Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8a1 trường THCS thiện ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHÃ VIỆT NAMĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc Tân Biên, ngày 14 tháng 05 năm 2020 BÁO CÁO TÓM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN - Tên sang kiến: Rèn luyện kỹ năng giải phương trình

Trang 1

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHÃ VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tân Biên, ngày 14 tháng 05 năm 2020

BÁO CÁO TÓM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN

- Tên sang kiến: Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCSThiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Tên cá nhân thực hiện: Ngô Đức Đồng

- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ ngày 07/ 9/2019 đến ngày 14/ 5/2020

1 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:

Trong chương trình toán của cấp THCS, bắt đầu từ lớp 8 học sinh được học vềphương trình, bắt đầu là phương trình bậc nhất một ẩn Cùng với đó học sinh được học cácquy tắc biến đổi tương đương một phương trình là “Quy tắc cộng”; “Quy tắc chuyển vế”;

“Quy tắc nhân” Trong chương trình toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học về phương trìnhmột ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ơ mẫu;phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương trình chứa dấu căn,phương trình quy về phương trình bậc hai Thông qua việc học các dạng phương trình trênhọc sinh được trang bị những kiến thức và phương pháp giải các phương trình đại số

Do đó để nắm chắc cách giải các dạng phương trình trên một các đầy đủ và áp dụng linhhoạt vào mỗi loại phương trình là một điều khó khăn với nhiều em học sinh Mỗi dạngphương trình có cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của từng phương trình Hơn nữa,việc học Toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập dothầy (cô) đưa ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát vấn đề vàrút ra được những điều gì bổ ích Dạng Toán giải phương trình bậc nhất một ẩn là một dạngToán rất quan trọng của môn Đại số 8 đáp ứng yêu cầu này là nền tảng, làm cơ sở để họcsinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn,giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và phục vụ cho việc học đại số trong chươngtrình lớp 9 cũng như chương trình toán THPT đồng thời nó là nền tảng để giúp học sinh tiếpcận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí học, hoá học, sinh học của bậchọc này Xuất phát từ thực tế đó cùng với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy và

kỹ năng giải phương trình cho học sinh khối 8 trường THCS Thiện Ngôn, tôi quyết địnhviết sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCSThiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

Trang 2

2 Mô tả sáng kiến:

 Để thực hiện sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1

trường THCS Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Là người

trực tiếp giảng dạy tôi đưa ra giải pháp:

 Trước hết giáo viên ôn tập cho học sinh cách ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ  Dạy tự chọn với chủ đề “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

 Dạy tự chọn với chủ đề “Phương trình”

 Giải một số bài tập cơ bản về phương trình bậc nhất một ẩn

 Hệ thống một số phương pháp giải các dạng phương trình

 Giải phương trình bậc cao nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi

 Với mỗi dạng bài tập yêu cầu các em làm nháp trước khi làm vào tập Giáo viên hãyphân tích cho các em hiểu rằng, tập nháp còn giá trị hơn cả tập ghi, vì trong tập nháp thểhiện cả quá trình tư duy, tìm tòi lời giải bài toán còn trong tập ghi chỉ thể hiện kết quả của

3 Phạm vi triển khai thực hiện:

Trường THCS Thiện Ngôn

Lớp 8A1: 43 học sinh

4 Tính mới của sáng kiến:

- Trong sách giáo khoa củng như các tài liệu khác, nội dung kiến thức về phân tích đa thức

thành nhân tử và kiến thức về giải phương trình chủ yếu chỉ đề cập tới các phương pháp cơbản thông qua các ví dụ minh họa, chưa xoáy sâu vào những sai lầm mà học sinh thườngmắc phải củng như khả năng phân tích, kỹ năng trình bày và đặc biệt là việc khai thác bàitoán gốc Trong sang kiến này bản thân xoáy sâu vào các điểm:

+ Cung cấp cho học sinh nhiều hướng giải một bài toán

+ Chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải

+ Rèn luyện kỹ năng phân tích, kỹ năng trình bày

+ Học sinh biết khai thác bài toán gốc để tự mình đưa ra được bài toán mới

- Bên cạnh đó, đây là sáng kiến hoàn toán mới mà bản thân đã nghiên cứu và thực hiệndựa vào thực tế giảng dạy ở đơn vị Trường THCS Thiện Ngôn Trong đơn vị, sáng kiến nàychưa có giáo viên bộ môn nào nghiên cứu thực hiện Vì thế, sáng kiến này có thể được áp

Trang 3

dụng cho các giáo viên dạy Toán 8, 9 tiếp tục nghiên cứu và thực hiện ở các năm học tiếptheo.

5 Kết quả, hiệu quả mang lại:

Qua việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi nhận thấy chất lượng môn Toán củahọc sinh có nhiều tiến bộ, học sinh tích cực hơn trong học tập, các em ngày càng yêuthích học toán

Xếp loại KT khảo sát trước khi

(KT sau khi thực hiện sáng kiến, có 2 học sinh vắng mặt)

6 Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng của sáng kiến:

Sáng kiến này có thể áp dụng cho các học sinh ở khối 8; 9 ở THCS Thiện Ngôn và ởcác trường THCS trong huyện Tân Biên, tỉnh Tây Ninh

7 Kiến nghị, đề xuất:

Mặc dù bản thân đã cố gắng hoàn thiện sáng kiến, nhưng do giới hạn về thời giancùng với kinh nghiệm của bản thân chưa nhiều nên trong quá trình viết sáng kiến khôngthể tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong được sự đóng góp ý kiến từ các bạn đồngnghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn

Tôi cam đoan những điều khai trên là đúng sự thật và không vi phạm pháp luật

Trang 4

1 Tên sáng kiến: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường

THCS Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

2 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến:

Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán 8 với chương trình mới, qua quá trình giảng dạy và kếtquả của học sinh, tôi nhận thấy kỹ năng về giải phương trình bậc nhất một ẩn và các dạngphương trình đưa được về phương trình bậc nhất (phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trìnhtích, phương trình bậc cao, ) của học sinh còn yếu Đặc biệt học sinh rất lúng túng khi gặpdạng toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu và giải các phương trình bậc cao, trong khi đókiến thức này lại rất quan trọng và được ứng dụng rất nhiều trong quá trình học Toán của học

Vì sao học sinh thường ngại, lúng túng và mắc sai lầm khi gặp dạng toán liên quan đếnphương trình bậc nhất một ẩn? Sở dĩ như vậy bởi đây là phần tương đối khó, chứa đựngnhiều kiến thức: các hằng đẳng thức đáng nhớ, các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân (phép cộng), kiến thức về giải phương trình bậcnhất một ẩn, về giá trị tuyệt đối

Hơn nữa, việc học Toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm nhữngbài tập do thầy (cô) đưa ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quátvấn đề và rút ra được những kinh nghiệm bổ ích khi giải toán Dạng Toán giải phương trìnhbậc nhất một ẩn là một dạng Toán rất quan trọng của môn Đại số 8, nội dung này là nền tảng,

là cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về giải bất phương trình bậcnhất một ẩn, giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và phục vụ cho việc học đại số trongchương trình lớp 9 cũng như chương trình toán cấp III Vậy làm thế nào để học sinh dễ hơn trong việc nắm được kiến thức, phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn cũng như vận dựng kiến thức này vào giải các dạng toánliên quan? Qua thực tế giảng dạy, trao đổi, tìm hiểu, bản thân tôi đưa ra một hệ thống cáckiến thức, dạng toán cơ bản và phương pháp giải toán về phương trình bậc nhất một ẩn với hivọng có thể giúp học sinh lớp 8A1 đạt kết quả tốt trong năm học này thông qua sang kiến

“Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn bằngphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

3 Đối tượng nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu:

+ Các phương pháp phân tích một đa thức thành nhân tử

+ Phương pháp giúp học sinh rèn kỹ năng giải phương trình

- Khách thể nghiên cứu:

+ Giáo viên: Ngô Đức Đồng – Giáo viên giảng dạy môn Toán tại trường THCS Thiện

Ngôn trực tiếp thực hiện việc nghiên cứu

+ Học sinh: Học sinh lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn

4 Phạm vi nghiên cứu:

Trang 5

Do giới hạn về thời gian, năng lực và điều kiện nên sáng kiến này được nghiên cứu và

thực hiện ở lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn năm học 2019 – 2020

5 Phương pháp nghiên cứu:

a Phương pháp đọc tài liệu:

- Tài liệu phương pháp dạy học Toán

- Tập san Giáo Dục

- Báo Toán học và tuổi trẻ

- Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 8, tập 1, 2

- Nâng cao và phát triển toán 8 (tập 1, 2)

- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8

- Tài liệu chuyên toán THCS Toán 8 - Tập 1

b Phương pháp điều tra.

- Khảo sát học sinh: kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì

- Thực tế, dự giờ

c Phương pháp thống kê, so sánh, đối chiếu:

- Thống kê chất lượng bộ môn qua các năm học

- Đối chiếu kết quả thống kê chất lượng bộ môn, có biện pháp xử lí

B NỘI DUNG:

1 Cơ sở lý luận:

- Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kì đổi mới

Trang 6

như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo nước nhà trước những thời cơ và tháchthức mới Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì nền giáo dục và đào tạo luôn phải đảmnhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng

- Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông

Là giáo viên, ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn Toán là môn học đáp ứng

- Hơn nữa, trong Nghi quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về “đổi mới căn bản,toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điềukiện kinh tế thị trường định hướng Xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” đã nêu rõ:

+ Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và củatoàn dân Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chươngtrình, kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội

+ Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi,cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chínhsách, điều kiện bảo đảm thực hiện; đổi mới từ sự lãnh đạo của Đảng, sự quản lý của Nhànước đến hoạt động quản trị của các cơ sở giáo dục - đào tạo và việc tham gia của gia đình,cộng đồng, xã hội và bản thân người học; đổi mới ở tất cả các bậc học, ngành học

+ Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhântài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diệnnăng lực và phẩm chất người học Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dụcnhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội

- Căn cứ Nghị định số 13/2012/NĐ-CP ngày 02 tháng 03 năm 2012 của Chính phủ ban hànhđiều lệ Sáng kiến Căn cứ Thông tư số 18/2013/TT-BKHCN ngày 01 tháng 8 năm 2013 củabộ Khoa học và Công nghệ hướng dẫn thi hành một số quy định của Điều lệ Sáng kiến đượcban hành theo Nghị định số 13/2012/NĐ-CP ngày 02 tháng 3 năm 2012 của Chính phủ vàNghị quyết 29-NQ/TW (4/11/2013) về đđổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêurõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tínhtích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lốitruyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc”

Tiếp tục triển khai thực hiện Công văn số 4612/BGDĐT-GDTrH ngày 03/10/2017 hướngdẫn thực hiện chương trình giáo dục phổ thông hiện hành theo định hướng phát triển nănglực và phẩm chất học sinh từ năm học 2017 – 2018

Thực hiện Chỉ thị số 2268/CT-BGDĐT ngày 08/8/2019 về nhiệm vụ và giải pháp nămhọc 2019 - 2020 của ngành Giáo dục; Quyết định số 2071/QĐ-BGDĐT ngày 16/6/2017 vềviệc Ban hành Khung kế hoạch thời gian năm học đối với giáo dục mầm non, giáo dục phổthông và giáo dục thường xuyên áp dụng từ năm học 2017– 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo

Trang 7

dục và Đào tạo (GDĐT), giáo dục trung học tiếp tục triển khai thực hiện 09 nhóm nhiệm vụchủ yếu và 05 giải pháp cơ bản của toàn ngành, trong đó tôi đặc biệt quan tâm đến nhiện vụ

“Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện”

- Nhằm trang bị tốt cho các kì thi học kỳ, đặc biệt là kì thi tuyển chọn học sinh giỏivòng huyện năm học 2020 – 2021 của các em cũng như trang bị cho các em học sinh vốnkiến thức vững chắc để tiếp tục học năm cuối cấp Thế nên việc rèn luyện kỹ năng giảigiải phương cho học sinh lớp 8 là vấn đề hết sức cấp thiết, việc này phải được tiến hànhngay từ đầu năm học Chính vì thế, ngay từ chương đầu tiên của Đại số 8 tôi đã chọn viếtsáng kiến “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8A1 trường THCS ThiệnNgôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

2 Cơ sở thực tiễn:

- Năm học 2019 – 2020 tôi được phân công giảng dạy Toán 8 (gồm 2 lớp với trên 80 họcsinh), qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán về phươngnhư sau:

+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử chưa tốt

+ Chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau

+ Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, giải thiếu (hoặc thừa) nghiệm

- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kỹnăng giải phương trình

Đối với giáo viên : Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn

dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thờilượng 45 phút ở trên lớp nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đốitượng học sinh

Đối với phụ huynh : Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo

dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học của học sinh Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhàtrường, không kiểm tra được việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp

Đối với học sinh :

+ Đa số học sinh chưa có ý thức tự học (tự tham khảo tài liệu hay tự học trên mạng)

+ Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giảitoán Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm việc không chủđộng trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến tâm lý sợ toán

+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt, thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khigặp bài toán khó

+ Không có thói quen tự học ở nhà: không làm bài, học bài, soạn bài trước khi đến lớp

Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giảiphương trình và các dạng toán liên quan, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộ môn

Để giải quyết các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phương pháp cơbản, phương pháp đặt biệt thông qua những bài tập cụ thể giúp các em hiểu rõ và vận dụngcác phương pháp này khi giải phương trình nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh

Trang 8

3 Nội dung vấn đề:

3.1 Vấn đề đặt ra:

- Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các mônhọc khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán trongchương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế đượctrong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng và biếtứng dụng toán học vào thực tiễn Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹnăng giải bài tập toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của họcsinh

- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đadạng và không đơn giản đối với học sinh THCS Nội dung này được đưa vào chương trìnhtoán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụngtích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số Với lượng thờigian phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vận dụng cho cácchương sau của chương trình Đại số 8 và các lớp học tiếp theo, đặc biệt là vận dụng vào giảiphương trình

- Bài toán giải phương trình có quan hệ trực tiếp đến bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử Vì vậy, vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải phương trình một cách chính xác,nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải xâydựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹnăng phân tích một đa thức thành nhân tử Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viênxây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộngthêm các cách giải khác nhằm phát triển tư duy cho học sinh cũng như nâng cao chất lượnghọc tập bộ môn của học sinh

Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học sinh khá đầyđủ kiến thức về phương trình đại số cùng các phương pháp giải Trong khi đó, việc hệ thốngtoàn bộ các dạng phương trình và trang bị các phương pháp giải phương trình từ đơn giảnđến nâng cao hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa Việc giải được cácphương trình từ đơn giản đến phức tạp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiếnthức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng phương trình đã cho, điều nàyđánh giá được trình độ kiến thức của học sinh Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi họcsinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên nhiềunăm gần đây của Sơ Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu họcsinh phải giải các phương trình Với mục đích phân loại đối tượng học sinh Chính vì những

lí do thực tế trên mà tôi chọn viết sáng kiến “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình cho họcsinh lớp 8A1 trường THCS Thiện Ngôn bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

3.2 Giải pháp, chứng minh vấn đề được giải quyết:

PHẦN 1: Các giải pháp của sang kiến.

 Trước hết giáo viên ôn tập cho học sinh cách ghi nhớ các hằng đẳng thức

Trang 9

 Dạy tự chọn với chủ đề “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

 Dạy tự chọn với chủ đề “Phương trình”

 Giải một số bài tập cơ bản về phương trình bậc nhất một ẩn

 Hệ thống một số phương pháp giải các dạng phương trình

 Giải phương trình bậc cao nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi

- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

- Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của sốliền trên

Như vậy, nếu viết riêng các hệ số ở vế phải ta được bảng sau (gọi là tam giác Pa – xcan) 1

a) Định lí: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho x – a đúng bằng f(a)

(f(a) là giá trị của đa thức f(x) tại x = a)

b) Hệ quả:

- Nếu f(x) chia hết cho x – a thì

Trang 10

- Nếu f(a) = 0 thì f(x) chia hết cho x – a.

Đặc biệt:

- Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức f(x) và f(x)chia hết cho x – a

- Nếu f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì – 1 là nghiệm vàf(x) chia hết cho x + 1

c) Cách nhẩm nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) với hệ số nguyên

- Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do

- Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó có dạng

p

q ; (p, q) = 1 trong đó p là ước của

hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất

2) Sơ đồ Horner: Dùng sơ đồ Horner để tính hệ số của đa thức thương và dư trongphép chia đa thức f(x) cho x -  như sau:

Giả sử: f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + + a1x + a0; đa thức thương

A.B + A.C = A(B + C)

VD1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 14x2y – 21 xy2 + 35 x2y2 b) 10x(x – y) – 8y(y – x) c) 9x(x – y) – 10(y – x)2

Hướng dẫn: GV đặt câu hỏi dẫn dắt học sinh

a) Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 35 trong các hạng tử trên?

Tìm nhân tử chung của x2y, xy2, x2y2 ?

Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì?

Ta có: 14x2y – 21 xy2 + 35x2y2 = 7xy 2x – 7xy 3y + 7xy 5xy

= 7xy (2x – 3y + 5xy)

b) Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8?

Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?

Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y – x) để có nhân tử chung

(x – y) hoặc (y – x)?

Ta có: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y

Trang 11

- Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x - y)2

- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và (y – x)2 của tích – 10(y – x)2

Vì – 10( y – x)2 = - 10(y – x)(y –x)

Cách giải đúng: 9x(x – y) – 10( y – x)2 = 9x(x – y) - 10(x - y)2

= (x – y) [9x - 10(x – y)]

= (x – y)(10y – x)

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích

2.1.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằngđẳng thức

VD2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.

Cách giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) + (x – y)].[(x + y) - (x – y)]

= (x + y + x – y).(x + y – x + y)

= 2x.2y = 4xy

Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới dạng phức

tạp hơn

+ Phân tích đa thức (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử

+ Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử

Trang 12

2.1.3 Phương pháp nhóm hạng tử:

Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa

Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.

Cách giải đúng: x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )

= x( x – y ) + 1.( x – y ) = ( x – y )( x + 1)b) x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2

= ( x – 1 )2 – ( 2y )2

= ( x – 1 + 2y )( x – 1 – 2y )

c) Cách giải sai : x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y ) = ( x – 2y )( x + 2y – 2 )

Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.

Cách giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y ) = ( x + 2y )( x – 2y – 2 )

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử

- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức

2.2 Phối hợp các phương pháp cơ bản: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp

cơ bản:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Với bài này học sinh thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh như sau:

° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )

° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)

= x3( x – 9 ) + x( x – 9 )

= ( x – 9 )( x3 + x )

Trang 13

2.3 Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy

2.3.1 Phương pháp tách hạng tử: Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được

ba phương pháp cơ bản đã học để giải

Gợi ý: Có nhiều cách phân tích.

- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương

- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau từ đó xuấthiện nhân tử chung ( x – 2 )

- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung

Trang 14

Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất hiện các phươngpháp đã học như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là khâu quantrọng và cần thiết đối vối học sinh trong việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

Tổng quát: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử ta thực hiện các bước sau: + Tìm tích ac

+ Phân tích ac thành tích hai số nguyên

+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b

* Lưu ý: Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm

của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng được các phươngpháp phân tích cơ bản đã học

Khai thác bài toán:

- Thay “4” thành “64y4”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64y4

Hướng dẫn : f(x) = x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) - 16 x2y2

= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2

= (x2 + 8y2 + 4xy)(x2 + 8y2 – 4xy)

Trang 15

- Thay “4” thành “64”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64

+ Thực hiện phép chia f(x) cho x – a

+ Dùng lược đồ Horner

Do đó, f(a) chia hết cho a + b + c

Dùng lược đồ Horner tìm thương:

Trang 16

Đa thức thương q(a) = a2 – (b + c)a + b2 + c2 – bc

Suy ra, f(a) = (a + b+ c)[ a2 – (b + c)a + b2 + c2 – bc]

Vậy: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b+ c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

VD13: Phân tích đa thức thành nhân tử

M = xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) + 2xyz

Hướng dẫn:

Thay x bởi –y thì M = –y y(–y + y) + yz(y + z) – zy(z –y) – 2yyz = 0

Do đó, M chia hết cho x – (–y) = x + y

Suy ra, M chứa thừa số (x + y)

Do vai trò của x, y, z trong đa thức M là như nhau, nên M có dạng

k(x + y)(y + z)(z + x)

Lại có, M là đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z và (x + y)(y + z)(z + x) cũng cóbậc 3 nên k phải là hằng số

Đẳng thức: xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) + 2xyz = k(x + y)(y + z)(z + x) đúng với mọi

x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn x = y = z = 1 ta được k = 1

- Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:

+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang

vế kia và đổi dấu hạng tử đó

+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, tađược một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

- Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) luôn có một nghiệm duy nhất

Trang 17

1 7

VD3: (BT-17f/SGK.14) Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

 x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)

 x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)

 –2x = 7 (sai từ trên)

 x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)

Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:

Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc

Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế

Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái

Lời giải đúng: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

 x – 1 – 2x + 1 = 9 – x

 x – 2x + x = 9

 0x = 7

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:

Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý vềcách tìm nghiệm của phương trình

 Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:

Phương pháp chung:

- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1

- Thực hiện cách giải như dạng 1

Trang 18

Gợi ý: Quy đồng - khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai:

Sai lầm của học ở đây là:

Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.

 4x 16  x 4

Vậy: S =  4 

Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ

của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức

 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:

 8 4  x 10x  5 10x 5

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	366,96 KB