Tài liệu gồm 232 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Tài Chung, bao gồm tóm tắt lí thuyết SGK, một số dạng toán trọng tâm, bài tập ôn luyện và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết chuyên đề vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 3.
Trang 1MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc 3
1 Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơ 3
Trang 3CHƯƠNG 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN
HỆ VUÔNG GÓC
BÀI 1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA
CÁC VECTƠ
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 Vectơ trong không gian.
1 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có # »
AB+ # »
BC = # »AC
2 Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì # »
OA, với mọi điểm O
4 Ilà trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
2 , với mọi điểm O. (i)
5 Glà trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
3 , với mọi điểm O. (ii)
Lưu ý.Khi gặp tổng hai vectơ cùng gốc hoặc tổng ba vectơ cùng
7 #»a cùng phương #»b (#»b 6= #»0 )⇔ ∃k ∈R : #»a =k#»b
2 Sự đồng phẳng của các vectơ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.
Định nghĩa 1 Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặtphẳng
Định lí 1 (Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng)
Cho ba vectơ #»a ,#»
b , #»c , trong đó #» a và #»
b không cùng phương Điều kiện cần và đủ để #»a ,#»
b , #»c đồng phẳng là có các số m, n sao cho #»c =m #»a +n#»
b Hơn nữa, các số m, n là duy nhất.
b , #»c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ #»
d , luôn tồn tại các số m, n, p sao cho
#»
d =m #»a +n#»
b +p #»c Hơn nữa các số m, n, p là duy nhất.
Trang 4B MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1 Chứng minh các đẳng thức vectơ Biểu thị một vectơ theo các vectơ không đồng phẳng.
Phương pháp.Dựa vào các quy tắc, tính chất và các hệ thức vectơ thường dùng
Bài 1 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Hãy biểu diễn các vectơ # »
Trang 5d Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD
a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì
# »
SB+# »
SD = # »
SA+# »SC
Điều ngược lại đúng không?
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉkhi # »
⇔# »
AB= # »
DC ⇔ ABCD là hình bình hành (do ABCD đã là tứ giác rồi)
Vậy nếu ABCD là hình bình hành thì # »
OI + # »
OJ = #»
0 Suy ra O là trung điểm I J Suy ra I ∈ BD và J ∈ AC Do đó
I ≡ J ≡ O Vậy hai đường chéo AC và BD có cùng chung trung điểm Suy ra ABCD làhình bình hành
Trang 6Ta có điều phải chứng minh.
Bài 5 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0tâm O Chứng minh:
Trang 7∗ Khi gặp tổng ba vectơ cùng gốc ta thường dùng:
Bài 6 Cho tứ diện ABCD
JKtheo # »
MB, # »NC
Chứng minh tương tự như trên ta có: # »
Trang 8Phương pháp.
Từ định nghĩa 1 suy ra ba vectơ #»a ,#»
b , #»c đồng phẳng nếu chúng nằm trên ba mặt phẳngđôi một song song hoặc trùng nhau
Bài 8 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
Theo giả thiết ta có:
# »DC
# »AB
AA0theo ba vectơ đó
L Lời giải
Trang 9BA0 và # »
CB0không cùng phương nên tồn
tại các số α, β sao cho:
Bài 10 Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD Xét P là một điểm thuộc
AC, N là một điểm thuộc BD sao cho PA
Trang 10Bài 11 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Giả sử điểm M thuộc AC, điểm N thuộc DC0 và
Vậy M và N được xác định bởi # »
Trang 11GI Ngoài ra điểm G không thuộc đường thẳng CG0 Vậy GI và
CG0là hai đường thẳng song song
Bài 13 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của của CD và
DD0 Gọi G, G0 lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A0D0MN và BCC0D0 Đặt # »
song song với nhau
Bài 14 Trong không gian cho tam giác ABC
a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc(ABC)thì có ba số x, y, z mà x+y+z=1 sao cho
Trang 12b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho
CA, # »
CB, # »CM; # »
MA, # »
MB, # »AB
Nhưng dễ thấy rằng tốt nhất nên chọn những bộ 3 vectơ đồng phẳng trong đó điểm Mchỉ xuất hiện 1 lần và vectơ có chứa điểm M mang hệ số 1 như đã trình bày ở lời giải câu
a)
Bài 15 Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB, SC, SG (G là trọng tâm
∆ABC)lần lượt tại A0, B0, C0, G0 Chứng minh rằng
Trang 13Thay (2) vào (1) ta được
SG0 =a# »
SA0+b# »
SB0+c# »
SC03d# »
SG0 =3dm# »
SA0+3dn# »
SB0+3dp# »
SC0.Vậy theo định lí 2 ở trang 3, suy ra
a=3dm, b=3dn, c=3dp⇒a+b+c =3d(m+n+p) = 3d (đpcm)
Dạng 4 Dùng vectơ để chứng minh đẳng thức về độ dài.
Phương pháp.Sử dụng công thức: AB2= # »
AB2.Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật Chứng minh
SA2+SC2 =SB2+SD2
L Lời giải
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD Ta có
# »
OA =
# »
OB