Luận văn sư phạm Ứng dụng của giải tích lôig để giải toán sơ cấp

Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng thành công trong việc giải nhiều lớp các bài toán của hình học, đại số và giải tích sơ cấp như: giải các bài toán bằng cách sử dụng đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

BÙI THỊ HỒNG HOA

ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI

ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp đỡ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô

và các bạn để tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Bùi Thị Hồng Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, cùng với đó là sự côc gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Bùi Thị Hồng Hoa

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1 Các kiến thức cơ bản của giải tích lồi 4

1.1 Tập hợp lồi. 4

1.1.1 Định nghĩa tập hợp lồi 4

1.1.2 Tính chất 4

1.2 Hàm lồi 6

1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 6

1.2.2 Một số tính chất của hàm lồi 7

1.3 Định lí Kelli trong không gian hai chiều 19

1.4 Định lí Kelli trong không gian một chiều 21

Chương 2 Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán hình học 24

2.1 Các bài toán sử dụng định lí Kelli 24

2.2 Các bài toán sử dụng tính chất của tập hợp lồi và bao lồi 28

Chương 3 Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số và giải tích 31

3.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 31

3.1.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển 37

3.1.2 Chứng minh các bất đẳng thức đại số 42

3.1.3 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác 46

3.1.4 Chứng minh các bất đẳng thức hình học. 49

3.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 52

3.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình và bất phương trình có tham số 58

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Gỉải tích lồi là một môn nghiên cứu các tính chất của tập hợp lồi và hàm lồi Các kết quả Giải tích lồi được áp dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học nhất là trong lí thuyết tối ưu hóa

Trong chương trình Toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã được làm quen với khái niệm “ lồi” ngay từ cấp 2 khi học môn Hình học Hầu hết chương trình hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn; rồi đến các khối đa diện lồi như hình chop, hình lâng trụ, hình cầu hoặc các khối tròn như hình nón hình trụ hình cầu Trong đại số tính lồi, lõm của hàm số được dạy trong các chương trình học về hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm

số

Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng thành công trong việc giải nhiều lớp các bài toán của hình học, đại số và giải tích sơ cấp như: giải các bài toán bằng cách sử dụng định lí Kelli, sử dụng tính chất của tập hợp lồi và bao lồi, chứng minh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ phương trình và bất phương trình chứa tham số

Với lí do trên em đã chọn đề tài “Ứng dụng của giải tích lồi để giải toán sơ cấp”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy logic đặc thù của bộ môn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của giải tích lồi để giải toán sơ cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông

+ Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán sơ cấp

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm ba chương:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản của giải tích lồi

Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của tập hợp lồi và hàm lồi được trình bày trong chương 1 của luận văn Đó là những kiến thức cần thiết sẽ sử dụng đến trong hai chương tiếp theo của luận văn này

Chương 2 Ứng dụng của Giải tích lồi vào các bài toán Hình học Trong chương này giới thiệu cách vận dụng định lí Kelli về sự giao nhau khác rỗng của một họ các tập hợp lồi và phép lấy bao lồi của một hình phẳng để giải nhiều bài toán đặc sắc của Hình học tổ hợp

Chương 3 Ứng dụng của Giải tích lồi vào các bài toán Đại số và Giải tích

Chương 3 trình bày cách sử dụng tính lồi để giải một số các lớp các bài toán Đại số và Lượng giác sơ cấp Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, các bất đẳng thức đại số và lượng giác, các bài toán cực trị, các bài toán về phương trình và bất phương trình chứa tham số

Sử dụng các kết quả cơ bản của lí thuyết hàm lồi như bất đẳng thức

trưng của tập hợp lồi sẽ cho phép chuáng ta giải được nhiều lớp bài toán khác nhau trong Đại số và Lượng giác sơ cấp

CHƯƠNG 1 : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA

Lấy tùy ý thuộc , và là số thực tùy ý sao cho

Do , là hai tập hợp lồi, mà ; , nên:

Điều đó có nghĩa là lồi, tứa là + lồi

Tính chất 3: Cho là tập hợp cho trước Ta kí hiệu là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa (và thường gọi là bao lồi của tập hợp)

Gọi Khi đó

Chứng minh

Không giảm tổng quát có thể cho rằng là tập hợp trong mặt phẳng (nếu

hoặc thì lí luận không có gì thay đổi)

Trước hết ta thấy rằng:

Thật vậy, ít nhất toàn mặt phẳng chính là một tập hợp lồi chứa

Vì là tập hợp lồi, nên như ta biết giao của các tập hợp lồi chính là tập hợp lồi

Mặt khác vì là một tập hợp lồi chứa , nên dĩ nhiên

Từ (1) và (2) suy ra

Tính chất 1: Cho là tập hợp lồi trong

Giả sử là các hàm lồi xác định trên

Cho với mọi Khi đó hàm số

Vì là các hàm lồi với , nên ta có với mọi

Tính chất 2: Cho hàm số Hàm là aphin khi và chỉ khi nó vừa lồi vừa lõm (Để ý rằng là aphin tức là ở đây

)

Chứng minh:

1) Giả sử là aphin, tức là

Rõ ràng vì với mọi , với mọi , ta có

(1)

Từ (1) suy ra vừa là hàm lồi, vừa là hàm lõm trên

2) Đảo lại giả sử là hàm vừ lồi vừa lõm trên Theo định nghĩa của hàm lồi, hàm lõm ta suy ra với mọi , với mọi , ta có:

(2) Đưa vào xét hàm số với

Với mọi , với mọi , theo (2) ta có:

(3)

Từ định nghĩa suy ra:

(4) Lấy tùy ý thuộc Với , từ (3) suy ra :

Từ đó theo (4) đi đến:

(5) Với , ta có ( lại theo (3))

Như vậy ,

Với mọi ta có (dựa vào (3), (4))

Như vậy (7) Với ta có dựa vào (6), (7)

(8) Như vậy từ (5), (6), (8) suy ra

(9) Với mọi , theo (9) và (3) ta có :

Tính chất 3 : Cho là tập hợp lồi thuộc Hàm là một

hàm lồi trên khi và chỉ khi với mọi ( , thì hàm một biến

Như vậy thay vào (1) ta có :

Bất đẳng thức (2) đúng với mọi ( và mà ,

nên là hàm lồi trên

2) Bây giờ giả sử là hàm lồi trên Lấy

( tùy ý thuộc Xét hàm số xác định

như sau :

;

Ta phải chứng minh là hàm lồi trên

Thật vậy, lấy tùy ý thuộc Lấy sao cho

(5)

do là hàm lồi trên , nên từ (4) và (5) suy ra :

VP(3) (

hay VP (3) (6)

Kết hợp (3) và (7) đi đến

Vậy là hàm lồi trên

Tính chất 4 : Cho là tập hợp lồi Hàm số là hàm lồi

trên Khi đó với mọi số thực , thì các tập

Điều đó có nghĩa là ( , và vì thế là tập hợp lồi trong

Hoàn toàn tương tự, cũng là tập hợp lồi trong

Đó là đ.p.c.m

Tính chất 5 : (Mối quan hệ giữa tập lồi và hàm lồi)

Giả sử , ở đây là tập hợp lồi trên Đặt

Kết hợp với (2) suy ra điểm , tức

là là tập hợp lồi

2) Bây giờ ta giả sử là tập hợp lồi Gỉa thiết trái lại

không phải là hàm lồi trên Điều đó có nghĩa là tồn tại , tồn tại số sao cho:

Khi đó cũng là hàm lồi trên

Tính chất 7: ( Cho là tập hợp lồi trong ,

: → là hàm số xác định trên Khi đó là hàm lồi trên khi và

chỉ khi với mọi số n nguyên dương, với mọi thuộc , với mọi số

và

và ta có bất đẳng thức sau :

Bất đẳng thức (1) có tên gọi là

Chứng minh :

1) Giả sử (1) thỏa mãn Khi đó ứng với , theo định nghĩa là hàm lồi trên

2) Bây giờ giả sử là hàm lồi trên Ta phải chứng minh một là đúng

Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau :

Với , thì (1) hiển nhiên đúng

Với , theo định nghĩa hàm lồi thì (1) cũng đúng

Ta viết lại (2) dưới dạng sau

mà là tập hợp lồi, nên :

Bây giờ vế phải của (3) có dạng :

Để ý rằng , nên từ (4)

và theo giả thiết quy nạp suy ra :

Lại do là hàm lồi, nên :

Bây giờ kết hợp (3), (4), (5), (6) suy ra :

Vậy (1) cũng đúng khi

Theo nguyên lí quy nạp suy ra (1) đúng với mọi

Đó là đ.p.c.m

1.3 Định lí Kelli trong không gian hai chiều

Trong mặt phẳng cho hình lồi ( Biết rằng giao của ba hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của hình lồi cũng khác rỗng

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo số các hình lồi

Gọi là bốn hình lồi có tính chất là giao của ba hình bất kì trong chúng là khác rỗng Vì nên tồn tại

Tương tự tồn tại

; ; Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

a) Nếu bốn điểm , không hoàn toàn khác nhau Khi đó không giảm tính tổng quát ta cho là Từ đó suy ra :

Nên

Vậy kết luận của định lí Kelli đúng trong trường hợp khi

b) , là bốn điểm phân biệt, khi này lại có hai khả năng xảy ra

Bao lồi của , chính là tứ giác lồi

Giả sử là giao điểm của hai đường chéo

Do , nên nên

Vì mà nên Nói riêng

Lập luận hoàn toàn tương tự suy ra Điều đó có

nghĩa là :

Bao lồi của chúng là tam giác chứa điểm còn lại bên trong

Không giảm tổng quát ta có thể cho là ∆ chứa

Vì , đều thuộc , mà lồi nên toàn bộ miền trong ∆

thuộc

Vậy định lí Kelli đúng khi

2) Giả sử kết luận của định lí Kelli đúng đến

3) Xét trường hợp khi có hình lồi, tức là ta có hình lồi

với giả thiết bất kì ba hình lồi nào trong chúng đều có phần giao nhau khác rỗng Xét các hình sau:

Rõ ràng là lồi với mọi (vì ), còn cũng là lồi vì nó

là giao của hai hình lồi và

Xét ba hình lồi bất kì trong hình lồi

Nếu trong chúng không có thì theo giả thiết :

Nếu trong chúng có Khi đó có thể cho là

1.4 Định lí Kelli trong không gian một chiều

Trên đường thẳng cho hình lồi ( Biết rằng giao của hai hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của cả hình lồi cũng khác rỗng

Chứng minh:

Ta biết rằng hình lồi trên đường thẳng chỉ có thể là đoạn thẳng

, khoảng ( , hay ( ở đây có thể là , còn có thể là Ở đây, ta chỉ xét với các hình lồi là các đoạn thẳng, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự

Giả sử có đoạn thẳng , có tính chất sau : Bất kì giao của hai đoạn thẳng nào trong chúng cũng khác rỗng, tức là :

với mọi

Ta thấy rằng: ⇔

Thật vậy, giả sử khi đó tồn tại

hay

Đảo lại, giả sử Khi đó, rõ ràng ta có thể chọn sao cho:

Từ (1) suy ra suy ra ; suy ra

Định lí Kelli trong được chứng minh hoàn toàn

Trong chương này em đã trình bày một số kiến thức cơ bản của tập lồi và hàm lồi để giải các bài tập ở chương sau

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI

VÀO CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

2.1 Các bài toán sử dụng định lí Kelli

Trong hình học tổ hợp có một số lớp các bài toán mà chúng có đặc điểm

chung nổi bật là : Kết luận của các bài toán này thực chất phụ thuộc vào sự

giao nhau có khác rỗng hay không của một họ tập lồi nào đó Phương pháp có

hiệu lực nhất để giải lớp các bài toán ấy là sử dụng định lí Kelli Lược đồ

chung của việc sử dụng định lí Kelli để giải các bài toán này như sau :

- Đưa bài toán đã cho về dạng khảo sát sự giao nhau của một họ tập lồi

nào đó

- Sử dụng định lí Kelli để suy ra kết luận cần tìm

Bài 1: Cho bốn nửa mặt phẳng Chứng minh rằng tồn tại ba nửa mặt phẳng

trong bốn nửa mặt phẳng ấy sao cho chỉ riêng ba nửa mặt phẳng này cũng lấp

đầy mặt phẳng

Lời giải

Gọi là bốn nửa mặt phẳng Từ giả thiết ta có :

Rõ ràng là lồi với mọi Từ (1) suy ra

(ở đây dùng để chỉ phần bù của tập hợp )

Theo quy tắc Demorgan, từ (2) có (3)

Vì lồi nên cũng lồi với mọi

Giả thiết phản chứng không tồn tại ba nửa mặt phẳng nào trong số các ( , mà ba nửa mặt phẳng này lấp đầy mặt phẳng Điều đó có nghĩa là: Với mọi phân biệt, mà thì

Nói cách khác (4) Theo quy tắc Demorgan thì từ (4) có (5)

Từ (5) và áp dụng định lí Kelli suy ra (6) Bây giờ từ (3) và (6) suy ra mâu thuẫn, tức là phản chứng sai

Từ đó ta có đ.p.c.m

Bài 2: Trên mặt phẳng cho hình tròn ( Gỉa sử cứ với mỗi ba hình tròn đều có một hình tròn bán kính cắt ba hình tròn ấy Chứng minh rằng tồi tại một hình tròn có báb kính cắt cả hình tròn

Lời giải

Xét tập hợp lồi

Với tùy ý mà

Theo giả thiết tồn tại hình tròn cắt tất cả tức là

Điều đó chứng tỏ rằng : với mọi Theo định lí Kelli suy ra:

Xét hình tròn tâm và bán kính Hình tròn này rõ rang cắt với mọi

Đó là đ.p.c.m

Bài 3: Trên mặt phẳng có một họ hữu hạn các hình chữ nhật có các cạnh tương ứng song song với hai trục tọa độ Chứng minh rằng nếu hai hình bất kì trong chúng có giao khác rỗng thì cả họ có giao khác rỗng

Ta có sự tương ứng 1 – 1 sau đây :

Như vậy ta có : họ các đoạn thẳng , và họ các đoạn thẳng , với mọi

Do , với mọi , cho nên

2.2 Các bài toán sử dụng tính chất của tập hợp lồi và bao lồi

Tập hợp lồi có một đặc trưng cơ bản là khi nó chứa hai điểm, thi nó sẽ chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm ấy Tính chất ưu việt này được tận dụng triệt để trong việc giải các bài toán hình học nói chung là các bài toán hình học

tổ hợp nói riêng Tuy nhiên, các tập hợp cho trước trong các bài toán mà ta cần giải nói chung không phải là tập hợp lồi Trong một số trường hợp ta có thể gắn nó với một tập hợp lồi chứa chúng để khảo sát, và sẽ tận dụng được ưu thế của tính lồi để giải quyết các vấn đề đặt ra của bài toán Dĩ nhiên tập hợp lồi

mà ta sẽ dùng đến chính là bao lồi mà ta sẽ dùng đến chính là bao lồi của các hình ban đầu đã cho Việc làm này có thể được và hợp lí vì hai lí do sau đây:

- Một là như đã biết, khi cho trước một tập hợp thì bao giờ cũng tồn tại bao lồi của nó

- Hai là chính là một hợp lồi nhỏ nhất chứa

Như vậy, khi lấy bao lồi ta vừa sử dụng được tính lồi để giải toán mà lại không làm phức tạp bài toán lên quá nhiều

Với các bài toán của hình học tổ hợp mà có thể sử dụng được phép lấy bao lồi để giải chúng, thì lược đồ chung để giải các bài toán như sau:

- Chọn một phép lấy bao lồi thích hợp Cần nhấn mạnh rằng một trong các phép lấy bao lồi hay dùng nhất là chúng ta sử dụng kết quả sau: Bao lồi của một họ hữu hạn điểm trên mặt phẳng là một đoạn thẳng hoặc

là một đa giác lồi mà các đỉnh của chúng thuộc vào tập hợp các điểm đã cho

- Sử dụng tính lồi để giải quyết các yêu cầu của bài toán đặt ra

Bài 1: Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm Chứng minh rằng luôn luôn tìm được một điểm sao cho gần nó nhất có không quá 3 điểm đã cho

Lời giải

Giả sử điểm đã cho Theo nguyên lí cực hạn, tồn tại

Đưa vào xét tập hợp như sau:

Giả sử Dễ dàng thấy rằng (vì tồn tại khoảng cách ngắn nhất

Xét bao lồi của tập hợp Chỉ có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu bao lồi của là đoạn thẳng

Khi đó gần đỉnh đầu mút của nó chỉ có không quá một điểm của hệ