Luận văn sư phạm Phân tích thống kê phân phối chuẩn

Khi đó ta có... K: Có ít nh t hai ph ng sai khác nhau.

L I C M N

hoƠn thƠnh b n lu n v n t t nghi p nƠy, tr c h t em xin bƠy t lòng

bi t n sơu s c đ n các th y, cô giáo trong khoa Toán tr ng i h c s ph m

HƠ N i 2 đƣ đ ng viên, giúp đ em trong su t th i gian hoƠn thƠnh khoá lu n

này

c bi t, em xin bƠy t lòng bi t n sơu s c c a mình t i th y giáo Th.s

Nguy n Trung D ng - ng i đƣ t o đi u ki n t t nh t vƠ ch b o t n tình giúp

em hoàn thành khóa lu n này

Em xin chơn thƠnh c m n

L I CAM OAN

tƠi c a em đ c hình thƠnh d i s h ng d n c a th y Th.s

Nguy n Trung D ng cùng s c g ng c a b n thơn Trong su t th i gian

nghiên c u vƠ th c hi n khoá lu n nƠy em đƣ tham kh o m t s tƠi li u (đƣ

nêu trong ph n tƠi li u tham kh o)

Em xin cam đoan nh ng k t qu trong khoá lu n t t nghi p lƠ k t qu nghiên c u c a em, không trùng v i b t k tác gi nƠo khác N u sai em xin

ch u hoƠn toƠn trách nhi m

L I NÓI U

Toán ng d ng lƠ m t ngƠnh toán h c có ý ngh a r t to l n vƠ chi m

m t v trí quan tr ng Nó lƠ c u n i đ đ a nh ng k t qu đ c nghiên c u trên lý thuy t c a gi i tích , đ i s , hình h c vƠo trong các ngƠnh khoa h c khác vƠ th c t cu c s ng

Lý thuy t xác su t lƠ b môn có tính ng d ng r t r ng rƣi trong các

ngành khoa h c t nhiên, khoa h c xƣ h i vƠ th c t cu c s ng Nó lƠ công c

đ gi i quy t các v n đ chuyên môn c a nhi u l nh v c nh kinh t , sinh h c

, tâm lý – xƣ h i Do đó b môn nƠy đ c đ a vƠo gi ng d y h u h t các

tr ng đ i h c vƠ cao đ ng

Trong đó, phân ph i chu n đóng vai trò quan tr ng trong lý thuy t xác

su t, đ ng th i chi m v trí trung tơm trong các k t lu n th ng kê ng d ng Trong th c t nhi u bi n ng u nhiên , nhi u quy lu t tuơn theo lu t chu n ho c

g n chu n NgoƠi ra, phơn ph i chu n c ng đ c ng d ng đ mô t nhi u

hi n t ng đ a ch t nh hƠm l ng n c trong đá tr m tích, hƠm l ng c a

m t s nguyên t hoá h cầvƠ đ c bi t, phơn ph i chu n còn đ c ng d ng trong các bƠi toán c l ng vƠ bƠi toán ki m đ nh gi thi t, lƠ c s đ a ra

đ c nh ng k t lu n th ng kê có giá tr

V i mong mu n lƠm rõ h n ý ngh a c a th ng kê trong đ i s ng thông qua m t s ng d ng c b n nh t c a phơn ph i chu n Em đƣ ch n đ tƠi

“Phơn tích th ng kê phơn ph i chu n” lƠm đ tƠi khoá lu n c a mình

N i dung c a khoá lu n bao g m

Ch ng 1: C s

Ch ng 2: Phơn tích th ng kê đ i v i phơn ph i chu n

V i khoá lu n t t nghi p trên, em mong r ng nó s lƠ tƠi li u b ích cho

nh ng ai quan tơm t i v n đ nƠy

M C L C

L I C M N 1

L I CAM OAN 2

L I NÓI U 3

CH NG 1: C S 5

1.1 Phơn ph i chu n 9

1.2 M u vƠ phơn ph i m u c a chu n 14

1.3 c l ng đi m 14

1.3.1 M t s đ nh ngh a 14

1.3.2 Các ph ng pháp tìm c l ng đi m 16

1.4 c l ng kho ng 18

1.4.1 M t s đ nh ngh a 18

1.4.2 Ph ng pháp P-Q-M tìm c l ng kho ng 19

CH NG 2 PHÂN TÍCH TH NG KÊ V I PHÂN PH I CHU N 20

2.1 c l ng tham s 20

2.2 Kho ng tin c y c a các tham s 22

2.3 Ki m đ nh gi thuy t các tham s 28

2.3.1 Ki m đ nh gi thuy t v giá tr trung bình 28

2.3.2 Ki m đ nh gi thuy t v hai k v ng toán c a hai bi n ng u nhiên phân ph i chu n 32

2.3.3 Ki m đ nh gi thuy t v ph ng sai 36

2.3.4 Ki m đ nh gi thuy t v s b ng nhau c a hai ph ng sai 37

2.3.5 Ki m đ nh k ph ng sai c a k bi n ng u nhiên phơn ph i chu n 38 2.3.6 Ki m đ nh gi thuy t v quy lu t phân ph i xác su t 38

2.4 M t s bƠi toán 39

2.4.1 BƠi toán v c l ng tham s 39

2.4.2 BƠi toán v kho ng tin c y c a các tham s 42

2.4.3 BƠi toán v ki m đ nh tham s 46

K T LU N 54

TẨI LI U THAM KH O 55

2 2

1.2

x X

t x

x X

2 2

1.2

x X

phơn ph i liên t c tuy t đ i

2 2

2 2

2

x

1 x ( )

( x ) 21

dxdz Khi đ i bi n c n l y tích phơn không thay đ i Ta có

2

z 2

tích phơn l i đ i x ng qua g c t a đ VƠ tích phơn

2

z 2

( x )

2 21

2

1.2 M u vƠ phơn ph i m u c a chu n

nh ngh a 1.2 ( M u ng u nhiên ) Cho bi n ng u nhiên X Ti n hành n

quan sát đ c l p v X G i Xi là quan sát th i,i1,n Khi đó X1,X2,…,Xn

đ c g i là m u ng u nhiên c n quan sát v bi n ng u nhiên X

Chú ý Cho (X1,X2,…,Xn ) là m u ng u nhiên quan sát v bi n ng u nhiên X Khi đó ta có

x n 1

2 2 n

2 X

1.e x ,x > 0n

2

i i

( k ) 2

nh ngh a 1.4 (Phơn ph i T-student) Bi n ng u nhiên liên t c X g i là

phân ph i theo quy lu t Student v i n b c t do n u hàm m t đ xác su t c a

nó xác đ nh b ng bi u th c sau

n 2

2 X

n( )

t2

 có phơn ph i Student v i n b c t do

nh ngh a 1.5 (Phân ph i FISHER ậ SNEDECOR ) Bi n ng u nhiên liên

t c F đ c g i là phân ph i theo quy lu t Fisher – Snedecor v i n1 , n2 b c t

do n u hàm m t đ xác su t c a nó xác đ nh b ng bi u th c sau

1 2

1 2

n n 2

n n 2

 có phơn ph i theo quy lu t Fisher v i n1 và n2 b c t do

nh lý 1.11 Cho X1,X2,…,Xn lƠ quan sát v bi n ng u nhiên X ~ N 2

nh lý 1.12 Cho X1,X2,…,Xn lƠ m u ng u nhiên quan sát v bi n ng u nhiên

X ~ N ( , 2) Khi đó ta có các kh ng đ nh sau

a

2 n

ˆ

ns

  ~( n )2

Ta ph i ch ng minh Xn 1  và ˆs2n 1 lƠ đ c l p Ta có

Cov(nXn  Xn 1 , Xn 1 Xn)= n Cov(X , Xn n 1 ) + Cov(Xn 1 , Xn 1 )

i 1

1( X X )

K t qu L ng thông tin Fisher ch a trong n quan sát X1,X2,…,Xnv bi n

ng u nhiên lƠ In() = n I() , I() lƠ l ng thông tin Fisher ch a trong m t

Cho X1,X2,…,Xn lƠ các m u quan sát v bi n ng u nhiên X ~ N (µ, Ư)

B ng ph ng pháp mômen ta tìm các giá tr c l ng cho µ và Ư

Do X ~ N (µ, Ư) nên ta có các mômen chính xác c a X là

m1 =

1

1 n

i i

1 2

2 2

( ) 2

2 2

1

2( , ) ( , ) ( , , , , )

1 = (2 )

2

i

n i

xi i

x

n x

n n

1 2

1

n i i

1 2

2 2 1

2 2

Xn

xL

    M t kho ng tin c y v i hai đ u mút

ph thu c vào các giá tr quan sát 1( X ,X ,1 2 ,X );n 2( X ,X ,1 2 ,X )n 

đ c g i là kho ng tin c y cho tham s 2

nh ngh a 1.13 ( S quan sát c n thi t ) Cho đ tin c y 1, đ chính xác

= 2  1 thì s quan sát n c n thi t đ nh n đ c c l ng v i đ tin c y

Nhìn chung b (n) ph thu c vào n d ng n2do đó mu n t ng đ chính xác lên 2 l n thì ph i t ng n lên 4 l n

B3 Tìm hai s c và d sao cho P c c( , ) d ˆ    T 1  cc( , ) ˆ d

,

   

CH NG 2

PHÂN TệCH TH NG KÊ V I PHÂN PH I CHU N

2.1 c l ng tham s

Tính ch t 2.1 Cho X1,X2,…,Xn lƠ m u quan sát v bi n ng u nhiên

Ch ng minh

Ta có

2 i

2

n

( xi ) 2i 1

( x ) 2 i

( x ) 2 X

ln f( X, ) = -ln

2 2

( ) 2

2

x X

X 2

2.2 Kho ng tin c y c a các tham s

Tính ch t 2.4 Cho X1,X2,…,Xn lƠ m u quan sát v bi n ng u nhiên

2

X ~ N( ,  ) trong đó  lƠ tham s ch a bi t, 2 là h ng s đƣ bi t Khi đó

Vì N(0,1) lƠ phơn ph i đ i x ng nên ta ch n d = -c ,c > 0 sao cho

Ta có

2 2 1 2

ˆ

( 1)( 1)

kho ng tin c y cho  là

và Y1, ,Ym là m u quan sát v bi n ng u nhiên Y ~ N ( Y, Y2) đ c l p v i

m u trên Trong đó  , là các tham s ch a bi t, 2 2

,

  là các tham s đƣ

bi t.V i đ tin c y 1-  ( 0  1 ) kho ng tin c y choX Y là

Y1, ,Ym là m u quan sát v bi n ng u nhiên Y ~ N ( Y, Y2) đ c l p v i m u

trên Trong đó  X, Ylà các tham s ch a bi t, 2 2

) ) = 1- 

V y kho ng tin c y cho X Yv i đ tin c y 1-  trong tr ng h p

th ng kê H :   0 ki m đ nh gi thuy t trên t t ng th m u kích th c

N u cho tr c m c ý ngh a  thì tùy thu c vào d ng c a gi thuy t đ i K

mi n bác b “t t nh t” đ c xây d ng theo các tr ng h p sau

- N u U  u(

2

) thì ta bác b H

- N u U < u(

2

) thì ta ch p nh n H

N u X ~ N( , 2) ho c X không ph i chu n nh ng n > 30 thì v i gi thi t H đúng   0ta có

Gi s có hai t ng th nghiên c u trong đó các bi n ng u nhiên X và Y có

cùng phân ph i chu n v i các k v ng toán là  X và  YvƠ các ph ng sai

là X2 và Y2 N u  X và  Y ch a bi t song có c s đ gi thi t r ng giá tr

c a chúng b ng nhau ng i ta đ a ra gi thuy t th ng kê

H:  X = Y

ki m đ nh gi thuy t trên ta xét m t s tr ng h p sau đơy

X và Y

Cho hai m u đ c l p kích th c n và m: X1, ,Xn và Y1, ,Ym

Lúc đó tiêu chu n ki m đ nh đ c ch n là th ng kê

Ta bi t r ng T phân ph i Student v i n+ m-2 b c t do V i đi u ki n gi

thuy t đúng thì tiêu chu n ki m đ nh tr thành

 Tr ng h p 3: N u ch a bi t ph ng sai 2 2

X và Y song không có c

X  Y

Cho hai m u đ c l p kích th c n và m: X1, ,Xn và Y1, ,Ym

Lúc đó tiêu chu n ki m đ nh đ c ch n là th ng kê

ki m đ nh gi thuy t trên t t ng th m u ng u nhiên kích th c n:X1, ,Xn

vƠ ch n tiêu chu n ki m đ nh lƠ th ng kê

2 2

2 0

N u gi thuy t H đúng thì th ng kê 2phơn ph i theo quy lu t khi bình

c a gi thuy t đ i K mi n bác b S đ c xơy d ng theo các tr ng h p sau

Ho c S = ( ) ; ( )

2

n 1 2

2.3.4 Ki m đ nh gi thuy t v s b ng nhau c a hai ph ng sai

i v i ph ng sai ta c ng có các bƠi toán ki m đ nh gi thuy t d ng H :

2.3.5 Ki m đ nh k ph ng sai c a k bi n ng u nhiên phơn ph i chu n

Gi s có k t ng th nghiên c u, trong đó các bi n ng u nhiên X1, ,Xk cùng

phơn ph i chu n T các t ng th rút ra k m u đ c l p kích th c n1, ,nk và

tìm đ c các ph ng sai m u t ng ng s1, ,sk

V i m c ý ngh a  ph i ki m đ nh c p gi thuy t

H: 12 22   k2 K: Có ít nh t hai ph ng sai khác nhau

Nh v y c n ki m đ nh xem s khác bi t c a các ph ng sai m u lƠ có ý ngh a hay không

ch n l p tiêu chu n ki m đ nh ta x t hai tr ng h p sau

h ss

 Trong đó

n

i i

i 1 n

2 1

Trong tr ng h p này ta có th ki m đ nh Bartlett dã xét trên, tuy nhiên

do phân ph i xác su t c a tiêu chu n Bartlett ch là x p x nên k t qu ki m

đ nh không th t đáng tin c y V i tr ng h p kích th c m u b ng nhau thì ta

dùng tiêu chu n ki m đ nh Cochran s cho k t qu tin c y h n Tiêu chu n

Cochran là th ng kê

G =

2 ax

.

m

k

s

s    s s

T c t s gi a ph ng sai m u l n nh t và t ng các ph ng sai m u Phân

ph i xác su t th ng kê G ch ph thu c vào s b c t do (n - 1) và s l ng

m u k Lúc đó, mi n bác b m c  đ c xác đ nh b ng bi u th c

2 ax

2.3.6 Ki m đ nh gi thuy t v quy lu t phân ph i xác su t

ki m đ nh xem bi n ng u nhiên g c X có phân ph i xác su t theo quy

lu t chu n hay không ta đ a ra c p gi thuy t th ng kê sau

H: X phân ph i theo quy lu t chu n

K: X không phân ph i theo quy lu t chu n

ki m đ nh gi thuy t trên tiêu chu n khi bình ph ng đ c s d ng nh

Lúc đó xác su t lý thuy t pichính lƠ xác su t đ bi n ng u nhiên X nh n giá

tr trong kho ng (x i-1 , xi) n u gi thuy t H lƠ đúng

Hƣy ch ra c l ng đi m cho tu i th trung bình EX,EY vƠ bình ph ng

tu i th bóng đi n DX,DY tr c vƠ sau khi c i ti n

xác đ nh đ chính xác c a m t chi c cơn t không có sai s h th ng ,

ng i ta ti n hƠnh 5 l n cơn đ c l p (cùng m t v t) K t qu nh sau

a Khi đƣ bi t tr trung bình lý thuy t X 0,95thì c l ng không ch ch

c a ph ng sai đ c tính theo công th c

2.4.2 BƠi toán v kho ng tin c y c a các tham s

Ví d 3

Tr ng l ng c a m t lo i s n ph m lƠ bi n ng u nhiên phơn ph i theo quy

lu t chu n v i đ l ch chu n lƠ 1 gam Cơn th 25 s n ph m lo i nƠy ta thu

Theo gi thi t X phơn ph i chu n v i   1

V y tr ng l ng trung bình c a s n ph m chính lƠ tham s 

ơy lƠ bƠi toán c l ng b ng kho ng tin c y đ i x ng giá tr c a tham s 

c a phơn ph i N( µ, Ư) khi đƣ bi t ph ng sai c a nó

Nên áp d ng công th c ta có kho ng tin c y

G i X lƠ tr ng l ng b t đóng bao, theo gi thi t X phơn ph i chu n

V y tr ng l ng đóng bao trung bình chính lƠ giá tr  ơy lƠ bƠi toán c

l ng b ng kho ng tin c y đ i x ng giá tr c a tham s  c a phơn ph i N(

Ta có sai s bi n ng u nhiên X tuơn theo lu t chu n N( 0, Ư)

ơy lƠ bƠi toán c l ng ph ng sai c a bi n ng u nhiên phân ph i theo quy

lu t chu n khi ch a bi t k v ng toán µ

Vì v y đ c l ng cho đ chính xác c a d ng c đo ta có kho ng tin c y là

M c hao phí nguyên li u cho m t đ n v s n xu t lƠ bi n ng u nhiên phơn

ph i chu n v i trung bình lƠ 20 gam

c l ng m c đ phơn tán c a m c hao phí nƠy ng i ta cơn th s n

ph m vƠ thu đ c k t qu sau

Hao phí nguyên li u ( gam ) 19,5 20,0 20,5

ơy lƠ bƠi toán c l ng ph ng sai c a phơn ph i N( µ, Ư) khi đƣ bi t µ

V y ta có công th c tìm kho ng tin c y c a Ư là

0,25 0,00 0,25

1,25 0,00 0,50

Ví d 7

Giá c phi u c a hai công ty A và B là các bi n ng u nhiên phân ph i chu n Theo dõi giá c phi u c a hai công ty đó trong 10 ngƠy tìm đ c

ph ng sai m u t ng ng là 0,51 và 0,2.V i đ tin c y 0,9 hƣy c l ng t

s c a hai ph ng sai cu giá c phi u hai công ty đó

Gi i

G i X và Y lƠ giá c phi u c a hai công ty A và B

Trong n m tr c tr ng l ng trung bình tr c khi xu t chu ng c a bò

m t tr i ch n nuôi lƠ 380 kg N m nay ng i ta áp d ng th m t ch đ ch n

nuôi v i hi v ng là bò s t ng tr ng l ng nhanh h n Sau th i gian áp d ng

th ng i ta l y ng u nhiên 50 con bò tr c khi xu t chu ng đem cơn vƠ tính

đ c tr ng l ng trung bình c a chúng là 390 kg

V y v i m c ý ngh a =0,01 có th cho r ng tr ng l ng trung bình c a bò

tr c khi xu t chu ng có t ng lên hay không?

Gi thi t tr ng l ng c a bò lƠ bi n ng u nhiên phơn ph i chu n v i đ l ch chu n lƠ 35,2 kg

Gi i

G i X là tr ng l ng c a bò tr c khi xu t chu ng

Theo gi thi t X phân ph i chu n v i  = 35,2

V y tr ng l ng xu t chu ng trung bình là 

ơy lƠ bƠi toán ki m đ nh giá tr c a tham s  c a bi n ng u nhiên phân

ph i chu n khi đƣ bi t ph ng sai c a t ng th

Ta có c p gi thuy t th ng kê có d ng

H :  380; K: 380 Tiêu chu n ki m đ nh

bác b H K t qu trên c ng cho th y trung bình m u thu đ c qua m u c

th đƣ cho không khác bi t m t cách có ý ngh a so v i trung bình t ng th

Ví d 9

Tr ng l ng đóng bao c a các bao g o trong kho lƠ bi n ng u nhiên phơn

ph i chu n v i tr ng l ng trung bình theo quy đ nh lƠ 50 kg

Nghi ng bao g o b đóng thi u, ng i ta đem cơn ng u nhiên 25 bao và thu

đ c các s li u sau

48,0 - 48,5 48,5 - 49,0 49,0 – 49,5

G i X lƠ tr ng l ng đóng bao Theo gi thi t X phơn ph i chu n

V y tr ng l ng đóng bao trung bình chính lƠ tham s  ơy chính lƠ bƠi

4656,125 11882,8125 24255,625 14850,375 5050,125

m t ph ng khác trong thành ph đ xem thu nh p trung bình hƠng n m

( tính b ng tri u đ ng ) c a dơn c hai ph ng đó có th c s khác nhau hay

không Các s li u m u thu đ c nh sau:

2

8, 74 X

6,58 Y

G i X và Y t ng ng là thu nh p hƠng n m c a dơn c hai ph ng đó

Theo gi thi t X và Y phân ph i chu n v i ph ng sai 2 2

Do đó v i m c ý ngh a 0,05 qua hai m u c th đƣ cho ch a có c s đ bác

b H t c lƠ có th xem trung bình hƠng n m c a dơn c hai ph ng đó lƠ nh

s 

5Y

V y tr ng l ng tr s sinh trung bình lƠ X và  Y

ơy lƠ bƠi toán ki m đ nh c p gi thuy t

t i hai vùng tr ng hai gi ng lúa đó vƠ thu đ c k t qu sau

ˆ 11,41

2 2

s 

V i m c ý ngh a  = 0,05 hãy k t lu n v v n đ trên, bi t n ng su t lúa là

bi n ng u nhiên phân ph i chu n

Gi i

G i X và Y lƠ n ng su t c a hai gi ng lúa A và B X và Y phân ph i chu n

ˆ

ˆ

s F s



V i m c ý ngh a  = 0,05 có th coi n ng su t c a vùng đó có phơn ph i theo

quy lu t chu n đ c không?

Gi i

C p gi thuy t th ng kê

H: N ng su t lúa X phân ph i chu n

K: N ng su t lúa X không phân ph i chu n

Qua m u c th trên, c l ng h p lý t i đa c a  là X12 65, , c a  là