 thì hàm s ố đã cho đạt giá tr nh ị ỏnhất trên khi

2

b x

a b

 Với , ,a b c là các s ốthực dương thì ta có: 3 ( ) 3

3 27

AM GM a b c a b c abc    abc   Đẳng th cứ

x y ra khi ả a b c 

Phần chứng minh xin để ạ l i cho bạn đọc

3 ng d ng c a tích phân trong vi c tính di n tích hình ph ng, tính th tích c a kh Ứ ụ ủ ệ ệ ẳ ể ủ ố i tròn xoay.

 N u hàm s ế ố y f x ( ) liên tục trên đoạn  a b; thì di n tích c a hình ph ng gi i h n b i cácệ S ủ ẳ ớ ạ ởđường : y f x y  ( ), 0,x a x b  ,  là b ( )

a

S  f x dx

 Diện tích cS a hình ph ng gi i h n bủ ẳ ớ ạ ởi đồ ị th các hàm s ố y f x y g x  ( ),  ( ) liên tục trên đoạn

 a b; và hai đường th ng ẳ x a x b ,  là b ( ) ( )

a

S  f x g x dx

 Cho hàm s ố y f x ( ) liên t c trên ụ  a b; Thể tích c a kh i tròn xoay t o b i hình ph ng giV ủ ố ạ ở ẳ ới

h n bạ ởi các đường : y f x y  ( ), 0,x a x b  ,  , khi quay xung quanh trục hoành được tính theocông th c : ứ b 2( )

a

V g x  f x dx

R

Hoàng Mạnh Quân

B Ví d minh ho ụ ạ

Ví d 1.ụ Một đường dây điện được n i t ố ừ nhà máy điện trên b bi n v trí n v trí trên m t hòn ờ ể ở ị A đế ị C ộ

đảo Kho ng cách ng n nh t t ả ắ ấ ừCđến đất liền là đoạn BC có độ dài 1 km, kho ng cách t n là 4 ả ừA đế B

km Người ta ch n m t v ọ ộ ị trí là điểm S n m gi a Aằ ữ và mBđể ắc đường dây điệ ừn t A n , rđế S ồ ừ đếi t S n

C như hình vẽ dưới đây Chi phí mỗi km dây điện trên đất li n m t 3000USD, mề ấ ỗi km dây điện đặt ngầm dưới bi n m t 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít ể ấ

nh ất

L i gi i ờ ảGiả ử s AS x ,0   x 4 BS 4 x

T ng chi phí mổ ắc đường dây điện là: f x ( ) 300  x500 1 (4  x) 2

Bài toán tr thành tìm giá tr l n nh t cở ị ớ ấ ủa ( )f x trên (0;4)

Cách 1: Ta có:

2

13(4 ) 9 4

'( ) 0 300 500 0 3 1 (4 ) 5(4 ) ( 4)

1916

1 (4 )

4

x x

Cách 2:

Ta có: f(3,25) 1600; (1) 1881,13883; (2) 1718,033989; (1,5) 1796,291202. f  f  f 

Như vậy ta cũng tìm ra A là đáp án

Bình lu n: ậ Không ít bạn đọc cho r ng cách gi i th ằ ả ứ hai không được khoa h c và làm mọ ất đi vẻ

đẹp c a toán h c ủ ọ Quan điểm c a tác gi v Cách 1 và Cách 2 ủ ả ề như sau:

 C ả hai cách đều ph i tìm giá tr l n nh t cả ị ớ ấ ủa ( )f x trên (0;4)

 Cách 1: Chúng ta gi i quy t b ng cách kh o sát hàm s ả ế ằ ả ố f x trên kho ng ( ) ả (0;4) tìm rađểgiá tr cị ủa x mà tại đó ( )f x đạt giá tr l n nh t; ti p theo, so sánh k t qu ị ớ ấ ế ế ả tìm được v i cácớđáp án A, B, C, D để tìm ra câu tr lả ời đúng cho câu hỏi

 Cách 2: Sau khi lập được hàm s ố f x( ) như Cách 1, tính f(3,25), (1), (2), (1,5);f f f số

l n nh t trong b n s ớ ấ ố ố tính đượ ẽc s là giá tr l n nh t cị ớ ấ ủa ( ).f x T ừ đó, hiển nhiên, d dàngễtìm ra câu tr lả ời đúng cho câu hỏi

 Có th ểthấy, rõ ràng Cách 2 giúp ta tìm đáp án nhanh hơn cách 1 Sự khác bi t gi a Cách 1ệ ữ

và Cách 2 nêu trên nằm ở quan ni m v tình huệ ề ống đặt ra V i Cách 1, ta coi ớ các phương

Hoàng Mạnh Quân

án A, B, C, D là chỉ các d ữliệu đưa ra để đố i chi uế ; v i Cách 2, ta coi ớ các phương án

A, B, C, D gi thi t c a tình hu là ả ế ủ ống đặt ra

 Có l nh ng bài t p c nghi m có th ẽ ữ ậ trắ ệ ể làm theo Cách 2 đôi phần là h n ch c a vi c kiạ ế ủ ệ ểmtra theo hình th c tr c nghi m, tuy nhiên trong quá trình làm bài thi m i câu hứ ắ ệ ỗ ỏi đã đượcngười ra đề đã ngầ ấn địm nh kho ng th i gian làm bài, do v y theo tác gi n u g p câu hả ờ ậ ả ế ặ ỏinày trong phòng thi h c sinh nên làm theo Cách 2.ọ

Ví d 2.ụ M t c a s có dộ ủ ổ ạng như hình vẽ, bao g m: m t hình ch nh t ghép v i n a hình tròn có tâm ồ ộ ữ ậ ớ ử

n m trên c nh hình ch nhằ ạ ữ ật Bi t r ng chu vi cho phép cế ằ ủa c a s là 4 m Hỏ ệủ ổ i di n tích l n nh t c a c a ớ ấ ủ ử

Bình lu n: ậ Vì sao t i (1) chúng ta không bi u di n theo mà l i bi u di n theo ạ ể ễ a b ạ ể ễ b a? Đâu đó có

bạn đọc nghĩ rằng vi c bi u di n theo hay bi u di n theo ệ ể ễ a b ể ễ b a thì các bước làm v n v y và không nh ẫ ậ ảhưởng đến quá trình làm bài Liệu điều này có đúng? Câu trả ờ l i là không? Chúng ta bi t r ng c a g m ế ằ ử ồhai b ph n (b ph n hình ch nh t và b ph n có d ng nộ ậ ộ ậ ữ ậ ộ ậ ạ ửa đường tròn), nhưng cả hai b ph n này khi ộ ậtính diện tích đều ph i tính theo ả a Như vậ ếy n u chúng ta bi u di n theo thì vi c tính toán s ph c t p ể ễ a b ệ ẽ ứ ạhơn khi biểu di n b theo a Công việc tưởng chừng như rất đơn giản này nhưng nó có thể giúp ích r t nhi u ễ ấ ềcho bạn đọc trong khi tính toán

Hoàng Mạnh Quân

Ví d 3.ụ Có hai cây c t d ng trên mộ ự ặt đấ ần lượt cao 1 m và 4 m, đỉt l nh c a hai cây c t cách nhau 5 m ủ ộNgười ta c n ch n m t v trí trên mầ ọ ộ ị ặt đất (n m gi a hai chân cằ ữ ột) và giăng dây nối đến hai đỉnh cột đểtrang trí như mô hình bên dưới Tính độ dài dây ng n nh t ắ ấ

6,7413,48 33,1776 ( 5,76)

13,48 33,1776'( )

25

Từ đó suy ra A là đáp án

Ví d 5 ụ M i trang gi y c a cu n sách giáo khoa c n di n tích 384 cmỗ ấ ủ ố ầ ệ 2 L trên và l ề ề

dưới là 3cm, l trái và l ph i là 2 cm Hãy cho biề ề ả ết kích thướ ối ưu củc t a trang gi y ấ

G i chi u dài c a trang gi y là ọ ề ủ ấ x x,( 8 6), suy ra chi u r ng là ề ộ 384

Thể tích c a h p là: ủ ộ V x ( ) x(12 2 )  x 2 Ta c n tìm ầ x để ( ) V x t giá tr l n nh vđạ ị ớ ất ới 0 x 6.Cách 1:

2

x

 Cách gi i th nh t không phả ứ ấ ải bài nào cũng áp dụng được

 Cách gi i th không h u ích trong các bài toán các bi n s là s l (hay bả ứ tư ữ ế ố ố ẻ ạn đọc còn gọi

là s x u) vì giá tr cố ấ ị ủa f x( ) trong b ng có th là l n nh t (nh nhả ể ớ ấ ỏ ất) nhưng chưa hẳn đã

l n nhớ ất (nh nh t) trên miỏ ấ ền ta đang xét Ở ví d này các giá tr cụ ị ủa x đưa ra ở các phương

án A, B, C, D là s nguyên nên ta m i có th ố ớ ể nhanh chóng so sánh và đối chi u v i các giáế ớtrị trong máy tính

 Theo tác gi cách gi i th ba là nhanh chóng và khoa h c nh t, bài làm trên tác gi ả ả ứ ọ ấ ở ả đãgiải chi ti t, tác gi ế ả đã đi tìm giá trị ớ l n nh t c a ấ ủ V x ( ) Tuy nhiên n u ch ế ỉtìm x để V x( )

l n nhớ ất thì ta có th ể tìm được ngay nh vi c giờ ệ ải phương trình: 4 12 2x  x hoặc

2x 6 ,x c ả hai phương trình này đều cho ta nghiệm x 2

 Câu hỏi: T i sao tác gi lạ ả ại tìm được một trong hai phương trình 4 12 2x  x ho cặ

2x 6 x ? Câu tr l i rả ờ ất đơn giản, trong m c A (ki n th c c n nh ) tác gi ụ ế ứ ầ ớ ả đãcung c p cho bấ ạn đọc m t d n xu t c a bộ ẫ ấ ủ ất đẳng thức AM-GM đó là:

3 27

AM GM a b c a b c abc     abc   với a b c, , là các s ốthực dương

Đẳng th c x y ra khi ứ ả a b c 

Đẳng th c x y ra khi: ứ ả

Đáp án C

Cách 4:

S d ng chử ụ ức năng TABLE của MTCT (fx-570 PLUS ES ) ta th c hiự ện như sau:

Bước 1: Nh n MODE ch n chấ ọ ức năng TABLE bằng cách nh n s 7 ấ ố

Bước 2: Màn hình yêu c u nh p hàm sầ ậ ố bạn đọc hãy nh p ậ vào sau đó nhấn dấu “=”.Bước 3: Màn hình hiện “Start?” đây là giá tr bị ắt đầu, bọn đọc nh n s ấ ố 1 sau đó nhấn dấu “=” Màn hình hi n tiệ ếp “End?” đây là giá trị ế k t thúc, bạn đọc nh n s ấ ố 6 sau đó nhấn dấu “=” Màn hình lại hiện tiếp “Step?” đây là khoảng cách mà bạn đọc c n chầ ọn để đặt kho ng cách cho các giá tr cả ị ủa x, v i bài này ớ

bạn đọc nh n s ấ ố 1 sau đó nhấn dấu “=”

Bước 4: Màn hình hi n lên cho ta m t b ng g m hai c t, c t bên trái là giá tr c a x kệ ộ ả ồ ộ ộ ị ủ ẻm theo đó

là các giá tr ịtương ứng của ở bên ph D a vào b ng này bải ự ả ạn đọc s suy ra ẽ thì l n nh ớ ất

Hoàng Mạnh Quân

D n xu t c a bẫ ấ ủ ất đẳng thức AM-GM trong ph n tác gi ầ ả đóng khung rất mạnh đối

v i bài toán này vì nó chuy n tr ng thái liên ki t cớ ể ạ ế ủa a b c ừ, , t liên k t nhân sang ếliên k t c ng ế ộ

Trở ạ l i v i bài toán Ta c n tìm ớ ầ x để V x ( ) x(12 2 )  x 2 t giá tr l n nh t vđạ ị ớ ấ ới

0 x 6 Trong bi u thể ức V x( ) đang có các liên kết nhân c là các liên kụ thể ết nhân của x, 12 2x và 12 2 ,  x n u ta dùng ngay ế AM-GM chuy n sang liên kđể ể ết

c ng thì s ộ ẽ đượ ổc t ng:

(12 2 ) (12 2 ) 24 3

Như vậy để ả gi i bài toán này bạn đọc ch c n giỉ ầ ải phương trình 4 12 2x  x hoặc

2x 6 x là tìm ran gay đáp án Việc tìm ra một trong hai phương trình trên không khó vì nó chỉ là các bước xác định điểm rơi đơn giả ủ ất đẳn c a b ng thức AM-GM

tròn tr ừ đi diện tích tam giác ABC (xem hình v bên) ẽ

Câu hỏi: Nếu đề bài yêu c u tìm giá tr l n nh t c a ầ ị ớ ấ ủ thì li u vi c tính toán cóệ ệ

m t thấ ời gian và gây sai lầm khi tính toán không, vì đây có số mũ chưa kể ả kh năng

s xố ấu? Rõ ràng vi c tìm giá tr l n nhệ ị ớ ất như ở trên bi u th c có v khá dài và có lể ứ ẻ ẽcũng là trở ng i nhạ ất định cho m t s bộ ố ạn đọc, để ả gi i quy t vế ấn đề này (cách làmnày ch ỉđược áp d ng cho hình th c thi tr c nghi m) bụ ứ ắ ệ ạn đọc làm như sau: Đầu tiên

bạn đọc xác định điểm rơi để tìm x v i mớ ục đích xác định xem x b ng bao nhiêu thìằ

ra giá tr ịl n nh t cớ ấ ủa

C ta có th tìm giá tr l n nh t cụthể ể ị ớ ấ ủa trong ví d ụ trên như sau:

Bước 1: Giải phương trình ta có Bước 2: Tính ta có ngay giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ

Hoàng Mạnh Quân

Ví d 8 ụ (Đề minh ho k ạ ỳ thi THPTQG năm 2017) T m t t m nhôm hình ch nhừ ộ ấ ữ ật có kích thước

50cm240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình tr có chi u cao b ng 50 cm, theo hai cách sau ụ ề ằ(xem hình minh ho ạ dướu đây):

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành m t xung quanh c a thùng ặ ủ

Cách 2: C t tắ ấm tôn ban đầu thành hai t m b ng nhau, r i gò m i tấ ằ ồ ỗ ấm đó thành mặt xung quang c a mủ ột thùng

Kí hi u ệ V1 là th tích cể ủa thùng gò được theo cách 1 và V2 là t ng th tích cổ ể ủa hai thùng gò được theo cách 2 Tính t s ỉ ố 1

2

V V

A 1

2

1 2

T ng di n tích v i cổ ệ ả ần để là cái mũ là: 506,25250 756,25 (cm2)

Đáp án D

Ví d 10 ụ Người ta giăng lưới để nuôi riêng m t lo i cá trên m t góc h Bi t rộ ạ ộ ồ ế ằng lưới được giăng theo

một đường th ng t m t v trí trên b ẳ ừ ộ ị ờ ngang đến m t v trí trên b d c và phộ ị ờ ọ ải đi qua một cái cọc đã cắm

s n v trí H i di n nh nh t có th ẵ ở ị A ỏ ệ ỏ ấ ể giăng là bao nhiêu, bi t r ng kho ng cách t cế ằ ả ừ ọc đến b ngang là ờ

5 m và kho ng cách t cả ừ ọc đến b d c là 12 m ờ ọ

A 120 m2 B 156 m2 C 238,008(3) m2 D 283,003(8) m2

L i gi i ờ ảĐặt tên các điểm như hình vẽ Đặt CJ x x ,( 0)

Vì hai tam giác AJC BKA là hai tam giác đồvà ng d ng nên: ạ 12 60

Thể tích c a kh i nón là: ủ ố 2

1 1 .1 .0,5 1

3 12

S   S  Thể tích c a kh i lủ ố ập phương là: S2 1.1.1S2 1

Hoàng Mạnh Quân

A' B'

C'

B C A

A' B'

Ví d 14 ụ T m t mi ng tôn có hình d ng là nừ ộ ế ạ ửa đường tròn bán kính 1 m, người ta c t ra m t hình ch ắ ộ ữ

nh t (phậ ần tô đậm trong hình v ) H i có th cẽ ỏ ể ắt được mi ng tôn có di n tích l n nh t là bao nhiêu ế ệ ớ ấ

An c n bao nhiêu tiầ ền để ng hoa trên mtrồ ảnh đất đó (sốtiền được làm tròn đến hàng nghìn)

Ví d 15 ụ M t h p không nộ ộ ắp được làm t m t t m bìa các tông Hừ ộ ấ ộp có đáy là một hình vuông c nh ạ x

(cm), đường cao là h (cm) và có th tích là 500 cmể 3 Tìm x sao cho di n tích c a m nh bìa các tông là nh ệ ủ ả ỏ

nh t ấ

Hoàng Mạnh Quân

A 7862000 đồng B 7653000 đồng C 7128000 đồng D 7826000 đồng.

L i gi i ờ ảChọ ệ ụn h tr c to ạ độ như hình vẽ Ta có phương trình đườ ng elip là: 2 2 1

x

y  Suy ra di n tích mệ ảnh đất tr ng hoa là: ồ

t m t miừ ộ ếng tôn khác) Có hai cách gò sau đây (quan sát hình vẽ minh ho ạ):

Cách 1: Gò sao cho cái thùng có chi u cao 50 cm ề

Cách 2: Gò sao cho cái thùng có chi u cao 120 cm ề

Hoàng Mạnh Quân

Đáp án C

Hoàng Mạnh Quân

C Bài t ập đề ngh ị

Bài 1 M t s i dây có chiộ ợ ều dài 6m được chia thành hai ph n M t phầ ộ ần được u n thành hình tam giác ố

đều và m t phộ ần được u n thành hình vuông Hố ỏi độ dài c nh cạ ủa hình tam giác đều b ng bao ằnhiêu để ổ t ng diện tích hai hình thu được là nh nh t ỏ ấ

Bài 2 Bác nông dân làm m t hàng rào tr ng rau hình ch nh t có chi u dài song song v i b ộ ồ ữ ậ ề ớ ờ tường

Bác ch làm ba m t vì m t th ỉ ặ ặ ứ tư bác tận d ng luôn b ụ ờ tường Bác d tính s ự ẽ dùng 200m lướ ắi s t

để làm nên toàn b ộ hàng rào đó Hỏi di n tích l n nh t bác có th rào là bao nhiêu ệ ớ ấ ể

Bài 4 Người ta lắp đặt đường dây điện n i t ố ừ điểm A trên b ờAC đến điểm B trên một hòn đảo; kho ngẳ

cách ng n nh t t n b ng 3 km, kho ng cách t n là 12 km Chi phí lắ ấ ừB đế AC ằ ả ừA đế C ắp đặt mỗi

km dây điện dưới nước là 100 triệu đồng, còn trên b là 80 triờ ệu đồng H i ph i chỏ ả ọn điểm S trên

b cách ờAC A bao nhiêu để chi phí mắc dây điệ ừn t A đế S ồ ừ S đế Bn r i t n là th p nhấ ất

Bạn Hoa đi từ nhà ở ị v trí A đến trường t i v trí ạ ị C phải đi qua cầu t ừA đến B r i t ồ ừB đến trường

Trận lũ vừa qua cây c u b ngầ ị ập nước, do đó bạn Hoa phải đi bằng thuy n t ề ừ nhà đến v trí D nào ị

Bài 5 Hai v trí và cách nhau 615 m và cùng n m v m t phía b sông Kho ng cách t và t ị A B ằ ề ộ ờ ả ừA ừB

đến b sông lờ ần lượt là 118 m và 487 m Một người đi từ đế ờ sông để A n b lấy nước mang v B ềĐoạn đường ng n nhắ ất mà người đó có thể đi là bao nhiêu (làm tròn đến ch s th p phân th ữ ố ậ ứ

nh t) ấ

A 569,5 m; B 671,4 m; C 779,8 m; D 741,2 m

Bài 6 Có hai chi c c c cao 10 m và 30 m lế ọ ần lượt đặ ạt t i hai v trí ị A, B Bi t kho ng cách gi a hai cế ả ữ ọc

b ng 24 ằ m Người ta ch n m t cái chọ ộ ốt ở ị v trí trên mM ặt đấ ằt n m gi a hai chân cữ ột để giănggiây nối đến hai đỉnh và C D củ ọc như hình vẽ ỏa c H i ta phải đặt ch t ở ịố v trí nào để ổng độ t dài

c a hai sủ ợi dây đó là ngắn nhất

A AM 6 , m BM 18 ;m B AM 7 , m BM 17 ;m

C AM 4 , m BM 20 ;m D AM 12 , m BM 12m

Bài 7 T m t m nh gi y hình vuông c nh 4 ừ ộ ả ấ ạ cm, người ta g p nó thành 4 phấ ần đều nhau r i d ng lên ồ ự

thành một hình lăng trụ ứ giác đều như hình vẽ t H i th tích cỏ ể ủa lăng trụ này là bao nhiêu

A 4 cm3; B 16 cm3; C 4 3;

3 cm D 16 3.

3 cm

Bài 8 Một người lính đặc công th c hiự ện bơi luyệ ậ ừ ịn t p t v trí trên b biA ờ ển

đến m t cái thuyộ ền đang neo đậ ở ịu v trí trên biC ển Sau khi bơi được

1,25 km do khát nước người này đã bơi vào vị trí trên bE ờ để ố u ng

nướ ồc r i m i t ớ ừE bơi đến C Hãy tính xem người lính này phải bơi ít

nh t bao nhiêu km Bi t r ng kho ng cách t n là 6,25 km và ấ ế ằ ả ừ A đế C

Bài 9 Đổ nước vào m t chi c thùng hình tr ộ ế ụ có bán kính đáy 20 cm Nghiêng thùng sao cho mặt nước

chạm vào mi ng cệ ốc và đáy cốc như hình vẽ thì mặt nướ ạc t o với đáy cốc m t góc ộ o

45 H i th ỏ ểtích c a thùng là bao nhiêu cmủ 3

A 16000  B 12000  C 8000  D 6000 

Bài 10 Tính th tích c a m t chi ti t máy trong hình bi t r ng m t cể ủ ộ ế ế ằ ặ ắt được cắt theo phương vuông góc

v i tr c thớ ụ ẳng đứng

A 50 cm3 B 60 cm3 C 80 cm3 D 90 cm3

Bài 11 Người ta g p m t mi ng bìa hình ch nhậ ộ ế ữ ật có kích thước 60cm20cm như hình vẽ để ghép

thành m t chi c h p ộ ế ộ hình hộp đứng (hai đáy trên và dưới đượ ắ ừ miếng tôn khác đểc c t t ghép vào) Tính di n tích toàn ph n c a h p khi th tích c a h p l n nh ệ ầ ủ ộ ể ủ ộ ớ ất

A 1450 cm3 B 1200 cm3 C 2150 cm3 D 1650 cm3

Bài 12 Một bóng đèn huỳnh quang dài 120 cm, đường kính của đường tròn đáy là 2 cm

được đặt khít vào m t ng gi y c ng d ng hình h p ch nh t (xem hình v ) ộ ố ấ ứ ạ ộ ữ ậ ẽ

D 4 3

81

V   dm3

Bài 14 M t h p s a Ông Th do công ty Vinamilk s n xu t có th tích là 293 ml H i ph i s n xuộ ộ ữ ọ ả ấ ể ỏ ả ả ất đáy

hộp có đường kính bằng bao nhiêu cm (làm tròn đến ch s p phân th hai) thì trữ ốthậ ứ ọng lượng

c a v h p là nh nh t Bi t r ng v hủ ỏ ộ ẹ ấ ế ằ ỏ ộp được làm t cùng m t hừ ộ ợp kim có độ dày như nhau tại

m i v trí ọ ị

A 7,20 cm; B 6,32 cm; C 7,36 cm; D 6,10 cm

Bài 15 M t kh i g hình tr ộ ố ỗ ụ có bán kính đáy r 1, chi u cao bề ằng 2 Người ta khoét r ng kh i g bỗ ố ỗ ởi

hai n a hình cử ầu mà đường tròn đáy của kh i gỗ là đườố ng tròn l n cớ ủa m i n a hình c u Tính t ỗ ử ầ ỉ

Bài 16 M t cái xô b ng inox có dộ ằ ạng như hình vẽ Các kích thước (tính cùng đơn vị dài) cũng được cho

kèm theo Tính di n tích xung quanh c a cái xô ệ ủ

A 1440  B 756  C 1323  D 486 

Bài 17 Tính di n tích v i cệ ả ần có để may một cái mũ có dạng và kích thướ (cùng đơn vị đo) được c cho

b i hình v bên (không k m, mép) ở ẽ ểriề

A 350  B 400  C 450  D 500 

12369

30

1030

Hoàng Mạnh Quân

Bài 18 M t cái b n chộ ồ ứa xăng g m hai n a hình c u và m t hình tr ồ ử ầ ộ ụ (như hình vẽ) Các kích thước được

ghi cùng đơn vị Hãy tính th tích c a b n ch a ể ủ ồ ứ

trên hình v ẽ (đơn vị đo là dm) Tính xem thể tích c a kh i d ng c ủ ố ụ ụ đó là bao nhiêu dm3

A 490  B 4900  C 49000  D 490000 

Bài 20 Một người th ợ cơ khí vẽ ố b n nửa đường tròn trên t m nhôm hình vuông cấ ạnh 1,5 m Sau đó cắt

thành hình bông hoa (phần tô đậm trong hình v ) Hãy tính khẽ ối lượng c a ph n nhôm b c t b ủ ầ ị ắ ỏ

bi t r ng m i mế ằ ỗ 2 nhôm có khối lượng 10 kg

b ng nhau, m i hình vuông có c nh b ng (cm), r i g p t m nhôm lằ ỗ ạ ằ x ồ ậ ấ ại như hình vẽ dưới đây đểđược m t cái h p không n p Tìm ộ ộ ắ x h p nhđể ộ ận được có th tích l n nh t ể ớ ấ

1836

16

14

7

Hoàng Mạnh Quân

A x 5 B x 3 C x 2 D x 4.

Bài 23 T m t t m nhôm hình ch nhừ ộ ấ ữ ật có kích thước 60cm200cm, người ta làm các thùng đựng

nước hình tr có chi u cao b ng 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh ho ụ ề ằ ạ dướu đây):

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành m t xung quanh c a thùng ặ ủ

Cách 2: Gò t m tôn thành b n m t xuang quanh cấ ố ặ ủa hình lăng trụ ứ giác đề t u

Kí hi u ệ V1 là th tích cể ủa thùng gò được theo cách 1 và V2 là th ể tích thùng gò được theo cách

2 Tính t s ỉ ố 1

2

V k V

tấm nhôm đó bốn hình vuông b ng nhau, m i hình vuông c nh b ng cm, r i g p t m nhôm lằ ỗ ạ ằ x ồ ậ ấ ại như hình vẽ để đượ c m t cái h p không n p Tìm ộ ộ ắ x h p nhđể ộ ận được có th tích l n nh t ể ớ ấ

cao của thùng rượu là 1 m Hãy tính xem thùng rượu này chứa được bao nhiêu lít rượu (làm tròn

đến ch s ữ ốthập phân th hai) Bi t r ng c nh bên hông cứ ế ằ ạ ủa thùng rượu có hình d ng c a parabol ạ ủ

A 15329

150

 lít B 502

3

 lít C 305

3

 lít D 406

3

 lít

Hoàng Mạnh Quân

Bài 26 M t mi ng nhôm hình vuông cộ ế ạnh 2,1 m được người th k ợ ẻ lưới thành 9 ô vuông nh có diỏ ện

tích bằng nhau Sau đó tạ ị trí điểm Ai v và A' v các cung tròn bán kính 2,1 m; t i v ẽ ạ ị trí điểm B

và B' v các cung tròn bán kính 1,4 m; t i v ẽ ạ ị trí điểm C và C' v các cung tròn bán kính 0,7 m ẽNgười này cắt được hai cánh hoa (quan sát một cánh hoa được tô đậm trong hình) Hãy tính khối lượng c a ph n tôn b c t b , bi t r ng m i mủ ầ ị ắ ỏ ế ằ ỗ 2 tôn có khối lượng 10 kg

A 11,172 kg B 22,344 kg C 21,756 kg D 32,928 kg

Bài 27 M t qu c u lông và hộ ả ầ ộp đựng của nó có kích thước được cho trong hình v Hãy tính xem hẽ ộp

đó đựng được bao nhiêu qu c u ng ả ầ lô

A 26 qu ả B 27 qu ả C 28 qu ả D 29 qu ả

Bài 28 T m t t m nhôm hình vuông c nh ừ ộ ấ ạ 3 m người ta làm các thùng đựng nước hình tr có chi u ụ ề

Kí hiệu V1 là th tích cể ủa thùng gò được theo cách 1 và V2 là t ng th tích cổ ể ủa hai thùng gò được theo cách 2 Tính t s ỉ ố 1

2

V V

A 1

2

1 2

Bài 29 Người ta mu n làm m t chi c thùng hình tr t m t mi ng nhôm có chu vi 120 cm (quan sát ố ộ ế ụ ừ ộ ế

hình minh ho ) Hãy cho bi t mạ ế ảnh tôn có kích thước như thế nào thì th tích c a chi c thùng ể ủ ế

l n nh ớ ất Biế ằt r ng chi u cao c a thùng b ng chi u r ng c a mi ng nhôm ề ủ ằ ề ộ ủ ế

C'

B C A

A' B'

50 cm

9 cm

1,5 cm

cao b ng 3 m, theo hai cách sau (xem hình minh ho ằ ạ dướu đây):

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành m t xung quanh c a thùng ặ ủ

Cách 2: C t tắ ấm tôn ban đầu thành ba t m b ng nhau, r i gò m i tấ ằ ồ ỗ ấm đó thành mặt xung quang

c a m t thùng ủ ộ

Hoàng Mạnh Quân

Bài 31 Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, bi t rế ằng người con s ẽ được chọn

miếng đất hình ch nh t có chu vi 800 m H i anh ta ph i ch n mữ ậ ỏ ả ọ ảnh đất có kích thước như thếnào để ện tích đấ di t canh tác là l n nh t ớ ấ

cần để làm cái mũ đó biế ằng vành mũ hình tròn, ốt r ng mũ hình trụ và mũ được may hai l p ớ

A 700cm2 B 1512,5 cm2 C 1500,5 cm2 D 756,25 cm2

Bài 34 M t nhóm h c sinh d ng lộ ọ ự ều khi đi dã ngoạ ằi b ng cách gấp đôi tấm b t hình ch nh t có chiạ ữ ậ ều

dài 12 m, chi u r ng 6 m (gề ộ ấp theo đường trong hình minh hoạ) sau đó dùng hai cái gậy có chiều dài b ng nhau ằ chống theo phương thẳng đứng vào hai mép g p Hãy tính xem khi dùng chiấ ếc

g y có chi u dài b ng bao nhiêu thì không gian trong l u là l n nh ậ ề ằ ề ớ ất