Luận văn sư phạm Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

L i c m n

Khoá lu n này trình bày v vi c s d ng phép bi n hình đ gi i bài toán

qu tích Ngoài vi c làm rõ tính u vi t c a phép bi n hình, khoá lu n còn c

g ng khai thác, m r ng m t s bài toán

hoàn thành khoá lu n này em xin chân thành c m n các th y cô giáo trong t Hình h c, đ c bi t em xin chân thành c m n th y Nguy n N ng Tâm đã t o đi u ki n, giúp đ em trong quá trình nghiên c u

Tuy có nhi u c g ng, song n ng l c b n thân còn có h n c ng nh đi u

ki n v tài li u và th i gian còn h n ch nên bài khoá lu n ch c ch n còn nhi u thi u sót Em r t mong nh n đ c s ch b o c a các th y cô và các b n

đ khoá lu n c a em hoàn thi n h n

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 5 n m 2008 Sinh viên

inh Th Len

L i cam đoan

Em xin cam đoan b n khoá lu n này đ c hoàn thành do s c g ng,

n l c tìm hi u nghiên c u c a b n thân và s giúp đ nhi t tình c a các th y

cô giáo trong t Hình h c, đ c bi t là s giúp đ c a th y Nguy n N ng Tâm

Các k t qu trong b n khoá lu n này không trùng v i k t qu c a các

2.3 Phép đ i x ng tr c v i bài toán qu tích 13 2.4 Phép t nh ti n v i bài toán qu tích 17 2.5 Phép quay v i bài toán qu tích 23 2.6 Phép v t v i bài toán qu tích 29 2.7 Phép đ ng d ng v i bài toán qu tích 36

M đ u

1 Lý do ch n đ tài

Trong nhà tr ng ph thông, hình h c là m t môn h c khó đ i v i h c sinh B i vì hình h c có tính ch t ch , tính logíc và tính tr u t ng cao h n các môn h c khác c a toán h c Các phép bi n hình s c p là m t ph n quan

tr ng c a hình h c vì nó là m t công c h u ích đ i v i các bài toán trong hình h c ph ng

Tính u vi t c a phép bi n hình trong m t ph ng th hi n r t rõ khi ta

v n d ng nó đ gi i quy t các bài toán v d ng hình, qu tích, ch ng minh và tính toán

Tuy nhiên, vi c gi i bài toán hình h c b ng phép bi n hình không ph i

là d dàng, th c t nó là m t ph n khó đ i v i c giáo viên và h c sinh

Trong khuôn kh c a m t khoá lu n t t nghi p, em ch trình bày nh ng

ki n th c c b n v phép bi n hình và ng d ng c a nó đ gi i bài toán qu tích

ó chính là lý do em ch n đ tài :

“ ng d ng phép bi n hình đ gi i bài toán qu tích”

2 M c đích và nhi m v nghiên c u

2.1 Nghiên c u các ki n th c c b n c a phép bi n hình trong vi c gi i bài toán qu tích

2.2 Xây d ng h th ng các ví d minh ho và bài t p luy n t p th hi n

ph ng pháp s d ng phép bi n hình vào gi i bài toán qu tích

3 i t ng, ph m vi nghiên c u

3.1 i t ng nghiên c u

Ki n th c v phép bi n hình trong m t ph ng

3.2 Ph m vi nghiên c u

Các bài toán qu tích trong m t ph ng gi i b ng phép bi n hình

4 Ph ng pháp nghiên c u

Nghiên c u SGK, các sách tham kh o, các tài li u có liên quan đ n n i dung này

Ch ng 1 : H th ng các ki n th c c b n

1.1 Phé p bi n hình

1.1.1 nh ngh a

Phép bi n hình c a m t m t ph ng là m t song ánh t m t ph ng vào chính nó

1.1.6 Các ph n t b t bi n trong m t phép bi n hình

Cho phép bi n hình f : E2E2, v i m i đi m M E2 mà f(M) =M thì

đi m M đ c g i là đi m b t đ ng (đi m kép) đ i v i phép bi n hình f

Hình H đ c g i là hình b t bi n đ i v i phép bi n hình f c a E2 n u f(H)=H

th t đó là góc mà đ ng th ng ph i quay theo m t chi u xác đ nh đ đ n trùng v i v trí c a đ ng th ng b Góc đ nh h ng đó kí hi u (a,b), trong đó

a là c nh đ u, b là c nh cu i c a góc

S đo c a góc đó là d ng và âm tu theo chi u quay c a a xung quanh O đ n trùng v i b theo chi u d ng hay âm c a m t ph ng Do đó n u (a,b)= thì (b,a)=-

Góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng a,b xác đ nh sai khác m t góc k radian, (a,b)= +k( tính b ng radian) Kí hi u (a,b)= ( mod)

1.3 Phép d i hình trong m t ph ng

1.3.1 nh ngh a

Phép bi n hình c a m t ph ng E2 b o t n kho ng cách gi a hai đi m tu

ý đ c g i là phép d i hình, ngh a là v i m i M E2 ; N E2 có f(M) = M’, f(N)=N’ thì đ u có M’N’=MN

1.3.2 Tính ch t

- Phép d i hình bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và không làm thay đ i th t c a ba đi m đó

Phép d i hình bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng, bi n

m t tia thành m t tia, bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng b ng nó

Phép d i hình bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó, bi n

m t góc thành m t góc b ng nó, bi n m t đ ng tròn thành m t đ ng tròn

b ng nó, trong đó tâm bi n thành tâm

- Phép d i hình f có ba đi m b t đ ng không th ng hàng thì f là m t phép đ ng nh t

Trong E2 cho đi m O, phép bi n hình c a E2 bi n m i đi m M thành

- Phép đ i x ng qua tâm O có đi m b t đ ng duy nh t là O

- Tích c a ba phép đ i x ng tâm v i ba tâm phân bi t là m t

phép đ i x ng tâm

- Tích c a hai phép đ i x ng tâm v i hai tâm đ i x ng phân bi t

là m t phép t nh ti n, v i hai tâm đ i x ng trùng nhau là m t phép đ ng nh t 1.3.3.2 Phép đ i x ng tr c

a nh ngh a

Trong E2,cho đ ng th ng d, phép bi n hình c a E2 bi n m i đi m M thành đi m M’ sao cho đ ng th ng d là trung tr c c a MM’ đ c g i là phép đ i x ng qua d và kí hi u d ho c Sd ng th ng d đ c g i là tr c

- Trong m t ph ng phép đ i x ng tâm là phép d i hình nên nó có đ y

2 E

thành đi m M’ sao cho OM=OM’ và (OM, OM

) = , đ c g i là phép quay quanh đi m O và góc quay là  Kí hi u : QO hay Q(O,)

Q và 2

2 O

Q  1

1 O

- Phép v t V(O,k) bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng

và không làm thay đ i th t c a ba đi m th ng hàng đó

- Phép v t V(O,k) bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng song song ho c trùng v i đ ng th ng đó , bi n tia thành tia , bi n đo n th ng thành đo n th ng mà đ dài đ c nhân lên v i k , bi n tam giác thành tam giác đ ng d ng v i t s đ ng d ng k , bi n góc thành góc b ng nó, bi n

b Tính ch t

- Phép đ ng d ng bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng, bi n tia thành tia, bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài g p k l n

B c 1 : (Ph n thu n) Ch ng minh đi m M có tính ch t  thu c (H)

B c 2 : (Ph n đ o) Ch ng minh m i đi m thu c hình (H) đ u có tính

ch t 

m t phép bi n hình thích h p f bi n đi m M thành đi m M’ sao cho qu tích

nh ng đi m M’ tìm đ c d dàng h n đ r i t đó suy ra qu tích đi m M Nguyên t c chung áp d ng phép bi n hình vào gi i toán tìm t p h p đi m M tho mãn tính ch t  nào đó : n u ta ch ng minh đ c m i đi m M’ là nh

c a m t đi m M qua m t phép bi n hình f xác đ nh và n u t p h p các đi m

B c 2 : Tìm t p h p ( H ) các đi m M

B c 3 : K t lu n t p h p các đi m M’ là nh c a ( H ) trong phép đ i

x ng tâm o

2.2.2 Ví d

Ví d 1 Cho đ ng tròn (O) và dây cung AB c đ nh, M là m t đi m

di đ ng trên (O), M khác A, B Hai đ ng tròn (O1) và (O2) qua M theo th

t ti p xúc v i AB t i A và B G i N là giao đi m th hai c a (O1) và (O2) Tìm t p h p N khi M di đ ng trên (O)

K t lu n : T p h p đi m N khi M di đ ng trên (O) là đ ng tròn nh

c a đ ng tròn (O) qua phép đ i x ng tâm I

O

I N

M

P

Ví d 2 Cho ABC n i ti p đ ng tròn (O), bán kính R c đ nh Tìm

qu tích tr c tâm H c a ABC khi A chuy n đ ng trên ( O)

Do đi m A thay đ i trên đ ng tròn (O;R) nên A1 thay đ i trên (O;R)

Do đó qu tích tr c tâm H là đ ng tròn nh c a đ ng tròn (O;R) qua phép đ i x ng tâm I

K t lu n : qu tích tr c tâm H là đ ng tròn nh c a đ ng tròn (O;R) qua I

Ví d 3 Cho ba phép đ i x ng tâm A, B , C V i M là đi m b t kì,

A

O

N u M ch y trên đ ng th ng d thì qu tích M3 là nh c a đ ng

th ng d qua D

Ví d 4 Cho  ABC G i A’, B’, C’ l n l t là trung đi m c a các

c nh BC, CA , AB Tìm t p h p đi m M trong tam giác sao cho nh c a M trong các phép bi n đ i Z , A ' Z , B ' Z C ' n m trên đ ng tròn ngo i ti p tam giác

Do đó, t giác AB M1 M2 là hình ch nh t và CM  AB

T ng t ta có : BM  AC

 M là giao đi m ba đ ng cao c a  ABC

N u  ABC nh n thì t p h p đi m M g m m t đi m là tr c tâm c a

Ví d 1 Cho ( O;R ) trên đó có hai đi m A,B M t đ ng tròn (O1;R1)

ti p xúc ngoài (O) t i A M t đi m M di đ ng trên ( O ), tia MA c t đ ng tròn (O1) t i đi m th hai A1 Qua A1 v đ ng th ng song song v i AB c t tia MB t i B1 Tìm t p h p đi m B1

M 1

G i giao đi m th hai c a B1 A1 v i đ ng tròn ( O1 ) là A2 K ti p tuy n chung xx’ c a (O) và (O1) t i A, ta có :

A B BABMx AM xAA AA A

 hình thang AB B1A2 là hình thang cân

A2 và B1 đ i x ng v i nhau qua đ ng trung tr c ( d ) c a AB

M t khác, khi M di đ ng trên (O) thì A2di đ ng trên (O1)

 T p h p các đi m A2là đ ng tròn( O1 )

Ta l i có , B1 = d(A2 ) nên t p h p các đi m B1 là đ ng tròn nh c a

đ ng tròn ( O1) qua phép đ i x ng tr c d

K t lu n : T p h p các đi m B1 là đ ng tròn (O2) v i (O2) =Sd(O1)

Ví d 2 Trong m t ph ng , cho hai đ ng th ng d1 và d2 c t nhau O

và m t đi m P c đ nh n m ngoài d1 , d2 M t đ ng th ng  quay xung quanh P c t d1 A , d2 B Các đ ng th ng 1 và 2 đ i x ng v i  l n

M

B d

G i Pi là đi m đ i x ng v i P qua di ,i=1,2 Vì P   nên suy ra :

(OP1, OP) = 2(OP1 , d1) = 2(d1,OP) (mod ) (4)

(OP , O P2) =2(d2,OP2) = 2( OP,d2) (mod ) (5)

Theo h th c Chasles,

t (4), (5) (OP1,OP2) = 2(d1 ,d2 ) (mod ) (ii)

T (i) , (ii) (MP1,MP2) = (OP1,OP2) (mod ) (iii)

ng th c (iii) ch ng t , b n đi m O, P1, P2, và M    cùng 1 2thu c m t đ ng tròn v i m i v trí c a đ ng  quay quanh đi m P c đ nh

Ta nh n th y các y u t đ i x ng tr c đã xu t hi n ngay trong d kiên

c a bài toán Vì v y bài toán này đòi h i ph i s d ng tính ch t c a phép đ i

x ng tr c và góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng (mod ) đ tìm qu tích

Ví d 3 Cho ABC n i ti p đ ng tròn (O) , bán kính R c đ nh Tìm

qu tích tr c tâm H c a ABC khi A di đ ng trên (O)

Khi A thay đ i trên (O,R) thì Ac ng thay đ i trên (O,R)

Do đó, qu tích tr c tâm H là đ ng tròn nh c a đ ng tròn (O,R) qua phép đ i x ng tr c BC

K t lu n : Qu tích tr c tâm H là đ ng tròn (O,R), nh c a đ ng tròn (O,R) qua BC

Ví d 4 Cho ABC n i ti p trong m t đ ng tròn G i M là đi m di

đ ng trên đ ng tròn y và M1, M2 M3 theo th t là các đi m đ i x ng c a

A

O 1

2 1

1

o l i, l y m t đi m M1 tu ý trên đ ng tròn (O1) và d ng M đ i

x ng v i M1qua BC Ta ch ng minh đ c M thu c vào đ ng tròn (O)

V y t p h p đi m M1 là đ ng tròn (O1) đ i x ng v i đ ng tròn (O) qua BC

Ví d 1 Cho hai vòng tròn b ng nhau (O) và (O’) ; A và A’ là hai đi m

c đ nh th t trên chúng Các đi m M, M’ di đ ng trên các vòng tròn t ng

ng (O) và (O’) sao cho ฀AM và ฀A M  b ng nhau và cùng h ng (ng c

N M

Do đó I là nh c a J qua phép t nh ti n 

'

1

O O 2

V y qu tích trung đi m I c a đo n MM’ là 1 đo n th ng, nh c a

đ ng kính c a đ ng tròn (O’) đi qua trung đi m c a BA’ qua phép t nh ti n

Ví d 2 Cho hai đ ng tròn (O) và (O1) c t nhau t i hai đi m, g i A là

m t giao đi m ng th ng d di đ ng qua A và c t 2 đ ng tròn đã cho t i

M và N Trên 2 tia AM và AN l y 2 đi m B, C sao cho: 2BA2AC MN

2qua phép t nh ti n 

OA

T

Ví d 3 Cho tam giác ABC c đ nh, g i Bx, Cy theo th t là các tia

đ i c a các tia BA và CA Các đi m D và E th t chuy n đ ng trên các tia

Bx, Cy Tìm qu tích các trung đi m M c a DE bi t BD=2CE

L i gi i

D ng hình bình hành BCEK

Khi đó K n m trên tia Bz c đ nh

song song v i tia Cy

Trên hai tia Bx, Bz l n l t l y

hai đi m c đ nh D0 và K0 sao cho

G i N, N0l n l t là trung đi m c a DK và D0K0 thì N0c đ nh và qu tích c a N là tia BN0

Do M ch y trên đ ng tròn (O,R), tr hai đi m A và B nên H ch y trên

đ ng tròn là nh c a đ ng tròn (O,R) qua phép t nh ti n TBA, b đi hai

đi m A ( là nh c a B qua phép t nh ti n TBA ) và đi m B1 ( là nh c a A trong phép t nh ti n nói trên )

Trong  BOI có: OI = OB ฀  o R

(2) là đ ng tròn tâm O2, bán kính R

2 v i O2=Q-60A 0(O)

K t lu n: T p h p đi m J là m t trong hai đ ng tròn (1) ho c (2) là

nh c a () qua phép quay tâm A, góc quay l n l t là 600 ho c -600

, trong

đó (1) = (O1, R

2 ) v i O1=Q60A0(O) ; (2) = (O2, R

2 ) v i O2=Q-60A 0(O)

Ví d 2 Cho tam giác đ u ABC Tìm qu tích nh ng đi m M n m

trong tam giác sao cho MA2MB2MC2

L i gi i

Xét phép quay

M n m trong tam giác và luôn nhìn BC d i góc 1500 nên qu tích c a M

là ph n cung ch a góc 1500 d ng trên c nh BC n m trong tam giác ABC nói

trên

K t lu n: V y qu tích M c n tìm là ph n n m trong tam giác c a cung

ch a góc 1500 ch n đo n BC

Ví d 3 Cho tam giác ABO cân t i O, đ t (OB , OA )=  G i H là

tr c tâm; I,J ,K l n l t là chân các đ ng cao xu t phát t O,A,B Các đi m

M, N l n l t là hình chi u c a A, B lên đ ng th ng  quay quanh O Các

mà OO1O2cân t i O  ฀OO O =OO O 1 2 ฀ 2 1

OMI฀ ONI ฀  MI=NI

K P

N

Q

B I

A

M

.

1 1

1

1

2

234

Do đó  



MI=NI

M(IN,IM) = là nh c a N qua phép quay tâm I, góc quay  bi n (O1) thành (O ) 2



QI : MN

AIK cân t i I ( vì AOB cân t i O  chân đ ng cao I là trung đi m c a

AB; trong  vuông KAB có KI =1AB AI IB

V y t p h p nh ng đi m P là đ ng tròn ngo i ti p AKI

T ng t ta có t p h p nh ng đi m Q là đ ng tròn ngo i ti p BIJ

Ví d 4 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC và A฀  2 ) n i ti p trong

đ ng tròn tâm O M t đi m M di đ ng trên cung nh ฀AB Trên tia CM l y

đi m N sao cho CN = AM Tìm qu tích đi m N

L i gi i

G i I là trung đi m c a cung ฀ABC IA = IC

Xét hai tam giác AIM và CNI

A

I

V y t p h p đi m N là nh c a t p h p đi m M trong phép quay trên,

t c là nh c a cung nh ฀AB trong phép quay o

(90 ) I

Q  Tóm l i, qu tích các đi m N là nh c a cung ฀AB nh trong phép quay

- V đ ng tròn tâm O’, bán kính O’I

- (O’, O’I) c t tia CB t i B’

Khi đó qu tích c a N chính là cung CIB฀ ( cung nh ฀CB) c a

đ ng tròn (O’ , O’I)

2 Thay đ i m t ph n c a gi thi t và gi l i đi u ki n l y m t đi m trên m t tia có đ dài đo n này b ng đ dài đo n kia Ta đ a ra bài toán :

“ Cho ABC n i ti p đ ng tròn (O,R) ; A,B c đ nh , C là đi m di

đ ng trên cung l n ฀AB Trên đ ng th ng AC, l y đo n AE = BC và

O’

Ta d ng hình bình hành ABCD , ta có CD BA  DT (C)BA

Khi C ch y trên cung l n ฀AB thì qu tích D ch y trên cung l n ฀A B  là

nh c a cung l n ฀ABqua phép t nh ti n TBA M t khác, ta có ACB฀   không

Ta đ c bài toán m i và đ khó t ng lên

L i gi i c a bài toán nh sau

Gi s A’ là đi m xuyên tâm đ i c a

B

A

O

G

G là tr ng tâm c a ABC ; B’ là trung đi m c a c nh AC

Khi đó ta có :

1 2

mà V V 2 1 là m t phép đ i x ng tâm nên tâm c a nó là M vì nh c a B là C

Do đó ta có M là trung đi m c a A’H

Vì A’ c đ nh nên ta xét phép v t tâm A’ , t s 2, ta có :

Ta c ng d tìm đ c qu tích tr ng tâm G c a ABC là đ ng tròn (O’, R

Ví d 2 Cho hai đ ng tròn (O,R) và (O’, R’) ti p xúc ngoài v i nhau

t i A K các dây AB c a (O) và AC c a (O’) sao cho ฀ o

BAC90 M là đi m chia trong BC theo t s k