Luận văn sư phạm Khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán liên quan cơ bản trong chủ đề hàm số thường thấy trong các đề thi Cao đẳng – Đại học mà được thầy cô và học sinh quan tâ

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc

kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để mở rộng

khai thác thêm các bài toán mới là điều rất cần thiết cho công tác bồi

dưỡng học sinh giỏi Mặt khác, từ những kinh nghiệm để giải một bài

toán ta thường phải hình thành những mối liên hệ từ những điều chưa

biết đến những điều đã biết, những bài toán đã có cách giải (bài toán

gốc) Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích một bài toán ban đầu

là một cách nâng cao khả năng suy luận, tư duy cho học sinh Chủ đề hàm số là một trong những nội dung cơ bản của toán học,

nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn Toán ở phổ thông, toàn

bộ việc dạy học toán ở trường phổ thông đều xoay quanh chủ đề này

Khi dạy học về khái niệm hàm số là chúng ta phải dạy học sinh biết

khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và đặc biệt là các bài toán liên quan, bởi hàm

số là một khái niêm rất trừu tượng phải thông qua các bài toán liên quan

này mà học sinh mới có thể hiểu sâu sắc hơn về khái niệm đó Bài toán

tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những bài toán liên quan cơ

bản trong chủ đề hàm số thường thấy trong các đề thi Cao đẳng – Đại

học mà được thầy cô và học sinh quan tâm đến nhiều nhất

Mặc dù dạng bài tập về tiếp tuyến là dạng toán cơ bản và đơn giản

nhưng nghiên cứu kĩ tôi thấy rằng chứa đựng trong đó nhiều điều thú vị

Cụ thể là chúng ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác phát triển thành

những bài tập hay hơn, khó hơn… làm vậy sẽ góp phần quan trọng trong

việc nâng cao năng lực tư duy, kích thích sự tìm tòi sáng tạo cho học

“Khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan”

làm đề tài nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu một số cách khai thác bài toán

- Nghiên cứu bài toán về tiếp tuyến và bài toán liên quan trên cơ sở đó giúp học sinh viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giải được các bài toán liên quan

- Đề xuất hệ thống bài tập khai thác bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan góp phần rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán của học sinh THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số cách khai thác bài toán dựa trên cơ sở bài toán ban đầu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận chủ đề tiếp tuyến của hàm số trong chương trình toán THPT

- Tìm hiểu những khó khăn và sai lầm thường gặp khi giải các bài tập về tiếp tuyến của hàm số trong chương trình toán THPT

- Xây dựng hệ thống bài tập về chủ đề tiếp tuyến

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán tiếp tuyến và bài toán liên quan trong chương trình toán THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khóa luận

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

A Phần mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Cấu trúc khóa luận

B Phần nội dung

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Hệ thống bài tập tiếp tuyến với đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

C Phần kết luận

D Tài liệu tham khảo

B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận

1.1 Tiếp tuyến của hàm số tại một điểm

góc của cát tuyến Giả sử tồn

tại giới hạn hữu hạn

qua và có hệ số góc là vị trí

giới hạn của cát tuyến khi

di chuyển dọc theo (C) dần đến

Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm , còn

gọi là tiếp điểm

Bây giờ giả sử hàm số có đạo hàm tại điểm Chú ý rằng tại mỗi vị

trí của trên (C), ta luôn có = ( ) ( ) (Hình 1).

Vì hàm số có đạo hàm tại điểm nên

Từ đó ta có thể phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm như sau:

Đạo hàm của hàm số = ( ) tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại điểm ( ; ( ))

Kết luận: Nếu hàm số = ( ) có đạo hàm tại điểm thì tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại điểm ( ; ( ) có phương trình là:

= ( ) ( − )

1.2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Định nghĩa: Giả sử hai hàm số và có đạo hàm tại điểm Ta nói

rằng hai đường cong = ( ) và = ( ) tiếp xúc với nhau tại điểm

( ; ) nếu là một điểm chung của chúng và hai đường cong có

tiếp tuyến chung tại điểm Điểm được gọi là tiếp điểm của hai

đường cong đã cho

Hiển nhiên các đồ thị của hai hàm số đã

cho tiếp xúc với nhau tại điểm ( ; )

khi và chỉ khi = ( ), =

( ) và ( ) = ( )

Từ đó dễ dàng suy ra rằng:

Hai đường cong cong = ( ) và

= ( ) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ

phương trình ( ) = ( )

( ) = ( ) có nghiệm

và hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó

Trường hợp đặc biệt: Cho đường cong (C): = ( ) và đường thẳng

1.3.1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc

Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc tiếp xúc với (C): = ( ) tại điểm có hoành độ  ( ) =  = là nghiệm của ( ) =

Giải phương trình: ( ) =  Nghiệm ∈ { , , … , }

Phương trình tiếp tuyến tại là: = ( − ) + ( )

Cách 2: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép

Xét đường thẳng với hệ số góc có phương trình: = + (ẩn ) tiếp xúc (C): = ( )  Phương trình: + = ( ) có nghiệm kép  + ( ) + ( ) = 0 có nghiệm kép

 ∆= ( ) − 4 ( ) = 0 = ( )

Giải phương trình: ∆= ( ) = 0

 Các giá trị của  Phương trình tiếp tuyến

Chú ý: Cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số ( ) mà phương trình tương giao + = ( ) có thể biến đổi tương đương với một phương trình bậc 2

 Các dạng biểu diễn của hệ số góc :

 Dạng trực tiếp: = ±1, ±2, … , ±12, ±13, … , ±√2, ±√3, …

 Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc  = tan

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): = +  =

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆): = +  = −1( ≠ 0)

 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (∆): = + góc

 = tan

Ví dụ: Cho hàm số: = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với (∆): = −2

Giải: Điều kiện ≠ 45∙

Cách 1: Vì tiếp tuyến ( ) của (C) vuông góc với (∆): = −2 nên có hệ

số góc là 12∙

1.3.3 Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho

trước

Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) và điểm ( ; ) cho trước Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): = ( ), biết tiếp tuyến đi qua

điểm ( ; )

Phương pháp:

Phương pháp tìm tiếp điểm

Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua ( ; ) tiếp xúc (C): = ( ) tại

điểm có hoành độ suy ra phương trình tiếp tuyến (d) của (C) có dạng:

= ( )( − ) + ( )

Do ( ; ) ∈ (d) nên = ( ) ( − ) + ( )

 = là nghiệm của phương trình = ( )( − ) + ( )

 ( )( − ) + − ( ) = 0 (∗)

Giải phương trình (∗)  Nghiệm ∈ { , , … , … , }

Phương trình tiếp tuyến tại = là: = ( )( − ) + ( )

Cách 2: Đường thẳng đi qua ( ; ) với hệ số góc có phương trình

= ( − ) + tiếp xúc với đồ thị (C): = ( ) Hệ phương trình

sau có nghiệm: ( ) = ( − ) + ( ) =

 ( ) = ( )( − ) +  ( )( − ) + − ( ) = 0 (∗)

Giải phương trình (∗)  Nghiệm ∈ { , , … , … , }

Phương trình tiếp tuyến tại = là: = ( )( − ) + ( )

Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép

Cách 3: Đường thẳng đi qua ( ; ) với hệ số góc có phương trình

= ( − ) + tiếp xúc với (C): = ( )  ( − ) + = ( )

có nghiệm kép  ( ) + ( ) + ( ) = 0 có nghiệm kép

 ( ) ≠ 0 ∆= ( ) − 4 ( ) ( ) = 0

 ∆= ( ) =( ) ≠ 0 + + = 0 (∗∗)

Giải hoặc biện luận hệ (∗∗) suy ra các giá trị của hoặc số lượng của

Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến hoặc số lượng của tiếp tuyến đi qua ( ; )

Chú ý: Cách 3 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số ( ) mà phương trình tương giao + = ( ) có thể biến đổi tương đương với một phương trình bậc 2

Ví dụ: Cho hàm số = (2 − ) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua (2; 0)

Giải: Gọi là đường thẳng đi qua , có hệ số góc

 : = ( − 2)

là tiếp tuyến của (C)  Hệ: (2 − ) = ( − 2)

4 ( − 2)( − 1) = có nghiệm Thay từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được:

− 4 + 4 = ( − 2)(4 − 12 + 8 )

 (3 − 4)( − 2) = 0  = 0, = 2, = ∙

Với = 0  = 0  Phương trình tiếp tuyến : = 0

Với = 2  = 0  Phương trình tiếp tuyến : = 0

Phương pháp: Sử dụng điều kiện tiếp xúc, điều kiện nghiệm kép

Ví dụ: CMR: Hai đường cong = − + 4 và = − + 3 + 6 tiếp xúc nhau tại điểm nào đó Xác định tiếp điểm đó

Giải: Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình: − + 4 = − + 3 + 6

Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm (−1; 2)

1.3.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt

Phương pháp: Đường thẳng = + tiếp xúc với đồ thị

(C): ( ) = + + + + tại hai điểm phân biệt

 ( ) = + có hai nghiệm , phân biệt

Ví dụ: Cho đồ thị (C): = − 2 + 3 Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt và tìm hoành độ của hai tiếp điểm

Giải: Đường thẳng = + tiếp xúc với đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt  − 2 + 3 = + có hai nghiệm , phân biệt

 − 2 − + 3 − = 0 có hai nghiệm , phân biệt

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: = 2

1.4 Một số cách thức khai thác bài bài toán tiếp tuyến

1.4.1 Lập bài toán tương tự bài toán ban đầu

Sau khi học sinh giải xong mỗi bài tập, giáo viên có thể dựa vào bài tập đó mà nghĩ ra các bài tập mới tương tự với bài tập vừa giải Giáo viên lập đề toán theo kiểu này là một biện pháp rất tốt để học sinh nắm vững các cách giải các bài tập cùng loại, giúp học sinh nắm rõ hơn mối quan hệ giữa các đối tượng và những quan hệ bản chất trong mỗi loại toán

Nhờ thế mà học sinh hiểu bài tập này sâu sắc hơn rất nhiều

Bài tập có thể được lập mới từ bài tập đã cho thông qua các cách:

 Thay đổi các số liệu đã cho

 Thay đổi các đối tượng trong đề toán

 Thay đổi các quan hệ trong đề toán

 Tăng hoặc giảm đối tượng trong đề toán

 Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn

Ví dụ: Cho (C): = Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: = −9 + 1

Giải: Điều kiện ≠ 52 (∗)

 Tiếp tuyến tại = 1 là: = 19( − 1) − 43  =19 −139 ∙

 Tiếp tuyến tại = 4 là: = 19( − 4) − 53 =19 −199 ∙

Nếu bây giờ ta thay đường thẳng ∆: = −9 + 1 bởi đường thẳng

∆ : = −4 + 1 còn các đối tượng khác trong ví dụ trên vẫn giữ nguyên thì ta được bài toán tương tự sau:

Bài toán tương tự: Cho (C): = Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆′: = −4 + 1 Giải: Điều kiện ≠ 52 (∗)

(−2 +5)2∙

Vì tiếp tuyến ( ) của (C) vuông góc với (∆): = −4 + 1 nên có hệ số góc là 14



32

= −72 thỏa mãn (∗)

 Tiếp tuyến tại = 32 là: = 19 −32 − 54  =19 −139 ∙

 Tiếp tuyến tại = −72 là: = 19 +72 − 3524  =19 −13372 ∙

1.4.2 Lập bài toán đảo của bài toán đầu

Trong một bài tập nếu ta thay một trong những điều đã cho bằng đáp số của bài tập và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta được một bài toán đảo

Đây cũng là một cách hay dùng để dựa vào các bài tập cũ mà đặt ra

đề bài tập mới bằng cách đảo ngược bài tập đã biết

Ví dụ: Cho hàm số = 2+1 , một điểm thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại cắt Ox, Oy tại , Tính diện tích tam giác trong các trường hợp điểm (1; 1) và −12; −2

Tương tự với điểm −12; −2 ta cũng tính được = 14∙

Bài toán trên có giả thiết là cho một hàm , tọa độ của điểm , tiếp tuyến của (C) tại cắt Ox, Oy tại và , yêu cầu tính diện tích ∆ Nếu với kết quả diện tích ∆ vừa tìm được ta đưa lên làm giả thiết và yêu cầu tìm giả thiết tọa độ điểm của bài toán đầu thì ta được bài toán đảo

Bài toán đảo: Cho hàm số = 2+1 , tìm điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại cắt Ox, Oy tại , sao cho diện tích tam giác bằng ∙

Giải: Gọi ; 2 0

0+1 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là:

Có một hướng quan trọng để khai thác các bài toán mới là dựa trên một số trường hợp cụ thể, dùng phép quy nạp không hoàn toàn để nhận xét và rút ra giả thiết rồi dùng phương pháp thử, chọn để thử xem giả thiết đó có đúng không? Nếu đúng thì đề ra bài tập mới và cách giải

 Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất

Nhận xét: Để tìm GTLN hay GTNN của hàm số ′ ở bài toán trên ta lập bảng xét dấu của ′′ Ở phần a ta có hệ số = 1 > 0 lập bảng xét dấu thì đạt GTNN tại điểm uốn, phần b hệ số = −1 < 0 lập bảng xét dấu thì ′ đạt GTLN tại điểm uốn Từ đây dễ dàng ta rút ra kết luận đạt GTLN hay GTNN luôn đạt tại điểm uốn và chỉ phụ thuộc vào dấu của

hệ số Từ đây ta có bài toán tổng quát:

Bài toán tổng quát: Cho đồ thị (C): = + + +

( ≠ 0) CMR: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C) tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất nếu > 0 và lớn nhất nếu < 0

 Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất với < 0

1.5 Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi gặp bài toán tiếp tuyến

Trong chương trình giải tích 11, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong học sinh đã học dưới dạng áp dụng ý nghĩa của đạo hàm cấp một

0

− 3

− 3

Dạng toán này đơn giản ít có dạng đòi hỏi tư duy cao Trong chương

trình giải tích lớp 12, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong học sinh

gặp lại nhưng dưới dạng tổng quát hơn Dạng toán vận dụng công thức

này thì phong phú, nhiều dạng đòi hỏi tư duy cao hơn Như vậy vấn đề

tiếp tuyến các em gặp lại hai lần trong hai năm học nhưng thực tế vẫn

còn một số khó khăn và sai sót khi giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến

Dưới đây là những khó khăn và sai sót các mà học sinh thường mắc phải

khi gặp các bài toán về tiếp tuyến

1.5.1 Một số sai lầm học sinh thường mắc phải

1.5.1.1 Học sinh thường mắc sai lầm là: ứng với hai tiếp điểm khác

nhau thì hai tiếp tuyến khác nhau

Ta biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số = ( )

Phân tích: Hai đường thẳng : = + và đường thẳng

: = + ′ song song với nhau khi và chỉ khi ≠= ′.

Vậy cách giải trên thiếu điều kiện ≠ ′ dẫn đến không loại được nghiệm nên kết quả bài toán không chính xác Do đó với cách làm trên sau khi tìm được ta phải thử lại xem tiếp tuyến tại các điểm

đó có trùng với tiếp tuyến tại điểm (1; 2) không

Khắc phục: Tếp tuyến tại (0; 3) có phương trình là: = 3

Tếp tuyến tại (−1; 2) có phương trình là: = 2

Tếp tuyến tại A(−1; 2) có phương trình là: = 2

Do đó chọn (0; 3)

Ví dụ 2: Cho hàm số = − 2 + 3 (∗) Tìm trên đường thẳng = 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được bốn tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) của hàm số (∗)

Sai lầm: Gọi ( ; 2) là điểm thuộc đường thẳng = 2

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm có hệ số góc là:

có thể học sinh nghĩ rằng có bốn nghiệm phân biệt thì thay lên phương trình (2) ta được bốn nghiệm phân biệt, đối với cách giải này ta phải thay lên phương trình (2) để tìm nghiệm là bắt buộc vì có thể bốn nghiệm này không phân biệt, nhưng bài giải trên chưa có bước này

Vì vậy cách giải trên lập luận chưa chặt chẽ

Khắc phục: Ta có − 1 = 0  = 1; = −1 thế vào (2) ta được Với = 1  = 0

Với = −1  = 0

Vậy với = 1 và = −1 ta được hai giá trị bằng nhau Do đó không tồn tại điểm trên đường thẳng = 2 để qua đó kẻ được bốn tiếp tuyến phân biệt với (C)

Ví dụ 3: Cho hàm số = − 3 + 3 = 0 (∗) Tìm trên đường thẳng

= −1 những điểm mà qua đó kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt với đồ thị của hàm số (∗)

Sai lầm: Gọi ( ; −1) là điểm thuộc đường thẳng = −1

Phương trình đường thẳng đi qua có hệ số góc là:

 (2) ≠ 0∆ > 0  < −1 Ú > 53

≠ 2

Phân tích: Ví dụ này mắc sai lầm giống Ví dụ 2 vì cũng chưa kiểm tra xem ba nghiệm trong phương trình (2) có phân biệt không

Khắc phục: Ta phải lí luận như sau:

Qua ( ; −1) kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt với (C)  Phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt , , 2 và thế vào (2) được ba giá trị , , khác nhau  Phương trình ( ) = 0 có hai nghiệm phân biệt

1.5.1.2 Khi viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước học sinh hay quên kiểm tra tung độ gốc có khác nhau hay không

Ví dụ 1: Cho (Cm): = ( ) Tìm để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ bằng 2 song song với đường thẳng : =

Khắc phục:

Với = −1 thì =  (2) = 1

 Phương trình tiếp tuyến là: = − + 3 (≡ )

Với = −2 thì =  (2) = 1

 3 +12− = 1  = 1

 m = −1, m = − thỏa mãn (∗)

Vậy m = −1, m = − là các giá trị cần tìm

Phân tích: Lập luận về điều kiện song song giữa hai đường thẳng là sai

vì thiếu điều kiện ≠ ′ giống Ví dụ 1 mục 1.5.1.1 dẫn đến không thử lại các giá trị của để kiểm tra tung độ gốc của tiếp tuyến với đường thẳng song song ban đầu có trùng nhau không là sai

Khắc phục:

= −1 ta được tiếp tuyến tại là: = + 1 (≡ )

m = − ta được tiếp tuyến tại là: = − (≠ )

Vậy m = − là giá trị cần tìm

1.5.2 Một số khó khăn trong tính toán

Ví dụ 1: Cho hàm số = − 3 + 2 có đồ thị là (C) Tìm trên đường thẳng = 2 những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau

Giải: Gọi ( ; 2) thuộc đường thẳng = 2

Do đó có hai tiếp tuyến qua vuông góc nhau

 Phương trình (3) có hai nghiệm ; sao cho: = −1

 ∆> 0 3 ( − 2) 3 ( − 2) = −1  3 − 10 + 3 > 09 = 1

 a = − ∙

Vậy qua −19; 2 ta kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau

Ví dụ 2: Cho hàm số = có đồ thị là (C) Tìm trên đường thẳng = 2 những điểm mà qua đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau

Giải: Gọi ( ; 2) thuộc đường thẳng = 2

Ta có ≠ 0 nên từ (4)  − + + 2 ≠ 0  ≠ ( ≠ 1) Thế (4) vào (2) ta được:

Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị là (C) Tìm tập hợp những điểm trong mặt phẳng Oxy mà qua kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc nhau

≠ 1 và ≠ − 1 Hay tập hợp các điểm là đường tròn (C2): ( − 1) + = 8 bỏ đi bốn giao điểm của (C1) với đường thẳng

= 1 (tiệm cận đứng của (C1)) với đường thẳng = − 1 (tiệm cận xiện của (C1))

Nhận xét: Ví dụ 3 tương tự Ví dụ 2 nhưng có hai tham số , nên việc tính toán càng phức tạp hơn do đó nếu làm theo cách thông thường như

ở Ví dụ 1 thì rất khó khăn

Kết luận chương 1

Trong chương này, khóa luận đã trình bày một số cách khai thác bài toán tiếp tuyến, cơ sở lí luận về dạy học tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong chương trình toán phổ thông, một số khó khăn và sai lầm học sinh thường mắc phải khi gặp bài toán về tiếp tuyến

Những nội dung đã trình bày ở chương một phần nào giúp học sinh nắm được một cách khái quát: dạng tổng quát của phương trình tiếp tuyến tại một điểm, các bài toán viết phương trình tiếp tuyến cơ bản và phương pháp giải, đặc biệt là những khó khăn và sai lầm của học sinh khi gặp các bài toán về tiếp tuyến Ngoài ra các em mới chỉ bước đầu nắm được lý thuyết về cách thức để khai thác một bài toán trên cơ sở bài toán đã có bởi các em đã quen với việc làm các bài tập toán có đề bài sẵn chứ chưa biết vận dụng Vì vậy ở chương tiếp theo tôi sẽ trình bày một hệ thống các bài tập tiếp tuyến và bài toán liên trên cơ sở học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản đã trình bày ở chương một thì các em vận dụng giải thành thạo các bài tập, sau đó tôi sẽ hướng dẫn học sinh khai thác một bài toán mới theo các cách thức đã nêu từ bài toán ban đầu để các em nắm rõ hơn về vấn đề khai thác một bài toán là như thế nào và từ

đó có thể tự lập ra những bài toán mới dựa vào bài toán có sẵn Học tập theo phương pháp này sẽ góp phần nâng cao năng lực tư duy, phát huy được tính tích cực, sáng tạo cho học sinh trong học tập

Chương 2: Hệ thống bài tập tiếp tuyến với đồ thị

hàm số và các bài toán liên quan

1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) và điểm ( ; ) ∈ (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ; )

Bài tập 1: Cho (C): = 2 − 3 + 9 − 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) khi biết:

a Hoành độ tiếp điểm là: = −1

b Tung độ của tiếp điểm là = −4

c Tiếp điểm là điểm uốn