Luận văn sư phạm Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co

Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính.. Ra đời vào cuối thế kỉ XVII, giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Phương pháp nghiên cứu 1

4 Cấu trúc 2

CHƯƠNG 1 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH 3

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 3

1.1.1 Không gian metric 3

1.1.2 Không gian định chuẩn 6

1.1.3 Không gian Hilbert 11

1.2 Nguyên lý ánh xạ co 12

1.2.1 Ánh xạ Lipschitz 12

1.2.2 Ánh xạ co 12

1.2.3 Nguyên lý ánh xạ co của Banach 13

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO 18

2.1 Giải phương trình đại số và siêu việt 18

2.1.1 Bài toán 18

2.1.2 Cơ sở lý thuyết 19

1.3 Ví dụ 23

2.2 Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính 24

2.2.1 Bài toán 24

2.2.2 Cơ sở lý thuyết 26

2.2.3 Ví dụ 29

2.3 Giải gần đúng phương trình vi phân thường 30

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

2.3.1 Bài toán 30

2.3.2 Cơ sở lý thuyết 33

2.3.3 Ví dụ 35

2.4 Giải gần đúng phương trình tích phân loại II 37

2.4.1 Bài toán 37

2.4.2 Cơ sở lý thuyết 38

2.4.3 Ví dụ 42

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 44

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ra đời vào cuối thế kỉ XVII, giải tích toán học có một vị trí quan trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật Đây là môn học khó với hầu hết sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải những tình huống, những giả thiết phức tạp Điều này đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan

Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện rất sớm trong Toán học giải tích Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm – một môn học cơ bản vừa mang tính bài tập vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lý ánh xạ co của Banach

Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong toán học Nó dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của: hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,…

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú thêm kiến thức của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Sự phát triển của giải tích toán học nói riêng và của toán học nói chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tình thực tiễn nhất định Nghiên cứu những ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co vào giải quyết một số bài toán của giải tích là mục đích chính của khóa luận này

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 2

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

4 Cấu trúc

Khóa luận bao gồm 3 chương

Chương 1: Nguyên lý ánh xạ co của Banach

Chương 2: Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co

Chương 3: Một số ví dụ áp dụng

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 3

CHƯƠNG 1 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

+ Không gian metric

Định nghĩa 1.1: Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X X vào tập hợp số thực thỏa mãn các tiên đề dau đây:

Không gian metric kí hiệu là: M X d, 

Ví dụ 1.1: Với 2 vector bất kì xx x1, , ,2 x yk, y y1, , ,2 yk thuộc không gian ฀kk ฀ * ta đặt:

฀

Ví dụ 1.2: Với hai phần tử bất kì ,x y฀ , ta đặt:

d x y ,  x y (1.2) Khi đó hệ thức (1.2) gọi là metric tự nhiên trên ฀

+ Sự hội tụ trong không gian metric

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 4

Định nghĩa 1.2: Cho không gian metric M X d, , dãy điểm

 xn  X , điểm x0X Dãy điểm  x gọi là hội tụ đến điểm n x trong 0không gian M khi n   , nếu:

  0 n0 ฀ * n n0, ( , )d x xn 0 

Kí hiệu: limnxn x0 hay xn x n0  

Điểm x còn gọi là giới hạn của dãy 0  x trong không gian metric n M

Ví dụ 1.3: Sự hội tụ của một dãy điểm  x trong không gian n ฀1 là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Định nghĩa 1.5: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập A X , nếu:

    sao cho x x A d x x, ' : 1 , ' thì d f x f x2    , '  + Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.6: Cho không gian metric M X d,  Dãy điểm

 xn  X gọi là dãy cơ bản trong M nếu:

  0 n0 ฀ *m n n,  0 , d x xn, m

Hay n mlim, d x x n, m0

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong M đều là dãy cơ bản

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 5

Định nghĩa 1.7: Không gian metric M X d,  gọi là không gian đầy

đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

Ví dụ 1.4: Không gian metric 1

฀ là không gian đầy Điều đó được suy

ra từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.5: Không gian ฀ k là không gian đầy Thật vậy,

j

x là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim   n

j j

nx x , ( j1,2, ,k) Đặt xx x1, , ,2 xn ta nhận được dãy  x  n  ฀ k đã cho hội tụ theo tọa độ tới x Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid k

฀ tương đương với sự hội tụ theo tọa độ, nếu dãy cơ bản  x đã cho hội tụ tới   n

x trong không gian k

฀ Vậy không gian Euclid k

฀ là không gian đầy

Ví dụ 1.6: Không gian ฀ a b, là không gian đầy Thật vậy,

Giả sử x t là dãy cơ bản tùy ý trong không gian n   ฀ a b, Theo định nghĩa 1.6:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 6

 x tn x tm  , m n n t a b,  0;  , (1.4) Các bất đẳng thức (1.4) chứng tỏ với mỗi t cố định tùy ý thuộc đoạn  a b dãy , x t là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn: n  

limn x tn x t t a b, ,

Ta nhận được hàm số x t xác định trên    a b Vì các bất đẳng ,thức (1.4) không phụ thuộc t , nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng thức này khi n   ta được:

x tn   x t   , n n t a b0,  , (1.5) Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ dãy x tn    ฀  a b, hội tụ đều tới hàm số x t trên đoạn    a b , nên , x t   ฀  a b, Nhưng sự hội tụ trong không gian ฀ a b, tương tự với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn  a b nên dãy cơ bản , x t đã cho hội tụ tới n   x t trong không  

gian ฀  a b, Vậy ฀ a b, là không gian đầy

1.1.2 Không gian định chuẩn

+ Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.8: Ta gọi là không gian định chuẩn ( không gian tuyến tính định chuẩn ) là không gian tuyến tính X trên trường K ( K là trường số thực ฀ hoặc trường số phức ฀ ) cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập

số thực ฀ kí hiệu là ฀ và đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1)  x X, x 0, x   0 x  ( kí hiệu phần tử không là ); 2)  x X  K, x   x ;

3) x y X,  , x y  x  y ;

Số x gọi là chuẩn của vector x

Kí hiệu không gian định chuẩn là X

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 7

Các tiên đề 1), 2), 3) là hệ tiên đề chuẩn

Định lý 1.1: Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vector bất kì ,

x y X ta đặt:

d x y ,  x y (1.6) Khi đó d là một metric trên X

 Tiên đề (iii)

x y z X d x z, ,    ,   x z x y   y z 

x y   y z

d x y , d y z ,

Vậy định lý được chứng minh

Nhờ định lý 1.1 mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.6) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn + Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.9: Dãy điểm  x của không gian định chuẩn X gọi là nhội tụ tới điểm x X nếu limn xn  x 0 kí hiệu limn xn x

  hay

n

x x n 

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 8

Định nghĩa 1.10: Dãy điểm  x trong không gian định chuẩn X gọi là ndãy cơ bản nếu:

,

m n x x  ; + Không gian Banach

Định nghĩa 1.11: Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.6: Đối với mỗi số thực bất kì x฀ ta đặt:

x  x (1.7) Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.7) cho chuẩn trên ฀ Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là ฀ 1 là không gian Banach

Ví dụ 1.7: Cho không gian vector k chiều k, trong đó:

Dễ dàng thấy k là không gian Banach

Ví dụ 1.8: Cho không gian vector l Đối với vector bất kì 2 x xn l2

ta đặt:

2

1 nn

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 9

Ví dụ 1.9: Cho không gian vector C Đối với hàm số bất kì  a b,

Dễ thấy C là không gian Banach  a b,

Ví dụ 1.10: Cho không gian vector L Đối với hàm số bất kì  a b,

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử

A chỉ thỏa mãn điều kiện 1 thì A gọi là toán tử cộng tính, còn nếu chỉ thỏa mãn điều kiện 2 thì A gọi là toán tử thuần nhất Khi Y K  thì toán

tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Ví dụ 1.11: Cho :A ฀ n ฀ m xác định,A x x 1, , ,2 xn  y y1, , ,2 ym

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 10

1 ; 1,

n

i ij j j



  (1.12) Trong đó a là những hằng số Ma trận ij  aij m n gọi là ma trận của toán

tử A Dễ thấy công thức (1.12) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính từ ฀ n ฀m

a t s b  là toán tử tuyến tính A gọi là toán tử tích phân

Định nghĩa 1.13: Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số c  sao cho: 0

Ax c x ; x X Định nghĩa 1.14: Cho không gian định chuẩn X và Y Kí hiệu

L X Y là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian

X vào không gian Y Ta đưa vào L X Y hai phép toán:  , 

 Tổng của hai toán tử A B L X Y,   ,  là toán tử, kí hiệu A B , xác định bởi biểu thức:

A B x   Ax Bx x X , 

 Tích vô hướng của K với toán tử A L X Y  ,  là toán tử, kí

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 11

hiệu là A , xác định bởi biểu thức:

  A x  Ax

Dễ dàng kiểm tra được rằng A B L X Y   , , A L X Y  ,  và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính

Tập L X Y trở thành một không gian tuyến tính trên trường K  , 

Định lý 1.2: Nếu Y là một không gian Banach thì L X Y là không  , 

gian Banach

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.15: Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K  ฀ hoặc K  ฀ ) ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descarter X X vào trường K , kí hiệu , , thỏa mãn:

Các phần tử , , , x y z gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số ,x y gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử x và y ; các tiên đề 1), 2), 3), 4) là hệ tiên đề tích vô hướng

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 12

, , ,

x y z nào đấy là không gian Hilbert, nếu H thỏa mãn:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K ;

2) H được trang bị một tích vô hướng , ;

3) H là không gian Banach với chuẩn x  x x x H, , 

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Ví dụ 1.14: Trường K với tích vô hướng ,x y xy là không gian Hilbert

Ví dụ 1.15: Không gian K với tích vô hướng n

Ví dụ 1.16: Không gian 2 trong đó

Định nghĩa 1.17: Cho X d và , 1 Y d là các không gian metric trên , 2

trường K Ánh xạ f X d: , 1  Y d, 2 được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu có một số L  sao cho: 0

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 13

gian metric Y d đươc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số , Y 0,1

1.2.3 Nguyên lý ánh xạ co của Banach

Định lý 1.4: Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và :f X X

là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x X sao cho f x x

d f x x  0 , 0

Tương tự ta có:

 3, 2     2 , 3 

d x x d f x f x d x x 2, 1

d f x f x    1 , 0 

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 14

Suy ra: limnd x n p ,xn  0, p 1,2,

Điều đó chứng tỏ rằng  x là một dãy cơ bản trong không gian n

metric đầy đủ X , vậy tồn tại giới hạn hữu hạn:

limnxn x Khi đó :   ,  n   0 , 0

n n

d f x x  d f x x Cho n   và sử dụng tính liên tục của f ta được:

 

d f x x  tức là f x x Vậy x là điểm bất động của f

+ x là duy nhất

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 15

Giả sử có xX sao cho f x  x Ta có:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 16

 x y d x y ,

Mặt khác,  max 'x 9,10  x 300 1



  ฀ Do đó  không là ánh xạ co Vậy ánh xạ  không có điểm bất động

 Với metric xác định trong định lý 1.1 ta có cách phát biểu khác của nguyên lý ánh xạ co cua Banach trong không gian định chuẩn như sau:

Khi đó các kết quả sau là đúng:

(i) Tồn tại và duy nhất nghiệm u của phương trình u Au

(ii) Với mỗi u M0 đã cho, dãy  u tạo bởi n

un1 Au nn, 0,1,2 (2.1) Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phương trình (2.1)

Ta chứng minh (ii):

Trước hết ta chỉ ra rằng  u là một dãy Cauchy n

Thật vậy, với mỗi n 0,1,2, sử dụng (b) ta có:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 17

Vì k 0,1 nên k  khi n   Vậy dãy n 0  x là một dãy n

Cauchy, do X là không gian Banach nên dãy  x hội tụ tới một phần tử n

u X hay

n

u u khi n   Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u là nghiệm của phương trình (2.1) Từ u Mo và u1 Au0 cùng với A M M suy ra u M1 Tương tự bằng quy nạp ta được un1 Aun và u Mn ,  n 0,1,

Vì M đóng, ta có u M , suy ra Au M

Theo (b) ta có:

Au Au k u u    khi n   Cho n   từ un1 Aun ta có u Au

Điều phải chứng minh

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 18

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO

2.1 Giải phương trình đại số và siêu việt

2.1.1 Bài toán

Xét phương trình:

f x  (1.1)   0 Trong đó f x là hàm đại số hay siêu việt  

Nghiệm của phương trình (1.1) là số thực  thỏa mãn (1.1) Tức là khi thay  vào x ở vế trái ta được:

f  0 (1.2) Phương trình (1.1) trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng Thông thường quá trình giải phương trình (1.1) bao gồm hai bước:

 Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng dủ bé chứa nghiệm của f x  

 Bước giải kiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết

+ Sự tồn tại nghiệm

Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1.1) ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không Để trả lời câu hỏi đó, ta có định lý sau:

Định lý 2.1: Nếu có hai số thực a và b a b  sao cho f a và   f b  

trái dấu, tức là:

f a f b  Đồng thời f x liên tục trên    a b thì ở trong đoạn ,  a b có ít nhất một ,nghiệm của phương trình (1.1)

+ Khoảng tách nghiệm

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 19

Khoảng  a b được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương ,trình (1.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó Nghĩa là trong khoảng  a b hàm , f x liên tục, đạo hàm   f x không ' 

đổi dấu và f a f b trái dấu thì    ,  a b là khoảng phân ly nghiệm của ,phương trình f x    0

2.1.2 Cơ sở lý thuyết

Để giải gần đúng phương trình (1.1) ta sử dụng phương pháp lặp đơn mà bản chất của phương pháp này là vận dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach

xn  xn1 ; n  1,2, (1.4) Quá trình này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là phương pháp lặp, hàm  ở đây gọi là hàm lặp

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 20

(i) Phương trình (1.1) có nghiệm  duy nhất trên  a b ,

(ii) Phép lặp (1.4) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng:

1

n n

(i) Đặt: X  a b d x y, ,  ,  x y

Do ฀    ;  là không gian metric đầy,  a b là tập đóng trong ,

฀ nên  a b là một không gian metric đầy ,

Xét hàm  xác định trên đoạn  a b Theo điều kiện a ,

(ii) Ta có:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 21

   (1.5)

xn  xn1 ; n  1,2, (1.4) Trừ từng vế của (1.5) cho (1.4) ta được:

 xn    xn1 (1.6)

Áp dụng công thức Lagrange ta có:

 xn ' c  xn1 (1.7) Với c a   xn1 a b,

Theo giả thiết b, ta có: ' c  q 1

0

n

x

   khi n   Vậy phép lặp (1.4) hội tụ, và từ công thức (1.8) ta có:

 xn q xn1 q  xn x xn  n1

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 22

+ Sơ đồ khối của phép lặp đơn như sau:

Print x1

End yes

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 23

   ; max 'x  4,5 1 x 37,5 1

b) 2  3 2

200 2' x

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 24

3

x    x , n 0,1,2 ; x  4,5 Chọn x  , theo công thức lặp trên ta có: 0 5

2.2 Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính

2.2.1 Bài toán

Nhiều bài toán khoa học kĩ thuật, kinh tế, sinh thái đều quy về việc tìm nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính:

Ax b (2.1) Trong đó: A ฀ n n  là ma trận cấp n n

b฀ là vector cho trước n

Gọi detA là định thức suy ra từ định thức det A bằng cách thay iđổi cột i bởi vế phải

Nếu detA  ta nói ma trận A suy biến và hệ (2.1) suy biến Khi 0

đó hệ phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Định lý 2.3( Định lý Cramer )

Nếu detA  tức là nếu hệ không suy biến thì hệ (2.1) có nghiệm 0duy nhất cho bởi công thức:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 25

det

det i

i

Ax

A

 , i  1,2, , n + Số điều kiện của ma trận

Xét A aij i j n, 1, và x là một chuẩn nào đó của vector x฀ n

dcond D

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 26

2.2.2 Cơ sở lý thuyết

Để giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính (2.1) ta áp dụng phương pháp lặp đơn được xây dựng dựa trên nguyên lý ánh xạ co của Banach

Xét hệ phương trình:

Ax b (2.1) Như đã biết, chuẩn của ma trận A ฀n n  tương thích với chuẩn của vector trong ฀n, được xác định bởi hệ thức sau:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán 27

1

n i i

xk1 Bxk g,  k  0  (2.4) Trong đó x ฀ bất kì cho trước, đều hội tụ đến nghiệm duy nhất 0 n x

của hệ phương trình (2.3) Hơn nữa ta có các đánh giá sai số: