sáng kiến kinh nghiệm tìm gtnn, gtln của đa thức p(x) = ax2 + bx + c (a,b,c r, a 0)

ĐẶT VẤN ĐỀ: - Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức là một dạng toán thường gặp trong quá trình dạy và học toán, đặc biệt là dạy học bồi dưỡng học sinh gi

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

- Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức là một dạng toán thường gặp trong quá trình dạy và học toán, đặc biệt là dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Dạng toán này còn gặp rất nhiều khó khăn đối với đa số học sinh, các em còn lúng túng trong quá trình biến đổi biểu thức, các em còn chưa tổng quát được cách giải các dạng khác nhau Vì vậy việc tìm nhiều cách trình bày lời giải trên cơ sở các kiến thức khác nhau Từ những nhận xét của mỗi bài giải sẽ giúp chúng ta tổng quát hoá một số dạng toán cơ bản của việc giải một bài toán cụ thể, từ đó giúp các em dẽ dàng nhận thấy và có cách thực hiện mỗi bài toán sau này

- Trong quá trình dạy học theo tôi, người giáo viên cần chú ý đến phân tích, nhận xét các yếu tố tham gia của bài toán, từ đó tìm ra mối ràng buộc giữa các yếu tố thành tổng quát lời giải và giúp cá em có thể vận dụng trực tiếp vào giải khi gặp các dạng toán đã học

- Trên thực tế đó tôi xin đưa ra cách giải tổng quát cho dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của đa thức dạng P = ax2 + bx + c (a, b, c  R, a >

0) và dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của đa thức dạng Q = ax2 + bx + c (a, b, c  R, a < 0)

II NỘI DUNG

a > 0)

A Từ bài toán cụ thể:

Bài toán 1: Tìm GTNN của A = 2x2 - 8x + 1 (a = 2, b = - 8, c = 1)

Ta có: A = 2(x2 - 4x + 12) = 2(x2 - 2x.2 + 22 + 12 - 22)

= 2[(x - 2)2 - 72] = - 7 + 2(x - 2)2  - 7

 A nhận giá trị nhỏ nhất là - 7 khi x - 2 = 0  x = 2

Nhận xét: Ta thấy: AMin = - 7 = 4.2.1 ( 8)2

4.2

 

tức ta có: AMin = 4 2

4

ac b a



x = 2 =  2.28 tức là ta có: x =  2b a

Bài toán 2: Tìm GTNN của B = x2 - 4x + 1 (a = 1, b = - 4, c = 1)

Ta có: B = x2 - 4x + 4 - 3 = - 3 + (x - 2)2  - 3

 B nhận giá trị nhỏ nhất là - 3 khi x - 2 = 0  x = 2

Nhận xét: Ta thấy: BMin = - 3 = 4.1.1 ( 4)2

4.1

 

tức ta có: BMin = 4 2

4

ac b a



x = 2 =  2.14 tức là ta có: x =  2b a

Bài toán 3: Tìm GTNN của C = 3x2 + 5x + 25 (a = 3, b = 5, c = 25)

Ta có: C = 3(x2 + 53x + 253 ) = 3[x2 + 2x.56 + 562

  + 253 - 562

  ] = 3

2

5 275

6 36

x

 

 

  = 27512 + 3 5 2

6

x

 



 

 



275

12

 C nhận giá trị nhỏ nhất là 27512 khi x + 56 = 0  x =  56

Nhận xét: Ta thấy CMin = 27512 = 4.3.25 54.3 2 tức ta có CMin = 4ac b4a 2

x =  56 =  2.35 tức là ta có: x =  2b a

B Tổng quát

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của P = ax2 + bx + c (a, b, c  R, a > 0)

Từ các nhận xét trên ta thấy rằng P nhận giá trị nhỏ nhất là 4ac b4a 2 khi x

=  2b a

Chính vì thế ta luôn có P = 4 2

4

ac b a



2

b x a



Thật vậy: P = ax2 + bx + c = a 2 b c

 

2

= a 2 2 2

4

2

= 4 2

4

ac b a



2

b

a x

a





2

4 4

ac b a



C Phương pháp thực hiện:

Dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu phân tích đa thức P và dạng: P = m + R Trong đó R là một biểu thức không âm, ở đây R là tích của a với bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu

Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của Q = ax2 + bx + c (a, b, c  R, a

< 0)

A Từ bài toán cụ thể:

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của: D = - x2 + 6x + 1 (a = -1; b

= 6, c = 1)

Ta có: D = - (x2 - 6x - 1) = - (x2 - 2x.3 + 32 - 1 - 32) =

-x2 2 3 3x 2 10

= 10 - (x - 3)2  10

 D nhận giá trị lớn nhất là 10 khi x - 3 = 0  x = 3

Nhận xét: Ta thấy DMax = 10 = 4.( 1).1 64.( 1)  2 tức ta có: DMax = 4ac b4a 2

và x = 3 =  2.( 1)6

 tức ta có: x =  2b a

Bài toán 2: Tìm GTLN của: E = 5x - 3 - 2x2

Ta viết lại: E = - 2x2 + 5x - 3 (a = - 2, b = 5, c = -3)

Ta có: E = - 2(x2 - 52 + 32) = - 2

2 5 5 3 5

2 2.2 4 2 4

   

= - 2 2 5 25 1

2

4 16 16

= 1 2 5 2

8 x 4

 

   

  

1 8  E nhận giá trị lớn nhất là 18 khi x - 54 = 0  x = 54

Nhận xét: Ta thấy: EMax = 18 = 4.( 2).( 3) 5 4.( 2)  2 tức ta có: EMax = 4ac b4a 2

Và x = 54 =  2.( 2)5

 tức ta có: x =  2b a

Bài toán 3: Tìm GTLN của: F =  12x2 + 3x - 2 (a =  12, b = 3, c = -2)

Ta có: F =  12(x2 - 6x + 4) =  12(x2 - 2x.3 + 32 + 4 - 32) =  12(x2 - 2x.3 + 32 - 5)

= 52  12(x - 3)2  5

2  F nhận giá trị lớn nhất bằng 52 khi x - 3 = 0  x = 3

Nhận xét: Ta thấy: FMax = 52 =

2

1

4 .( 2) 3 2

1 4.

2

 

  

 

 

 

 

 

tức ta có: FMax = 4ac b4a 2

và x = 3 =

3 1 2.

2



 

 

  tức ta có: x =  2b a

B Tổng quát:

Bài toán tìm GTLN của Q = ax2 + bx + c (a, b, c  R, a < 0)

Từ các nhận xét ở trên mỗi bài toán cụ thể ta nhận thấy rằng Q luôn nhận giá trị lớn nhất

là 4ac b4a 2 khi x =  2b a

Chính vì thế ta luôn có: Q = 4 2

4

ac b a



2

b x a



  = 4 2

4

ac b a



- (-a) 2

2

b x a



Thật vậy: Q = ax2 + bx + c = a 2 b c

 

2

= a 2 2 2

4

2

= 4 2

4

ac b a



2

b

a x

a



= 4ac b4a 2 - (-a) x 2b 2

a





2

4

4

ac b

a



(a < 0 nên (-a) x 2b 2

a



 0 )

C Phương pháp thực hiện:

Dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu phân tích đa thức P và dạng: P = m - R Trong đó R là một biểu thức không âm, ở đây R là tích của - a với bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu

Một số bài toán vận dụng

Bài toán 1 Tìm GTNN của các biểu thức

a, 3x2 - 7x + 2

b, 3x2 + 2 3x - 4

c, 5x4 + 10x2 + 20

Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức

a, 3x - 5x2 + 1

b, 5x + 3 - 2x2

c, 16x2 - 32 - 8x4

III KẾT LUẬN

Trong quá trình dạy học những nhận xét nhỏ của các phép toán hay là phân tích kết quả của bài toàn sẽ cho ta những điều thú vị của bài toán hay

sẽ giúp chúng ta phát hiện được các cách giải khác nhau và tổng quát được bài toán Trên thực tế đó tôi đã phát hiện ra điều thú vị của đa thức dạng ax2

+ bx + c (a, b, c là các số, a khác 0) Khi xây dựng được công thức này

không chỉ giúp các em tích cực tham gia và thực hiện bài toán nhẹ nhàng hơn Ở đây thay vì các em còn lúng túng trong phân tích đưa bài toán về dạng P = a  R (R là biểu thức không âm) thì các em chỉ cần cho biết các

hệ số a, b, c và thay vào công thức P = 4ac b4a 2 + a x 2b 2

a



  hay Q = = 4ac b4a 2 -

(-a) x 2b 2

a



  là các em có ngay kết quả của bài toán, chính vì vậy mà các em tính toán nhanh và không mắc phải sai lầm

Trong quá trình dạy học tôi đã mạnh dạn triển khai cho học sinh áp dụng thực hiện tôi thấy hầu hết các em hiểu và tích cực thực hiện và tính toán trở nên nhanh và chính xác Khi kiểm tra đánh giá tôi đưa ra bài toán tìm

GTNN của A = x2 - 5x + 6

Bài giải: Ta có: A = 4.1.6 54.1 2 + (x - 52)2 =  14 + (x - 52)2

Vậy AMin =  14 khi x = 52

thì thấy đa số các em thực hiện tốt, nên tôi cho rằng chuyên đề đã đi vào thực tiễn

- Tiếp tục nghiêm cứu công thức trên sẽ còn cho ta nhiều điều thú vị nữa

như ta liên hệ đến biệt thức  và giá trị  2b a trong phương trình bậc hai một

ẩn ở lớp 9

Tháng 4 năm 2011