Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật

Tác giả cho rằng: Chỉ có nghiên cứu phân tích toàn diện các sự vật hoặc hiện tượng theo một hướng nhất định, và xem xét các bộ phận trong một hệ thống của các mối liên hệ mới giúp học si

HÀ NỘI, 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Châu và PGS.TS. Đỗ Tiến Đạt. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực. Các thông tin trích dẫn trong luận án đều đã được chỉ rõ nguồn gốc. 

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn  thông,  các  thầy  cô  trong  Khoa  Cơ  Bản  1,  Bộ  môn  Toán  đã  luôn  tạo  điều  kiện, khuyến khích và hỗ trợ nghiên cứu sinh trong suốt thời gian công tác và học tập, nghiên cứu. 

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè thân thiết đã luôn động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất để nghiên cứu sinh hoàn thành luận án của mình. 

MỤC LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ VII DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VIII

MỞ ĐẦU 1

1.Lý do chọn đề tài   1

2.Mục đích nghiên cứu   3

3.Tổng quan tình hình nghiên cứu  3

4.Khách thể, đối tượng nghiên cứu   8

5.Giả thuyết khoa học   9

6.Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu   9

7.Phương pháp nghiên cứu   9

8.Những vấn đề đưa ra bảo vệ   10

9.Những đóng góp của luận án   10

10. Cấu trúc luận án   10

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 11

1.1. Một số vấn đề chung về tư duy   11

1.1.1. Khái niệm về tư duy   11

1.1.2. Đặc điểm của tư duy   11

1.1.3. Quá trình tư duy   13

1.1.4. Các thao tác tư duy   14

1.1.5. Các loại tư duy   15

1.2. Tư duy phân tích   17

1.2.1. Khái niệm phân tích   17

1.2.2. Khái niệm tư duy phân tích   19

1.2.3. Đặc điểm của tư duy phân tích   25

1.2.4. Mối quan hệ giữa tư duy phân tích với một số loại tư duy khác và với khả năng giải  quyết vấn đề   28

1.3. Đặc điểm Toán cao cấp   33

1.5. Biểu hiện tư duy  phân tích của sinh  viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ  thuật trong  dạy học Toán cao cấp   39

1.6. Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học  khối ngành kinh tế, kĩ thuật   49

1.6.1.  Quan  niệm  về  dạy  học  Toán  cao  cấp  theo  hướng  phát  triển  tư  duy  phân  tích  cho  sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật   49

1.6.2. Cơ hội phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật  trong dạy học Toán cao cấp   51

1.7. Khảo sát thực trạng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho  sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật   53

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1   61

CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH CHO SINH VIÊN 63

2.1. Định hướng xác định các biện pháp   63

2.1.1. Các biện pháp được xây dựng đảm bảo nguyên tắc dạy học đại học   63

2.1.2. Các biện pháp tác động đến sự phát triển tư duy phân tích   64

2.1.3. Các biện pháp có tính khả thi   64

2.2. Một số biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho  sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật   64

2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường cho sinh viên thực hiện các hoạt động chia nhỏ kiến thức,  tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ   64

2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động thể hiện cách suy  nghĩ rõ ràng và sâu sắc   75

2.2.3. Biện pháp 3: Trang bị cho sinh viên một số phương pháp thường dùng đối với tư  duy phân tích   82

2.2.4. Biện pháp 4: Thiết kế, tổ chức cho SV thực hiện các hoạt động gắn phân tích với  tổng hợp, sáng tạo và giải quyết vấn đề   101

trong quá trình tự học   109

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2   120

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 122

3.1. MỤC ĐÍCH, NỘI DUNG VÀ TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM   122

3.1.1. Mục đích thực nghiệm   122

3.1.2. Nội dung thực nghiệm   122

3.1.2.1. Đối tượng tham gia thực nghiệm   122

3.1.2.2. Chương trình dạy học thực nghiệm   123

3.1.2.3. Giáo án dạy học thực nghiệm   123

3.2. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM   124

3.2.1. Đánh giá về mặt định tính   124

3.2.2. Đánh giá định lượng   137

3.2.2.1. Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ nhất   137

3.2.2.2. Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ hai   144

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3   150

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 151

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 152

TÀI LIỆU THAM KHẢO 153

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1: Mối liên hệ giữa TDPT và việc giải bài toán theo 4 bước của Polya   33 

Bảng 2. 1: So sánh công thức đổi biến của tích phân xác định và tích phân hai lớp   101 

Bảng 3. 1: Bảng phân bố tần số điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1   140

Bảng 3. 2: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1   140

Bảng 3. 3: Bảng phân bố tần số điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1   141

Bảng 3. 4: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1   142

Bảng 3. 5: Bảng phân bố tần số điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1   142

Bảng 3. 6: Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1   143

Bảng 3. 7: Bảng phân bố tần số điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2   146

Bảng 3. 8: Bảng phân bố tần suất điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2   146 

Biểu đồ 3. 1: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm bài kiểm tra các lớp TN1, ĐC1   140

Biểu đồ 3. 2: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm bài tập lớn các lớp TN1, ĐC1   142

Biểu đồ 3. 3: Biểu đồ tần suất ghép lớp điểm thi cuối kì các lớp TN1, ĐC1   143

Biểu đồ 3. 4: Biểu đồ tần suất điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2   146

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Sơ đồ quá trình tư duy   13

Hình 1.2: Sơ đồ cây thường dùng khi phân tích   26

Hình 1.3: Ví dụ về đồ thị hàm số liên tục f : [ , ]a b [ , ]a b    28 

Hình 2.1: Bản đồ khái niệm về hàm số khả vi   93

Hình 2. 2: Mối liên hệ giữa một số yếu tố trong khái niệm giới hạn hàm số   97

Hình 2. 3: Cách đánh dấu miền lấy TP trong một số bài toán về TP hai lớp   100

Hình 2. 4: Bản đồ TD phân tích hướng giải bài toán xét sự hội tụ của TPSR   106

Hình 2. 5: Biểu đồ phân tán biểu thị tuổi thọ của lốp xe tương ứng với áp suất   115

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy phân tích

Trong những năm gần  đây,  vấn đề  tìm hiểu  và phát  triển  tư  duy  ngày  càng  nhận được  nhiều  sự  quan  tâm của  các  nhà nghiên  cứu, người  học  và những người  đã đi làm, những người muốn có lối suy nghĩ hiệu quả để áp dụng vào mọi mặt của đời sống. 

Tham  khảo  các  tài  liệu  về  phương  pháp  nghiên  cứu  khoa  học,  lí  luận  và  phương pháp  dạy  học  đại  học,  ta  có  thể  tìm  thấy  những  phần  liên  quan  đến  tư  duy  phân  tích, chẳng hạn: 

“Cần thiết phải có một cái nhìn mới và mô hình mới của GDĐH, đó là giáo dục lấy sinh  viên  làm trung  tâm.  Để  đạt  được  mục  tiêu đó, chương trình đào tạo cần phải  được xây dựng sao cho không chỉ nhằm nắm kiến thức chuyên môn một cách đơn giản mà cần bao  gồm  việc  chiếm  lĩnh  các  kĩ  năng,  năng  lực  giao  tiếp,  óc  phân  tích  sáng  tạo  và  phê phán, suy nghĩ độc lập và biết làm việc đồng đội giữa một bối cảnh đa văn hóa” ([54], tr. 39). 

 “Nghiên cứu các đối tượng phức tạp phải xem xét chúng một cách toàn diện, phải phân tích chúng ra thành các bộ phận để nghiên cứu chúng một cách sâu sắc, phải tìm ra được tính hệ thống của đối tượng” ([62], tr. 68). 

“Nhiều người học gặp khó khăn trong việc làm bài kiểm tra hoặc trả lời các câu hỏi thi mặc  dù họ  có kiến thức  tốt  về  môn học.  Một  trong  những nguyên nhân  là họ  không phân tích đúng đắn câu hỏi hoặc không lập dàn ý trả lời một cách hệ thống. Nếu không phân tích đúng đắn câu hỏi, họ có thể bỏ qua phần quan trọng, hoặc tập trung quá nhiều vào những chi tiết thứ yếu. Nếu không lập dàn ý trả lời cẩn thận, bài làm của họ thường sẽ thiếu chặt chẽ và mạch lạc” ([54], tr. 418). 

  Trong  thực  tế,  TDPT  đòi  hỏi  phải  tìm  hiểu  vấn  đề  một  cách  rõ  ràng  và  sâu  sắc. Điều đó là cần thiết khi muốn phân loại và sử dụng thông tin, khi tự học, giúp cho việc ghi nhớ, phán đoán, lựa chọn để ra quyết định, giúp hạn chế việc mắc sai lầm. Cách chia vấn  đề  phức  tạp  thành  nhiều  vấn  đề  nhỏ  tạo  ra  một  trong  những  phương  pháp  để  giải 

quyết vấn đề [63], [73], [78], [85]   

Đối  với  những  người  làm  trong  ngành  kĩ  thuật,  cần  có  sự  cẩn  thận,  tỉ  mỉ,  chú  ý từng chi tiết, mối liên hệ tác động qua lại giữa các bộ phận trong hệ thống máy móc hay công trình, hệ thống mạng,…Với ngành kinh tế, cần phải thu thập và lựa chọn thông tin 

Một  số  nghiên  cứu  gần  đây  trên  thế  giới  đã  chỉ  ra  rằng  TDPT  cần  thiết  cho  SV trong thế kỉ 21, kĩ năng tư duy này đưa đến sự phát triển của tư duy phê phán, tư duy sáng tạo và năng lực giải quyết vấn đề. Đây là kĩ năng giúp cải thiện tư duy, tạo thói quen suy ngẫm và đặt câu hỏi trong mọi mặt của đời sống. Khả năng TDPT và phê phán góp phần làm giảm tỉ lệ SV thất nghiệp sau khi ra trường [65], [72]. 

Ngày nay, nhiều trường đại học trong và ngoài nước đã thực sự coi trọng việc rèn luyện  tư  duy  cho  người  học,  trong  đó  có  TDPT.  Chẳng  hạn,  tại  các  trường  đại  học Valparaiso, Texas A&M, việc phát triển tư duy phân tích cho sinh viên được đặt ra trong 

trong chương trình học Toán cao cấp [88], [89]. 

Năm  2009,  Học  viện  Công nghệ  Bưu  chính  Viễn thông đã  công  bố  chuẩn đầu ra cho  SV.  Một  trong  những  yêu  cầu  đó  là:  SV  có  phương  pháp  làm  việc  khoa  học  và chuyên nghiệp, tư duy hệ thống và TDPT, khả năng trình bày, khả năng giao tiếp và làm việc hiệu quả trong nhóm (đa ngành), hội nhập được trong môi trường quốc tế. 

Theo chương trình khung giáo dục đại học được ban hành năm 2012 tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông [26], SV chuyên ngành Công nghệ phần mềm cần phải 

có  kĩ  năng  thu  thập,  phân  tích,  tìm  hiểu  và  tổng  hợp  các  yêu  cầu  từ  đối  tượng  sử  dụng phần  mềm;  cần phân tích và giải  quyết  sáng  tạo, hiệu quả  những vấn đề  kĩ  thuật,   Đối với chuyên ngành Hệ thống thông tin, cần hiểu được vai trò các thành phần của hệ thống; 

thu thập, biến đổi, truyền và lưu trữ dữ liệu và thông tin; vận dụng các khái niệm để đánh  giá,  phân  tích  và  mô  hình  hóa,… Với  SV  ngành  Kĩ  thuật  điện  tử,  cần  hiểu  biết  về  linh 

kiện, cụm linh kiện, nguyên tắc an toàn điện  SV ngành Điện tử, truyền thông cần phân tích, tổng hợp sửa chữa mạch điện tử trang thiết bị viễn thông; nghiên cứu, tiếp cận với các  thiết  bị  điện  tử  và  hệ  thống  viễn  thông  mới  hướng  tới  mục  tiêu  cải  tiến  và  thiết  kế mới,  Với SV ngành Quản trị kinh doanh, cần xây dựng và tổ chức thực hiện chiến lược, 

kế hoạch kinh doanh, phát hiện, đánh giá và lựa chọn các cơ hội kinh doanh. Đối với SV 

ngành Kế toán, cần nắm vững luận cứ, hiểu biết về các nguyên lí kế toán,… Như vậy, đối

với SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật, cần được phát triển khả năng phân tích, tổng hợp, tìm hiểu các thành phần và các mối liên hệ, sử dụng đúng các khái niệm, nguyên lí,  thu thập và sử dụng thông tin, lập luận có căn cứ, định hướng, lập kế hoạch, nhận ra

những điểm yếu, phán đoán, mô hình hóa, giải quyết vấn đề, tự học…Do đó, việc phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật là cần thiết, có thể góp phần đáp ứng chuẩn đầu ra. 

 Vai trò của tư duy phân tích của sinh viên trong dạy học Toán cao cấp

TCC gồm một số môn học trong năm đầu tiên của SV ở trường đại học. Đối với SV năm đầu, đa số còn rất nhiều bỡ ngỡ trước cuộc sống mới và phương pháp học tập, nghiên cứu ở bậc đại học. Họ sẽ thấy  nội dung TCC trừu tượng hơn so với toán phổ thông. Để đáp ứng với lượng kiến thức lớn, SV cần phải biết tự học, cần có tư duy độc lập ở mức độ cao và sáng tạo. TDPT sẽ giúp SV học TCC dễ dàng hơn. Chẳng hạn, với việc đặt câu hỏi phân tích, SV có thể tự định hướng quá trình tư duy, giải quyết vấn đề một cách độc lập. Việc xác định hướng giúp SV nhìn nhận, phát biểu mệnh đề theo một số cách khác nhau, giúp họ dễ hiểu vấn đề và trình bày một cách rõ ràng hơn. Điều này cũng giúp SV phân tích và lựa chọn cách giải bài toán, tránh việc chỉ đi theo một hướng và có thể dẫn đến bế tắc.  Việc  chú  ý  xem  xét  các  mối  quan  hệ  giúp  SV  tạo  thói  quen  liên  hệ  giữa  kiến  thức 

TCC với thực tế, với chuyên ngành,  Như vậy, TDPT có vai trò quan trọng đối với SV

khi học TCC Việc dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV là cần thiết

2 Mục đích nghiên cứu

   Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn về TDPT và dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật, đề xuất một số biện pháp dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.  

3 Tổng quan tình hình nghiên cứu

  TDPT có nền tảng từ rất lâu đời. Thời cổ đại, Socrates (470-399 TCN) đã cho rằng 

Francis  Bacon  (1561-1626)  cho  rằng  sau  khi  thu  thập  mọi  dữ  kiện  về  sự  vật,  ta phải phân tích, loại bỏ những dữ kiện phụ, từ đó đi đến khẳng định bản chất của sự vật ([61], tr. 279). 

Descartes  (1596-1650)  đã  đưa  ra  các  quy  tắc  phương  pháp  luận,  trong  đó  có nguyên tắc: “Chia mỗi sự vật phức tạp, trong chừng mực có thể làm được, thành các bộ phận cấu thành của nó để tiện lợi nhất trong việc nghiên cứu chúng” ([61], tr. 305). 

Trong  nghiên  cứu  về  “Tư  duy  của  học  sinh”,  Sacđacốp  (1970)  đã  nói  đến  TDPT mặc dù không trình bày khái niệm TDPT. Tác giả cho rằng: Chỉ có nghiên cứu phân tích toàn diện các sự vật hoặc hiện tượng theo một hướng nhất định, và xem xét các bộ phận trong một hệ thống của các mối liên hệ mới giúp học sinh hiểu biết tương đối sâu sắc, đầy 

đủ và toàn diện về sự vật, và điều đó chỉ đạt được bằng sự phân tích có hệ thống ([44], tr. 93).Theo tác giả, phân tích và tổng hợp là hai mặt của một quá trình tư duy thống nhất. “Ở một số học sinh, sự phân tích chiếm ưu thế trong hoạt động tư duy  phân tích- tổng hợp thống nhất, điều đó thể hiện ở chỗ các em mô tả và tường thuật tỉ mỉ, tách bạch các chi 

tiết. Đó là kiểu tư duy phân tích. Ở học sinh thuộc loại này, óc phân tích mô tả được hình 

thành và phát triển mạnh”. Sacđacốp cho rằng, “việc nghiên cứu phân tích các sự vật và hiện tượng thường thực hiện được là nhờ  có so sánh, điều đó cho phép vạch ra các dấu hiệu và thuộc tính bản chất và không bản chất, các mối liên hệ và quan hệ của một nhóm 

sự  vật  hoặc  hiện  tượng  nhất  định”  ([44],  tr.109).  Tác  giả  cũng  cho  rằng  trước  khi  phân tích, phải chú ý đến tính toàn thể của hệ thống.  

Koliagin (1980) cùng một số tác giả khác đã cho rằng TDPT là thành tố của tư duy trừu tượng, được thể hiện trong học toán khi phân tích chứng minh các định lí hoặc giải bài toán, khi nghiên cứu sâu bài toán. Dạng tư duy này liên hệ mật thiết với thao tác phân tích của tư duy [90]. 

Robert J. Sternberg (1996, 2003, 2005) cho rằng tư duy sáng tạo, TDPT và tư duy thực hành giúp học sinh thành công trong lớp học. Dạy tư duy phân tích nghĩa là khuyến khích sinh viên phân tích, phê phán, phán đoán, đánh giá, so sánh và đối chiếu, ước lượng [82], [83], [84], ([47], tr.94). 

Tài liệu “Analytical thinking”của  Ayman Amer (2005)  được  viết  theo quan  điểm giúp SV có thêm những kĩ năng để đáp ứng sự đòi hỏi của xã hội, giúp họ thành công khi học tiếp sau đại học cũng như để có được những nghề nghiệp tốt nhất. Tác giả đã nêu khái niệm về TDPT, mối quan hệ giữa TDPT với tư duy tổng hợp, tư duy hệ thống, tư duy phê 

Aurelio  Villa  Sáncher  (2008) và  các  cộng  sự  cho rằng TDPT  là  một  trong  những năng lực cần thiết  đối  với SV, đây  là năng lực nền tảng cho việc học, cần thiết trong sự thành  công  của  mỗi  cá  nhân.  TDPT  chia  tình  hình  phức  tạp  thành  những  bộ  phận  cấu thành của chúng để nghiên cứu, làm nổi bật mối quan hệ qua lại giữa những yếu tố, phân loại chúng để hiểu tình hình, trình bày một cách rõ ràng và có thứ tự, tạo điều kiện thuận lợi cho sự phán đoán, ra quyết định hoặc giải quyết vấn đề. Trong những mối liên hệ khác nhau có thể tồn tại giữa những yếu tố được xác định, mối quan hệ nguyên nhân là đặc biệt quan trọng cho sự hiểu đúng về tình hình được phân tích. Các tác giả cho rằng TDPT giúp tạo  thói  quen  tư  duy  có  phương  pháp  đối  với  nhiều  loại  nhiệm  vụ,  đặc  biệt  khi  những nhiệm vụ đó có liên hệ với sự thu thập và nghiên cứu thông tin. TDPT cũng giúp cho việc độc lập hiểu vấn đề mà không cần một sự chỉ dẫn. TDPT dùng những công cụ cho phân tích, đánh giá lại tình hình trong khi đang làm, thay thế cho sự tin vào những ý tưởng bất ngờ xuất hiện. Những công cụ có thể bao gồm đề cương, bảng biểu, bản đồ khái niệm, đồ thị…Các tác giả cũng đưa ra ba cấp độ thành thạo của TDPT, đó là: Miêu tả, liên hệ, giải thích  những tình  hình  và những vấn đề  đơn  giản; Lựa  chọn những  yếu tố  quan trọng và những mối liên hệ của chúng trong những tình hình phức tạp; Nhận ra lỗ hổng thông tin và tìm thấy mối liên hệ với những yếu tố bên ngoài tình huống trong câu hỏi. Ngoài ra, các tác giả cũng cho rằng phương pháp nghiên cứu trường hợp rất phù hợp để giúp SV phát triển TDPT [79]. 

Trong tài liệu “Management Research Methodology” ([74], tr. 52), Krishnaswamy (2009) và các cộng sự cho rằng: TDPT là một loại tư duy được dùng trong giải quyết vấn 

đề. Trong dạng tư duy này,  một vấn đề hoặc ý tưởng được chia thành những phần. Mỗi phần được xem xét, kiểm tra để hiểu nó thực hiện chức năng và hợp với những phần khác như thế nào. TDPT cũng có liên quan với tư duy hội tụ, dạng tư duy để đạt được một giải pháp duy nhất cho vấn đề. 

Trong  quyển  “Nghĩ  thông  minh  làm  sáng  suốt”  [6],  Darren  Bridger  và  David Lewis (2012) đã định nghĩa về vấn đề hội tụ và vấn đề phân kì. Nếu chỉ có một giải pháp cho một vấn đề, hoặc cách giải quyết có giới hạn, hoặc câu trả lời chỉ là đúng hoặc sai thì vấn đề đó gọi là “hội tụ”. Nếu có nhiều cách trả lời hoặc không có câu trả lời nào tuyệt đối thì vấn đề đó gọi là “phân kì”. Với vấn đề hội tụ, nên áp dụng TDPT. Bí quyết tìm ra giải pháp cho vấn đề  hội tụ là nhanh chóng triệt tiêu các ngõ cụt. Việc thiết kế cây  giải pháp sẽ nhằm tìm được lối đi khả thi dẫn đến mục tiêu. Hơn nữa, điều đó có thể giúp phát hiện thêm các giải pháp. 

Có  thể  tìm  thấy  một  số  nghiên  cứu  về  TDPT  hiện  nay  ở  Thái  Lan.  Chẳng  hạn: Areesophonpichet  (2013)  cho  rằng  dùng  bản  đồ  khái  niệm  có  thể  giúp  phát  triển  TDPT cho học viên sau đại học, việc vận dụng bản đồ khái niệm sẽ dễ dàng và hiệu quả hơn nếu học viên đã biết sử dụng bản đồ tư duy [65]. 

Ben  Jonhson  (2013)  cho  rằng  TDPT  đòi  hỏi  phải  suy  nghĩ  về  các  thành  phần. Những người suy nghĩ phân tích thường điều tra, tổ chức, phân loại, chỉ rõ (trong những vấn đề mà họ có kinh nghiệm). Tác giả đã đưa ra một số chiến lược, kĩ thuật thường dùng trong phân tích, chẳng hạn: Chiến lược “Socratic Questioning”, Chiến lược “Whole part whole”,  Chiến  lược  “Logic”,  Chiến  lược  “Identifying  Differences  and  Similarities”,  Kĩ thuật SWOT, Kĩ thuật KWL, Kĩ thuật SQR4, [73]. 

Blessytha Anwar (2014) và cộng sự cho rằng mục tiêu của dạy kĩ năng phân tích là khuyến khích SV đặt những câu hỏi, không phải chỉ là trả lời [64]. 

Trong tài liệu “Cẩm nang tư duy phân tích” [38], Richard Paul, Linda Elder (2015) cho  rằng  phân  tích  và  đánh  giá  là  những  kĩ  năng  giúp  SV  lập  luận  tốt,  giúp  học  được những kiến thức cơ bản mà không tản mạn. Các tác giả cho rằng tám cấu trúc cơ bản của 

tư duy là: Đặt ra các mục đích, nêu các câu hỏi, sử dụng các thông tin, sử dụng các khái niệm, tạo ra các suy luận, đưa ra các giả định, làm phát sinh các hàm ý, chứa đựng một góc nhìn. Để phân tích tư duy, cần phải nhận diện và đặt các câu hỏi về những cấu trúc cơ bản này. Để đánh giá tư duy, cần phải hiểu và áp dụng các chuẩn trí tuệ (Sự rõ ràng, sự đúng  đắn,  sự  chính  xác,  tính  liên  quan,  chiều  sâu,  chiều  rộng,  tính  logic,  ý  nghĩa,  công bằng). Cần trình bày câu hỏi theo nhiều cách để làm rõ nghĩa và phạm vi của nó, cần chia câu hỏi ra thành nhiều câu hỏi nhỏ. 

Trong cuốn sách “Lập sơ đồ tư duy hiện đại để tư duy thông minh hơn” [8], Tony Buzan (2016) và các cộng sự cho rằng TDPT là hoạt động tư duy  đưa ta đến một quyết định đúng và sáng suốt. Chúng ta có thể đưa ra được rất nhiều ý tưởng cho vấn đề, nhưng cần phải có TDPT để phân loại, sàng lọc và chọn lựa, nhờ đó chuyển ý tưởng thành giải pháp. Ba quy tắc giúp thực hiện TDPT là: Thu hẹp các ý tưởng bằng cách sử dụng đánh giá tích cực (có thái độ tích cực đối với mỗi ý tưởng khi xử lí lần đầu); đánh giá ý tưởng bằng các kĩ thuật (đánh giá bằng tim và đánh giá bằng đầu, chia các giải pháp thành các 

mặt lợi và hại được mã hóa bằng màu); chọn giải pháp hoặc các giải pháp tốt nhất (Giải

pháp có giúp bạn đạt được điều mong muốn không? Giải pháp có phù hợp với mục đích

và mục tiêu cuối cùng của bạn không? Giải pháp sẽ thất bại khi xảy ra những khả năng nào và thất bại theo cách nào?). Các tác giả cũng cho rằng quá trình lập sơ đồ tư duy sẽ 

đưa thêm nhiều năng lượng cho TDPT. 

Septi  Budi  Sartika  (2017)  đã  đưa  ra  một  số  chiến  lược  trong  dạy  học  nhằm  phát triển TDPT cho học sinh. Chẳng hạn: học dựa trên vấn đề, dạy những kĩ năng TDPT, sử dụng  thông  tin  và  đồ  họa,  chiến  lược  MURDER  (Mood,  Understand,  Recall,  Digest, Expand, Review) [80]. 

Ở nước ta, đã có một số nghiên cứu liên quan đến đề tài luận án. Tác giả Tôn Thân (1995) cho rằng: Để rèn luyện khả năng sáng tạo, cũng cần rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau. Chúng tôi nhận thấy một số dạng bài tập toán mà tác giả đưa ra (bài tập câm, bài tập tìm sai lầm, bài tập mở,…) cũng phù hợp để phát triển TDPT [51]. Nguyễn Phú Lộc (2006) đã trình bày về dạy học Giải tích với các mối liên hệ, trong đó có mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung, dạy học Giải tích với phương pháp phân tích [31]. Tác giả Phan Thị Luyến (2008) đã đưa ra một số dạng câu hỏi mà học sinh trung học phổ thông nên thường đặt ra và trả lời để rèn luyện tư duy phê phán, để hiểu khái niệm, định lí một cách sâu sắc. Đó là những dạng câu hỏi để làm 

rõ, câu hỏi  yêu cầu đưa ra lí do hoặc bằng chứng, câu hỏi tìm  sự liên quan, câu hỏi khi đứng  trước  một  bài  toán,  khi  giải  xong  bài  toán,   ([32],  tr.  84).  Bạch  Phương  Vinh (2013) đã nói đến việc giải bài toán theo bốn bước của Polya, sử dụng phép phân tích và phép tổng hợp (suy  xuôi, suy  ngược), sử dụng bản đồ tư  duy trong  dạy  học giải bài tập hình học phẳng lớp 9 [60]. Nguyễn Thị Mỹ Hằng (2014) cho rằng việc tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diên của khái niệm toán học, tập luyện cho học sinh biết cách làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố được cho trong giả thiết của định lí có thể giúp rèn luyện thao tác phân tích [19]. Trong tài liệu  “Phát triển tư duy  qua dạy học  môn toán ở trường phổ thông”, tác giả Chu Cẩm Thơ (2015) đã đưa ra khái niệm về tư duy phân tích ([52], tr. 28). Các tác giả Đào Tam, Võ Xuân Mai (2016) cho rằng TDPT và tư duy trực giác là hai yếu tố cần thiết trong quá trình tư duy, chúng cần được kết hợp, bổ sung cho nhau.  Trong  quá  trình  dạy  học  nói  chung,  dạy  học  toán  nói  riêng,  cần  chú  trọng  những hoạt động nhằm đồng thời phát triển cả hai loại tư duy này cho học sinh [48]. Nguyễn Thị 

Hà Lan (2016) cho rằng trong dạy học đại học, cần phát triển tư duy cho SV, trong đó có TDPT.  Tác  giả  cũng  nhắc  lại  quan  điểm  của  Robert  J.  Sternberg,  dạy  TDPT  là  khuyến khích SV phân tích, so sánh, đánh giá, giải thích ([30], tr. 68). 

Trong dạy học Toán cao cấp, Joan R. Hundhausen (1993) cho rằng sử dụng các 

bài  toán  có  chứa  tham  số  trong  dạy  học  phép  tính  vi  phân  và  tích  phân  có  thể  giúp  SV hiểu sâu hơn về các mối liên hệ hàm, phát triển khả năng khái quát hóa và những kĩ năng giải quyết vấn đề không quen thuộc, giúp SV nâng cao khả năng tư duy phân tích [86]. 

Biao  Zhang  (2003),  với  chiến  lược  dạy  học  lấy  SV  làm  trung  tâm,  đã  cho  rằng 

ra mối liên hệ giữa các khái niệm [87]. 

Erhan  Selcuk  Haciomeroglu,  Leslie  Aspinwall,  Norma  C.  Presmeg  (2009)  cho rằng SV nên kết hợp cả tư duy thị giác và TDPT để giúp hiểu các khái niệm một cách sâu sắc hơn và dễ dàng hơn khi giải quyết vấn đề [71]. 

Trong  giáo  trình  Phép  tính  vi  phân  và  tích  phân,  Brian  E.  Blank  và  Steven  G. Krantz (2011) cho rằng phác thảo đồ thị là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất của 

tư duy phân tích ([66], tr. 327).  

Pavel  Satianow,  Miriam  Dagan  và  Meiraw  Amram  (2015)  cho  rằng  dùng  hàm 

“min” và hàm “max” trong dạy học phép tính vi phân và tích phân giúp phát triển TDPT cho SV vì với các dạng hàm này, GV có thể đưa ra những câu hỏi không quen thuộc, đòi hỏi SV phải hiểu rõ các khái niệm và suy nghĩ logic [81]. 

Trong  tài  liệu  “Phương  pháp  mới  học  Toán  đại  học”,  tác  giả  Dương  Minh  Đức (2001) đã chỉ ra một số lỗi cơ bản của SV khi giải toán, trong đó có việc “không để ý đến các  yếu  tố  đơn  lẻ  trong  sự  việc  cho  sẵn  và  sự  việc  phải  chứng  minh”,  không  chú  ý  đến từng chi tiết nhỏ và mối liên hệ giữa chúng ([15], tr. 430).  

Như vậy, những nghiên cứu như trên đã đề cập đến một số khía cạnh của TDPT: quan niệm về TDPT, mối liên hệ giữa TDPT với một số loại tư duy khác, một số dạng bài tập phát triển TDPT, một số kĩ thuật thường dùng đối với TDPT, Tuy nhiên, những nội dung chưa được trình bày một cách tổng hợp, đầy đủ. Trong một số nghiên cứu, chưa có lập luận giải thích rõ vấn đề đưa ra khi gắn với TDPT Còn ít nghiên cứu về dạy học TCC theo  hướng  phát  triển  TDPT  cho  SV,  mặc  dù  nhiều  trường  đại  học  đã  nhấn  mạnh  tầm quan trọng của TDPT và đưa yêu cầu phát triển loại tư duy này vào chương trình dạy học Toán cao cấp. Đặc biệt, chưa có nghiên cứu đầy đủ về những biểu hiện của TDPT của SV khối  ngành kinh tế,  kĩ  thuật  trong  dạy  học  TCC và những biện pháp dạy  học  TCC  theo hướng phát triển TDPT cho SV. 

4 Khách thể, đối tượng nghiên cứu

-  Khách thể nghiên cứu:  Quá  trình  dạy  học  Toán  cao  cấp  cho  SV  đại  học  khối 

ngành kinh tế, kĩ thuật. 

- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư 

duy phân tích cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật. 

5 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được những biểu hiện của TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, 

kĩ thuật trong dạy học TCC, xây dựng và thực hiện được một số biện pháp thích hợp trong dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật thì 

có thể góp phần phát triển TDPT cho SV đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học TCC. 

6 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu: 

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về TDPT và việc dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.  

-  Tìm  biện pháp  dạy  học  TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại  học  khối ngành kinh tế, kĩ thuật.  

- Nghiên cứu việc tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 

Phạm vi nghiên cứu: 

- Toán cao cấp ở đây chỉ giới hạn là phần Giải tích.  

- Phần thực nghiệm sẽ được tiến hành đối với SV năm thứ nhất ở Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông. 

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài. Xây dựng  cơ  sở  lí  luận  của  việc  dạy  học  TCC  theo  hướng  phát  triển  TDPT  cho  SV  đại  học khối ngành kinh tế, kĩ thuật. 

- Phương pháp điều tra: Điều tra thực trạng hoạt động dạy của GV, hoạt động học của  SV  trong  dạy  học  TCC  bằng  cách  sử  dụng  phiếu  hỏi  và  phỏng  vấn  nhằm  đánh  giá thực trạng việc phát triển TDPT cho SV trong dạy học. Xác định những thuận lợi và khó khăn của việc dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh 

tế, kĩ thuật. 

- Phương pháp quan sát: Quan sát những hoạt động của GV và SV trong một số giờ dạy để rút ra nhận xét về việc phát triển TDPT cho SV. 

- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo, xin ý kiến chuyên gia về các vấn đề thuộc 

- Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Nghiên cứu sự phát triển TDPT của bốn SV trong quá trình thực nghiệm. 

-  Tổng  kết  kinh  nghiệm:  Tổng  kết  kinh  nghiệm  qua  thực  tiễn  giảng  dạy,  qua  các đợt khảo sát thực tiễn và qua kinh nghiệm của một số GV dạy Toán cao cấp. 

- Thực nghiệm sư phạm. 

- Thống kê toán học: Xử lí các kết quả điều tra và thực nghiệm. 

8 Những vấn đề đưa ra bảo vệ

- Những biểu hiện của TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy học TCC. 

- Tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp sư phạm trong dạy học TCC theo hướng phát triển TDPT cho SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật. 

9 Những đóng góp của luận án

-  Quan  niệm  về  TDPT  và  dạy  học  TCC  theo  hướng  phát  triển  TDPT  cho  SV  đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật. 

- Những biểu hiện của TDPT của SV đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy học TCC. 

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 

Ngoài ra, luận án còn có phần Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo và Phụ lục. 

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề chung về tư duy

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Theo từ điển Giáo dục học: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, cho phép  phản ánh được  bản chất  và các  mối  quan hệ  của  sự  vật  khách quan  mà  con người không nhận biết được bằng tri giác và cảm giác trực tiếp hoặc bằng biểu tượng” ([21], tr. 457). Khi suy nghĩ, con người sử dụng những kiến thức đã có và bằng những hành động nhận thức cơ bản để phân tích, tổng hợp, so sánh, phân loại, hệ thống hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…mà khám phá ra điều mới trong điều đã biết, từ đó thu được những hiểu biết mới. Hành động nhận thức làm phát hiện những đặc điểm và các mối quan hệ ẩn chứa trong sự vật khách quan và cho ra đời những kết quả của tư duy dưới dạng các khái niệm, phán đoán và suy lí về những đặc tính và quan hệ của sự vật.  

Theo Từ điển Triết học: “Tư duy là quá trình tích cực qua đó, thế giới khách quan được phản ánh trong các khái niệm, phán đoán, lí thuyết,…và nó gắn với việc giải quyết các vấn đề; là sản phẩm cao nhất của dạng vật chất được tổ chức một cách đặc biệt, đó là 

bộ não” (theo [18], tr. 10). 

Rubinstein cho rằng: Tư duy là sự “thâm nhập vào những tầng mới của bản thể, là giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái đến nay vẫn dấu kín trong cõi sâu bí ẩn: Đặt ra và giải quyết những vấn đề của thực tại và cuộc sống, tìm tòi và giải đáp câu hỏi thực ra nó là như thế nào, câu trả lời đó là cần thiết để biết nên sống như thế nào, cho đúng và cần làm gì…” ([55], tr. 83). 

Theo Nguyễn Quang Uẩn và các cộng sự (2014): “Tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của  sự vật, hiện tượng trong hiện thực  khách quan mà trước  đó ta chưa  biết” ([58], tr.79). 

Như vậy, có thể thấy rằng quá trình tư duy của mỗi người bao gồm các ý nghĩ, dựa trên những hiểu biết đã có kết hợp với sự so sánh, phân tích, tổng  hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…từ đó rút ra những kết luận của bản thân (về những khái niệm, tính chất, suy lí,…) nhằm hiểu vấn đề một cách sâu sắc, nhằm tìm kiếm, khám phá,…để giải quyết vấn đề đặt ra. 

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Tư  duy  có  một  số  đặc  điểm  cơ  bản  là:  Tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu

tượng và khái quát hóa, tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính [58]

Tư  duy  chỉ  xuất  hiện  khi  gặp  những  tình  huống  “có  vấn  đề”,  tức  là  những  tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, những phương pháp hành động cũ tuy vẫn cần thiết nhưng không đủ sức giải quyết. Hoàn cảnh có vấn đề 

đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ cá nhân, tức là cá nhân đó phải xác định được cái gì đã biết, đã cho và cái gì còn chưa biết, phải tìm, đồng thời  phải  có nhu cầu   tìm  kiếm  nó. Với  những dữ  kiện quen  thuộc  hoặc  nằm  ngoài  tầm kiểm soát của cá nhân thì tư duy cũng không xuất hiện.  

Ở  mức  độ  tư  duy,  con  người  không  chỉ  tìm  hiểu  đối  tượng  dựa  vào  các  các  giác quan mà còn nhận thức được nó một cách gián tiếp. Tính gián tiếp thể hiện ở những ví dụ: người ta sử dụng những công cụ, phương tiện để nhận thức đối tượng mà không trực tiếp tri  giác;  người  ta  sử  dụng  các  kết  quả  nhận  thức  (quy  tắc,  công  thức,  quy  luật,  khái niệm,…)  vào  quá  trình  tư  duy  để  nhận  thức  được  cái  bên  trong,  cái  bản  chất  của  đối tượng; người ta có thể phản ánh được đối tượng trong hiện thực, trong quá khứ và ở tương lai,… 

Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu  cá  biệt,  chỉ  giữ  lại  những  thuộc  tính  bản  chất  chung  cho  nhiều  sự  vật,  hiện  tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Vì vậy, tư duy mang tính trừu tượng và khái quát. 

Ví dụ 1.1:  Khi  xét  hàm  số f x( )arc sin 5x,  người  ta  có  thể  không  quan  tâm  đến  đặc điểm  cá  biệt  (số  5)  mà  quan  tâm  đến  một  số  thuộc  tính  bản  chất  chung  cho  các  hàm 

arc sin nx (n  ), đó là: hàm số lẻ, là đại lượng vô cùng bé khi x  0.  

Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (những khái niệm, phán đoán…) cũng không thể được chủ thể và người khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của tư duy, là vỏ vật chất của tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả của tư duy cho người khác và bản thân chủ thể tư duy. 

Tư duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức. “Người ta cần có vấn đề để tư duy về 

nó. Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn mọi kĩ năng tư duy, điều này chỉ làm cho người học chú trọng học nhiều nhưng vẫn thiếu kiến thức. Cũng sẽ sai lầm tương tự nếu chỉ tập trung vào kĩ năng  mà  không quan tâm đến tri thức; vì người  học biết thế nào là tư duy, 

Tư  duy  phải  dựa  trên  những  tài  liệu  cảm  tính,  trên  kinh  nghiệm,  trên  cơ  sở  trực quan sinh động. Nhận thức cảm tính là một khâu của mối liên hệ trực tiếp giữa tư duy với hiện thực, là cơ sở của những khái quát kinh nghiệm dưới dạng các khái niệm quy luật. Ngược lại, tư duy và các sản phẩm của nó cũng ảnh hưởng đến các quá trình nhận thức cảm tính, chẳng hạn ảnh hưởng đến tính lựa chọn, tính ý nghĩa, tính ổn định của tri giác. 

1.1.3 Quá trình tư duy

Nhà  tâm  lí  học  K.K.Platonov  đã  tóm  tắt  các  giai  đoạn  của  một  quá  trình  tư  duy bằng sơ đồ dưới đây: (theo [52], tr. 18). 

  Các tác giả Richard Paul và Linda Elder cho rằng mọi tư duy đều gồm các yếu tố: Đặt ra các mục đích, nêu ra các câu hỏi, sử dụng các thông tin, sử dụng các khái niệm, tạo 

ra các suy  luận, đưa  ra  các giả  định, làm  phát  sinh  các hàm  ý,  chứa  đựng một  góc nhìn [38], [76]. Có thể thấy rằng những yếu tố này cũng cần có trong quá trình tư duy ở trên. Chẳng hạn: Khi nhận thức vấn đề, cần đặt ra mục đích. Để xuất hiện các liên tưởng, cần 

sử dụng các thông tin, khái niệm, kinh nghiệm,…Để sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết, cần suy luận, đưa ra các giả định, phán đoán, xác định hướng,… 

1.1.4 Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy của mỗi cá nhân diễn ra một cách phức tạp, được thực hiện nhờ các thao tác tư duy (còn gọi là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc).  

   Xét về bản chất, “tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác trí tuệ nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Cá nhân có tư duy hay không chính là ở chỗ họ có tiến hành các thao tác này ở trong đầu mình hay không. Do vậy, các nhà tâm lí học  gọi  các  thao  tác  tư  duy  là  những  quy  luật  bên  trong  (quy  luật  nội  tại)  của  tư  duy” ([58], tr. 85). 

Một số thao tác tư duy đặc biệt thường được dùng trong thực tế và trong học tập môn  toán  là:  Phân  tích,  tổng  hợp,  so  sánh,  tương  tự,  khái  quát  hóa,  đặc  biệt  hóa,  trừu tượng hóa… 

Phân tích là quá trình dùng trí óc để tách một hệ thống thành những vật, một vật thành những bộ phận riêng lẻ.  

Tổng hợp là dùng trí óc để liên kết những bộ phận thành một vật, liên kết những vật thành một hệ thống. Phân tích, tổng hợp là hai hoạt động trái ngược nhau nhưng là hai mặt  của  một  quá  trình  thống  nhất,  là  hai  hoạt  động  trí  tuệ  cơ  bản  của  quá  trình  tư  duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp.   

So sánh là dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không  bằng nhau giữa các đối  tượng nhận thức (sự vật, hiện tượng).  

Tương  tự  là  thao  tác  tư  duy  dựa  trên  sự  giống  nhau  về  tính  chất  và  quan  hệ  của những  đối  tượng  toán  học  khác  nhau  ([52],  tr.22).  Chẳng  hạn:  Đối  tượng  A  có  các  tính chất  a,  b,  c.  Đối  tượng  B  có  các  tính  chất  a,  b.  Như  vậy,  có  thể  nghĩ  đến  khả  năng  đối tượng  B  cũng  có  tính  chất  c.  (Điều  này  có  thể  không  đúng  nhưng  nó  đúng  trong  nhiều trường hợp). 

Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản 

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát.  

Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã biết sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong nó. Đặc biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát. 

Trong  quá  trình  tư  duy,  người  ta  sử  dụng  các  thao  tác  tư  duy  tùy  theo  từng  điều kiện, nhiệm vụ cần giải quyết. Không nhất thiết hành động tư duy nào cũng phải thực hiện tất cả các thao tác trên. Khi sinh viên thường xuyên so sánh, sử dụng cách suy nghĩ trong học toán vào các vấn đề của cuộc sống thì họ sẽ ghi nhớ tốt hơn, có nhiều kinh nghiệm sống tốt hơn, có thể đưa ra những suy nghĩ tương tự, tạo kĩ thuật bàn đạp, dẫn đến những 

ý tưởng sáng tạo. 

1.1.5 Các loại tư duy

Theo từ điển Giáo dục học, tùy theo tính chất và nội dung của nhiệm vụ cần giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau: tư duy khoa học, tư duy kĩ thuật, tư duy nghệ thuật…Mỗi  kiểu tư duy có những đặc trưng riêng. Tư duy  diễn ra theo những quy luật chung đối với tất cả mọi người, đồng thời cũng có những biểu hiện riêng ở từng người do những đặc điểm sinh lí, thần kinh của người ấy chi phối, nên có người thiên về kiểu tư duy khoa học, có người thiên về kiểu kĩ thuật, có người thiên về nghệ thuật ([21], 

tr. 458). 

Một số loại tư duy có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức của con người, cần được chú trọng trong nhà trường, chẳng hạn tư duy lôgic, tư duy sáng tạo. 

Tư duy logic là “kiểu tư duy dựa trên những sự chứng minh và phản bác có căn cứ thực  tiễn  những  luận  điểm,  quan  điểm  hiện  hữu  bằng  cách  vận  dụng  những  khái  niệm, phán  đoán,  suy  lí  vào  quá  trình  thực  hiện  các  thao  tác  phân  tích,  tổng  hợp,  so  sánh  đối chiếu,  loại  suy,  phân  loại,  hệ  thống  hóa,  trừu  tượng  hóa,…  để  suy  ra  kết  luận  xác  thực hơn, tiếp cận chân lí hơn, phản ánh trung thực hơn bản chất của sự vật khách quan” ([21], 

tr. 458). 

Tư duy sáng tạo là “kiểu tư duy dựa trên logic và tưởng tượng để tạo ra những hình ảnh,  ý  tưởng  và  sự  vật  mới,  chưa  có  từ  trước  đến  nay”.  Tư  duy  sáng  tạo  bắt  đầu  từ  sự quan sát, phân tích, đánh giá sự vật khách quan, tìm ra vấn đề, rồi đặt thành giả thuyết và 

Trong  một  số  tài  liệu,  mặc  dù  các  tác  giả  không  chỉ  ra  đầy  đủ  các  loại  tư  duy nhưng đã đưa ra nhóm những loại tư duy nhằm giải quyết nhiệm vụ nào đó. Chẳng hạn: Với  cuốn  sách  “Management  Research  Methodology”  ([74],  tr.  52),  các  tác  giả  K.N. Krishnaswamy, Appa Iyer Sivakumar, M.Mathirajan đã nêu ra một số loại tư duy thường được dùng trong  giải  quyết vấn đề: Tư duy  logic, tư duy phê phán, tư duy phân tích, tư duy chiến lược, tư duy sáng tạo, tư duy phân kì,… 

Trong cuốn sách “Competence- based learning” ([79], tr. 61), các tác giả đã đưa ra các loại tư duy thuộc về nhóm công cụ nhận thức, trong đó có: tư duy phân tích, tư duy hệ thống  (systemic  thinking),  tư  duy  phê  phán,  tư  duy  logic,  tư  duy  thực  hành  (practical thinking), tư duy sáng tạo. 

Trong  quyển  “Phương  pháp  dạy  học  toán  ở  trường  phổ  thông”  (методика преподавания математики в средней школе) ([90], tr.116), Koliagin và các tác giả khác 

đã trình bày về những thành phần cơ bản của tư duy toán học, đó là: Tư duy cụ thể, tư duy trừu tượng, tư duy trực giác, tư duy hàm.  

Tư  duy  trừu  tượng  liên  quan  chặt  chẽ  tới  cách  suy  luận.  Đây  là  loại  tư  duy  biết thoát khỏi sự vật thông qua trí tưởng tượng.  

Với tư duy trừu tượng, có thể chia ra thành ba loại: Tư duy phân tích, tư duy logic 

và tư duy không gian.  

Trong  một  số  tài  liệu,  Sternberg  đã  nói  đến  ba  loại  trí  thông  minh  giúp  học  sinh thành công trong lớp học, đó là tư duy phân tích, tư duy sáng tạo và tư duy thực hành. Trí thông  minh  phân  tích  bao  gồm  những  kĩ  năng  phân  tích,  đánh  giá,  phán  đoán,  hoặc  so sánh  và  đối  chiếu  để  làm  nổi  bật  những  điểm  khác  nhau.  Nó  được  dùng  điển  hình  khi những  thành  phần  của  quá  trình  được  áp  dụng  với  những  loại  vấn  đề  tương  đối  quen thuộc, đòi hỏi sự phán đoán trừu tượng [82], [83], [84]. 

Theo tài liệu “Phát triển tư duy qua dạy học môn toán ở trường phổ thông” của tác giả Chu Cẩm Thơ ([52], tr. 26): Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều loại tư duy. Thực ra, 

về bản chất sinh học, tư duy chỉ có một. Sự phân chia ra các loại tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng các loại tư duy đó tốt hơn. Người ta có thể phân loại tư duy như sau:  

- Phân loại theo cách thể hiện: Tư duy bằng hình tượng và tư duy ngôn ngữ. 

- Phân loại theo cách vận hành: Tư duy kinh nghiệm, tư duy sáng tạo, tư duy phân tích, tư duy tổng hợp. 

- Phân loại theo tính chất: Tư duy rộng hay hẹp, tư duy sâu hay nông, tư duy logic, 

tư duy phi logic, tư duy đơn giản hay phức tạp, tư duy lí luận. 

Trong thực tế, khi sử dụng người ta thường phối hợp nhiều loại tư duy. Tuy nhiên, tùy theo nghề nghiệp, theo từng tính chất công việc mà họ thiên về những loại tư duy nào 

đó. 

Như vậy, các tài liệu tham khảo ở trên cho thấy tư duy phân tích là loại tư duy cần thiết  trong  giải  quyết  vấn  đề,  trong  quá  trình  nhận  thức,  giúp  SV  thành  công  trong  lớp học. 

1.2 Tư duy phân tích

1.2.1 Khái niệm phân tích

Theo Bloom (1956), phân tích là chia thông tin thành các bộ phận cấu thành của nó 

để hiểu rõ về các bộ phận, mối quan hệ giữa các bộ phận, cách tổ chức các bộ phận. Sự phân tích giúp truyền tải nghĩa hoặc rút ra kết luận về thông tin. Bloom cho rằng một số lỗi thường gặp trong phân tích là: 

- Đánh giá sai bản chất của những yếu tố hoặc những mối liên hệ giữa những yếu tố; Nhầm lẫn những yếu tố cơ bản và những yếu tố phụ; Không nhìn thấy mối liên hệ giữa những yếu tố với ý nghĩa tạo nên toàn thể. 

- Phân tích không đầy  đủ (bỏ lỡ một số  yếu tố, những mối quan hệ mà lẽ ra phải nhận thấy). 

- Phân tích quá: Đi quá xa trong sự phân tích, bẻ vỡ nguyên liệu thành quá nhiều chi tiết, bởi vậy thường bỏ lỡ những mối quan hệ quan trọng hơn. 

- Phân tích không có chất lượng, không sâu sắc [67]. 

Theo  Sacđacốp  (1970),  “Phân  tích  là  một  quá  trình  nhằm  tách  các  bộ  phận  của những  sự  vật  hoặc  hiện  tượng  của  hiện  thực  với  các  dấu  hiệu  và  thuộc  tính  của  chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định. Quá trình đó nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật và hiện tượng” ([44], Tập 1, tr. 88). 

Tác giả cho rằng nếu chỉ phân tích từng yếu tố hoặc phân tích cục bộ mà không tìm được  mối  liên  hệ  của  các  yếu  tố  với  nhau  thì  cũng  giống  như  khi  một  số  học  sinh  học ngoại ngữ chỉ dịch được một từ trong một mệnh đề mà không biết nghĩa của từ khác, hoặc biết  nghĩa  của  từng  từ  nhưng  vẫn  không  hiểu  được  nghĩa  của  toàn  câu.  “Chỉ  có  nghiên cứu phân tích toàn diện các sự vật hoặc hiện tượng theo một hướng nhất định, và xem xét các bộ phận trong một hệ thống của các mối liên hệ và các mối quan hệ nhất định vốn có của chúng mới giúp cho học sinh hiểu biết tương đối sâu sắc, đầy đủ và toàn diện về sự 

Việc nghiên cứu phân tích các sự vật và hiện tượng thường thực hiện được là nhờ 

có so sánh, điều đó cho phép vạch ra các dấu hiệu và thuộc tính bản chất và không bản chất, các mối liên hệ và quan hệ của  một nhóm  sự vật hoặc hiện tượng nhất định ([44], Tập 1, tr. 109]. 

Phân tích luôn là một việc làm có mục đích, diễn biến theo một phương hướng nào 

đó. Trong từng trường hợp riêng lẻ, người ta chỉ phân tích một số bộ phận với một số dấu hiệu, thuộc tính và những mối quan hệ có ý nghĩa đối với việc nghiên cứu. Ý nghĩa tổng hợp ban đầu của sự vật nguyên vẹn và mục đích hoạt động sẽ xác định phương hướng và góc độ để phân tích.  

Tác giả cũng lấy ví dụ thể hiện rằng trước khi phân tích, phải chú ý đến tính toàn thể của hệ thống. Chẳng hạn, khi cho các học sinh nhỏ mô tả về một bức tranh, nếu không biết trước tên của bức tranh thì họ có thể chỉ mô tả các chi tiết  một cách rời rạc, nhưng nếu biết trước tên của bức tranh đó thì học sinh sẽ miêu tả được mối liên hệ giữa các chi tiết và làm nổi bật được nội dung thể hiện trong tranh. 

Theo Marzano và cộng sự (2007), quá trình phân tích bao gồm sự nghiên cứu kiến thức một cách chi tiết, đưa ra một kết quả, tạo ra những kết luận mới. Có năm quá trình phân tích: Kết nối (xác định các điểm tương đồng và khác biệt giữa các thành phần kiến thức); Phân loại (sắp xếp kiến thức thành những loại có ý nghĩa); Phân tích lỗi (đề cập đến tính logic, sự hợp lí hoặc tính chính xác của kiến thức), Khái quát hóa (xây dựng sự khái quát hóa từ những thông tin đã biết. Quá trình này liên quan đến sự suy luận, những suy luận này thường được xem như là việc quy nạp về bản chất); Cụ thể hóa (Là quá trình áp dụng sự khái quát hóa nguyên tắc đã biết. Quá trình cụ thể hóa có xu hướng suy diễn về bản chất) ([75], tr. 44). 

Trong quyển “Tư duy logic”, tác giả Mcinerny D.Q. (2013) đã cho rằng phân tích chỉ  có hiệu quả  nếu được  hoàn  thiện bằng sự  tổng hợp.  Sự  phân  loại  đúng  là điều quan trọng trong phân tích ([35], tr. 168). 

Theo tài liệu “Phát triển tư duy qua dạy học môn toán ở trường phổ thông” ([52], 

tr. 28) của tác giả Chu Cẩm Thơ (2015): “Phân tích là sự chia nhỏ sự vật, sự việc, vấn đề, 

sự kiện,…gọi chung là các đối tượng thành các thành phần để xem  xét, đánh giá về các mặt  cấu  trúc,  tổ  chức,  mối  liên  hệ  giữa  các  thành  phần,  vai  trò  và  ảnh  hưởng  của  từng thành  phần  trong  các  đối  tượng  và  trên  cơ  sở  các  phân  tích,  đánh  giá  đó  xác  định  mối quan hệ và ảnh hưởng của đối tượng được phân tích tới các đối tượng khác”. 

Trong hoạt động giải toán, phân tích là nêu rõ giả thiết và kết luận để tìm mối liên 

1.2.2 Khái niệm tư duy phân tích

Theo Sacđacốp (1970), phân tích và tổng hợp là hai mặt của một quá trình tư duy thống nhất. “Ở một số học sinh, sự phân tích chiếm ưu thế trong hoạt động tư duy phân tích- tổng hợp thống nhất, điều đó thể hiện ở chỗ các em mô tả và tường thuật tỉ mỉ, tách bạch các chi tiết. Đó là kiểu tư duy phân tích. Ở học sinh thuộc loại này, óc phân tích mô 

tả được hình thành và phát triển mạnh” ([44], tr. 106). 

Theo  tài  liệu  “Phương  pháp  dạy  học  toán  ở  trường  phổ  thông”  (методика преподавания математики в средней школе) ([90], tr. 120), Koliagin (1980) và các tác giả khác cho rằng: Trong lĩnh vực tư duy toán học, tư duy phân tích là thành tố của tư duy trừu tượng, được đặc trưng bởi tính rõ ràng của các bước riêng biệt trong nhận thức, nhận thức đầy đủ cả về nội dung lẫn các phép toán được sử dụng. Tư duy này được biểu hiện trong quá trình dạy học thông qua: 

- Khả năng phân tích chứng minh các định lý và giải  các bài toán (Để nhận biết, cần biết). 

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình. 

- Nghiên cứu kết quả lời giải bài toán nào đó… 

Theo  tài  liệu  “Analytical  thinking”  của  tác  giả  Ayman  Amer  (2005)  ([63],  tr.  1): 

Tư duy phân tích là một công cụ tư duy mạnh để hiểu những phần của tình hình. Nó được định nghĩa như là: 

- Khả năng để nghiên cứu kĩ lưỡng, bẻ vỡ những sự việc và những suy nghĩ thành những mặt mạnh và mặt yếu của chúng. 

- Sự phát triển khả năng để suy nghĩ một cách sâu sắc, rõ ràng, để giải quyết vấn 

đề, phân tích dữ liệu, nhớ lại và sử dụng thông tin. 

Tư duy phân tích không thể hiện độc lập với  các dạng tư duy trừu tượng khác; ở các bước riêng biệt của tư duy nó chỉ có thể nổi trội hơn dạng này hay dạng khác khi xảy 

ra đồng thời với các dạng đó. Dạng tư duy này liên hệ mật thiết với thao tác phân tích của 

tư duy. 

Trong  cuốn  sách  “Competence  -  based  learning”  ([79],  tr.  68),  Aurelio  Villa Sáncher (2008) và các cộng sự cho rằng: TDPT là hoạt động trí tuệ giúp phân biệt và tách rời những phần của một tổng thể để đạt đến những vấn đề bản chất, cốt lõi của nó. TDPT 

là tư duy một cách chi tiết, chính xác, biết sắp xếp và phân biệt. Sự thành thạo của năng lực  tư  duy  này  có  liên  hệ  chặt  chẽ  với  sự  suy  ngẫm,  nhận  xét,  lập  luận  logic,  khả  năng quan sát, có tầm nhìn toàn diện, khả năng khái quát hóa, lập kế hoạch, khả năng giải quyết vấn đề, những kĩ năng giao tiếp bằng lời nói và văn bản,… 

TDPT dựa trên một cách tiếp cận có phương pháp, nhờ đó chúng ta chia tình hình phức tạp thành những bộ phận cấu thành của chúng để nghiên cứu. Quá trình này làm nổi bật mối quan hệ qua lại giữa những yếu tố, phân loại chúng để hiểu tình hình, trình bày một  cách  rõ  ràng  và  có  thứ  tự,  tạo  điều  kiện  thuận  lợi  cho  sự  phán  đoán,  ra  quyết  định hoặc giải quyết vấn đề. 

Theo tài liệu “Phát triển tư duy qua dạy học môn toán ở trường phổ thông” ([52], 

tr.  28)  của  tác  giả  Chu  Cẩm  Thơ  (2015):  TDPT  là  tư  duy  về  một  đối  tượng,  các  thành phần tham gia vào đối tượng, các mối liên kết, quan hệ giữa các đối tượng, xác định các đặc điểm, tính chất, đặc trưng, vai trò của đối tượng trong mối quan hệ với các đối tượng khác (gọi  chung là các  yếu tố). Với  việc  xác  định các  yếu tố  của  mỗi  đối  tượng, TDPT mang tính tư duy theo chiều sâu. Mức độ sâu sắc của tư duy được đánh giá qua số lượng các yếu tố mà TDPT tìm được. 

Từ việc tham khảo một số tài liệu ở trên, chúng tôi thấy điểm chung trong các quan niệm về TDPT là: TDPT có liên quan mật thiết đến sự phân tích, sự tìm hiểu vấn đề một cách chi tiết, rõ ràng,  kĩ lưỡng và sâu sắc. Ngoài ra, sự phán đoán, suy luận là cần thiết đối với quá trình tư duy. Đặc biệt, sự phân tích đòi hỏi cao hơn sự hiểu ở khả năng tự rút 

ra những  ý tưởng, những kết  luận.  Hơn  nữa,  khi phân tích  với  mục  đích  tìm  những lỗi, những ưu, nhược điểm và tự rút ra kết luận thì đó cũng là một sự đánh giá. Từ đó chúng tôi mạnh dạn đưa ra khái niệm về TDPT như sau:  

Tư duy phân tích là kiểu tư duy tìm hiểu về đối tượng một cách rõ ràng và sâu sắc Quá trình tư duy diễn ra dựa trên việc xem xét các bộ phận của đối tượng và mối liên hệ giữa chúng với nhau, với tổng thể và các yếu tố bên ngoài Từ đó suy ngẫm, phán đoán, rút ra những kết luận hợp lí dựa trên những căn cứ và lập luận logic

Khái  niệm  trên  thể  hiện  khác  biệt  giữa  TDPT  và  thao  tác  phân  tích  của  tư  duy. TDPT cần có thao tác phân tích. Ngoài ra, TDPT cũng cần sử dụng thao tác tổng hợp và các thao tác tư duy khác (trong những tình huống phù hợp), cần phán đoán, suy luận, lập luận có căn cứ,… 

Chúng tôi cho rằng khái niệm về tư TDPT như trên đã phần nào đạt được những điểm chung với quan niệm của các tác giả khác đồng thời cũng giúp SV dễ dàng hơn khi giải toán, khi phân tích những vấn đề trong ngành kinh tế, kĩ thuật. Chẳng hạn: Theo tác 

sở đó, dùng các phương pháp liên hệ, so sánh, đối chiếu và tổng hợp lại nhằm rút ra tính quy luật và xu hướng phát triển của các hiện tượng nghiên cứu” ([41], tr. 4). Theo Lê Văn Phùng, “Ý nghĩa của giai đoạn phân tích hệ thống: Là công việc trung tâm khi xây dựng HTTT: đi sâu vào bản chất và chi tiết của hệ thống” ([42], tr. 67). 

+  “Với  mỗi      tồn  tại 0,  0”  sao  cho  với  mọi  x X  mà  0 x x0    thì 

( )  , điều này chứng tỏ có thể số l   không những phụ thuộc số  mà còn phụ thuộc hàm  ( ) khi x  rất gần x  và phụ thuộc 0 x  (5) 0

+  Có  thể  hiểu  rằng  với  mỗi   0  dù  bé  như  thế  nào  thì  vẫn  tồn  tại  khoảng 

(x ,x   mà với mọi ) x  trong khoảng này (x x0) thì  ( )f x    Khi đó, nếu l 

ta lấy một tập con của (x0,x0 ) \ x0  thì  ( )f x    với mọi l  x  thuộc tập con này, vậy ta chỉ cần xét  x  gần  x0 (x x0).  (6) 

+ Giới hạn của hàm số  ( ) khi x x0 kí hiệu là 

Khái niệm giới hạn hàm số là nội dung khá trừu tượng, khó hiểu đối với sinh viên, cho nên việc hiểu rõ về giới hạn là một vấn đề đối với họ, hiểu đúng được bản chất của giới  hạn  nghĩa  là  người  học  đã  tư  duy.  Trong  cách  suy  nghĩ  như  trên,  sinh  viên  cần  sử dụng các thao tác phân tích, tổng hợp, cần chia nhỏ, tìm hiểu về từng bộ phận và các mối liên hệ giữa chúng, mối liên hệ với yếu tố bên ngoài (trả lời câu hỏi giới hạn dùng để làm gì), đã sử dụng sự phán đoán, suy luận, sự rút ra kết luận của bản thân. Như vậy có thể nói rằng  người  học  đã  dùng  tư  duy  phân  tích  để  tìm  hiểu  định  nghĩa  giới  hạn  một  cách  rõ ràng, chi tiết và có phần sâu sắc. Tuy nhiên, đây mới chỉ là những suy nghĩ ban đầu khi đọc về khái niệm giới hạn. Tiếp theo đó, từ sự hình dung các giá trị  ( ) rất gần l (có thể  bằng  l)  với  x   rất  gần  x0,(x x0),  người  học  sẽ  phải  dự  đoán,  chẳng  hạn: 

x x

    Sau đó, họ phải kiểm tra lại dự đoán này bằng cách dùng định nghĩa giới hạn, nhận ra trong ví dụ này số  phải phụ thuộc  và giá trị hàm f x( ). Từ đó, họ nghĩ đến việc trả lời câu hỏi: Khi nào số  không phụ thuộc , rồi đưa ra ví dụ minh họa,…và phải tìm hiểu thêm các tính chất của giới hạn, khi đó sự hiểu biết của họ về giới hạn sẽ sâu sắc hơn.  

Trong dạy học khái niệm giới hạn, GV có thể đặt các câu hỏi phù hợp để SV suy nghĩ theo hướng như trên Chẳng hạn: Điều này có nghĩa là gì? Từ những điều này ta rút

ra nhận xét gì?, Các số ,   có ý nghĩa gì?… GV cũng nên nhấn mạnh để SV thấy trong các khái niệm về giới hạn, người ta thường dùng kí hiệu  để chỉ một số dương rất bé, dùng để so sánh với ( ) f x  , nhằm thể hiện l ( )rất gần l (hoặc có thể bằng giới hạn

)

l với x đủ gần x Việc giải thích ý nghĩa và cách dùng các kí hiệu như vậy giúp SV 0

hiểu rõ hơn ngôn ngữ toán học và có thể tự đưa ra các khái niệm tương tự

Ví dụ 1.3  (dựa  theo  [46],  tr.  181):  Nước  đang  chảy  ra  khỏi  một  cái  thùng  hình  nón  lật 

ngược với tốc độ 10000 cm3/phút, cùng lúc đó nước được bơm vào thùng với một tốc độ không đổi. Thùng nước cao 6m và đường kính tại đỉnh là 4m. Mực nước tăng lên với tốc 

Chia bài toán thành các phần:

Nhận xét sau khi giải bài toán:

Kiến thức quan trọng đã áp dụng khi giải bài toán này là: Đạo hàm của hàm số

( ) tại điểm x biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số 0 ( ) tại x x0 Đối với các bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên của hàm số, trước tiên nên nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm và lập hàm số phù hợp

Ở bài toán trên, TDPT của SV được thể hiện qua các hoạt động: nhìn tổng thể, chia nhỏ và tìm hiểu từng phần, tìm các mối quan hệ, rút ra kết luận để giải quyết vấn đề, suy nghĩ sâu bài toán.  

Phân tích để giải một bài toán là việc học sinh vẫn thường làm ở các cấp học phổ thông,  cũng  thường  được  các  giáo  viên  nhắc  đến  khi  gợi  ý  về  một  lời  giải.  Tuy  nhiên, cách suy nghĩ này đối với mỗi SV cần được thể hiện một cách độc lập, rõ ràng, mạch lạc hơn, có phương pháp hơn. Việc vận dụng tư duy phân tích sẽ giúp SV thực hiện các hoạt động phân tích tốt hơn. 

1.2.3 Đặc điểm của tư duy phân tích

Từ khái niệm về tư duy phân tích ở trên và dựa theo các tài liệu tham khảo, có thể thấy rằng tư duy phân tích có một số đặc điểm cơ bản sau: 

- Nghiêng về phân tích khi tiếp cận đối tượng.  

- Thường xuyên đặt và trả lời các câu hỏi, đặc biệt là các câu hỏi chia nhỏ vấn đề, giải thích, suy luận. 

Việc  đặt  câu  hỏi  là  một  phần  trong  quá  trình  tư  duy  ([52],  tr.  18).  Theo  Richard Paul, Linda Elder (2015): “Những câu hỏi sẽ xác định những nhiệm vụ, trình bày những vấn  đề  và  vạch  ra  những  vấn  đề  cần  tranh  cãi.  Chúng  thúc  đẩy  tư  duy  hướng  về  phía trước” ([38], tr. 13). “Đặt ra những câu hỏi bản chất mang tính phân tích là điều then chốt nhất trong tư tưởng” ([49], tr.17). 

Edward B.Burger, Michael Starbird (2014) cho rằng: Câu hỏi sẽ giúp kích thích tư duy. “Luôn luôn tư duy, và đặt ra câu hỏi là một thói quen rất tốt giúp bạn hiểu sâu, có trải nghiệm tốt hơn về những vấn đề xung quanh mình” ([7], tr. 101). 

- Xem xét đối tượng một cách rõ ràng và sâu sắc: SV xem xét kĩ vấn đề, nhận ra những sai lầm; nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác nhau; có thể nêu các nhận xét, chú ý; tự đưa thêm các mệnh đề; có thể suy nghĩ sâu bài toán; hoàn chỉnh, bổ sung, mở rộng hay liên hệ với vấn đề khác; suy luận bắc cầu theo nhiều bước; không thỏa mãn với những câu trả  lời  đại  khái  mà  đi tìm  lời  giải  thích sâu sắc  hơn.  Có thể  tìm được  nhiều vấn đề, nhiều mối quan hệ có liên quan đến một yếu tố đang xem xét ([14], tr. 18), ([29], tr. 306), 

 - Sử dụng các thao tác tư duy, sử dụng sự phán đoán, suy luận. Trong quá trình tư duy, người ta phải thực hiện các thao tác tư duy, phải phán đoán, suy luận. Đối với tư duy phân tích, bắt buộc phải có thao tác phân tích, phân tích lại đi kèm tổng hợp. Sự so sánh cũng đòi hỏi xem xét từng chi tiết. So sánh làm nổi bật sự giống nhau và khác nhau giữa hai đối  tượng do đó sẽ  giúp  hiểu đối  tượng rõ hơn.  Sự  phân  loại  cũng là  một  hình  thức chia nhỏ dựa vào thuộc tính. Việc sắp xếp phải dựa vào sự giống và khác nhau, dựa vào các mối  liên hệ  logic. Phân  loại  và sắp xếp cũng giúp  nhìn nhận đối  tượng một  cách rõ ràng hơn. Các thao tác tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa giúp cho quá trình phán 

đoán, đưa ra những suy luận quy nạp, suy diễn. 

- Phương pháp tiếp cận vấn đề dựa trên những thông tin, bằng chứng và logic [69]. 

- Thường sử dụng một số công cụ phân tích, chẳng hạn: đề cương, bảng biểu, đồ thị, bản đồ tư duy, bản đồ khái niệm,…[79]. 

Nhiều  tác  giả  như  Tony  Buzan,  Ayman  Amer,  Polya,  Stewart,  Aurelio  Villa Sánchez,  Manuel  Poblete Ruiz,  Phan  Dũng,  Trần Đình Châu, Đặng Thị  Thu Thủy,  Chu Cẩm Thơ, đã cho rằng những sơ đồ, đồ thị có ưu điểm: ngắn gọn, rõ ràng, giúp nhìn tổng thể và chi tiết, làm nổi bật yếu tố cốt lõi, giúp phân loại, giúp tìm kiếm mối liên hệ, hỗ trợ suy luận, tìm giải pháp [8], [9], [43], [46], [79],…   

Darren Bridger và David Lewis (2012) ([6], tr. 42) cũng cho rằng khi phân tích để lựa chọn các giải pháp, có thể sử dụng sơ đồ cây dạng: 

 hoặc  

        Hình 1.2: Sơ đồ cây thường dùng khi phân tích 

Tony Buzan (2016) cho rằng: “Trong khi phân tích, bạn chia nhỏ vấn đề và điều đó thường có nghĩa là bạn không nhìn thấy được tương quan giữa các thành phần, vì vậy mức 

độ hiểu của bạn giảm đi. Khi việc này xảy ra, bạn có nguy cơ phân tích quá mức và bị rối trí. Với sơ đồ tư duy, bạn có thể thấy “toàn cảnh” theo cách trực quan cùng tất cả các sự kiện  và  chi  tiết  nhỏ  hơn-  tầm  nhìn  của  bạn  không  còn  bị  bó  hẹp  và  bạn  kiểm  soát  hoàn 

đề (tâm của sơ đồ), nhờ vậy bạn giữ được tâm thế khách quan và tập trung khi lựa chọn giải pháp” ([8], tr. 91), ([70], tr. 82). 

“Hình vẽ là đối tượng nghiên cứu trong các bài toán hình. Tuy nhiên, chúng cũng giúp  đắc  lực  trong  việc  giải  những  bài  toán  rất  khác  nhau  mà  thoạt  xem  chẳng  có  gì  là hình học cả” ([43], tr.83). “Chúng ta có thể tưởng tượng ra hình vẽ đó trong óc hoặc vẽ ra giấy.  Trong  một  số  trường hợp  chỉ  nên  tưởng  tượng trong  óc  mà  không nên vẽ  ra giấy. Tuy nhiên nếu chúng ta còn phải lần lượt xem những chi tiết khác nhau thì nên vẽ hình. Nếu có nhiều chi tiết, mà ta không thể hình dung tất cả cùng một lúc, thì khi đó trên giấy chúng sẽ hiện ra đồng thời. Cái chi tiết mà ta nhớ lại trong óc có thể bị quên mất nhưng cũng chi tiết đó khi được vẽ trên giấy thì giữ được mãi và bất cứ khi nào ta cũng có thể trở lại nó” ([43], tr. 83). 

“Trong  tất  cả  các  giai  đoạn  của  quá  trình  suy  nghĩ,  ở  đâu  có  thể  mã  hóa  được  ý nghĩ, các câu nói, lời phát biểu…thành hình vẽ thì người giải bài toán cần thực hiện điều 

đó và suy nghĩ tiếp tục bằng chính những hình vẽ được tạo ra”. Hình vẽ nói ở đây có thể 

là biểu đồ, đồ thị các loại, sơ đồ nguyên lí, sơ đồ khối, các hình vẽ mang tính chất tượng trưng,…([12], tr. 141). 

+ Nếu có hàm g x( ) liên tục trên  ,a b

   thì f x( )g x f x g x( ), ( ) ( ) cũng liên tục trên  ,a b

    Nói  riêng,  nếu  hàm  số  f : [ , ]a b [ , ]a b   liên  tục  thì  tồn  tại c   a b,    sao  cho f c( )c. Điều này được chứng minh bằng cách xét ( )x f x( )x. Hàm ( )x cũng liên tục trên ,

Ví dụ trên thể hiện đặc điểm “nghiêng về phân tích khi tiếp cận đối tượng” của tư duy phân tích. Khi học xong nội dung bài mới hay ôn lại bài cũ, SV nên diễn giải và đưa thêm những suy luận của bản thân. Điều đó sẽ giúp cho việc áp dụng giải quyết nhiều vấn 

đề có thể gặp sau này, cũng giống như việc ngẫm nghĩ sau mỗi tình huống, để tạo thêm nhiều bài học kinh nghiệm. Tuy nhiên, trong trường hợp giải bài toán cụ thể, không nên đi sâu vào liệt kê quá nhiều yếu tố, phải có cái nhìn bao quát rồi chọn hướng suy nghĩ phù hợp với yêu cầu bài ra để phân tích. 

1.2.4 Mối quan hệ giữa tư duy phân tích với một số loại tư duy khác và với khả năng giải quyết vấn đề

TDPT  có  mối  liên  hệ  chặt  chẽ  với  nhiều  loại  tư  duy  khác  và  với  khả  năng  giải quyết vấn đề. 

- TDPT cần thiết trong quá trình sáng tạo. Tư duy sáng tạo với sự tưởng tượng có thể tạo ra nhiều ý tưởng, khi đó cần phân tích để lựa chọn những ý tưởng hay nhất. Ngược lại,  sự  phân  tích  vấn  đề  một  cách  sâu  sắc  cũng  giúp  nảy  sinh  những  ý  tưởng  sáng  tạo. Chẳng  hạn,  tác  giả  Polya  đã  lấy  một  ví  dụ  về  suy  nghĩ  phân  tích  như  sau:  Một  người muốn đi qua dòng suối, anh ta nghĩ: phải làm thế nào? Phải có một cái cây đổ để bắc qua, nhưng không có cây đổ, phải làm gì? Phải chặt cây, cần dụng cụ nào để chặt cây và phải tác dụng vào cây như thế nào để cây đổ đúng ngang qua suối? Những suy nghĩ phân tích như vậy có thể giúp anh ta trong quá trình sáng chế ra một cái rìu hay một chiếc cầu ([43], tr.107). 

- TDPT cần đưa ra những kết luận hợp lí dựa trên những căn cứ và lập luận logic. Vậy TDPT có liên quan với tư duy logic. 

-  TDPT  gần  như  đối  ngược  với  tư  duy  trực  giác.  Trong  thực  tế,  nếu  trước  bất  kì tình  huống  nào,  người  học  cũng  áp  dụng  ngay  những  suy  nghĩ  phân  tích  thì  có  thể  sẽ không đạt hiệu quả cao (mất nhiều thời gian và có thể bế tắc). Trong bài viết “Đảm bảo sự cân đối giữa tư duy trực giác và TDPT cho học sinh trong dạy học toán” ([48], tr. 46-49), các tác giả Đào Tam, Võ Xuân Mai (2016) cho rằng trong quá trình tư duy cần kết hợp giữa TDPT và tư duy trực giác, hai loại tư duy này là các thành phần của tư duy toán học, chúng có thể bổ sung cho nhau khi giải quyết vấn đề. Tư duy trực giác giúp học sinh đưa 

ra các phán đoán cho vấn đề, định hướng cách giải quyết vấn đề, tạo ra những cách giải quyết không rập khuôn, máy móc, còn TDPT sẽ giúp kiểm chứng phán đoán dựa vào các lập luận logic, giúp hạn chế được những sai lầm có thể xảy ra do trực giác.  

Ví dụ 1.5: Dùng vi phân để tính gần đúng giá trị 

0,01 3

0, 99

e

 qua x0     x

3 0

0, 99

e

  theo các cách khác nhau. Chẳng hạn, lấy x0    1, x 0, 01. Ta có:  

GV cũng có thể dùng bài tập này khi dạy về vi phân toàn phần của hàm hai biến, sau đó 

đề  nghị  SV  kiểm  tra  lại  kết  quả  bằng  các  cách:  áp  dụng  vi  phân  của  hàm  một  biến,  sử dụng máy tính.  

- TDPT có liên quan với tư duy tổng hợp: TDPT cần dùng thao tác phân tích. Thao tác phân tích luôn đi cùng thao tác tổng hợp. Trước khi phân tích phải nhìn toàn thể để xác định sẽ phân tích theo hướng nào. Sau khi tìm hiểu các bộ phận thì cần liên kết, tổng hợp lại rồi đưa đến kết luận. Ngay trong quá trình phân tích cũng phải nhìn lại tổng thể để tránh tình trạng phân tích quá xa, cần tổng hợp những kết quả  phân tích được  để tìm ra yếu tố mới, rồi tiếp tục phân tích dựa trên các yếu tố đã tìm được. Những vấn đề này đã được nhắc đến bởi nhiều tác giả như Sacđacốp ([44], tập 1, tr. 88), Polya ([43], tr. 115), Hoàng  Chúng  ([11],  tr.  17),  Nguyễn  Duy  Thuận  ([53],  tr.  9),  Mcinerny  ([35],  tr.  168),