Luận văn sư phạm Giải gần đúng phương trình đại số

1.1.2.ăLƠmătrònăs ăvƠăsaiăs ăc aăphépălƠmătrònăs... Ta th ng đanh gia sai sô b ng môt trong hai công th c sau: a, Côngăth căđanhăgiaăsaiăsôăth ănhơt Theo nh trên ta co: *.

TR NăHOẨIăANH

GI IăG Nă ÚNGă

KHịAăLU NăT TăNGHI P

CHUYÊN NGÀNH :ăGI IăTệCH

Ng i h ng d n khoa h c : TS NGUY N V N HÙNG

HẨăN Iă– 2010

Sau m t th i gian nghiên c u cùng v i s h ng d n t n tình c a th y

giáo TS Nguy năV năHùng, khoá lu n c a em đã đ c hoàn thành

Qua đây em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y giáo TSăNguy n V nă Hùng, ng i đã tr c ti p h ng d n và đóng góp nhi u ý ki n quý báu trong th i gian em th c hi n khoá lu n này

Em xin chân thành c m n các th y, các cô giáo trong khoa toán đã t o

m i đi u ki n giúp đ em hoàn thành khoá lu n này

M c dù có nhi u c g ng nh ng do h n ch v th i gian và ki n th c nên

ch c ch n khóa lu n không tránh kh i nh ng thi u xót Em r t mong nh n đ c

s giúp đ , đóng góp ý ki n c a th y cô và các b n sinh viên đ khoá lu n c a

em đ c hoàn thi n h n

L IăCAMă OAN

Khoá lu n t t nghi p c a em hoàn thành d i s h ng d n c a th y giáo

TS Nguy n V n Hùng cùng v i s c g ng c a b n thân Trong quá trình nghiên

c u em có tham kh o m t s tài li u c a m t s tác gi (đã nêu trong m c tài li u tham kh o)

Em xin cam đoan nh ng k t qu trong khoá lu n này là k t qu nghiên

c u c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Hà N i, tháng 5 n m 2010

SINH VI ÊN

Tr năHoƠiăAnh

M đ u 1

N i dung 2

Ch ng I : Ki n th c chu n b 2

1.1 S g n đúng và sai s 2

1.2 Sai s tuy t đ i 6

1.3 Cách vi t s x p x 7

1.4 Sai phân 8

Ch ng II: Gi i g n đúng ph ng trình đ i s 11

2.1 Nghi m và kho ng tách nghi m 11

2.2 Ph ng pháp đ th 15

2.3 Ph ng pháp chia đôi 17

2.4 Ph ng pháp l p 22

2.5 Ph ng pháp Newton 26

2.6 Ph ng pháp dây cung 32

Ch ng III: ng d ng 35

Tài li u tham kh o 50

K t lu n 51

PH Nă1 : M ă U

Gi i tích s là m t ngành khoa h c đã có t lâu nh ng t khi máy tính

đi n t ra đ i ngành khoa h c này phát tri n r t nhanh, nh m xây d ng nh ng thu t toán đ n gi n có hi u l c, gi i k t qu b ng s nh ng bài toán c a khoa

h c k thu t trên máy tính Vì v y ngày nay v i vi c s d ng r ng rãi máy vi tính trong các c quan, xí nghi p, các ki n th c c a môn h c “Gi i tích s ” càng

có l i gi i g n đúng cho b t k bài toán nào c ng đòi h i ph i có các

d ki n c a bài toán và sau đó là xây d ng mô hình bài toán Ti p theo là công

vi c tìm thu t toán h u hi u nh t và cu i cùng vi t ch ng trình đ máy tính tính toán cho ta k t qu g n đúng Khi gi i bài toán th c t ta đ u ph i làm vi c tr c

ti p ho c gián ti p v i các s li u ban đ u Chính vì v y, không tránh kh i các sai s , tuy r t nh nh ng nh h ng tr c ti p đ n k t qu tính toán Vì v y c n

s d ng các thu t toán h u hi u đ gi m thi u s sai s đ ng th i ti n l i cho

PH Nă2:ăN IăDUNG

1.1.ăS ăG Nă ÚNGăVẨăSAIăS

1.1.1.ăS ăg năđúng

Ta nói r ng alà m t s g n đúng c a *

a n u nh akhông sai khác a*nhi u,

hi u s  a a* a là sai s th c s c a a, n u   thì a 0 alà giá tr g n đúng thi u, còn n u   thì a 0 alà giá tr g n đúng th a c a *

a Vì r ng *

a nói chung không bi t nên c ng không bi t , tuy nhiên có th th y t n t i   tho mãn a 0

1.1.1

a   a a Khi đó : a đ c g i là sai s tuy t đ i c a a

1.1.2.ăLƠmătrònăs ăvƠăsaiăs ăc aăphépălƠmătrònăs

1.1.3.ăCh ăs ăcóăngh a,ăch ăs ăch c

p i i

xy

N u    ( phép ngh ch đ o ) thì đ chính xác là không đ i 1

, kk

1.2 SAIăS ăTUY Tă I

1.2.1.ăSaiăs ătuy tăđ i

Trong tính toán , ng i ta th ng không bi t s đúng A mà ch bi t s g n đúng c a nó là a Lúc đó ta nói „a x p x A‟ và vi t "a A" l ch h A a 

đ c g i là sai s th c s c a

N u s x p x c a A nên c ng không bi t h Tuy nhiên ta có th tìm

đ c s d ng a h  sao cho a      S aa A a a  bé nh t mà ta có th xác đ nh đ c g i là sai s tuy t đ i c a a

Công th c 1.2.3 và  1.2.4 cho ta liên h gi a sai s tuy t đ i và sai s

t ng đ i

1.3 CÁCHăVI TăS ăX PăX

1 3.1.ăCh ăs ăcóăngh a



 

0,5.10a

  thì ta nói s là ch s đáng nghi

1 3.3.ăCáchăvi tăs ăx păx ăă

Cho a là giá tr x p x c a A v i giá tr tuy t đ i a

Cách th nh t là vi t kèm theo sai s nh công th c 1.2.1 

Cách th hai là vi t theo quy c m i ch s có ngh a đáng tin M t s

vi t theo cách th hai có ngh a là nó có sai s tuy t đ i không l n h n m t n a



4 i

f



5 i

f



6 i

f



2 3

f



2 2

f



2 1

f



2 0

f



2 1

f



2 2

f



3 4

f



3 3

f



3 2

f



3 1

f



3 0

f



3 1

f



4 4

f



4 3

f



4 2

f



4 1

f



4 0

f



5 4

f



5 3

f



5 2

f



5 1

f



6 4

f



6 3

f



6 2

f



CH NGăII :ăGI IăG Nă ÚNGăPH NG

TRÌNH IăS

2.1.ăNGHI MăVẨăKHO NGăTÁCHăNGHI M

2.1.1 Ngh i măth căc aăph ngătrìnhăm t n

Xét ph ng trình m t n : f x 0 2.1.1

Trong đó f là m t hàm s cho tr c c a đ i s x

Nghi m th c c a ph ng trình 2.1.1 là s th c  tho mãn 2.1.1 t c

là khi thay  vào x v trái ta đ c f x 0 2.1.2

2.1.2.ăS ăt năt iănghi măth căc aăph ngătrìnhă2.1.1 

Tr c khi tìm cách tính g n đúng nghi m th c c a ph ng trình 2.1.1 ta 

ph i t h i xem nghi m th c y có t n t i hay không tr l i ta có th dùng

đ nh lý sau :

nhălýă2.1- N u có hai s th c avà ba sao cho b f a và   f b  

trái d u t c là : f a f b    0 2.1.3 đ ng th i f x   liên t c trên  a b , thì

trong  a b , có ít nh t m t nghi m th c c a ph ng trình 2.1.1 

i u đó có th minh ho trên đ th th c a hàm s y f x  t i

a  là m t đ ng li n n i x b A và B ; A d i, B trên tr c hoành, nên

ph i c t tr c hoành t i ít nh t m t đi m trong kho ng t ađ n b

V y ph ng trình 2.1.1 có ít nh t m t nghi m trong kho ng  a b ,

i u này có th minh h a b ng đ th

th c a hàm s y f x  c t tr c hoành t i m t và ch m t đi m trong a b V, y  a b ch, a m t và ch m t nghi m c a ph ng trình2.1.1 

N u f x có   đ o hàm thì đi u ki n đ n đi u có th thay b ng đi u ki n không đ i d u c a đ o hàm vì đ o hàm không đ i d u thì hàm s đ n đi u

Ta có :

nhălýă2.3- N u a b , là m t kho ng trong đó hàm f x   liên t c, đ o

hàm f x  không đ i d u và f a và   f b   trái d u thì  a b , là m t kho ng tách nghi m c a ph ng trình 2.1.1 

V y ph ng trình có m t nghi m th c duy nh t  , và có kho ng tách nghi m là  0,1

Gi i ph ng trình 2.2.1  b ng ph ng phap đô thi la ta đi ve đô thi ham

sô y f x( ).Nghiêm c a ph ng trình là hoành đ giao điêm cua đô thi ( )

y f x v i truc hoanh ho c giai ph ng trinh (2.2.1) ta biên đôi nh sau : f x( )0t ng đ ng h x g x (2.2.2)

1 / 5 1 / 5

y

x

0

Gi i ph ng trình (2.2.2) ta đi ve 2 đô thi yh x( ) ; y g x( ) trên cùngm t h tr c t a đ Nghiêm cua ph ng trinh (2.2.2) là hoành đ giao đi m

2.3 PH NGăPHAPăCHIAă ỌI

2.3.1 Ph ngăphapăchiaăđôi

Xét ph ng trình f x( )0 (2.3.1)

Gi s  a b , là kho ng tách nghi m c a ph ng trình (2.3.1)

Gi i ph ng trình (2.3.1) b ng ph ng phap chia đôi là ph ng pháp làm

co hep dân khoang cach nghiêm cua ph ng trinh (2.3.1)

f c = 0 thì *

cx là m t nghi m c a ph ng trinh f x( )0

Th ng thi f c  , lúc đó ta so sánh d u c a 0 f c( ) và f a( ) đ suy ra kho ng tách nghi m thu nh

i, Nêu f c( ) trái d u f a( ) thì kho ng tach nghiêm thu nho la  a c ,

ii, Nêu f c( ) cùng dâu f a( ) thì kho ng tách nghi m thu nh là c b ,

Nh vây, sau khi chia đôi khoang  a b , ta đ c kho ng tách nghi m thu

nh là  a c hay,  c b , Kí hi u là a b , 1, 1 nó n m tro ng a b , và ch dài b ng

Tiêp tuc chia đôi khoang a b 1, 1 và làm nh trên ta s đ c kho ng tách nghiêm thu nho m i Kí hi u là a b2, 2; nó n m trong a b 1, 1 và ch dài b ng

Do đo, nghiêm xâp xi xncó th đ c l y theo công th c :

Nh n xét: Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y f x   ch c t tr c Oxt i duy

nh t 1 đi m nên ph ng trình đã cho luôn có nghi m th c duy nh t

 B ng ph ng pháp chia đôi tìm nghi m c a ph ng trình

Chia  0,1 b ng đi m chia 0 1 0,5

4 2,71606447.10 0

t a5 0,875;b5 0,90625

Chia a b b5, 5 ng đi m chia 5

0,875 0,90625

0,8906252

Chia a b b9, 9 ng đi m chia

Gi s  a b , là kho ng tách nghi m c a ph ng trinh (2.4.1)

Tr c hêt ta chuyên ph ng trinh (2.4.1) vê dang x( )x (2.4.2) và

t ng đ ng v i ph ng trinh (2.4.1)

Sau đo ta chon mơt sơ x0 nào đĩ thuộc  a b , làm x p x và tính d n dãy

sơ x n theo quy t c: xn (xn1);n1;2;3 (2.4.3)

Quá trình tính này cĩ tính l p đi l p lai nên ph ng phap đây goi la

Gi i ph ng trình (2.4.1) b ng công th c (2.4.3) đ c goi la giai ph ng trình b ng ph ng pháp l p

Ta th ng đanh gia sai sô b ng môt trong hai công th c sau:

a, Côngăth căđanhăgiaăsaiăsôăth ănhơt

Theo nh trên ta co: *

Vì 0 q 1 nên 1 q 0 Chia bât đ ng th c trên cho 1 q  ta đ c công th c: *

1

x x q q x xCông th c (2.2.4) là công th c đánh giá sai s th nh t

b, Côngăth căđanhăgiaăsaiăsôăth ăhai

Công th c nay t ng quát h n, nó có th áp d ng đ tính sai s c a nhi u

ph ng phap khac nhau o la nôi dung chinh cua đinh li sau:

T đo, ta suy ra kêt luân (2.4.5)

Bây gi ta ap dung đinh li (2.4.2) đ đánh giá sai s c a ph ng pháp l p

gi i g n đúng ph ng trình (2.4.1)

Công th c (2.4.7) là công th c đánh giá sai s th hai cho ph ng pháp l p

2.4.4 Víăd ăminhăh aă

  

n n

f x  xx f x  xx f c  , b qua s h ng cu i cùng

ta đ c ph ng trinh : f x  0  xx0  f x 0  (2.5.2) 0

Nh vây, ta đa thay ph ng trinh (2.5.1) b ng ph ng trinh (2.5.2) đ n

gi n h n nhi u vì (2.5.2) tuyên tinh đôi v i x

2.5.2 ụăngh aăhìnhăh c

th c a hàm s f x trên    a b , là cung AB T điêm Bd ng tiêp tuyên v i đô thi

 Mô ta ph ng phap hinh hoc

Gi s hàm s f x   liên tuc trên  a b , có đ th là cung AB

Nêu f f   thì qua đi m 0 B b f b  ,    d ng tiêp tuyên v i đô thi

 

y f x , tiêp tuyên nay c t tr c Ox t i x 1

T x 1 d ng đ ng th ng song song v i Oy, đ ng th ng nay c t đô thi

 

y f x t i P x f x1 1,  1  Qua P 1 d ng tiêp tuyên v i đô thi y f x  và nó

c t Ox t i x 2 Tiêp tuc qua trinh nay ta đ c day  x n

Nêu f f   thì qua đi m 0 A a f a ,    d ng ti p tuy n v i đ th

 

y f x và c ng làm hoàn toàn t ng t nh trên

Khi đó s có các tr ng h p đ c mô t sau

0,9166666660,9061219560,905958470,905958430,9059584310,905958431

2.6.1.ăMôăt ăph ngăphápă

Xét ph ng trình f x( )0(2.6.1), gi thi t các đi u ki n sau tho mãn:

i, Ph ng trình (2.6.1) có nghi m  duy nh t trên  a b ,

D ng dây cung AB c t đ th Oxt i x T 1 x k 2 đ ng th ng song song

Oyc t  C t i B K dây cung 2 BB c1 t Oxt i x 2

2 3

 B ng ph ng pháp chia đôi tìm nghi m c a ph ng trình

Chia  0,1 b ng đi m chia 0 1 0,5

Chia a b b8, 8 ng đi m chia

 B ng ph ng pháp chia đôi tìm nghi m c a ph ng trình

Chia  0,1 b ng đi m chia 0 1 0,5

Ta có f c 3  0,094207763 0

t a4 0,4375;b4 0,5

Chia a b 4, 4 b ng đi m chia 4 0,4375 0,5 0,46875

 B ng ph ng pháp l p gi i ph ng trình

t

5 5

BÀI 8 :Gi i ph ng trình 3 4 6 0

xx

5suy ra 0 1 033

2 3

BÀI 10 :Gi i ph ng trình 3 1 0

3

xx

CÁC BÀI T P ÁP D NG

Bài 1 : B ng ph ng pháp đ th gi i ph ng trình

0n

x  e 

Bài 8 : B ng ph ng pháp l p gi i ph ng trình v i n 6

ln 3

x x Bài 9 : Gi i ph ng trình sau b ng ph ng pháp dây cung v i n 6

3

1

2x  x  Bài 10 : Gi i ph ng trình b ng ph ng pháp dây cung v i n 6

7x35x 4 0

K TăLU N

Trong lu n v n này em đã trình bày đ c m t s ph ng pháp “Gi i g n đúng ph ng trình đ i s ”và v n d ng các ph ng pháp này vào gi i các bài toán c th Em đã gi i m u m t s ví d tìm nghi m g n đúng c a ph ng trình

đ i s đ t đó b n đ c có th v n d ng vào gi i các bài t p t ng t m t cách

d dàng

M c dù đã c g ng h t s c nh ng do th i gian có h n và b c đ u làm quen v i nghiên c u khoa h c nên khoá lu n c a em không tránh kh i nh ng thi u sót R t mong đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y cô và các b n sinh viên đ khoá lu n c a em đ c hoàn ch nh h n