Luận văn sư phạm Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp M

Em c ng xin chân thành c m n Ban ch nhi m khoa Giáo d c chính tr , cùng các th y cô giáo trong khoa đã t o đi u ki n thu n l i giúp em trong th i gian vi t khóa lu n

T Th Ng c Tuy t 2 L p K32D Toán

L I CAM OAN

Khóa lu n v i đ tài : “ M t s gi i pháp đ y m nh phát tri n ngo i

th ng trong giai đo n hi n nay”, là k t qu nghiên c u c a cá nhân tôi d i

s h ng d n c a Th c s Tr n Th Hoa Lý Tôi cam đoan r ng khóa lu n t t nghi p c a mình không trùng v i k t qu c a các công trình nghiên c u đã công b tr c đó

Hà N i, ngày 01 tháng 05 n m 2010

Sinh viên th c hi n:

V ng Th Thúy L

T Th Ng c Tuy t 3 L p K32D Toán

M C L C

Ph n m đ u ………1

Ph n n i dung chính……….5

Ch ng 1: Lý lu n c b n v ngo i th ng ……… .5

1.1 Khái ni m ngo i th ng………5

1.2 Vai trò c a ngo i th ng ……… 7

1.3 Quan đi m c a ng ta v ngo i th ng ………16

1.4 Kinh nghi m phát tri n ngo i th ng m t s n c trên th gi i …16 Ch ng 2 Th c tr ng ngo i th ng Vi t Nam hi n nay ………20

2.1 Nh ng thành t u và h n ch c a ngo i th ng n c ta hi n nay …20 2.2 Nguyên nhân c a ngo i th ng n c ta hi n nay ……….34

Ch ng 3: M t s gi i pháp đ y m nh phát tri n ngo i th ng Vi t Nam hi n nay ……….38

Ph n k t lu n ………46

Danh m c tài li u tham kh o ……….47

T Th Ng c Tuy t 4 L p K32D Toán

Toán h c là m t môn khoa h c g n li n v i th c ti n S phát tri n c a toán h c đ c đánh d u b i nh ng ng d ng c a toán h c vào vi c gi i quy t các bài toán th c ti n Trong l nh v c toán h c ng d ng th ng g p r t nhi u bài toán có liên quan đ n ph ng trình đ o hàm riêng Tuy ra đ i khá mu n

so v i các ngành toán h c khác nh ng ph ng trình đ o hàm riêng đã nhanh chóng kh ng đ nh đ c v trí và t m quan tr ng c a mình trong khoa h c nói chung và toán h c nói riêng

Quá trình nghiên c u các ph ng trình đ o hàm riêng đ c kh i đ u

b i vi c nghiên c u nh ng ph ng trình đ o hàm riêng th ng g p trong l nh

v c v t lý và c h c Ch ng h n nh ph ng trình Laplace, ph ng trình truy n sóng, ph ng trình truy n nhi t… ó là các ph ng trình đ i di n cho các l p ph ng trình thu c lo i Elliptic, Hyperbolic và Parabolic có th nghiên c u d dàng h n v nghi m c a các bài toán biên c a các ph ng trình

đ o hàm riêng thì đ u tiên chúng ta c n phân lo i chúng Chính vì lý do đó mà

em đã ch n đ tài: “Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p

m”

Khóa lu n g m 4 ch ng:

 Ch ng 1: Các ki n th c chu n b

 Ch ng 2: M t s bài toán v t lý d n đ n các ph ng trình đ o hàm riêng

 Ch ng 3: Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p hai

 Ch ng 4: Phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p m

T Th Ng c Tuy t 5 L p K32D Toán

Ch ng 1 CÁC KI N TH C CHU N B 1.1 Khái ni m đ o hƠm riêng

Gi s e e1, , ,2 e n là c s chính t c trong không gian n

- Ph ng trình vi phân đ o hàm riêng là ph ng trình liên h gi a n hàm

B ฀ ch a b sao cho đ i v i b t k x A có duy nh t g x( )B th a mãn

đi u ki n f x g x( , ( ))0 Hàm g A: B là kh vi và g a  b

2 11

x

x x

 S i dây vô h n: x   thì đi u ki n đ c mô t b ng dáng  , 

đi u c a nghi m khi x 

- Bài toán tìm nghi m c a ph ng trình (2.1.1) th a mãn đi u ki n ban đ u (2.1.4) ( không có đi u ki n biên ) đ c g i là bài toán Côsi c a ph ng trình (2.1.1); Còn bài toán v i đi u ki n (2.1.4), (2.1.5) đ c g i là bài toán h n

h p c a ph ng trình (2.1.1)

+ Xét m nh  b t k c a màng, khi nó v trí cân b ng gi i h n b i biên tuy n l Khi màng dao đ ng m nh  chuy n thành gi i h n b i biên tuy n l

u x y x yu

x y x yt

+ Quy lu t dao đ ng nh c a ch t khí lý t ng v i m t s gi thi t v t lý xác

đ nh trong hi n t ng truy n âm bi u di n b i ph ng trình

T Th Ng c Tuy t 13 L p K32D Toán

2.3 Ph ng trình truy n nhi t trong môi tr ng đ ng h ng

- Xét 1 v t th r n, ta g i u x y z t( , , , ) là nhi t đ c a nó t i đi m ( , , )x y z và

th i đi m t

V t đ c coi là đ ng h ng n u t i đi m ( , , )x y z xác đ nh, h s truy n nhi t k

ch ph thu c ( , , )x y z mà không ph thu c vào ph ng c a m nh S

(2.3.3) có d ng:

2 2 2

(1) Elliptic t i đi m (x,y) n u t i đó ta có   0

(2) Hyperbolic t i đi m (x,y) n u t i đó   0

(3) Parabolic t i đi m (x,y) n u t i đó   0

N u ph ng trình (3.1.1) t i m i đi m trong m t mi n G đ u thu c cùng m t

* Tr ng h p y = 0

xx

1 1 42

xx

3.1.2 Tính b t bi n c a lo i ph ng trình đ o hƠm riêng tuy n tính c p 2

Lo i c a ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p hai (3.1.1) không thay

đ i qua phép đ i bi n không suy bi n

Khi đó ta có đi u ph i ch ng minh

 Gi s ( , )x y C là nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân th ng (3.1.6) ta c n ch ng minh z( , )x y là nghi m riêng c a ph ng trình (3.1.5) hay ta c n ch ng minh (3.1.7) đ c th a mãn t i b t k đi m ( ,x yo o)

( , )x

2 2

b b acy

a

b b acy

T Th Ng c Tuy t 22 L p K32D Toán

1 1

( , )( , )

T (3.1.10) ta có 1 2

1 2

( ) ( )( ) ( )

T Th Ng c Tuy t 23 L p K32D Toán

T c c ng có d ng (3.1.14)

Nh v y d ng (3.1.14) đ c g i là 1 d ng chính t c c a ph ng trình lo i hyperbolic (3.1.1)

Sau đây, ta s xét m t s ví d minh h a

Ví d 2: Phân lo i ph ng trình sau và đ a v d ng chính t c

uxx7uxy12uyy ux 2uy3u (2) 0

Gi i Xét

D

D x y

 

    + ux uxux 3u 4u

+ uxx 3(uxux)4(uxux)

Ta có   (2 sin )x 2  do đó ph ng trình (2) thu c lo i hyperbolic 0

Chia 2 v c a ph ng trình (2) cho (2sin )x ta đ c:

*

( , ) ( , )

D x y

   nên ( , )

0 ( , )





   Khi đó ph ng trình (3.1.1) có s n d ng (3.1.18)

Ví d 5 : Phân lo i và đ a v d ng chính t c ph ng trình sau

T Th Ng c Tuy t 29 L p K32D Toán

uxx6uxy9uyy ux uy   (5) u 0

Gi i Xét  32 9 0 do đó ph ng trình (5) thu c lo i parabolic

xx

* Chúng ta tr l i đ i chi u v i đ nh ngh a trong tr ng h p n=2 V i ph ng trình (3.1.1) thì ma tr n A có d ng:

n n

0 0

0 0

0 0 nB

m t nghi m khác d u nên (3.2.10) có th vi t đ c d i d ng:

T Th Ng c Tuy t 35 L p K32D Toán

1

* 1 1

( , , , , , , ) 0

n

n i

1

1

* 1 1

( , , , , , , ) 0

n

n i

0 0

2B

T Th Ng c Tuy t 37 L p K32D Toán

+

12

1 2 2 2 2

2    v i 2 2

1

n i i





T Th Ng c Tuy t 42 L p K32D Toán

Ch ng 4

TUY N TệNH C P m 4.1 Phơn lo i

i i

uu

Nh v y, ph ng trình Hyperbolic và Parabolic đ c phân lo i d a trên c s

ph ng trình Elliptic Ta s nghiên c u m t s đ c đi m c a ph ng trình Elliptic

g x

Cx

m và s các nghi m v i ph n o âm b ng m2   Do: m m1

   là liên thông Do v y, khi đi m ( , 2 3) d ch chuy n

đ n đi m (  2, 3) d c theo đ ng tròn này thì các nghi m c a ph ng trình

   nghi m này v n luôn có ph n o d ng vì ph n

o không b tri t tiêu T đó nh n đ c m1( , ) 2 3 m1(  2, 3)m2( , ) 2 3 ,

đi u này có ngh a là m2m1 và m là s ch n nh lý đã đ c ch ng minh

T Th Ng c Tuy t 50 L p K32D Toán

K T LU N

Trên đây chúng ta đã đi phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p hai và t ng quát h n trong tr ng h p c p m Trong khóa lu n này có trình bày m t s c s đ phân lo i ph ng trình đ o hàm riêng, tuy nhiên nó

v n còn r t nh so v i l ng ki n th c trong môn h c ph ng trình đ o hàm riêng

Khóa lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m trong

vi c nghiên c u và h c t p môn ph ng trình đ o hàm riêng

Do l n đ u làm quen v i công tác nghiên c u, th i gian và n ng l c b n thân còn h n ch nên không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n

đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô và các b n sinh viên

T Th Ng c Tuy t 51 L p K32D Toán

DANH M C TẨI LI U THAM KH O

1 Nguy n Th a H p (2006), Giáo trình ph ng trình đ o hàm riêng, Nhà