Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức

Tài liệu gồm 41 trang, phân dạng và hướng dẫn giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức (GTLN – GTNN môđun số phức; max – min module số phức …), một lớp bài toán vận dụng cao (VDC) về số phức thường gặp trong các đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán.

Trang 1

DẠNG TOÁN 1 ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng :AxBy C 0 và điểm M Điểm N sao cho NM nhỏ nhất K là hình

chiếu của N lên , nghĩa là NMmin NK dN,  M K

BÀI TẬP TẠI LỚP Câu 1: Cho z x yi thỏa z 2 4i  z 2i và z đạt giá trị nhỏ nhất Tính 3x2y bằng

Lời giải Chọn A

Trang 2

Max - Min Module Số Phức NĂM HỌC 2019 – 2020

Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng  Trang 2 

 Lưu ý Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính | |zmin, thì nó là | |zmin OH d O d( ; )

Câu 2: Cho z x yi thỏa mãn z 1 5i z 3 i và z đạt giá trị nhỏ nhất Tìm 3x y

Lời giải Chọn C

Trang 3

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi .

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi

Trang 4

(1 i z) 2 AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó:

Lời giải Chọn B

Trang 5

Ta có iz 3 z 2 i 3 y xi x 2 y 1i

y 3 2 x2 x 22 y 1 2

x 2y 1 0 x 2y 1

Trang 6

Trang 7

(3 4 )i z 5 10i AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết)

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi z x yi

(1 2 )i z 11 2i AM M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết)

Trang 8

Cho tập hợp điểm M x y biểu diễn các số phức z ;  x yi là một đường tròn  C có tâm I a b  ;

và bán kính R Gọi N là điểm biểu diễn số phức z

 Lưu ý Nếu đề bài yêu cầu tìm tổng phần thực, phần ảo tương ứng với zmin, zmax thì từ nhận

xét I là trung điểm của M M suy ra: tổng phần thực 2a , tổng phần ảo 2 1 2 b

Phương pháp 2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

Giả sử tập hợp điểm là đường tròn     2 2 2

Trang 9

x a

t R

y b

t R

Phương pháp 4 Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối z1 z2 z1 z2 z1 z 2

Ví dụ minh họa: Xét các số phức z x yi thỏa mãn z 2 3i 1

a) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z Ứng với

Trang 10

 Nhận xét Tùy vào cấu trúc bài toán, yêu cầu câu hỏi và sự thành thạo về kiến thức mà học sinh

chọn phương pháp giải cho phù hợp

Trang 11

Trang 12

54

21

5285

Câu 4: Xét các số phức z thỏa mãn iz 1 1 Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất của biểu thức P z Giá trị của biểu thức 2020 M m bằng

Suy ra tập hợp điểm M x y( ; ) là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R 1

Tọa độ giao điểm của ( )C và OI là (0; 0),(0;2)

Đặt z x yi  với x y, 

z  i   x  y 

Trang 13

Dễ thấy AI  13 1 nên A nằm ngoài  I;1

Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn  I;1 tại B C, như hình vẽ

z  x y  Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có MO; 2

Trang 14

Trang 15

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi .

20 4 52

54

10 2 5

5

20 4 55

Câu 4: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i z) 1 7i 2 Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P z. Giá trị của M m bằng

Trang 16

54

12

5165

z  i   x  y  Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M I; 2 với I3; 4 

Trang 17

z  i   x  y  Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M I; 2 với I 1;3

Trang 18

DẠNG TOÁN 3 ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Câu 1: Xét các số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z1 4 1 và iz2 2 1 Giá trị nhỏ nhất của z12z2 bằng

Trang 19

Câu 3: Xét các số phức z w thỏa , z3 2  2 và w4 2i 2 2. Biết zw đạt giá trị nhỏ nhất

khi zz0 và ww0 Giá trị của 3z0w0 bằng

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z, w

 z  A thuộc đường tròn tâm I13 2;0, bán kính R1  2

Trang 20

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1, .z2

z  A thuộc đường tròn tâm I(0;0), R1 12

Trang 21

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z và w

+) z   1 i 1 A thuộc đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R11

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z w bằng 173

Câu 6: Cho các số phức , z w thỏa mãn z 5 3i 3 và iw 4 2i 2 Giá trị lớn nhất của biểu thức

3iz2w bằng

A 5545 B 578 13 C 5785 D 554 13

Lời giải Chọn D

Trang 22

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3iz2w bằng 13 554

Câu 7: Cho hai số phức z1, z thỏa mãn 2 z1 2 3i 2 và z2 1 2i 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức

z z bằng

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z và 1 z 2

+) z1 2 3i  2 A thuộc đường tròn tâm I2;3, bán kính R12

+) z2 1 2i  1 z2 1 2i  1 z2 1 2i  1 z2 1 2i  1 B thuộc đường tròn tâm J1; 2 , bán kính R2 1

Vì IJ  34  3 R1 R2 nên hai đường tròn I R và ; 1 J R ngoài nhau ; 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1z2 bằng 3 34

Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn

1

z z  và z 3 i m Tổng các phần tử của S bằng

Đặt z x yi x y, ,   có điểm biểu diễn là M x y  ;   z x yi

+) z z  1 x2y2  1 Mthuộc đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R11

+) z 3  i m với m0 thì điểm M thuộc đường tròn tâm I 3; 1 ,  bán kính R2 m

Tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau

TH1: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài OI R1R2     m 1 2 m 1 tm

Trang 23

Lời giải tham khảo 1 (hình học)

Đặt z x yi x y ,  

z  i   x  y 

Trang 24

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P z 22 z i2. Môđun của số phức w M mi bằng

Trang 25

Ta có: z1 22 z1 i2 1 (x 2)2 y2 x2 (y 1)2 1

2x y 1 0 Tập hợp biểu diễn số phức z1 là đường thẳng d

Trang 26

Khi đó z1 z2 là khoảng cách từ 1 điểm thuộc d đến 1 điểm thuộc ( ).C

55

Trang 27

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn z1 5 5 là tập hợp các điểm

x 1 2 y 3 2 x 3 2 y 6 2 8x 6y 35 0 2

Trang 28

Câu 9: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa z 1 34 và z 1 mi z m 2 i Gọi z1, z2 là hai

số phức thuộc S sao cho z1 z2 lớn nhất, khi đó giá trị của z1 z2 bằngP x y z bằng

A. 2 B 10 C. 2 D. 130

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 34 là tập hợp các điểm

;

M x y thoả mãn phương trình: x 12 y2 34 1 là đường tròn tâm

1;0 , 34

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình z 1 mi z m 2 i là

tập hợp các điểm N x y; thỏa mãn phương trình

Khi đó z1 z2 là khoảng cách từ một điểm M thuộc tập S tới một điểm N thuộc tập S

Để z1 z2 đạt giá trị lớn nhất khi MN là đường kính của đường tròn

Trang 29

Đặt w z 2 thì P w 1 khi ấy giả thiết trở thành w 2 2 w 2 4

z   i Biết min Pa b với a

b là phân số tối giản Giá trị của ab bằng

Đặt E x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z và A(1; 2),B(3; 4),C(5;6)

Ta có P        z 1 2i z 3 4i z 5 6i EA EB EC 

Mặt khác các điểm A B C, , thuộc đường thẳng :x  y 1 0Pmin  E :x  y 1 0 Từ giả thiết z  2 1 2i  (x 2)2y2  5 E thuộc đường tròn tâm I( 2;0) bán kính R 5

Trang 30

y

x N

M Δ

B

A

O

Trang 31

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi.

Trang 32

Câu 3: Xét các số phức z thỏa z 2 3i z 6 i 2 17. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của P z 1 2i z 2 i Giá trị m M bằng

6 2 2 53

Trang 33

Câu 4: Xét các số phức z thỏa z 3 2i z 3 i 3 5. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của P z 2 z 1 3 i Giá trị của m M bằng

Gọi M x y( ; ), ( 3;2), (3; 1)A B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 3 2 ,i 3 i

3 3

-1

Trang 34

Vì x C x M x D nên điểm M nằm trên đoạn thẳng CD

Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của là m3 2

Từ (1) và (2) suy ra: PMCMDMaxACAD BC; BD

Gọi M x y( ; ), (2; 2), ( 1;3)A B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 2 ,i 1 3i

Trang 35

Có MCmin M B MCmin CB 4 Pmin 4 2.

Câu 6: Xét các số phức z đồng thời thỏa mãn z 4 3i z 4 3i 10 và z 3 4i nhỏ nhất

Môđun của số phức z bằng

Gọi M x y( ; ), (4; 3), ( 4;3)A B lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 2 ,i 1 3i

Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng AB

Đường thẳng CH đi qua C và vuông góc với AB có phương trình là 4x3y0

Trang 36

thức z1z bằng 2

A 10 1 B. 101 1 C. 101 1 D. 3 5 1



P y x có đỉnh O 0;0

Ta có: z2 i 10  1 Tập hợp điểm N biễu diễn z là đường tròn 2  C có tâm I10;1 , R1 Khi đó P z1z2 MN là khoảng cách từ một điểm thuộc  P đến một điểm thuộc  C

Trang 37

 

P z i đạt giá trị nhỏ nhất

A 8a7b8 B 8a7b5 C 8a7b6 D 8a7b7

Trang 38

Trang 39

S a b khi biểu thức P 2 z 3 2 z đạt giá trị lớn nhất

Trang 40

6

0 (lo¹i)5

Gọi z x yi với x y,  , gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Ta có:

Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn  C tâm I 2;3 và bán kính R2 5

Gọi A0; 1 , B 4;7 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  i, z2  4 7i Dễ thấy A B,

thuộc đường tròn  C Vì AB4 52R nên AB là đường kính của đường tròn  C

Cách 1

Trang 41

Gọi M x y ; , F14;0 , F1 4;0 biểu diễn cho số phức z,4,4

Ta có MF1MF2 10M chạy trên Elip có trục lớn 2a10 a 5

tiêu cự 2c F F1 2 8 c 4

trục nhỏ 2b2 a2c2 2.3  6 b 3

Mà z OM Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là 5 và 3

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	2,3 MB