Luận văn sư phạm Đại số Tenxơ và đại số ngoài

Tích trong trong các không gian pE xác đ nh m t tích trong trong... Toán t thay phiên ...

M U

1 Lí do ch n đ tƠi

Ngày nay, cùng v i s phát tri n c a nhanh chóng c a các ngƠnh khoa

h c công ngh , Toán h c c ng đƣ đánh d u đ c b c ti n đáng k c bi t

lƠ chuyên ngƠnh i s , nh ng t t ng ph ng pháp vƠ k t qu c a i s

đƣ thơm nh p vƠo h u h t các l nh v c c a toán h c, t tôpô, hình h c t i gi i

tích và xác su t, c ng nh m t s l nh v c khoa h c khác: c h c, v t lí lí thuy t, hóa l ng t ầTrong đó, i s đa tuy n tính, c th lƠ ba đ i s đa tuy n tính trên m t tr ng tùy ý, đó lƠ: đ i s tenx , đ i s đ i x ng, đ i s ngoƠi đóng vai trò quan tr ng H n n a, vi c nghiên c u v n đ còn giúp cho

ng i h c phát tri n t duy logic, sáng t o vƠ có t m nhìn sơu r ng h n v toán h c

T ni m yêu thích c a b n thơn v i b môn nƠy, cùng v i s giúp đ

t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng tôi m nh d n th c hi n khóa lu n

t t nghi p v i tiêu đ : “ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi”

2 M c đích nghiên c u

Cung c p nh ng ki n th c c b n v ba đ i s đa tuy n tính trên m t

tr ng tùy ý, đó lƠ: đ i s tenx , đ i s đ i x ng vƠ đ i s ngoƠi

CH NG 1 NH NG KI N TH C B TR

Trong ch ng nƠy tôi trình bƠy m t s ki n th c c b n c a đ i s tuy n tính nh : không gian véct , ánh x tuy n tính, tích tenx c a các không gian vect , đ i s vƠ đ ng c u đ i s

* V i p  2 thì  đ c g i lƠ ánh x song tuy n tính

* G  thì  đ c g i lƠ p - hƠm s tuy n tính

1.2 Tích tenx

* Tính ch t ph d ng

Cho E v Fà lƠ các không gian véct vƠ  lƠ ánh x song tuy n tính t

EF vƠo không gian véct T Ta nói r ng  có tính ch t ph d ng n u nó

 N u  lƠ ánh x song tuy n tính t EF vƠo không gian véct

b t kì H, khi đó t n t i ánh x tuy n tính f T: H sao cho bi u đ sau giao

hoán:

Hai đi u ki n trên t ng đ ng v i đi u ki n sau:

: V i m i ánh x song tuy n tính  : E F   H thì t n t i duy nh t

m t ánh x tuy n tính f T :  H sao cho bi u đ (1.1) giao hoán

* nh ngh a tích tenx

Tích tenx c a hai không gian véct E v Fà lƠ m t c p T, , trong 

đó : E F T   lƠ ánh x song tuy n tính có tính ch t ph d ng

T c ng đ c g i lƠ tích tenx c a E v Fà Kí hi u: E F

Tích tenx lƠ giao hoán v i ngh a lƠ E F F E  

* Tích tenx c a không gian con

Cho ánh x song tuy n tính : E F T   có tính ch t ph d ng vƠ hai

không gian con E1 và E F1 Cho F ' lƠ kí hi u c a ánh x thu h p c a

* Tích tenx c a không gian th ng:

Cho E1 và E F1 là các không gian con và F

1.7 Không gian tích trong

- M t tích trong trong không gian véct E lƠ hƠm s song tuy n tính

đ i x ng (,) không suy bi n trong E

- Không gian tích trong E đ c g i lƠ tích tenx c a hai không Fgian tích trong E và F

* HƠm s song tuy n tính:

V i m i c p hƠm s song tuy n tính và   trong EE' và FF' c m sinh m t hƠm s song tuy n tính   trong    ' '

Ta có   không suy bi n khi vƠ ch khi và   đ u không suy bi n

Cho E E*, và F , F* lƠ hai c p không gian đ i ng u vƠ các tích vô

h ng đ c kí hi u lƠ , Khi đó, t n t i duy nh t m t hƠm s song tuy n

tính , trong E*F* và E sao cho: F

E E i p lƠ c p các không gian đ i ng u vƠ t t c các tích

vô h ng đ u đ c kí hi u lƠ , ta có tích vô h ng gi a * *

(a) Phép c ng:

 

: ,

x y xy

(c) Phép nhơn vô h ng(trong K)

: ,

 A 1 Acùng v i hai phép toán công vƠ nhơn l p thƠnh m t vƠnh

 A 2 A cùng v i phép c ng vƠ phép nhơn vô h ng l p thƠnh m t không gian véct trên K

 A 3 Hai c u trúc vƠnh vƠ không gian véct trên A ràng bu c nhau b i

đi u ki n:

   xy x y x y ; K; x, y A

1.10 i s con

Gi s AlƠ m t đ i s trênK M t t p con c a A đ c g i lƠ đ i s con n u nó v a lƠ m t vƠnh con v a lƠ m t không gian véct con c a A

T p con S A Giao c a t t c các đ i s con c a ch a lƠ đ i s con

c a A sinh b i S ó lƠ đ i s con nh nh t c a A ch a S

T p con B Ađ c g i lƠ iđêan c a đ i s A n u nó v a lƠ m t iđêan

c a vƠnh A v a lƠ không gian véct con c a A

i s th ng AB v i ba phép toán sau trên t p các l p k c a

CH NG 2 I S TENX

N i dung ch y u c a ch ng nƠy lƠ khái ni m đ i s tenx , tính ch t

c a đ i s nƠy Ti p đó, tôi trình bƠy v tenx trên c p không gian đ i ng u, tenx h n h p, đ i s tenx trên không gian tích trong

g i lƠ p -l y th a tenx c a E vƠ các ph n t c a nó g i lƠ các tenx b c p

Tenx có d ng x1  x pp, 1 và các tenx b c không đ c g i lƠ

Tenx u v đ c g i lƠ tích c a các tenx u và v Tích (2.2) có tính ch t

k t h p (đi u nƠy đ c suy ra t đ nh ngh a)

Tuy nhiên, tích trên không giao hoán tr tr ng h p dimE 1 (th t

N u ip :   pE   E là phép nhúng thì ta có th vi t:

0

p p p





    

Vì c p  ip   p E i , p   p c ng lƠ p-l y th a tenx c a E Ta kí hi u p-ánh x tuy n tính ip E b i p

E

 Khi đó, t h th c trên ta có:

0

p p

Phép nhân này làm cho  tr thƠnh m t đ i s k t h p (không giao hoán E

n u dimE 2) v i ph n t đ n v lƠ (1,0,ầ) Rõ ràng, t đ nh ngh a trên ta

th y E lƠ đ i s phơn b c d ng E đ c g i lƠ đ i s tenx trên không

đ c đ nh ngh a b i phép nhơn trên không lƠ m t tích tenx Th t v y, gi x

 là tích tenx G i pq lƠ ánh x thu h p c a  lên       ta có: E E

đó, E 0 (mơu thu n v i gi thi t) Suy ra đi u ch ng minh lƠ sai hay 

không lƠ m t tích tenx

2.1 3 Tính ch t ph d ng c a E  vƠ c p ph d ng

a) Tính ch t ph d ng c a E

Gi s A lƠ đ i s k t h p b t k , v i ph n t đ n v e vƠ m t ánh x tuy n tính  : E  A Khi đó, t n t i duy nh t m t đ ng c u h: E A sao cho h 1  và h.ie ; t c bi u đ sau giao hoán:

trong đó j lƠ phép nhúng c a E vào E

b) C p ph d ng

Cho U lƠ đ i s b t kì v i ph n t đ n v lƠ 1 vƠ : E U  là ánh

x tuy n tính Ta nói r ng ,U lƠ đ i s tenx có tính ch t ph d ng trên

E n u nó th a mƣn các đi u ki n sau:

i) Không gian Im cùng v i ph n t 1 sinh ra U

ii) N u  lƠ ánh x tuy n tính t E vƠo đ i s Av i ph n t đ n v lƠ

e thì t n t i m t đ ng c u :h U  sao cho A h 1  vƠ bi u đ sau egiao hoán:

Các tính ch t i) vƠ ii) t ng đ ng v i tính ch t sau:

N u  lƠ anh x tuy n tính t EvƠo đ i s Av i ph n t đ n v e thì

t n t i duy nh t m t đ ng c u h U: A sao cho bi u đ (2.3) giao hoán

Do đó, f , g lƠ t đ ng c u c a U mƠ ánh x h p trên Im lƠ ánh x đ ng

nh t Vì không gian Im sinh ra U nên g f i

HoƠn toƠn t ng t , ta ch ra đ c g f i', i ' lƠ ánh x đ ng nh t c a 'U

Do đó, f lƠ đ ng c u t U vào 'U , g f1 nh lí đ c ch ng minh

Vì i, lƠ c p ph d ng trong E E nên theo đ nh lí v s t n t i duy

nh t m t đ ng c u f :   E U sao cho f i  Vì lƠ đ i s phơn b c, s phơn b c đ c sinh ra trong U b i đ ng c u f V i s phơn b c đó đ i s U

đƣ cho lƠ đ i l ng phơn b c vƠ f : E U lƠ đ ng c u thu n nh t b c

không Theo đ nh lí v tính duy nh t, đ i s ph d ng U c ng đ c g i lƠ đ i

s tenx trên E vƠ đ c kí hi u E

Rõ rƠng đ ng c u  lƠ thu n nh t b c không Suy ra t đ nh ngh a c a :

Cho G là không gian véct th ba, G lƠ đ i s trên G và  : F  G

lƠ ánh x tuy n tính T các đ nh ngh a ta suy ra

D th y: Im  Im

Do đó,  lƠ toƠn ánh v i là toàn ánh

2.2 TENX TRÊN C P KHỌNG GIAN I NG U

u    e   e  là

1 1

u u  

2.2.2 ng c u

Gi s F và F * lƠ hai c p không gian đ i ng u th hai v i tích vô h ng

đ c kí hi u  , Cho  : E  F , *: E*  F* lƠ c p tuy n tính đ i

e e lƠ c p c s đ i ng u c a *

E và

E Khi đó, các tích:

1 1

q p

Ví d : Cho ánh x ch s Cij cho đ n gi n, ta cho i j 1 vƠ kí hi u

 c ng tr thƠnh không gian Euclide

Tích trong trong các không gian pE xác đ nh m t tích trong trong

Trong đó:

p p

Th t v y, cho u x1 xp và v   lƠ các tenx phơn tích đ c y1 yp

m t p q hƠm s tuy n tính .  đ c cho nh sau:

    x1, xp q   ( , x1 xp)  xp1, , xp q  (1.12)

Trong tr ng h p p=0 ho c q=0 ta đ nh ngh a tích trên lƠ phép nhơn thông

th ng v i vô h ng Phép nhơn trên lƠm cho t ng tr c ti p

0

p p

khi v p+1

v v

* , , , , p 0

p

v v

v v v

v v

v v v

* 1

, , , p,

p p

v v

e e  v  1, , n  vƠ nó không suy bi n Vì

v y, nó lƠ tích vô h ng gi a các không gian p 

Gi s T E   lƠ t ng tr c ti p c a các không gian p 

CH NG 3 I S TENX PH N I X NG

I S TENX I X NG

Trong ch ng nƠy tôi trình bƠy khái ni m vƠ tính ch t c a hai đ i s lƠ

đ i s tenx ph n đ i x ng vƠ đ i s tenx đ i x ng

3.1.1 Không gian p 

N E Cho E lƠ không gian véct vƠ p l y th a tenx p

E

 S lp Ơ kí hi u nhóm hoán v c a p ph n t Khi đó, m i hoán v   Sp xác đ nh m t t

Tr c tiên, gi s trong tr ng h p c a phép chuy n v trí  : i฀ j Khi đó,

ta có:

u r u      x1 xi xj xp       x1 xj xi xp

  x1 (xixj)  (xixj)  xp       x1 xi xi xp        x1 xj xj xp Np E

Toán t thay phiên trong p

3.1.4 Ph n t ph n đ i x ng c a m t tích

Cho

0

p p

p A

q A

Tác đ ng phép chi u A vƠo đ ng th c trên vƠ các công th c (3.9) vƠ (3.4) ta

có công th c Au v  A AuAv Vì A lƠ phép chi u nên suy ra:

N E N E Công th c (3.9) ch ng t N(E) lƠ

m t Iđêan phơn b c trong đ i s phơn b c  E

T công th c (3.15) suy ra phép nhơn trên có tính ch t k t h p vƠ  1 là

ph n t đ n v Vì iđêan d c phơn b c trong đ i s phơn b c E , s phơn

b c nƠy đ c sinh ra trong đ i s th ng  E N E /   b i :

 

ImA X E H n n a, A lƠ phép chi u vƠ  E N E X E 

N u  lƠ ánh x thu h p c a phép chi u  lên không gian véct con

X E lƠ không suy bi n

Vì : X E E N E/   lƠ m t đ ng c u tuy n tính, tích vô

Toán t s đ c g i lƠ toán t đ i x ng hóa trong p

Hay s và s là các toán t đ i ng u nhau

T (3.26) ta suy ra s thu h p cúa tích vô h ng  , t i các không gian con

, Y

Cho u* x*1  x*p và u   x1 xp lƠ các tenx phơn tích đ c

   

1 1

( ij) p p



   (3.28) đ c vi t d i d ng:

u uu M E ,

và vsv v 1; v1Mq E

T (3.33) ta có phép nhơn trên có tính ch t k t h p vƠ  1 lƠ ph n t đ n v

T (3.32) suy ra phép nhơn trên có tính ch t giao hoán Vì M E   phơn b c,

s phơn b c sinh ra trong đ i s th ng E M E/  là:

K T LU N

tƠi tôi v a trình bƠy trên đơy không ch có ý ngh a v m t lý thuy t

mƠ còn có ý ngh a c v m t th c ti n Nó cung c p m t ph n lý thuy t v ba

đ i s đa tuy n tính trên m t tr ng, đó lƠ: đ i s tenx , đ i s ngoƠi vƠ đ i s

đ i x ng Qua đó, chúng ta có nh ng ng d ng c a đ i s vƠo hình h c, gi i tích, v t líầ

Tuy nhiên do th i gian có h n vƠ trình đ c a tôi còn h n ch nên đ tƠi nƠy không th tránh kh i nh ng thi u sót Tôi r t mong đ c s đóng góp c a các th y giáo, cô giáo cùng các b n sinh viên đ đ tƠi nƠy ngƠy cƠng đ c hoƠn thi n h n

L I C M N

Tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n toƠn th các th y cô giáo trong khoa Toán, các th y cô trong t i s , nh ng ng i t n tình d y d , giúp đ tôi trong b n n m h c v a qua c ng nh t o đi u ki n cho tôi trong quá trình hoƠn thƠnh khóa lu n

c bi t, tôi xin bƠy t lòng bi t n sơu s c đ n th y Nguy n Huy

H ng, ng i đƣ tr c ti p h ng d n, ch b o vƠ đóng góp nhi u ý ki n quý báu trong th i gian tôi th c hi n khóa lu n nƠy

Hà N i, ngày 25 tháng 4 n m 2010

Sinh viên

D ng Thanh Nga

L I CAM OAN

Khóa lu n nƠy lƠ k t qu c a b n thơn tôi trong quá trình h c t p vƠ nghiên c u Bên c nh đó, đ c s quan tơm t o đi u ki n c a các th y cô giáo

trong khoa Toán, đ c bi t lƠ s h ng d n c a th y giáo Nguy n Huy H ng

Trong quá trình nghiên c u hoƠn thƠnh khóa lu n tôi có tham kh o m t

s tƠi li u đƣ ghi trong ph n tƠi li u tham kh o

Tôi xin cam đoan k t qu đ tƠi “ i s tenx vƠ đ i s ngoƠi” không

M C L C

M U 1

CH NG 1 KI N TH C B TR 2

CH NG 2 I S TENX 10

2.1 Các véct 10

2.1.1 nh ngh a 10

2.1.2 i s tenx 11

2.1.3 Tính ch t ph d ng c a E vƠ c p ph d ng 13

2.1.4 ng c u 14

2.2 Tenx trên c p không gian đ i ng u 16

2.2.1 nh ngh a 16

2.2.2 ng c u 17

2.3 Tenx h n h p 18

2 2.3 nhngh a 18

2.2.4 i s tenx h n h p 19

2.2.5 Ánh x thu h p 19

2.1.6 Ánh x tenx 21

2.4 i s tenx trên không gian tích trong 22

2.4.1 Tích trong 22

2.4.2 ng c u  23

2.5 i s đa tuy n tính 23

2.5.1 i s T E 24

2.5.2 Phép th 24

2.5.3 ng c u p p  E  T E   25

2.5.3 i s T E  27

2.5.4 Tính đ i ng u gi a p 

T E và T Ep  28

2.5.6 i s T E 29  

CH NG 3 I S TENX PH N I X NG I S TENX I X NG 31

3.1 Tenx ph n đ i x ng 31

3.1.1 Không gian p  N E 31

3.1.2 Toán t thay phiên 32

3.2.3 Không gian đ i ng u 34

3.3.4 Ph n t ph n đ i x ng c a m t tích 35

3.2 ai s th ng E N E/   36

3.5 Iđêan N E 36  

3.6 i s E N E/   37

3.7 Các tenx ph n đ i x ng 38

3.8 Tích vô h ng 39

3.3 Tenx đ i x ng 40

3.3.1 Không gian p  M E 40

3.3.2 Toán t đ i x ng hóa 40

3.3.3 Không gian đ i ng u 42

3.3.4 Ph n t đ i x ng c a m t tích 43

3.4 i s th ng E M E/   44

3.4.1 Iđêan M E 44  

3.4.2 i s E M E/   44

3.4.3 Các tenx đ i x ng 45

3.4.4 Tích vô h ng 46

K T LU N 47

TÀI LI U THAM KH O 48