Luận văn sư phạm Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Ph ng pháp Cholesky .... Ph ng pháp Jacobi .... Ph ng pháp Seidel .... Ph ng pháp Gauss-Seidel ...

Nguy n Th Ng c 1 L p K32C

L I C M N

Tôi xin chân thành c m n th y giáo Nguy n V n Hùng đư t n tình

h ng d n giúp đ tôi trong su t th i gian th c hi n khóa lu n

Xin chân thành c m n các th y, các cô trong t Gi i tích-Khoa Toán,

Tr ng i h c S ph m Hà N i 2 đư t o m i đi u ki n giúp đ tôi hoàn thành khóa lu n này

Xin chân thành c m n gia đình và b n bè đư t o m i đi u ki n thu n

l i cho tôi trong quá trình th c hi n khóa lu n

Tôi xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 05 n m 2010

Sinh viên

Nguy n Th Ng c

Nguy n Th Ng c 2 L p K32C

Tôi xin cam đoan khoá lu n là công trình nghiên c u c a riêng tôi Trong khi nghiên c u, tôi đư k th a nh ng thành qu nghiên c u c a các nhà khoa h c, nhà nghiên c u v i s chân tr ng và bi t n

Nh ng k t qu nêu trong khoá lu n ch a đ c công b trên b t k công trình nào khác

Hà N i, tháng 05 n m 2010

Sinh viên

Nguy n Th Ng c

Nguy n Th Ng c 3 L p K32C

M C L C

N i dung

L i c m n 1

L i cam đoan 2

L i nói đ u 4

Ch ng 1: M t s ki n th c c b n 6

1.1 S g n đúng và sai s 6

1.2 H ph ng trình tuy n tính 13

1.3 Phân tích sai s 15

Ch ng 2: M t s ph ng pháp gi i g n đúng h ph ng trình tuy n tính 17 2.1 Ph ng pháp Gauss 17

2.2 Ph ng pháp Cholesky 25

2.3 Ph ng pháp tr c giao hóa 29

2.4 Ph ng pháp l p đ n 32

2.5 Ph ng pháp Jacobi 37

2.6 Ph ng pháp Seidel 41

2.7 Ph ng pháp Gauss-Seidel 46

Ch ng 3: Bài t p áp d ng 49

K t lu n

Tài li u tham kh o

Nguy n Th Ng c 4 L p K32C

Toán h c là m t môn khoa h c b t ngu n t nhu c u gi i quy t bài toán

có ngu n g c th c ti n và quay tr l i ph c v th c ti n Cùng v i th i gian

và s ti n b c a loài ng i toán h c ngày càng phát tri n và đ c chia thành hai l nh v c đó là toán h c lý thuy t và toán h c ng d ng

Nói đ n toán h c ng d ng ph i k đ n Gi i tích s -môn h c nghiên

c u các ph ng pháp gi i g n đúng các bài toán th c t đ c mô hình hoá

b ng ngôn ng toán h c

có l i gi i đúng cho b t kì bài toán nào c ng c n ph i có d ki n

c a bài toán, xây d ng mô hình bài toán, tìm thu t toán hi u qu nh t Và

cu i cùng là xây d ng ch ng trình trên máy tính sao cho ti t ki m th i gian

và b nh Tuy nhiên trong th i gian s lý s li u không tránh kh i sai s dù

là r t nh nh ng nh h ng tr c ti p đ n quá trình tính toán

Chính vì v y ph i s d ng các thu t toán h u hi u đ gi m thi u s sai

s đ ng th i thu n l i cho công vi c l p trình ti t ki m s l ng các phép tính

ph ng trình tuy n tính

H ph ng trình tuy n tính có d ng t ng quát là h g m m ph ng trình n n Trong khuôn kh khoá lu n này em xin trình bày m ng nh đó là

h n ph ng trình, n n

th t : c s lý thuy t, thu t toán, ng d ng và đánh giá sai s (n u có)

Ch ng 3: Bài t p áp d ng

S Ấa tho mưn (1.1) đ c g i là sai s tuy t đ i c a a

a a

Trong phép đo nói chung sai s tuy t đ i càng nh càng t t

Ví d 1.1.1 2 o đ dài hai đo n đ ng ta đ c:

 thì a có ba ch s ch c là 1,7,0 còn ba ch s 1,3,4 là không ch c

 Sai s c a phép chia

2

xyx



2

2 2 x

xy

G i x là c nh hình vuông, thì x S ฀3.513 Xét S S 0.008

S

v y x฀1.4 10 3, t đó ta th y r ng x có 3 ch s ch c (tr ch s 3 cu i cùng)

1.1.5 Bài toán ng c c a bài toán sai s

2V

Ngh a là ch xét h có d ng: Ax b (2.1)

Trong đó: n n

A฀  là ma tr n c p n nn

Nguy n Th Ng c 14 L p K32C

N u detA=0 ta nói ma tr n Asuy bi n và h (2.1) suy bi n Khi đó h

ph ng trình vô nghi m ho c vô s nghi m

Ax

- N u rankA  rankAbs : h vô nghi m

- N u rankA  rankAbs  n: h ph ng trình có nghi m duy nh t

- N u rankA rankA bs n: h ph ng trình có vô s nghi m

x x



 đ c g i là s đi u ki n c a ma tr n Avà đ i

l ng đó kí hi u là cond A( )

Ma tr n A đ c g i là ma tr n đi u ki n x u n u cond(A) là khá l n ( ) 1

x   x x là nghi m c a ph ng trình ' '

Ax bv i b'   b bKhi đó:

T đó suy ra r ng v i ma tr n A đi u ki n x u thì nghi m c a nó thay

đ i nhi u so v i nh ng thay đ i nh h s và s h ng t do Nh v y, v n

đ gi i h ph ng trình tuy n tính b ng s v i ma tr n đi u ki n x u và v

ph i cho g n đúng là m t bài toán khó c a toán h c tính toán

nh ng cách này đòi h i phép tính khá l n và không thu n l i khi ma tr n A

đi u ki n x u Nh m kh c ph c h n ch đó trong ch ng này chúng ta xét

hi n m t s phép tính t ng đ i là l n nên có nguy c tích l y sai s , nh t là

đ i v i tr ng h p s li u ban đ u không th t chính xác

- Nhóm ph ng pháp gián ti p (ph ng pháp l p) th ng đ c áp d ng cho l p các bài toán có kích c l n, s li u ban đ u có sai s

2.1 Ph ng pháp Gausss

2.1.1 C s lý thuy t

Cho h ph ng trình tuy n tính Ax b (2.1)

D ng to đ c a (2.1) là:

Nguy n Th Ng c 18 L p K32C

, 1 1

h ph ng trình (2.1) v m t h t ng đ ng d ng tam giác trên đ c g i là quá trình xuôi Nh v y ph ng pháp Gauss đ c th c hi n theo 2 quá trình sau đây:

Quá trình xuôi: đ a h (2.1) v d ng tam giác nh phép bi n đ i t ng

kk

a    k 1, ,ntrong đó:  0

aba

aba

 v i ( j> 3)

Cu i cùng kh x kh3 i ph ng trình th hai c a (2.1.5.2) ta đ c

a44 3 x4 a 453

N u akkk1 0   k 1, 2, , n (trong đó:  0

11 11

a a ) thì d ng l i quá trình tính toán và thông báo h suy bi n

N u t n t i k đ  1

0k

kk

a   thì áp d ng công th c (2.1.4) đ đ a h đư cho v h tam giác trên:

Nguy n Th Ng c 21 L p K32C

11 1 12 2 1 1 22 2 2 2

n n n n nn n n l x l x l x c l x l x c l x c                V i  1  ; n ij ij l a  n 1 i i c b  Quá trình ng c: N u lnn  thì d ng quá trình tính toán và thông báo h suy bi n 0 N u lnn  thì tính: 0

1 1, 1 1, 1 1 12 2 1, 1 1 1 11 l

n n nn n n n n n n n n n c x l c l x x c l x l x x l               Ví d 2.1.7: Gi i h ph ng trình sau b ng ph ng pháp Gauss 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 4 (1) 4 3 2 6 (2) 3 5 3 4 12 (3) 3 3 2 2 6 (4) x x x x x x x x x x x x x x x x                        a Qúa trình xuôi B c 1: kh x 1 T (1) ta có: x1  x2 0.5x3 0.5x4  2 (5)

T (2) ta có: x2  x3  2 (6)

T (3) ta có: 2x21.5x32.5x4 6 (7)

T (4) ta có; 0.5x30.5x4 0 (8)

S phép tính nhân, chia b c thu n là:

Nguy n Th Ng c 23 L p K32C

- u đi m c a ph ng pháp là đ n gi n, d l p trình trên máy Nh ng không th c hi n đ c n u có ph n t d n  1

0k kk

a   thì ph ng pháp Gauss có th cho ta k t qu không chính xác

- gi m sai s tính toán, khi s d ng ph ng pháp Gauss ng i ta

th ng ch n tr t i đa Quá trình này đ c th c hi n nh sau:

a   thì d ng quá trình tính toán và thông báo h suy bi n

N u   1

0k rk

a   thì đ i ch k 1

kj

a  v i arjk1 jk n,

Cho A là ma tr n không suy bi n Ta c n tìm ma tr n ngh ch đ o A-1 đó:   1  

1 1/4 -1/8 3/8 0

Nguy n Th Ng c 27 L p K32C

1 1

11

j j

a b

b

 (j>1)

1 2 1

ij ki kj k

11

,

by

11

1

a

ba

111

yyy

6 2 1

x x x

ij j i j

1

n

i i

a  trong đó 1

Nguy n Th Ng c 30 L p K32C

Gi s tn1 , theo tính ch t dãy 0   1

1 n

i i

u  rút ra un1 tr c giao v i m i vect ai i1,n

01,

n

ij i n j

n

ij i j

Nguy n Th Ng c 31 L p K32C

3 t ai a ai1, i2, ,ain, ; i1, ;n ai10;0; ;1 v i 1

1

n i

Nguy n Th Ng c 33 L p K32C

gi i g n đúng h ph ng trình tuy n tính (2.1), ta áp d ng ph ng pháp l p đ n mà b n ch t c a ph ng pháp là v n d ng nguyên lý ánh x co,

x



 ; 1

1, 1axn ij

j n i

1

;

n i i

Nguy n Th Ng c 34 L p K32C

2.4.2 nh lí 2.4

N u B  Khi đó m i dưy l p 1 xk1 Bxk  , k=0,1,2,…; g x 0 b t kì cho tr c, đ u h i t đ n nghi m duy nh t *

x c a h ph ng trình (2.4.1) và

*

11

6.Tính xk1Bxk  , k=0,1,2,… (2.4.3) gCho t i khi xk xk1  thì d ng quá trình tính toán 

7 K t lu n nghi m *

k

1k

d i đây là m t tr ng h p đi n hình

2.5.1 nh ngh a:

Ma tr n  1n

ij

A  a g i là ma tr n đ ng chéo tr i n u m t trong hai đi u

ki n sau đây đ c tho mãn:

n i

ij j iij

aa

V i   0

x  g , khi đó   1   0

x Bx gSuy ra: x 1 x 0  Bg  B g

x

45.0

55



 k n

sai s  =10-4 ta ph i có: 1 75

45 0

55



 k n

0 0 0

n n

ij n

i

i j

x

2.6.5 Ví d : Tr l i ví d 2.4.1, nh ng gi i h b ng ph ng pháp Seidel

.03

1

7.94

.41.92

2

9.14

.25

.06

7

3 2

1

3 2

1

3 2

1

xx

x

xx

x

xx

i n i

0.2418 0 0.4835 0.6253j

- Có th nêu ví d ph ng pháp Seidel h i t còn ph ng pháp l p đ n phân kì và ng c l i

- Do trong ฀ n, 1, , 2  là t ng đ ng nhau nên ph ng pháp Seidel c ng h i t n u B1  ho c 1 B 21

Nguy n Th Ng c 48 L p K32C

10 1 1

2 10 1

2 2 10A

2 k

3 kx

1.72298 4.722981.11998 1.11998

xxx

19.81

nB

Nguy n Th Ng c 59 L p K32C

K T LU N

Trên đây là toàn b đ tài: “M t s ph ng pháp gi i g n đúng h

ph ng trình tuy n tính” i chi u v i m c đích nghiên c u, đ tài c b n

đư hoàn thành nh ng nhi m v đ t ra

- tài đư nghiên c u v ph ng pháp gi i g n đúng h ph ng trình tuy n tính a ra hai nhóm ph ng pháp gi i h ph ng trình tuy n tính đó

là các ph ng pháp tr c ti p và ph ng pháp l p Ch ra tính u vi t c a

ph ng pháp l p T c s lý thuy t đ n cách ti p c n v i ph ng pháp gi i,

s p x p theo trình t h p lý

- M c dù đư có nhi u c g ng tìm tòi nghiên c u nh ng kh n ng và

th i gian có h n nên đ tài không tránh kh i thi u xót Vì v y em r t mong

đ c s ch b o, đóng góp ý ki n c a các th y cô giáo và các b n sinh viên đ

đ tài đ c hoàn ch nh h n