Toàn tập phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Để xét VTTĐ của d và S ta thay 1 vào 2, được một phương trình *.. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song Khoả

Page 1 of 55

TOÀN TẬP PT ĐƯỜNG THẲNG 2020 THI ĐH NĂM CHỈ CẦN BẤY NHIÊU LÀ THỪA

A LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Phương trình tham số của đường thẳng

 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) và có VTCP a( ;a a a1 2; 3)

+ Ngoài ra còn có phương trình đường thẳng dạng giao tuyến của 2 mp ( tham khảo)

2 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d, d  có phương trình tham số lần lượt là:

3 Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*)

 d và (S) không có điểm chung  (*) vô nghiệm  d(I, d) > R

 d tiếp xúc với (S)  (*) có đúng một nghiệm  d(I, d) = R

 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)

Cho đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP a

6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2

d 1 đi qua điểm M 1 và có VTCP a1

, d 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP a2

7 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (  ) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (  )

8 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP a a 1, 2

Góc giữa d 1 , d 2 bằng hoặc bù với góc giữa a a 1, 2

B- CÁC BÀI TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CẦN NHỚ

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng  P và  Q

Page 3 of 55

Cách giải: Lấy A thuộc  P và  Q , tìm ud n  Q ;n P 

Cách giải: Để viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) lên mặt phẳng ( P) ta thực

hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đường thẳng ( d) đi qua điểm M x y z 0; 0; 0 và có vecto chỉ phương aa a a1; 2; 3

Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến nA B C; ; 

a) Ta tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P )

b) Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đó chính là đường thẳng cần tìm

-TH2:Nếu a n  a A a B1  2 a C3 0

; thi ( d ) cắt ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau : a)Tìm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ;

b)Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên ( P )

c) Đường thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm

Chú ý: Có thể đi tìm mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng  P , khi đó hình chiếu của d lên  P là giao tuyến của hai mặt phẳng  P và  Q

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A x A;y A;z A , vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng

Cách giải: ( Không nên làm )

- Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d và d 1

- Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa d và d2

Khi đó giao tuyến của  P và  Q là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)

Cách xác định mặt phẳng  P :  

1;

d P

Cách giải: Như bài toán 4

Bài toán 6: Cho điểm A x A;y A;z A và hai đường thẳng d v d Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, 1 à 2

cắt d và vuông góc với 1 d 2

Cách giải:

- Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d và d 1

- Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa d và vuông góc với d 2Khi đó giao tuyến của  P và  Q là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)

Cách xác định mặt phẳng  P :  

1;

d P

n u

(vtpt  Q là vtcp d ) 2

Page 5 of 55

Bài toán 7: Cho 3 đường thẳng d d d Viết phương trình đường thẳng d song song với 1; 2; 3 d , cắt 1 d d 2; 3

Cách giải:

- Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d2 và song song với d1

- Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa d và song song với 3 d 1Khi đó giao tuyến của  P và  Q là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)

Bài toán 8: Cho điểm A x A;y A;z A, đường thẳng d , mặt phẳng 1   Viết phương trình đường thẳng d đi qua

A, cắt d1 và song song với P

Cách giải:

- Viết phương trình mặt phẳng  P xác định bởi A và d1

- Viết phương trình mặt phẳng  Q qua A và song song  

Khi đó giao tuyến của  P và  Q là đường thẳng d (sử dụng bài toán 1)

Bài toán 9: Cho hai đường thẳng d d chéo nhau Viết phương trình đường vuông góc chung của 1; 2 d d 1; 2

Cách giải: - d là đường vuông góc chung nên d có vtcp uu u1; 2

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ THI D1 - XÁC ĐỊNH VTCP

Câu 1: Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 1 5 2

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  d vuông góc với mặt phẳng  P : 2x3z 5 0 Một

vectơ chỉ phương của đường thẳng  d là

Page 7 of 55

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA2i3j5k

; OB 2j4k

Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P :xy60 và  Q Biết rằng điểm H2; 1; 2   là

hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O0; 0; 0 xuống mặt phẳng  Q Số đo góc giữa mặt phẳng

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véctơ nào trong 4 phương án dưới đây là một véc tơ chỉ

phương của đường thẳng có phương trình 1 3 3

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, véctơ nào trong 4 phương án dưới đây là một véc tơ chỉ

phương của đường thẳng có phương trình 1 3 3

 Đường thẳng  qua A cắt d và  P lần lượt tại hai điểm

M và N sao cho AM 2AN, khi đó một vectơ chỉ phương của  là?

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;1;1 và mặt phẳng ( ) :P x2y0 Gọi  là đường thẳng đi

qua A , song song với ( )P và cách điểm B  1;0;2 một khoảng ngắn nhất Hỏi  nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ?

B  Gọi  là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến 

là nhỏ nhất Một vectơ chỉ phương của  có tọa độ

A 1;1; 3  B  1; 1; 1    C  1; 2; 4   D  2; 1; 3   

Page 9 of 55

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu    2  2  2 2

S x  y  z  , mặt phẳng

 P :xy  z 3 0 và điểm N1; 0; 4  thuộc  P Một đường thẳng  đi qua N nằm trong  P

cắt  S tại hai điểm A, B thỏa mãn A B  4 Gọi u1; ;b c

, c 0 là một vecto chỉ phương của

x y

Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 4 0

Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P ?

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2 ; 3) và mặt phẳng ( ) : 3P x4y7z 2 0 Đường thẳng đi

qua A và vuông góc với mặt phẳng ( )P có phương trình là

x y

Câu 52: Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng

đi qua hai điểm A1; 2;5  và B3;1;1?

A

1

2 33

x y

A

312

Page 13 of 55

A

12

A

2 231

Câu 66: Cho điểm A1;2;3 và hai mặt phẳng  P : 2x2y  z 1 0,  Q : 2x y 2z 1 0 Phương trình

đường thẳng d đi qua A song song với cả  P và  Q là

Câu 67: Cho điểm A1;2;3 và hai mặt phẳng  P : 2x2y  z 1 0,  Q : 2x y 2z 1 0 Phương trình

đường thẳng d đi qua A song song với cả  P và  Q là

Câu 68: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm A1; 2;1 và vuông

Câu 69: Trong không gian Oxyz , cho điểm M1;1;1 và hai mặt phẳng  P :x y 2z 1 0,

 Q : 2x  y 3 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng  d đi qua điểm M đồng thời song

song với cả hai mặt phẳng  P và  Q

Câu 70: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A1; 4; 1 ,  B2; 4; 3 , C2; 2; 1   Phương trình

tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Câu 74: Trong không gian tọa độ Oxyz , gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng    :x3y z 0 và

   :x   y z 4 0 Phương trình tham số của đường thẳng d là

x y

Câu 80: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng ( ) :P x2y z 40và đường thẳng

Câu 82: Trong không gian Oxyz cho điểm A2; 1;1  và mặt phẳng  P : 2x y 2z 1 0 Viết đường thẳng

 đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  P

Phương trình đường phân

giác của góc nhọn giữa d1 và d2 là

Page 17 of 55

Câu 89: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng đi qua điểm M1; 0;1 và vuông

góc với hai đường thẳng 1: 4

Câu 93: Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho hai điểm A  2; 3; 1    và B  4; 1;3   Phương trình mặt

phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

Câu 96: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A2;1; 1 ,  B  2;3;1 và C0; 1;3  Gọi d là

đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvà vuông góc với mặt phẳng ABC

Câu 99: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M1; 2; 3 và

song song với giao tuyến của hai mặt phẳng  P : 3x  y 3 0,  Q : 2x   y z 3 0

A

1

2 33

Câu 101: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  6;0; 0, B0; 4;0 , C0;0;6 Tập hợp

tất cả các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng có phương

Câu 102: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi

qua hai điểm A2;1; 0;B  1;3;1?

Câu 103: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi

qua hai điểm A2;1; 0;B  1;3;1?

A

12

 Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P và d lần lượt tại M

và N sao cho A là trung điểm của MN

Câu 110: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;0;1, B   1; 2; 0, C2;0; 1  Tập hợp các

điểm M cách đều ba điểm A B C, , là đường thẳng  Viết phương trình đường thẳng 

A

1323

Câu 111: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  1; 0;1, B  2;1;1 Phương trình mặt phẳng

trung trực của đoạn AB là

A x  y 2 0 B xy 1 0 C    x y 1 0 D x  y 2 0

Câu 112: Đường thẳng  đi qua điểm M3;1;1, nằm trong mặt phẳng

  :x   y z 3 0 và tạo với đường thẳng

 P :x   y z 6 0 Gọi đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng  P Có

bao nhiêu số thực m để đường thẳng  vuông góc với giá của véctơ a   ( 1; 0;1)

A

3 211

Câu 123: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A   3;3; 3  thuộc mặt phẳng    có phương trình

2 – 2 x y   z 15  0và mặt cầu    S : x  2 2  y  3 2   z  5 2  100 Đường thẳng  qua A, nằm trên mặt phẳng    cắt ( ) S tại M , N Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng

 Viết phương trình đường thẳng  cắt  P và d lần lượt tại M , N sao cho A

là trung điểm của MN

Câu 130: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A1;1; 2 , B2;3;1 , C3; 1; 4  Viết

phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B

A

231

Câu 131: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2;3 và mặt phẳng  P : 2x y 4z 1 0

Đường thẳng  d đi qua điểm A, song song với mặt phẳng  P , đồng thời cắt trục Oz Viết phương trình tham số của đường thẳng  d

A

1 5

2 63

S x  y  z  Gọi  là đường thẳng đi

qua điểm E , nằm trong  P và cắt  S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Phương trình  là

Câu 133: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;1;5 và hai mặt phẳng

 P : 2x y 3z 7 0,  Q : 3x2y  z 1 0 Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng  P và điểm

Câu 134: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x3y2z120 Gọi A B C, , lần lượt là giao điểm

của   với ba trục tọa độ, đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và

vuông góc với   có phương trình là

Câu 137: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A2;1; 0, B3;0; 2, C4;3; 4 

Viết phương trình đường phân giác trong của góc A

A

210

x y

y z

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM

Câu 138: Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 1 2

Câu 141: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmA  3; 1;2  và mặt phẳng  P : 3 x     y z 1 0

Mặt phẳng   Q đi qua điểm A và song song với  P có phương trình là

A   Q : 3 x y   2 z   1 0 B   Q : 3 x y   2 z   6 0

C   Q : 3 x y z    0 D   Q : 3 x y z     6 0

Câu 142: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2;1; 1 , B  1;0; 4, C0; 2; 1   Phương

trình nào sau đây là phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC

A x2y5z0 B x2y5z 5 0

C x2y5z 5 0 D 2xy5z 5 0

Câu 143: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2;1; 1 , B  1;0; 4, C0; 2; 1   Phương

trình nào sau đây là phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC

 và điểm M1; 2;m Tìm giá trị tham

số m để điểm M thuộc đường thẳng d

d     và vuông góc với mặt phẳng   :x y 2z 1 0 Hỏi giao tuyến của  

và   đi qua điểm nào ?

A 0;1;3 B 2;3;3 C 5;6;8 D 1; 2;0 

Câu 151: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

Câu 155: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1; 2;3 , B2;0; 1  và mặt phẳng

 P :x   y z 1 0 Tọa độ giao điểm C của đường thẳng AB và mặt phẳng  P là

Câu 166: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A0 ; 0 ;1 ,  B3; 2 ; 0 ,  C2 ; 2 ; 3  Đường cao kẻ

từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A P  1; 2 ; 2  B M  1; 3; 4 C N0 ; 3; 2  D Q  5 ; 3; 3

Câu 167: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 2 ; 3 ,  B3; 1; 2 ,   C2 ; 1;1  Đường phân

giác trong kẻ từ A của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A P0 ; 4; 4 B M2 ; 0 ;1 C N  1;5 ;5 D Q3; 2 ; 2 

Câu 168: Trong không gian Oxyz , cho A1; 0 ; 0 ,  B0 ; 2 ; 0 ,  C0 ; 0 ; 3 , D  2 ; 3;1  Đường cao của tứ diện

ABCD kẻ từ D đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Câu 170: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H5; 5; 2 là hình chiếu của điểm A

lên cạnh BC Mặt phẳng  P xy  z 5 0đi qua đường phân giác trong AJcủa góc A của tam

giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC Điểm K  2; 1; 0  thuộc đường trung tuyến AM Tìm tọa độ điểm A

A A   1; 6;1 B A0;3;1 C A1; 6; 1  D A11;0; 5 

Câu 174: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng , : 1 1 1

Câu 180: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;3, B5; 4; 1   và mặt phẳng  P

qua Ox sao cho d B P ;  2d A P ;  ,  P cắt AB tại I a b c nằm giữa AB Tính a ; ;    b c

Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp

tuyến của mặt cầu Biết rằng mặt phẳng ABC đi qua D1; 1; 2 Tổng 2 2 2

Câu 194: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  d là giao tuyến của hai mặt

phẳng( ) : sin cos 0;( ) : cos sin 0; 0;

Câu 195: Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng đi qua điểm A1; 1; 2 , song song với mặt phẳng

 P : 2x   y z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1