Luận văn sư phạm Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Toán t chi u lên không gian con Ax là : AA Ac, sau đó tính theo công th c trên... lên không gian nhân KerA.

2.2.3 Thu t toán theo đ ng trung tâm

2.2.4 Thu t toán theo đ ng trung tâm – đ i ng u

2.2.5 So sánh các ph ng pháp đi m trong

K t lu n

TƠi li u tham kh o

L I C M N

Trong su t quá trình th c hi n khóa lu n c ng nh h c t p t i tr ng

em đã nh n đ c s quan tâm, giúp đ và t o đi u ki n c a các th y cô giáo trong Khoa Toán, nh t là các th y cô giáo trong t Toán ng d ng, cùng v i

s đ ng viên khích l c a các b n sinh viên Em xin chân thành c m n s giúp đ quý báu này

c bi t em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y giáo Tr n Minh

T c, ng i đã t n tình h ng d n, giúp đ em trong su t th i gian qua đ

em có th hoàn thành khóa lu n này

Trong quá trình th c hi n đ tài, do đi u ki n v th i gian và s h n

ch v ki n th c, khó tránh kh i nh ng thi u sót khi hoàn thành khóa lu n này Vì v y em r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a th y cô và

b n bè đ đ tài c a em đ c hoàn thi n h n

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, ngày 05 tháng 05 tháng 2010

Sinh viên th c hi n

Tr n H i Y n

L I CAM OAN

Tôi xin cam đoan nh ng v n đ em trình bày trong khóa lu n là nh ng

k t qu nghiên c u c a riêng b n thân tôi d i s h ng d n t n tình c a th y giáo Tr n Minh T c, b n khóa lu n này không trùng v i k t qu nghiên c u

M U

1 Lý do ch n đ tƠi

Bài toán quy ho ch tuy n tính là bài toán gi i quy t nh ng v n đ khó

kh n th ng g p trong cu c s ng và trong lao đ ng s n xu t Vi c gi i nh ng bài toán Quy ho ch tuy n tính này giúp ta tìm đ c ph ng án t i u nh t,

h p lý nh t nh m mang l i hi u qu cao nh t trong s n xu t

Thông th ng chúng ta dùng ph ng pháp đ n hình đ gi i bài toán Quy ho ch tuy n tính ây là m t cách gi i nhanh và hi u qu Tuy nhiên v i

nh ng bài toán có đ ph c t p l n thì ph ng pháp đ n hình không còn th c

s hi u qu n a V i nh ng bài toán này ng i ta th ng s d ng m t

ph ng pháp khác là ph ng pháp đi m trong tìm hi u k h n v ph ng

pháp đi m trong tôi đã ch n đ tài: “Ph ng pháp đi m trong gi i bài toán

quy ho ch tuy n tính” cho khóa lu n t t nghi p

2 M c đích, nhi m v nghiên c u

M c đích nghiên c u: Tìm hi u các thu t toán c a ph ng pháp đi m

trong đ gi i bài toán Quy ho ch tuy n tính

Nhi m v nghiên c u: Trình bày khái quát và đánh giá hi u qu các thu t toán c a ph ng pháp đi m trong

Ch ng I: Bài toán quy ho ch tuy n tính và ph ng pháp đ n hình

Ch ng II: Ph ng pháp đi m trong

Ch ng I BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TệNH VÀ

1.1.1 BƠi toán quy ho ch tuy n tính

j j j

ij 1

ij 1

:

0 0

n

j n

j n

j j j j

0

n

j j j n

j j j

c) D ng chu n t c

ij 1

ij 1

0

n j j n

j j j

1.1.2 Bài toán qu y ho ch tuy n tính đ i ng u

a) i ng u c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chu n t c

max0

t t

b x

A x cy

t

b y

A y cy

 

 

ij 1

ij 1

i i i

b y

yy

th ng [ồ’,ồ”] n i 2 đi m này hoàn toàn thu c C

b) i m x0 thu c t p l i C đ c g i là đi m c c biên c a C n u nó không là

đi m trong c a b t k đo n nào n i 2 đi m khác nhau c a C t c là không t n

ã bi t r ng:

- N u bài toán có ph ng án thì có ph ng án c c biên

- N u bài toán có ph ng án t i u thì c ng có ph ng án c c biên t i

u

- S ph ng án c c biên là h u h n

Do đó ta có th tìm m t ph ng án t i u hay l i gi i c a bài toán

trong t p h p các ph ng án c c biên Do t p này là h u h n nên Dantzig đã

đ xu t m t thu t toán g i là thu t toán đ n hình:

x t t h n 0

x

theo ngh a    1 0

f x  f x Quá trình này l p l i nhi u l n vì s ph ng án

c c biên là h u h n nên sau m t s h u h n b c l p ta tìm đ c ph ng án

c c biên t i u

th c hi n thu t toán đ ra trên ta c n làm rõ hai v n đ :

- Làm th nào đ bi t m t ph ng án c c biên đã cho là t i u hay

V i x c, ฀ ,b฀ , A là ma tr n c p m n đ n gi n ta gi thi t

c s J đang xét g m đúng m c t đ u tiên c a ma tr n A, t c J={1,2, ,m}

t K={1,2, ,n}\J Ma tr n A đ c tách làm 2 : ma tr n c s AJ và ph n ngoài c s AK các véc t c ng đ c tách làm 2 ph n t ng ng trong và ngoài c s J

 J K

K

xxx

  

 ,

J K

ccc

chính là “s l ng” d li u đ u vào Do đó th i gian th c hi n thu t toán

t c đ t ng c a T n khi n   ti n đ n vô cùng không v t quá t c đ t ng

c a f n Khi n   l n , f n cho ta hình dung đ c m c l n c a T n ,   f n  

là th c đo đ l n c a T n  

1.4.2 Th i gian th c hi n thu t toán đ n hình

Trong m i b c l p c a ph ng pháp đ n hình c n th c hi n O(m.n) phép toán s h c đ tính giá tr hàm m c tiêu, các bi n c s và O(m2

) phép

toán đ tính l i ma tr n c s T ng s phép toán s h c trong m t phép l p

đ n hình là O(m.n + m3

)

Nói chung, ng i ta th y c n O(m) phép l p đ n hình đ gi i bài toán quy ho ch tuy n tính V trung bình, th i gian gi i bài toán quy ho ch tuy n tính b ng thu t toán đ n hình là m t đa th c theo m và n

Ph ng pháp đi m trong xu t phát t m t đi m n m bên trong mi n

r ng bu c và di chuy n d n đ n l i gi i t i u nh ng v n luôn bên trong

mi n r ng bu c Tên g i c a ph ng pháp này c ng đã cho th y ý t ng này

T m t đi m đang xét ta di chuy n d n đ n m t đi m m i t t h n theo

h ng d H ng di chuy n là t h p c a hai thành ph n Thành ph n th nh t

là h ng gi m hàm m c tiêu Thành ph n th hai nh m h ng vào bên trong

đ không ch m vào biên c a mi n r ng bu c, g i là thành ph n h ng tâm

Nh v y đ gi i quy t bài toán quy ho ch tuy n tính b ng ph ng pháp này chúng ta ph i tìm đ c 2 thành ph n Vi c xác đ nh 2 thành ph n đó đ c trình bày d i đây

Gi thi t r ng rankA = m Toán t chi u lên không gian con Ax là :

AA Ac, sau đó tính theo công th c trên

2 1.3 ThƠnh ph n h ng tơm

dãy đi m đang xét nh m h ng vào bên trong không ch m vào biên c a

mi n r ng bu c ta có hai cách:

Cách m t (ph ng pháp hàm ch n): Ta c ng thêm vào hàm m c tiêu

m t hàm s d ng, d n t i m i khi dãy đi m g n ti n t i biên mi n ràng

Cách hai (ph ng pháp c n ch nh Ềllipsoiế): Ta xây d ng m t elip có

tâm t i đi m đang xét và n i ti p trong mi n ràng bu c Biên c a mi n ràng

bu c xác đ nh b ng các đ ng th c xj= 0, nên n u m t ràng bu c s p vi ph m

t i đi m đang xét thì bán tr c c a elip t ng ng v i bi n này s ng n, h ng

di chuy n s đ c đi u ch nh đ nghiêng v phía bán tr c dài h n c a elip

H ng di chuy n

2.2 M t s thu t toán c a ph ng pháp đi m trong

2.2.1 Ph ng pháp t l affin

2.2.1.1 ụ t ng c a thu t toán

T i m i b c l p, khi đã có môt nghi m trong, ta thay bài toán quy

ho ch tuy n tính b ng bài toán có cùng hàm m c tiêu nh ng t p ràng bu c là

m t elip có tâm là nghi m trong đã có, x p x v i t p l i đa di n ràng bu c

c a quy ho ch tuy n tính Nghi m c a bài toán m i s đ c ch ng minh là nghi m trong c a bài toán c a bài toán quy ho ch tuy n tính và s đ c dùng làm tâm c a elip b c l p ti p theo C ti p t c quá trình này đ n khi kho ng cách đ i ng u nh h n m t ng ng   nào đó 0

2.2.1.2 Xơy d ng thu t toán

Ta có hình trên là quá trình ch y thu t toán t l affin cho bài toán d i đây

Bây gi ta đi xét chi ti t t ng b c c a thu t toán

Xét bài toán quy ho ch tuy n tính chính t c

,0

2 0

2 0

i i

bài (1.4) hình c u ràng bu c n m trong đa t p tuy n tính H song song

v i không gian con Ker( 0

x฀ P x  A AA  Ax là hình chi u c a ồ lên không gian

hàng R(At) và x - P(x) là hình chi u c a ồ lên không gian KỀrA

CH NG MINH: ThỀo đ nh ngh a c a hình chi u P lên R(At) ta ph i

lên không gian nhân KerA

Vì P là ma tr n chi u lên không gian con Ker( 0

AX ) nên theo b đ trên ta có

Ta th y nghi m t i u x* c a bài toán elip x p x là nghi m ch p nh n

đ c c a bài toán quy ho ch tuy n tính H n n a nó đ t c c ti u hàm m c

tiêu c xt trong elip Nh ng elip ch là m t ph n c a t p l i đa di n ràng bu c

c a bài toán quy ho ch tuy n tính nên *

x ch a ph i là nghi m t i u c a bài toán quy ho ch tuy n tính x* là nghi m t i u c a bài toán quy ho ch tuy n tính thì *

x ph i r i vào biên c a t p l i hay nói cách khác: “n u *

Ta đi ch ng minh kh ng đ nh trên

Ta có b đ : N u ồ  E thì x> 0 khi  <1 và x0 khi  =1 B đ đ c minh

h a b ng hình h c sau và ch ng minh đ c b ng gi tích:

Do đó x sj j ฀ X s ฀ > 0, suy ra sj > 0, m t khác theo đ nh ngh a chu n

2.2.1.3 Mô t thu t toán

* u vào c a thu t toán:

nghi m trong c a bài toán quy ho ch tuy n tính t ng c ng này Ta có th

ch ng minh đ c xn+1= 0 là nghi m t i u c a bài toán t ng c ng, do đó nó

là nghiêm t i u c a bài toán g c

đ i x ch y d c theo biên c a đa di n l i( g n gi ng v i ph ng pháp đ n hình) Vì v y ng i ta tin r ng đ ph c t p c a thu t toan affin c ng gi ng

v i đ ph c t p c a thu t toán đ n hình (m c dù ch a có ch ng minh)

2.2.2 Thu t toán gi m th

2.2.2.1 ụ t ng thu t toán

Do b c nh y trong thu t toán affin b gi i h n khi nghi m hi n t i x

g n ch m đ n biên c a đa di n l i, trong thu t toán gi m th ng i ta đ a thêm vào hàm m c tiêu các s h ng có tác d ng ph t khi x g n ch m đ n biên

c a đa di n l i Nh v y x s đ c gi càng cách xa biên c a đa di n l i càng

t t n u x ch a g n v i nghi m t i u

Thu t toán gi m th kh c ph c đi m y u c a thu t toán t l affin là „b

b y‟ khi g n ch m vào biên c a đa di n l i

2.2.2.2 Xơy d ng thu t toán

Ta có hình v trên là quá trình ch y thu t toán cho bài toán sau đây:

Bây gi ta xét chi ti t t ng b c c a thu t toán:

Xét bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c:

, 0,

nh y c a thu t toán r t ng n Do đó s c i thi n m c tiêu qua các b c là r t

ít Cách t t nh t đ kh c ph c tình tr ng này là „đ y xa‟ đi m hi n hành ra

kh i biên ng th i các b c c a thu t toán c ng ph i làm gi m d n đ l ch

bù stx (stx c ng chính là l h ng đ i ng u, t c là đ l ch gi a hai giá tr m c tiêu c a hai bài toán g c và đ i ng u)

đ t đ c hai đi u này ta đ a thêm vào hàm th đ c đ nh ngh a nh

đây q > n là h ng s , log là kí hi u c a loge ta th y G(x,s) là m t l a hàm

ph t: s h ng đ u đ c ch ng cho l h ng đ i ng u, hai s h ng sau ph t vào

s g n biên c a nghi m trong x và s

Ta xỨt đ nh lý (2.1): Gi s ồ0

> 0 và (y0,s0) v i s0 >0 là nghi m ch p

nh n đ c c a bài toán quỔ ho ch g c và quỔ ho ch đ i ng u t ng ng

M i thu t toán sao cho các b c luôn đ m b o tính ch p nh n đ c c a

G x  s  G x s     k

( K, K) ( , )

G x s G x s  K

u c a c c p quy ho ch đ i ng u nhau sau m t s nh b c l p

C ng t đ nh lý trên c ng cho ta ý t ng c a thu t toán: m i b c

l p, xu t phát t nghi m g c trong hi n hành x > 0 và nghi m trong đ i ng u

vect n chi u và g i là gradient

Tai m i b c ta c n gi i bài toán x p x :



Ta có d là nghi m t i u c a bài toán

2.2.2.3 Mô t thu t toán

* Thu t toán gi m th ho t đ ng nh sau: T i m i b c ta xét đ l n c a ||u||

 k  

k t

1

1

, ,

N u ||u|| ta nói thu t toán th c hi n m t b c l p g c

N u ||u||< ta nói thu t toán th c hi n m t b c l p đ i ng u

2.2.2.4 Tìm nghi m xu t phát cho thu t toán

Xét hai bài toán quy ho ch g c và đ i ng u nhân t o sau đây:

1 1 1

n n

1 2 1

m

m n

gi m th cho các quy ho ch nhân t o Sau đó ta có th nh n đ c nghi m t i

u c a các bài toán quy ho ch g c và đ i ng u ban đ u nh đ nh lý sau đây:

nh lý (2.2) Gi s ồ*

và (y*,s*) là nghi m t i u c a quỔ ho ch tuỔ n tính g c và đ i ng u c n ồỨt N u

* 1

* 2

(a) nghi m ch p nh n đ c ( , x xn  1, xn  2) c a bài toán g c nhân

t o là t i u khi và ch khi x là nghi m t i u c a bài toán

g c và xn  1 0;

(b) nghi m ch p nh n đ c ( , y ym1, , s sn  1, sn  2) c a bài toán

đ i ng u nhân t o là t i u khi và ch khi ( , )y s là nghi m t i

u c a bài toán đ i ng u c n ồỨt và y 0

toán s h c Vì mn nên m i b c l p c n O(n3) phép toán s h c

Tóm l i thu t toán gi m th tìm đ c nghi m  - t i u sau

2.2.3 Thu t toán theo đ ng trung tơm

2.2.3.1 ụ t ng thu t toán

Xu t phát t m t nghi m trong, ta gi i bài toán x p x b ng cách b đi ràng bu c d u mà thay b ng m t hàm ph t vào hàm m c tiêu nh sau:

2.3.2 Xơy d ng thu t toán

Ta có quá trình ch y thu t toán cho ví d :

và bài toán quy ho ch đ i ng u c a nó

, 0

Sau khi b đi ràng bu c d u và thay b ng m t hàm ph t vào hàm m c tiêu ta

có bài toán x p x m i thay cho cho bài toán g c là:

n t

j j

thì chúng là nghi m t i u c a hai bài toán ch n ( đâỔ XSee là

B t đ ng th c cu i cùng có đ c là ếo bi u th c s xj j logxj đ t

c c ti u t i j *

j

xs

b ng cách thay ( )B x b i m t hàm b c hai khi l y 3 s h ng đ u trong công

th c Taylor c a ( )B x Gi s x là nghi m x p x hi n hành Khi đó:

1 1 2

20

Vect d  đ c g i là h ng Newton và quá trình tính h ng Newton

đ c g i là đo n Newton Sau khi tính h ng Newton thì nghi m g c x p x

m i là x d   và nghi m đ i ng u x p x t ng ng là y( ), cA yt ( ) 

N u ta gi nguyên  và ti n hành liên ti p nhi u đo n Newton thì nghi m

g c x p x nh n đ c s d n đ n x( ) - nghi m t i u c a bài toán ch n

Nh ng ta ch nên làm m t đo n Newton r i thay  b i   , đây  là

tham s g n b ng 1 Do đó c ng g n  , x( ) c ng g n x( ) ng th i

nghi m x p x sau đo n Newton m i (xd( )) d( ) đã g n v i x( ) h n kho ng cách x + d  và x( ) V y khi đích c a đo n Newton là x( ) thay

đ i theo  thì nghi m x p x (đ t đ c b i đo n Newton) luôn bám ngày

2.2.3.4 Tìm nghi m xu t phát cho thu t toán

Ta s tìm cách xu t phát thu t toán đ thu t toán h i t sau K b c

1 1

n và logU V y đ ph c t p tính toán c a thu t toán là đa th c c a n logU và

C ng gi ng nh thu t toán theo đ ng trung tâm, m i b c l p ta

s tìm và dùng h ng Newton cho c bài toán ch n c a quy ho ch đ i ng u

Ch d a c a ta là đi u ki n đ t i u cho hai bài toán ch n:

,,

2.2.4.2 Xơy d ng thu t toán

Hình trên là quá trình ch y thu t toán theo đ ng trung tâm – đ i ng u cho bài toán d i đây

Ta ch n  0,1 đ nghi m x p x m i không đ t đ n biên c a mi n ch p

nh n đ c ta g i  là tham s c a thu t toán

b c l p th k vói giá tr kta ch làm m t l n đo n Newton mà không làm nhi u l n đ đ c nghi m x p x d n đ n x (k) trên đ ng trung tâm vì đích c a ta không ph i ( )k

2.2.4.3 Mô t thu t toán

,,,

2.2.4.4 Tìm nghi m xu t phát cho thu t toán

Gi s đã có x0

> 0, s0 >0 và y0 không nh t thi t là nghi m ch p nh n

đ c c a c p quy ho ch đ i ng u Ta xét quy ho ch tuy n tính sau đây, ch a

2.2.4.5 Nh n xét (th i gian th c hi n thu t toán)

Trong tr ng h p x u nh t thu t toán theo đ ng trung tâm g c – đ i

Các ph ng pháp đi m trong có quan h m t thi t v i nhau:

B c đi m i b c l p trong ph ng pháp t l affin

  v i d ht là h ng di chuy n vào đi m x  trên

đ ng trung tâm (đ c g i là h ng tâm)

Theo công th c trên ta th y c thu t toán gi m th và thu t toán theo

đ ng trung tâm đ u có h ng đi m i b c l p là t h p tuy n tính c a

h ng đi t l affin và h ng tâm

Thu t toán t l affin tuy đ n gi n và h i t nhanh trong th c t nh ng không đánh giá đ c c n trên c a s b c l p (có ph i là đa th c c a c bài toán hay không?) Hai thu t toán còn l i thì có s b c l p là đa th c c a c

Thu t toán theo đ ng trung tâm có hàm ch n t ng t hàm th thu t toán gi m th Nó s d ng ph ng pháp Newton đ gi i nên h i t r t nhanh

Vì v y thu t toán này hoàn thi n v lý thuy t và h i t nhanh trong th c t nên đ c s d ng nhi u nh t