Bài tập trắc nghiệm ứng dụng của tích phân có đáp án và lời giải

Tài liệu gồm 229 trang tuyển chọn và phân dạng các bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết các chủ đề: ứng dụng của tích phân để tính diện tích, ứng dụng của tích phân để tính thể tích, ứng dụng của tích phân để giải quyết các bài toán thực tế và bài toán liên môn; giúp học sinh học tốt chương trình Giải tích 12 chương 3 và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên Hình phẳng được đánh

dấu trong hình vẽ bên có diện tích là

Câu 3 Cho hàm số f x liên t( ) ục trên , có đồ thị như hình vẽ Gọi S là diện tích hình phẳng

được giới hạn bởi đồ thị hàm số f x , tr( ) ục hoành và trục tung Khẳng định nào sau đây đúng?

x y

2 2

3

2 1

O

y

21

1

−

( )

y= f x

Câu 8 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 2

yx  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  , 0 x  là3

Câu 9 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

2

x y x

Câu 16 Cho parabol ( )P có đồ thị như hình vẽ:

y

1 2 34

1

−

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P với trục hoành

Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng

là

2014

Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong yxlnx, trục hoành và đường thẳng x e

e 

C

214

e 

D

214

e 

Câu 21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3, trục hoành và hai đường thẳng

1x= − , 2x= biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm

+

=+ , trục hoành và đường thẳng 2

Câu 27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x= ,4 x= và đường cong có 9phương trình 2

Câu 28 Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường y=ex, y=0, x= , 0 x=ln 8 Đường

thẳng x k= (0< <k ln 8) chia ( )H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 Tìm k để S1 =S2

Câu 33 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , Đường thẳng

chia hình thành hai phần có diện tích , (hình vẽ)

Câu 37 Cho hàm số có đồ thị Giả sử cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành Khi đó thuộc khoảng nào dưới đây?

1

A B C D

Câu 38 Cho hàm số 4 2

3

y=x − x + có đồ thị m ( )C m , với m là tham số thực Giả sử ( )C m cắt trục

Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

Gọi S , 1 S , 2 S là di3 ện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ Giá trị của m để S1+S3 =S2 là

Câu 40 Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là:

Câu 41 Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2

4

y= −x , trục hoành và đường thẳng x = − , x m2 = , (− < <2 m 2) Tìm số giá trị của tham số m để 25

3

S=

Câu 42 Xét hàm số liên tục trên miền có đồ thị là một đường cong Gọi

là phần giới hạn bởi và các đường thẳng , Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong bằng Theo kết quả trên, độ dài đường cong là phần đồ thị của hàm số

bị giới hạn bởi các đường thẳng , là với , thì giá

trị của là bao nhiêu?

Câu 43 Xét hàm số y= f x( ) liên tục trên miền D=[ ]a b; có đồ thị là một đường cong C Gọi S

là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x=a, x= Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt b

cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng ( ) ( ( ) )2

b a

S = π∫ f x + f′ x x Theo kết quả trên,

tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), ( ), , y=g x x=a x=b

Câu 44 Cho hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục trên [ ]a b G; ọi ( )H là hình giới hạn bởi hai đồ

thị y= f x( ), y=g x( ) và các đường thẳng x a = , x b= Diện tích hình ( )H được tính theo công thức:

S =∫f x −g x  x

Câu 45 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f x và 1( ) f2( )x liên tục trên đoạn

[ ]a b ; và hai đường thẳng x a = , x b= (tham khảo hình vẽ dưới) Công thức tính diện tích của hình ( )H

Câu 47 Cho hàm số f x( ) liên tục trên [ ]1; 2 Gọi ( )D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm

số y= f x( ), y=0, x= và 1 x = Công thức tính diện tích S của 2 ( )D là công thức nào trong các công

Câu 48 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn

Câu 51 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) : 2 4 4

Câu 56 Biết diện tích hình phẳng giới bởi các đường y=sinx, y=cosx, x=0, x= ( với a

Câu 58 Cho hai hàm số y= f x( ) và y= g x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b v; ới a b< Kí hiệu S1 là

diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3f x( ), y=3g x( ), x = , x b a = ; S2 là diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( )− , 2 y=g x( )− , x a2 = , x b= Khẳng định nào sau đây đúng?

A S1=2S2 B S1=3S2 C S1=2S2−2 D S1=2S2+2 Dạng 3:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), ( )y=g x

Câu 59 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2

Câu 62 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 3 2

Câu 66 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , khi x 1

2, khi x>1

x y x

Câu 68 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

( ) :P yx  , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ 32

Câu 69 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

Câu 71 Gọi S là diện tích giới hạn bởi các đường: y 3x2

A m=6 B m=-6 C m=± 6 D Không tồn tại m Câu 72 Cho (P) y=x2+ và (d)1 y=mx+2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất ?

Khi đó giá trị của S bằng

O

y

S S

ππ

−

=

1 2

S S

ππ

+

=

1 2

S S

ππ

22

y=x − y= − x13

3

7

113

Câu 97 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 2

1

y= x − và y=k, 0< < Tìm k để diện k 1.tích của hình phẳng ( )H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc

Câu 98 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên đoạn [−3;3] Biết rằng diện tích hình

phẳng S , 1 S gi2 ới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) và đường thẳng y= − −x 1 lần lượt là M , m Tính

Câu 100 Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol 1 2

22

y= − x + x, cung tròn có phương trình 2

y= − m x + Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ

thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 64

± ± 

Câu 103 Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn (O R và ; ) (O R′; ), OO′ =4R Trên đường tròn

(O R l; ) ấy hai điểm A, B sao cho AB=a 3 Mặt phẳng ( )P đi qua A, B cắt đoạn OO′ và tạo với đáy một góc 60°, ( )P cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip Diện tích thiết diện đó bằng

max

3

2018 16

max

320186

34

56

O

x y

y= − x + x

Dạng 4:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong (>2 đường cong)

Câu 106 Cho parabol ( )P : y=x2+2 và hai tiếp tuyến của ( )P tại các điểm M(−1;3) và N( )2;6

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P và hai tiếp tuyến đó bằng

Câu 109 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x, 2

Câu 114 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng

(0< <a b) (hình vẽ) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P và đường thẳng y=a

(phần tô đen); ( )S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P và đường thẳng y=b (phần gạch chéo) Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1=S2?

y= − +x x và trục hoành Hai đường

thẳng y=m và y=n chia ( )H thành 3 phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ)

Dạng 5:Diện tích S giới hạn bởi các đường:

- Đồ thị của x=g y( ), x=h y( ), h y( ) liên tục trên đoạn [ ]c d,

Câu 126 Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH

1 Diện tích hình phẳng

a)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn  a b , ; trục hoành và

hai đường thẳng x a  , x b được xác định: ( )

b a

S f x dx

b)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục trên đoạn  a b và ;

hai đường thẳng x a  , x b được xác định: ( ) ( )

b a

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y( ), xh y( ) và hai đường thẳng yc,

yd được xác định: ( ) ( )

d c

S  f x g x dx +) Nếu (1) có nghiệm thuộc. a b; giả sử  thì  ( ) ( )  ( ) ( )

b a

y f x

y 0 H

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường y f x( ), ( )y g x là S f x( ) g x dx( )





  Trong đó ,   là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình ( )f x  g x( ) a    b

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f x( ) g x( ) tìm các giá trị   ,

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên Hình phẳng được đánh

dấu trong hình vẽ bên có diện tích là

Câu 3 Cho hàm số f x liên t( ) ục trên , có đồ thị như hình vẽ Gọi S là diện tích hình phẳng được

giới hạn bởi đồ thị hàm số f x , tr( ) ục hoành và trục tung Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4 Diện tích của hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành và hai

đường thẳng x a = , x b= (a<b)(phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

Hướng dẫn giải

Ta có x33x2    0 x 3 [1; 4]

Khi đó diện tích hình phẳng là

x y

2 2

3

2 1

O

y

21

1

−

( )

y= f x



 , trục hoành và đường thẳng 2

S=∫ x x 2 2

1d

x x

13

0 0 1 2

+

=

− và các trục tọa độ Ox, Oy ta được: S alnb 1

1

−

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P với trục hoành

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P với trục hoành ta có

e 

C

214

e 

D

214

4

e

e

S x xdx 

Câu 21 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3, trục hoành và hai đường thẳng

1x= − , 2x= biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm

34

17 (cm ) Lời giải

x

=+ , trục hoành và đường thẳng x= 2

0 0

Câu 28 Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường y=ex, y=0, x= , 0 x=ln 8 Đường

thẳng x k= (0< <k ln 8) chia ( )H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 Tìm k để S1 =S2

e dx ex 7

0 0

Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà không chia khoảng thì có sự sai khác về kết quả giữa

máy casio và vinacal Trong trường hợp này máy vinacal cho đáp số đúng

Câu 31 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2

Cách 2 (gi ải tự luận):

Phương trình hoành độ giao điểm 2 2

2 2 0

Tính

2 2

2 2 0

6d1

Câu 33 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , Đường thẳng

chia hình thành hai phần có diện tích , (hình vẽ)

32

k

x kx

3 3

trục hoành được chia thành hai phần:

 Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3⇒S1 =3

 Miền D2 gồm:

11; 2

f x ax bx c y

1

Câu 36 Cho hàm số (với là tham số khác ) có đồ thị là Gọi là diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị và hai trục tọa độ Có bao nhiêu giá trị thực của thỏa mãn ?

2

1

x m y

m

m

x x

t=x (t≥0) ( )1 t2− + =4t m 0 ( )2

0

4 00

− >



⇔  >

 ⇔ < <0 m 4 ( )31

Kết hợp điều kiện suy ra

Câu 38 Cho hàm số 4 2

3

y=x − x + có đồ thị m ( )C m , với m là tham số thực Giả sử ( )C m cắt trục

Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

Gọi S , 1 S , 2 S là di3 ện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ Giá trị của m để S1+S3=S2

3

05

209

x m

Ta thấy , suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

Câu 40 Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là:

Hướng dẫn giải

Vì với m tùy ý ta luôn có nên diện tích hình phẳng cần tìm là

S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = - 1 (dùng casio thử nhanh hơn)

Ch ọn C

Câu 41 Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2

4

y= −x , trục hoành và đường thẳng x = − , x m2 = , (− < <2 m 2) Tìm số giá trị của tham số m để 25

S =∫ x + mx m+ + dx=x +mx + m + x = m + m+ = m+ +

Câu 42 Xét hàm số liên tục trên miền có đồ thị là một đường cong Gọi là

phần giới hạn bởi và các đường thẳng , Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong bằng Theo kết quả trên, độ dài đường cong là phần đồ thị của hàm số

bị giới hạn bởi các đường thẳng , là với , thì giá trị của là bao nhiêu?

b a

S = π∫ f x + f′ x x Theo kết quả trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) 2 2 ln

7

m mn n

( ) ( ( ) ) 2

2 1

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), ( ), , y=g x x=a x=b

Câu 44 Cho hàm số y= f x( ), y =g x( ) liên tục trên [ ]a b G; ọi ( )H là hình giới hạn bởi hai đồ thị

S =∫f x −g x  x

Hướng dẫn giải

Ch ọn D

Câu 45 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f x và 1( ) f2( )x liên tục trên đoạn

[ ]a b ; và hai đường thẳng x a = , x b= (tham khảo hình vẽ dưới) Công thức tính diện tích của hình

Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

Câu 46 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và thỏa mãn f( )0 < <0 f ( )− Gọi S là diện tích 1hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x , ( ) y=0, x= −1 và x= Xét các mệnh đề sau 1

Tương tự 1 ( )

1d

Câu 50 Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2

Hướng dẫn giải

(x            x 2) (x 2) 0 x 4 0 x 2Suy ra

π

π π

π

π π

cosx sinx cosx sinx 2 2

π π

Vì trong khoảng ( )0;1 phương trình ex = x không có nghiệm và ex > x, ∀ ∈x ( )0;1 nên

a a

x x

=

−

d1

a a

x x

− =

−

31

a a

4 4

4 4

a a

π π

32

k

x kx

3 3

Ta có 1 3 ( ) 3 ( )d

b a

b a

f x g x x

b a

Dạng 3:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), ( )y=g x

Câu 59 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2

03

2

10

03

Câu 68 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

( ) :P y x  , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ 32

x x

Hoành độ giao điểm của parabol 2

x x

2 2

t∈ − π π

  ⇒dx=2cos dt t Đổi cận: 1

Cách 2: Diện tích của ( )H bằng diện tích một phần tư hình tròn bán kính 2 trừ diện tích hình

phẳng giới hạn bởi cung tròn, parabol và trục Oy

y

22

y

22

1

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x th1, 2 ỏa mãn:

Theo định lý Viet kết hợp yêu cầu:

O

Khi đó giá trị của S bằng

A. S =ln 2 1− (đvdt) B S=2 ln 2 1− (đvdt) C S =2 ln 2 1+ (đvdt) D S =ln 2 1+ (đvdt)

−

=+ cắt trục hoành tại điểm ( )1; 0

y

Hướng dẫn giải

Ch ọn C

Phương trình hoành độ giao điểm 5 3 0

11

Câu 92 Hình phẳng ( )H giới hạn bởi parabol 2

x x

 =

⇔ 

= −

 ⇔ = ±x 2 3 Diện tích hình phẳng ( )H là

3

⇒ = −Với x=2 3

π

Vậy:

2 3 3

ππ

ππ

ππ

+

=

− .

Hướng dẫn giảiChọn A

x y

O 1

Giao điểm của ( )P và ( )C là nghiệm của hệ phương trình

( ) ( )

2

8 1

22

x y

π π

S =πR − =S π − Vậy 1

22

x − = − x 2

2 0

⇔ + − = ⇔ x = ⇔ = ±1 x 11

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong nửa trên của Elip và Parabol là

2

231

13

x

x x x

t t

∫ rồi so sánh kết quả với các phương án

Câu 97 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 2

1

y= x − và y=k, 0< <k 1 Tìm k để diện tích của hình phẳng ( )H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2

f x x

−

= −∫

Câu 100 Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol 1 2

22

y= − x + x, cung tròn có phương trình 2

y= − x + x

O

x y

0 0

Dấu “=” xảy ra khi và chi khi 0

b a

Hoặc cũng linh cảm, đặc biệt hóa AB song song với Ox , từ đó cũng tìm được a b+ = 0

Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) 2

y= − m x + Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ

thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 64

2 2

00

2

x x